河北省邯郸市魏县第五中学2022-2023学年高一下学期数学五一作业（立体几何初步）（含答案）

魏县第五中学2022-2023学年高一下学期五一作业
立体几何初步
一、单选题
1．在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积是
A． B． C． D．
2．棱长为的正方体中，是面的中心，则到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．扇子，作为中华民族文化的代表产物，在我国已经有四、五千年的历史了.折扇出现铰晚，因可折叠，方便随身携带，流传最广，经研究发现采用黄金分割方式设计的折扇（将一个圆面按黄金分割比例进行分割后得到的较小扇形）最为美观和实用，已知一把黄金分割扇的半径为，则以此扇面围成的圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦所对的圆心角为，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知是边长为3的等边三角形，三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上，则三棱锥的体积的最大值为（ ）．
A． B． C． D．
6．三棱柱中，棱、、两两垂直，，且三棱柱的侧面积为.若该三棱柱的顶点都在同一个球的表面上，则球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，将此三棱柱沿、、截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是（ ）
A． B． C． D．
8．某同学制作了一个对面图案均相同的正方形礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)(　　)
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知m，n是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．已知的三边长分别是，，．则下列说法正确的是（ ）
A．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为
B．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
C．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为
D．以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为
11．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（ ）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．如图，在棱长为2的正方体中为上的动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为
B．对任意点平面
C．线段长度的最小值为2
D．设与平面所成角的大小为，则
三、填空题
13．如图所示为一个半圆柱，已知为半圆弧上一点，若，，直线与所成角的正切值为，则点到平面的距离是______.
14．半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______．
15．在正方体中，则异面直线与的夹角为_________．
16．已知一个球的体积为，则它的俯视图的面积为______．
四、解答题
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，.
（1）设M，N分别为，的中点，求证：平面；
（2）求证：；
（3）求直线与平面所成角的余弦值.
18．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1．
(1)求证：BB1⊥平面ABC；
(2)求平面CDA1和平面DA1C1的余弦值．
19．如图，在四棱锥中，，，，是的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面平面，且，三棱锥的体积为1，求的长.
20．如图，在正方体中，是正方体的体对角线.
(1)求证：平面平面；
(2)求证：平面.
21．已知三棱柱，，平面，，为棱上一点，若.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
22．如图，在直三棱柱中，,,,分别为棱的中点．
(1)求证:平面；
(2)若异面直线与所成角为，求三棱锥的体积．
参考答案：
1．D 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．C 8．A
9．ABD 10．ABD 11．ABC 12．ABD
13．
14．
15．
16．.
17．（1）连接，易知，，又，故，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）取棱的中点H，连换，又为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，
又平面，所以，又已知，，
所以平面,又平面，所以，
（3）连接，由（2）中平面，
可得为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形，，且H为的中点，所以，
又，
故在中，，，
又，所以直线与平面所成角的余弦值为.
18．(1)证明：由是中点，得，又，，平面，
所以平面，而平面，所以，
因为，，平面，所以平面；
(2)解：由已知及（1）可得CB，CC1，CA两两互相垂直，所以以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，CC1所在直线为y轴，CA所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，设CC1＝2，则C(0，0，0)，C1(0，2，0)，A1(0，2，2)，D(1，0，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，2，2)，＝(1，－2，1)，＝(0，0，2)．
设平面DCA1的法向量＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝－1，则x1＝1，y1＝1，＝(1，1，－1)．
设平面DC1A1的法向量＝(x2，y2，z2)，则即得z2＝0，x2－2y2＝0，令y2＝1，则x2＝2，＝(2，1，0)．
所以cos〈，〉＝＝＝．
故平面CDA1和平面DA1C1所成角余弦值为．
19．（1）∵，，∴，
又∵，∴为等边三角形，
又∵，是的中点，
∴，，，
又∵，，平面，∴平面，
平面，平面平面；
（2）因为平面平面，所以平面，
又，平面
所以平面，又平面，平面平面,
所以，
∵平面，∴，
又∵，，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，∵，∴，
又∵，，，平面，∴平面，
∵，∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
∴，
又∵，
解得．
20．（1）证明：在正方体中，且，且，
所以四边形、为平行四边，
所以，，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面.
（2）证明：连接、，在正方体中，，
平面，
因为平面，
所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理可证平面，又平面，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面平面，所以平面.
21．（1）平面，平面，
所以，又，
所以平面，
平面，所以，
所以，
在和有：，
可得，
所以 ，，
所以平面，得证；
（2）
.
22．（1）取的中点,连接,
因为分别为棱的中点，所以,,
平面平面，
平面，同理可证平面，
且,平面,
所以平面平面，
又平面,所以平面；
（2）由（1）知为异面直线与所成角,所以,
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面,
因为，所以平面,又平面，
,又,在中，,
，
,,平面，
平面,
所以