宁夏青铜峡市宁朔县中2022-2023学年高二下学期期中考试数学（文）试题（含答案）

宁朔县中2022-2023学年高二下学期期中考试
文科数学 考试时间：120分钟
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.（ ）
A. B.4 C. D.
2.设全集，集合满足，则（ ）
A. B. C. D.
3.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知点的极坐标是，则与点关于直线对称的点的极坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，则（ ）
A. B.3 C.1 D.19
8.已知，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
9.已知函数，若，则（ ）
A. B. C.2 D.0
10.已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的（ ）
A. B.
C. D.
11.设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数的定义域为，且，则）
A. B. C.0 D.1
二、填空题（共4题，每小题5分）
13.______.
14.设是周期为2的奇函数，当时，，则______.
15.函数的单调减区间为______.
16.函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为______.
三、解答题（17题10分，其它每题12分）
17.已知是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求时，函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
18.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线与直线交于、两点.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设，求的值.
19.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.
21.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注：
参考数据：，，
，.
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
22.已知函数的定义域为，函数.
（1）求函数的定义域；
（2）若是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式的解集.
高二文科数学答案
一、选择题
1-5 AADBD 6-10 BBDCB 11-12 CA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）；（2）.
【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；
（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.
【详解】（1）设，则，所以
又为奇函数，所以，
所以当时，.
（2）作函数的图像如图所示，
要使在上单调递增，结合的图象知，所以，
所以的取值范围是.
18.（1）， （2）11
【分析】（1）由加减消元或者代入消元消去参数化简即可求得直线的普通方程；将曲线的极坐标方程两边同时平方，再由代入化简即可求得曲线的直角坐标方程.
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，再由韦达定理求得，再由求得的值.
【详解】（1）将直线的参数方程（为参数），
消去参数，化为普通方程为，
将曲线的极坐标方程，两边同时平方，化为直角坐标方程为
（2）点在直线上，
将直线（为参数）代入曲线的直角坐标方程中，
得到，由韦达定理得（和为、对应的参数），故
19.（1），；
（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【分析】（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；
（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，
所以男顾客对商场服务满意率估计为，
50名女顾客对商场满意的有30人，
所以女顾客对商场服务满意率估计为，
（2）由列联表可知，
所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算的值，独立性检验，属于简单题目.
20.（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）
【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况；
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得，之间关系，求得，即得的斜率.
【详解】（1）曲线的直角坐标方程为.
当时，，即的直角坐标方程为；
当时，的直角坐标方程为.
（2）[方法一]：直线参数方程的应用
将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
.①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则.
又由①得，故，于是直线的斜率.
[方法二]：【最优解】点差法的应用
设直线（斜率为）与曲线相交于，.因为点是线段的中点，
所以直线的斜率存在且不为零.则，，
由题意得①，②，
两式相减得，即，解得.
[方法三]：【通性通法】常规联立＋韦达定理
设直线与曲线的交点为，.
因为点是线段的中点，所以直线的斜率存在且不为零.
由消去整理得.
因为为椭圆内部的点，只需，得.
所以直线的斜率为.
[方法四]：伸缩变换
设变换得代入椭圆方程，得圆.而点变换成点，以为中点的圆的弦所在直线的斜率，根据变换公式，得直线的斜率.
【整体点评】（2）方法一：根据直线参数方程中的几何意义，可快速找到，的关系，从而求出斜率；
方法二：中点问题考虑点差法，简单适用，是该题的最优解；
方法三：利用直线和椭圆方程联立，根据韦达定理求出斜率，是直线与椭圆位置关系问题的通性通法；
方法四：利用伸缩变换，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系，再根据圆的几何性质求解，最后回代即可解出.
21.（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）答案见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立关于的回归方程，然后预测.
试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得
，，，
，
.
因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.
（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，
.
所以，关于的回归方程为：.
将2016年对应的代入回归方程得：.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用.
【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断.求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性.
22.（1）；（2）.
【详解】（1）∵数的定义域为，函数.
∴，∴，函数的定义域.
（2）∵是奇函数且在定义域内单调递减，不等式，
∴，
∴，∴
故不等式的解集是.