第七章++复数+章末复习教案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章复数章末综合复习教案
教学目标：
理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.
教学重难点：
重点：复数代数表示的四则运算.
难点：复数的三角表示，及其乘、除的三角表示与几何意义.
教学过程：
知识梳理
典例讲解
探究一：复数的概念
例1．已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是：(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
解：由于m∈R，
所以复数z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)当即m＝2时，z为零．
(2)当m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(3)当即m＝－时，z为纯虚数．
(4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，
即m＝0或m＝2时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．
跟踪训练：
1．复数的共轭复数是a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，则点(a，b)为(　　)
A．(2,1) B．(2，－1) C．(1,2) D．(1，－2)
答案　A
解析　依题意，复数＝2－i的共轭复数是a＋bi＝2＋i，点(a，b)即为(2,1)．故选A.
2．若=2,则n的值可能为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：A
解析：∵=i,=-i,∴in+(-i)n=k∈N+,
∴n的值可能为4.
3．复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
4.设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B．
C． D．
答案：B
解析：令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1解：由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1探究二、复数的计算
例2.计算：(1)；.
解：原式＝＝＝i.
(2)
解：原式＝
＝
＝＝
＝＝－1＋i.
跟踪训练：
1．复数＋2020的虚部为________．
答案　1
解析　＋2020＝＋
＝i－1.
2.已知复数满足，则的虚部为
A．-4 B．
C．4 D．
答案：D
解析：设
∴ ，解得
探究三、复数的综合应用
例3.(1)若a，b∈R，则复数(a2－6a＋10)＋(－b2＋4b－5)i对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　复数对应点的坐标为(a2－6a＋10，－b2＋4b－5)又因为a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b－5＝－(b－2)2－1<0，所以复数对应的点在第四象限．
(2)已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正方向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　)
A．1＋i B．－1＋i
－1－i D．－1±i
答案：D
解析：设复数z在复平面内对应的点的坐标为Z(a，b).
根据题意可画图形如图所示．
因为|z|＝2，且与x轴正方向的夹角为120°，
所以a＝－1，b＝±，
即点Z的坐标为(－1，)或(－1，－).　
所以z＝－1＋i或－1－i.
跟踪训练：
1.已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，
所以y＝－2.
因为＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i，且为实数，
所以x＝4，所以z＝4－2i，
所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知解得2所以实数a的取值范围是(2,6)．
2.已知复数z1＝i(1－i)3.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．
解：(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，
∴|z1|＝＝2.
(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，
∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，1为半径的圆上，
∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝＋1＝2＋1.
3.设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，a∈R.若1＋z2可以与任意实数比较大小，求·的值．
解：由题意，得1＝－(10－a2)i，
则1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2可以与任意实数比较大小，所以1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
又因为a＋5≠0，所以a＝3，所以z1＝＋i，z2＝－1＋i，
所以＝，＝(－1,1)，
所以·＝×(－1)＋1×1＝.
小结：
通过本节课的学习，你有什么收获？