数列
补充：数列求和
1.倒序相加.
2.错位相减.
3.裂项相消.
4.分组求和.
5.绝对值求和.
1.倒序相加
已知为等比数列，且，若
，求的值．
【答案】2021
，继而求出答案
【详解】因为为等比数列，，所以，
因为，所以，
同理可得，
所以
已知函数，，正项等比数
列满足，则值是多少？.
【答案】
【详解】因为，
所以.
因为数列是等比数列，所以，
即.
设 ①，
又＋…＋ ②，
①+②，得，所以.
已知正数数列是公比不等于1的等比数
列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036
C．2019 D．4038
【答案】D
【详解】，
∵函数
∴，
令，则，
∴，
∴.
故选：D.
已知函数，数列
满足，则（ ）
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
【答案】A
【详解】∵，
∴．
又∵，
∴．
令，
则，
两式相加得，∴．
故选：A
已知函数，数列为等比数
列，，，则______．
【答案】
【详解】∵，
∴．
∵数列是等比数列，∴，
∴．
设，①
则，②
①＋②，得
，
∴．
故答案为：
2.错位相减
已知数列的前项和为，，且
．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以当时．
因为，所以，，即．
所以，两式相减可得．
又，，所以，则．
所以是以为首项，为公比的等比数列．因此．
（2）由题意得，
则，
．
两式相减，得
，所以．
设数列的前项和为且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由，得，
当时，，
，即，
，
当时，上式也成立，
；
（2）解：，
，
，
两式相减得
，
所以.
已知等差数列的前项和为，且
，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
则由，，，
可得
解得
因此，；
（2）由（1）知，
，①
，②
①-②得
，
在数列中，，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意可得，因为，所以，
所以，所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
所以，
设数列前项和为，数列前项和为，
则①，
②，
①-②得，
所以，
又，
所以.
已知等差数列的前n项和为，且
，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为．
由，
得，
化简得，
解得．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以 ①
则 ②
由①－②得：
，
所以数列的前n项和．
3.裂项相消
在数列中，，，
则数列前5项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】为1为首项，2为公差的等差数列，
，
故
故选：C
已知各项为正数的数列的前项和为
，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，解得；
当时，由，得，
两式相减可得，，又，
，即是首项为，公差为的等差数列，
因此，的通项公式为；
（2）证明：由可知，所以，
，
因为恒成立，所以，
又因为，所以单调递增，所以，
综上可得．
已知数列为等差数列，数列满足
，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为d．
由，
所以数列为等差数列，且的公差相等，均为d．
由，得，则．
由，得，即．
因为，所以，则有，则，
故数列的通项公式为，则
数列的通项公式；
（2）由（1）可知，
则
．
已知正项数列，其前项和满足
.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，可得.
当时，由题意可得，即，
所以，
又，
经检验，当时符合，所以，；
所以当时，，
经检验，当时符合，所以，；
（2）由（1）可得，所以
，命题得证.
已知是数列的前项和，，且
．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）解：当时，可得．
当时，，
所以，
所以，所以．
因为，所以，
时也符合，故．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以．
因为，所以．得证
已知数列，满足，且
．
(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前项和．
【答案】(1) 或.
(2)
【详解】（1）数列为等比数列，公比为q，且， ， 或，
由 ， 或 ，
由，所以 ，又 ，
即数列是以1为首项， 为公比的等比数列
故 或.
（2）依题意得等差数列公差，则，
由，所以 ，
从而
，
.
已知是等差数列的前项和，且
，.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）为等差数列，则，，
.
∴，故，
故.
（2），
∴
已知正项数列的前项和满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：数列的前项和．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【详解】（1）①，②，两式作差得：，
故为等比数列，，令得：，故；
（2），
所以
，即.
已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵.
∴，
∴，
∴；
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）可得，
∴
.
已知等比数列的前项和为，且对，
恒成立，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，求证：．
【答案】(1)，，（）；
(2)证明见解析．
【详解】（1）设等比数列的首项为，公比为q，
由，，则，故．
由得，解得
∴，．（）
（2）由（1）可知，，故
∵，，则
∴．故命题得证.
已知数列中,,
．
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)设求数列的前项的和．
【答案】(1)证明见解析,
(2)
【详解】（1）证明:
,
,
故数列是以为首项,4为公比的等比数列,
,
即．
（2）由题知
,
,
故.
已知数列满足.
(1)计算，并求出数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）将代入,得
同理，将代入,得
即.
由题意得
而，则，所以
所以，数列的通项公式为
（2）由（1）知，，
故，
而，所以，
即.
已知数列中，，，
.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1），
，
，，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
（2）由（1）可得，
时，，
时也成立.
，
，
数列是等比数列，首项为1，公比为2.
数列的前项的和为.
（3），
数列的前项和，
.
4.分组求和
已知数列满足．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）由题知
若,则,此时不是等比数列
若,则是首项为,公比为3的等比数列
（2）因为,所以,即
当
当,也满足,所以
所以
数列的前项和为
数列的前项和
所以
所以
所以数列的前项和
已知为数列的前项和，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由①，
得②，
②－①得，
则，
当时，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，则．
（2）由（1）可得，
所以
③，
则④，
③－④得，
所以.
已知等差数列的前项和为，不等式
的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
关于的不等式的解集为.
和4是方程的两个根，由韦达定理有，
解得，所以，.
数列的通项公式为.
（2）由（1）可得，，
则.
数列的前项和
.
已知公差不为零的等差数列的前项和为
，且满足，，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，即，
整理得，解得，
所以，
∵，所以.
（2）∵，
∴
，
故.
在数列中，，.记
是数列的前项和，则______.
【答案】
【详解】当为奇数时，，所以，数列的奇数项成以为首项，公差为的等差数列，
所以，；
当为偶数时，，
所以，.
因此，.
故答案为：.
已知数列的各项均为正数的等比数列，
，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公比为，由题意得
解得
（2）
当为偶数时，，
当为奇数时，；
．
在数列中，，
．记是数列的前项和，则______．
【答案】
【详解】由题知，，
当为奇数时，，
所以奇数项构成等差数列，首项为1，公差为2，
当为偶数时，，
所以
所以
故答案为：
已知数列的首项为0，且
，数列的首项，且对任意正整数恒有.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列的前项和S2n.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，所以数列为等差数列，公差为1，所以，
令，所以，数列为等比数列，公比为2，所以.
（2）当为奇数时，；
当为偶数时，；
所以奇数项的前项和为，
偶数项的前项和为①，
①得：②，
①-②得：
，
所以，.
设为数列的前项和，已知，
且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意得：；
当时，，又，；
当且时，，
整理可得：，
，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）由（1）得：，
.
5.绝对值求和
已知数列的前项和为，数列是以
为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
则，所以
当时，
又也符合上式，
故数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和
，
.
综上所述：
数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)当时，，
当时，.
综上所述.
(2)当时，，所以
，
当时，，
.
综上所述.
已知正项等比数列满足且
是的等差中项，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设数列的公比为q，由条件得 ，
即 ，解得或 （舍），，
累加得：
，
，又符合该式，
所以 ；
（2）令，则，
又，则
当时，，当时，，
又当时，，当时，，
时，，
时，
，
.
课后练习
已知函数，等差数列满足，则__________．
【答案】
【详解】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
【答案】
【详解】函数，当时，，
因数列是正项等比数列，且，则，
，同理，
令，
又，
则有，，
所以.
故答案为：
，且，则数列的通项公式为________．
【答案】
【详解】由题意，函数，
可得，
可得，
则，
可得，
所以，即数列的通项公式为.
故答案为：.
已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知：求数列前项和为.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由条件可知，即，
，且，
是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知是以为首项，为公比的等比数列，
，则，
，
，
两式相减可得，，
即，
化简得.
已知数列和满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的前项和．
【答案】(1)；；
(2)
【详解】（1）由已知，数列满足，即，
所以，又因为，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以,
数列满足，即，
所以，又因为，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以.
（2）由（1）问可知，，；
所以令，
所以①
②
①②得：.
所以，
所以.
已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）①，
当时，②，
①②得，即，
又时，，
∴为首项，公比的等比数列，
故，
∴
（2）
③
④
③④得
∴
数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：当时，，
当时，，又，
两式相减得，，
又，且，
所以是等比数列，首项为，公比为3，
所以.
（2）由（1）知：，
则，
，
，
，
.
已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，
当时，，解得；
当时，，
两式相减，得，即，
又各项均为正数，所以，即.
因为满足上式，
所以是首项为1，公差为3的等差数列.
所以.
设等比数列的公比为，因为，，
所以，
解得（或舍去），
所以.
（2），
所以，
，
两式相减得：
所以.
已知是各项均为正数的等比数列，，
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，，
由已知：，
，即，
或舍去，
；
（2）由（1）知：，
，
.
已知数列的各项均不为零，，前项和满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）依题意，，，，
，
，
两边除以得，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列.
（2）由（1）得，所以，
所以.
已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，
可得，
化简整理，得，
也满足上式，
数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
，．
（2）由（1），可得，
则
．
已知数列前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)an＝2n，n∈N*
(2)Tn=
【详解】（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，
∵当n＝1时，也满足上式，
∴an＝2n，n∈N*．
（2）由（1），可得
则Tn＝b1+b2+ +bn
已知数列满足，()，且()．
(1)求数列的通项公式；
(2)若()，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2)．
【详解】（1）因为，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，
所以，；
（2）由，
可得，
则数列的前n项和为
．
已知数列满足
(1)求的值；
(2)求的前50项和．
【答案】(1)2，
(2)675
【详解】（1）根据递推公式可知：．
（2）根据递推公式知：当时，．
于是，即．
所以，是以1为首项，1为公差的等差数列；且
已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为数列的首项，且满足，
所以，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，则，
所以.
已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，，．
【详解】（1）证明：由题意，两边同时加3，
可得，
，
数列是以8为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：由（1）可得，
则，，
故
．
已知数列为等比数列，，，，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设数列的公比为，则，
所以，
所以，
所以；
（2），
所以
.
已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)求出数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），
，即，
，
数列是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1）得：，则，
．
已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列，的通项公式
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为数列满足，，，
所以数列是以为首项，公比的等比数列，
所以，即数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，，
得，解得，所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，
所以数列的前项和
，即．
已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且有.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前11项和.
【答案】(1),
(2)748
【详解】（1）设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，
由得：，
，
，
解得：
，
（2）由（1）知，
.数列
补充：数列求和
1.倒序相加.
2.错位相减.
3.裂项相消.
4.分组求和.
5.绝对值求和.
1.倒序相加
已知为等比数列，且，若
，求的值．
已知函数，，正项等比数
列满足，则值是多少？.
已知正数数列是公比不等于1的等比数
列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2018 B．4036
C．2019 D．4038
已知函数，数列
满足，则（ ）
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
已知函数，数列为等比数
列，，，则______．
2.错位相减
已知数列的前项和为，，且
．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
设数列的前项和为且
.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和
已知等差数列的前项和为，且
，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和
在数列中，，且.
(1)证明：是等比数列.
(2)求数列的前项和.
已知等差数列的前n项和为，且
，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
3.裂项相消
在数列中，，，
则数列前5项和（ ）
A． B．
C． D．
已知各项为正数的数列的前项和为
，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
已知数列为等差数列，数列满足
，且．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
已知正项数列，其前项和满足
.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
已知是数列的前项和，，且
．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
已知数列，满足，且
．
(1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式；
(2)若数列为等差数列，，求的前项和．
已知是等差数列的前项和，且
，.
(1)求；
(2)若，求数列的前项和.
已知正项数列的前项和满足
．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求证：数列的前项和．
已知为等差数列，.
(1)求的通项公式；
(2)若为的前项和，求.
已知等比数列的前项和为，且对，
恒成立，，．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)设，求证：．
已知数列中,,
．
(1)求证:是等比数列,并求的通项公式;
(2)设求数列的前项的和．
已知数列满足.
(1)计算，并求出数列的通项公式；
(2)设，为数列的前项和，求证：.
已知数列中，，，
.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.
4.分组求和
已知数列满足．
(1)判断数列是否为等比数列；
(2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和．
已知为数列的前项和，且
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，的前项和为，求．
已知等差数列的前项和为，不等式
的解集为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
已知公差不为零的等差数列的前项和为
，且满足，，，成等比数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
在数列中，，.记
是数列的前项和，则______.
已知数列的各项均为正数的等比数列，
，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
在数列中，，
．记是数列的前项和，则______．
已知数列的首项为0，且
，数列的首项，且对任意正整数恒有.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数n，设，求数列的前项和S2n.
设为数列的前项和，已知，
且，，成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和．
5.绝对值求和
已知数列的前项和为，数列是以
为首项，为公差的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
已知正项等比数列满足且
是的等差中项，数列满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前项和．
课后练习
已知函数，等差数列满足，则__________．
已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________．
，且，则数列的通项公式为________．
已知数列满足：，且对任意的，都有，，成等差数列.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)已知：求数列前项和为.
已知数列和满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的前项和．
已知数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
已知各项均为正数的数列的前项和为，且，.各项均为正数的等比数列满足，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
已知是各项均为正数的等比数列，，
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
已知数列的各项均不为零，，前项和满足.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.
已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
已知数列前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
已知数列满足，()，且()．
(1)求数列的通项公式；
(2)若()，求数列的前项和．
已知数列满足
(1)求的值；
(2)求的前50项和．
已知数列的首项，且满足.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
已知数列，其中前项和为，且满足，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前项和．
已知数列为等比数列，，，，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列的前项和.
已知数列满足，．
(1)求证：数列是等比数列．
(2)求出数列的前项和．
已知数列满足，，，数列是等差数列，且，．
(1)求数列，的通项公式
(2)设，求数列的前项和．
已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且有.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列的前11项和.
