§2.2.1椭圆及其标准方程（1）
●教学目标
1．掌握椭圆的定义、方程及标准方程的推导；
2．掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距；
3．了解建立坐标系的选择原则.
●教学重点：椭圆的标准方程及定义
●教学难点：椭圆标准方程的推导
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
在日常生活中，大家对椭圆已存有一定的认识，为使大家掌握椭圆的本质特征，这一节，我们开始研究椭圆.
Ⅱ.讲授新课：
1．椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距.
说明：要求学生注意常数要大于∣F1F2∣的条件，明确常数小于或等于∣F1F2∣时，轨迹为无轨迹或一条线段.
2．椭圆的标准方程：
（1）椭圆标准方程的推导
如图2.2-2，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且O与线段F1F2的中点重合.设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（－c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.
由椭圆定义，椭圆就是集合P=｛M∣∣MF1∣+∣MF2∣=2a｝
因为∣MF1∣= ∣MF2∣=
所以得：+=2a
整理得：（a2－c2）x2+a2y2=a2(a2－c2).由椭圆的定义可知：2a＞2c，即a＞c，故a2－c2＞0.
令a2－c2=b2，其中b＞0，代入上式整理得：
说明：其中具体整理步骤让学生自得.
（2）椭圆的标准方程
焦点在x轴上：
说明：焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2－b2.
焦点在y轴上：
说明：焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2－b2.
注：①两种形式中，总有a>b>0；
②两种形式中，椭圆焦点始终在长轴上；
③a、b、c始终满足c2=a2－b2；
3．例题讲解：
例1 已知两个焦点的坐标分别是（－2，0）、（2，0），并且椭圆经过点，求它的标准方程。
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知：
2a=
∴a=，又c=2 ∴b2=a2－c2=6所以所求椭圆方程为
说明：例1要求学生熟练应用c2=a2－b2关系式求解椭圆标准方程.
例2 如图，在圆上任取一点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？
解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则
x=x0, y=.
因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. ①
将x0=x, y0=2y代入方程①， 得
x2+4y2=4 即 + y2=1
所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
说明：①本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.
②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆.
③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.
Ⅲ.课堂练习：
课本P45练习1，2，3，4
●课堂小结
通过本节学习，要求大家理解并掌握椭圆定义，并熟练掌握椭圆的两种标准方程及应用.
●课后作业
P53习题2.2 A组 1，2 §2.3.1 双曲线及其标准方程（1）
●教学目标
1.掌握双曲线定义、标准方程；
2.掌握焦点、焦距、焦点位置与方程关系；
3.认识双曲线的变化规律.
●教学重点 双曲线的定义及标准方程
●教学难点 区分标准方程的两种不同形式
●教学过程
I.导入新课：
师：我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？
（用双曲线演示模板画出双曲线）下面我们给出双曲线的定义，并研究双曲线的方程.
II.讲授新课：
1.双曲线的定义：
我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.
说明①常数小于；
②这两个定点叫做双曲线的焦点；
③这两焦点的距离叫双曲线的焦距.
2.双曲线的标准方程：
形式一： （a>0,b>0）
说明：此方程表示焦点在x轴上的双曲线.焦点是F1(－c,0)、F2(c,0)，这里c2=a2+b2.
形式二： （a>0,b>0）
说明：此方程表示焦点在y轴上的双曲线，焦点是F1(0，－c)、F2(0， c)，这里c2=a2+b2.
推导过程：如图8—12，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.
设M（x,y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0).又设M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.由定义可知，双曲线就是集合
因为
所以得 ①
将方程①化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2－a2).
由双曲线的定义可知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，令c2－a2=b2，其中b>0，代入上式得
(a>0,b>0).
总结:
双曲线定义 （ ， 为定点， 为常数）
图形
标准方程
焦点坐标 ， ，
， ， 关系
师：接下来，我们通过例题来熟悉双曲线的定义与标准方程.
3.例题讲解：
例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1（－5，0）、F2（5，0），双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为： (a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16
所以所求双曲线的标准方程为
说明：例1目的在于让学生熟悉双曲线的定义与标准方程的形式.
III.课堂练习：
课本P60 1，2
●课堂小结
通过本节学习，要求大家掌握双曲线的定义及其标准方程的推导，并利用焦点、焦距与方程关系确定双曲线方程.
●课后作业
习题2.2 A组 1，2 B组 1
要求学生注意书写的规范性.§2.1.2求曲线的方程
●教学目标
1．了解解析几何的基本思想；
2．了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；
3．初步掌握求曲线的方程的方法.
●教学重点
求曲线的方程
●教学难点
求曲线方程一般步骤的掌握.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.
Ⅱ.讲授新课
1．解析几何与坐标法：
我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
2．平面解析几何研究的主要问题：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；
（2）通过方程，研究平面曲线的性质.
说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
例2 设A、B两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.
解：设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点（图7—29），也就是点M属于集合
.
由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：
将上式两边平方，整理得：
x+2y－7=0 ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x+2y1－7=0 x1=7－2y1
点M1到A、B的距离分别是
即点M1在线段AB的垂直平分线上.
由（1）、（2）可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
师：由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；
（2）写出适合条件P的点M的集合P={M|P（M）}；
（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;
（4）化方程f(x,y)=0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.
师：下面我们通过例子来进一步熟悉求曲线轨迹的一般步骤.
例3 已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.
解：如图所示，设点M（x,y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B（图7—31），那么点M属于集合
由距离公式，点M适合的条件可表示为：
①
将①式移项后再两边平方，得
x2+(y－2)2=(y+2)2,化简得：
因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是 (x≠0) 。
师：上述两个例题让学生了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.
Ⅱ.课堂练习 课本P39练习3
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家初步认识坐标法研究几何问题的知识与观点，进而逐步掌握求曲线的方程的一般步骤.
● 课后作业
P40习题 A组 3，4 B组 2§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
●教学目标
1.灵活应用抛物线性质确定抛物线标准方程;
2.应用抛物线性质解决生产实际问题;
3.提高综合解题能力.
●教学重点 抛物线定义,性质应用
●教学难点
解题思路分析
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师:上一节,我们一起学习了抛物线四种标准方程对应的几何性质,现在作一简要的回顾(学生回答略)这一节,我们将组织研究抛物线的标准方程及其几何性质的应用.
Ⅱ.讲授新课
例5 已知抛物线 的方程，直线过和抛物线的焦点斜率为k．当k为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。
分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，就可以得出直线与抛物线的位置关系。
解：由题意的，直线的方程为
由方程组 ………………… （Ⅰ）
可得： ……………… （Ⅱ）
（1） 当时，由方程（Ⅱ），得 ，把代入，得
这时，直线与抛物线只有一个交点
（2） 当时，方程（Ⅱ）的判别式为
下面分3种情况讨论：
①由，即，解得:
于是，当时，方程（Ⅱ）只有一解，从而方程组（Ⅰ）只有一解。这时，直线与抛物线只有一个公共点。
②由，即，解得:
于是，当且时，方程（Ⅱ）有2个解，从而方程组（Ⅰ）有2个解。这时，直线与抛物线有2个公共点。
③由，即，解得:
于是，当时，方程（Ⅱ）没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解。这时，直线与抛物线没有公共点。
综上可得：
当或时，直线与抛物线只有一个公共点。
当且时，直线与抛物线有2个公共点。
当时，直线与抛物线有没有公共点。
小结：直线与抛物线的位置关系
设抛物线方程为 ，当直线斜率存在时，把直线方程代入抛物线方程得关于 （或 ）的一元二次方程（二次项系数为 ）
直线与抛物线有两个公共点
直线与抛物线有一个公共点 ，或二次项系数 （此时直线平行与抛物线的对称轴）；
直线与抛物线没有公共点
这里特别要注意 不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件，当直线平行于抛物线的对称轴时，也只有一个公共点．
Ⅲ.课堂练习
1．过 作直线 与抛物线 仅有一个公共点的直线共有（ A ）
A．3条 B．2条 C．1条 D．不能确定
2．过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 、 ，经过点 和抛物线顶点的直线交准线于点 ，求沿直线 平行于抛物线的对称轴．
解析：设抛物线的方程为 ，则焦点 ，准线 ，设 的直线方程为 由 得 . 则 ，直线 的方程为 把 代入得 . . 因为 所以直线 平行于抛物线的对称轴．
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握求解抛物线标准方程的方法,进一步掌握坐标法的应用,并了解抛物线知识在生产生活实际中的应用.
●课后作业
问题： 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．
分析；求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以 为三角形的底，保要确定高的最大值即可．
解：设AB所在的直线方程为 ．将其他入抛物线路 ，得
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．
设直线l方程为 ．代入抛物线方程得 由 得 ，这时 ．它到AB的距离为 ∴△RAB的最大面积为 ．§2.1.1曲线与方程
●教学目标
1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义.
2．会判定一个点是否在已知曲线上.
●教学重点 曲线和方程的概念
●教学难点 曲线和方程概念的理解
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
师：在本章开始时，我们研究过直线的各种方程，讨论了直线和二元一次方程的关系.下面我们进一步研究一般曲线和方程的关系.
Ⅱ.讲授新课
1．曲线与方程关系举例：
师：我们知道，两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x－y=0.这就是说，如果点M（x0,y0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x0=y0，那么它的坐标（x0,y0）是方程x－y=0的解；反过来，如果（x0,y0）是方程x－y=0的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.（如左图）
又如，以为圆心、为半径的圆的方程是。这就是说，如果是圆上的点，那么它到圆心的距离一定等于半径，即，也就是，这说明它的坐标是方程的解；反过来，如果是方程的解，即，也就是，即以这个解为坐标的点到点的距离为，它一定在以为圆心、为半径的圆上的点。（如右图）.
2．曲线与方程概念
一般地，在直角坐标系中，如果其曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
3．点在曲线上的充要条件：
如果曲线C的方程是f（x,y）=0，那么点P0=（x0,y0）.在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
4．例题讲解：
例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是。
证明：（1）设M（x0,y0）是轨迹上的任意一点，因为点M与轴的距离为，与轴的距离为，所以 即是方程的解.
（2）设的坐标是方程的解，那么即
而正是点到轴，轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数，点是曲线上的点。
由⑴⑵可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程。
Ⅲ.课堂练习：
课本P39练习1
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家能够理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，并掌握判断一点是否在某曲线上的方法，为进一步学习解析几何打下基础.
●课后作业
P40习题 A组 1，2 B组 1§2.4.1 抛物线及其标准方程（2）
●教学目标
1． 掌握抛物线的定义，灵活应用定义求轨迹方程；
2． 掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.
●教学重点 抛物线定义、几何性质的应用
●教学难点 抛物线的应用
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：上一节，我们学习了抛物线的定义及其标准方程，首先作简要回顾（略）.
这一节，我们继续研究抛物线的定义及其标准方程的灵活运用.
Ⅱ.讲授新课：
师：这一节，我们主要通过例题分析研究抛物线定义及其标准方程在解题时的具体应用.
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5 m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是，由已知条件可得，点A的坐标是，代入方程，得 即，所以，所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是。
例3 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.
分析：由已知，点M属于集合将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐.仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5,即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线.
解：如图，设点M的坐标为（x，y）.
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2=16x
说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识.
Ⅲ.课堂练习 课本P70 习题A组5
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家进一步掌握抛物线的定义，并灵活运用抛物线定义求轨迹方程，同时掌握焦点弦性质的应用.
●课后作业 P79 习题A组4，5 B组3§2.3.2 双曲线的简单几何性质（2）
●教学目标
1.掌握双曲线的准线方程.
2.能应用双曲线的几何性质求双曲线方程；
3.应用双曲线知识解决生产中的实际问题.
●教学重点
双曲线的准线与几何性质的应用
●教学难点
双曲线离心率、准线方程与双曲线关系.
●教学过程
I.复习回顾：
师：上一节，我们利用双曲线的标准方程推导了双曲线的几何性质，下面我们作一简要的回顾
椭圆 双曲线
方程
图形
顶点坐标
对称轴性 关于x、y轴对称，关于原点对称
焦点坐标
离心率 且 且
准线方程
渐近线方程
这一节我们将继续研究双曲线的几何性质及其应用.
II.讲授新课：
例5点M（x,y）与定点F(5,o)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数,求点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合p=,由此得.
化简得 9x2-16y2=144
即
所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为8、6的双曲线.（如图）
拓展：已知点M（x,y）与定点F(c,o)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数求点M的轨迹.
解：设d是点M到直线l的距离.根据题意，所求轨迹是集合p=,由此得.化简得 (c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2).设c2－a2=b2，
就可化为：
这是双曲线的标准方程，所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.
双曲线的准线：当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.
准线方程：x=
其中x=相应于双曲线的右焦点F(c,0)；x=－相应于左焦点F′(－c,0).
例6 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于、两点，求。
解：由双曲线的方程得，两焦点分别为: ,
因为直线的倾斜角为，且直线经过右焦点，
所以，直线的方程为 ①
由消去，得 解这个方程得：
将的值代入①，得
于是，、两点的坐标分别为
所以，===
III.课堂练习：要求学生注意离心率、准线方程与双曲线的关系的应用.
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家熟练掌握双曲线几何性质的应用，并注意利用离心率、准线方程与双曲线的关系确定双曲线方程的方法，并了解双曲线在实际中的应用问题.
●练习 P66 3，6
●课后作业 P67 B组2，3，4 §2.3.1 双曲线及其标准方程（2）
●教学目标
1.掌握双曲线的两个标准方程；
2.能应用待定系数法求双曲线的标准方程；
3.了解双曲线方程在实际中的应用.
●教学重点 待定系数法求双曲线标准方程.
●教学难点 待定系数法的理解与应用
●教学过程
I.复习回顾
师：上一节，我们学习了双曲线定义及两种形式的标准方程，现在我们作一简要回顾.（略）.这一节，我们一起来学习双曲线的应用，并掌握待定系数法求双曲线方程.
II.讲授新课：
例2 已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线上两点P1、P2的坐标分别为（3，）、（），求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在y轴上，所以设所求双曲线的标准方程为：
(a>0,b>0) ①
因为点P1、P2在双曲线上，所以点P1、P2的坐标适合方程①.将（3，）、（）分别代入方程①中，得方程组
解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线的标准方程为：
说明：例2要求学生熟悉双曲线的两种标准方程，并能熟练运用待定系数法求解曲线的方程.
例3(课本例2) 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.
解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
（2）如图，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.
设爆炸点P的坐标为（x,y），则
即2a=680,a=340.
又
∴2c=800,c=400,
b2=c2－a2=44400.
∵
∴x>0.
所求双曲线的方程为：
(x>0).
说明：例3(课本例2)表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.
III.课堂练习
课本P60练习 3
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的两个标准方程，能熟练应用待定系数法求双曲线的标准方程.
●课后作业
习题2.2 B组 2§2.2.2 椭圆的简单几何性质（1）
●教学目标
１．掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；
２．掌握椭圆标准方程中a、b、c关系；
●教学重点：椭圆的几何性质
●教学难点：椭圆离心率与椭圆关系
●教学过程：
Ⅰ、复习回顾：
前几节课，我们学习椭圆的定义、椭圆的标准方程，并且熟悉了它们的应用，这一节课我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质．
Ⅱ、讲授新课：
一．椭圆的几何性质：
１．范围：椭圆位于直线和所围成的矩形里．
原因：由标准方程可知，椭圆上的点的坐标（x,y）都适合不等式
即,
说明：根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．
2．对称性：椭圆关于y轴、x轴和原点都对称．
原因：在椭圆标准方程里，以-x代x，或以-y代y，或以-x，-y分别代x、y，方程都不变．
说明：利用椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．
３．顶点：椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫椭圆的顶点．
其中Ａ１（-a,0）,A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点；Ｂ１（０，－b）,B1(0,b)是椭圆与y轴的两个交点．
线段Ａ１Ａ２、Ｂ１Ｂ２分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长．
４．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率．
说明①因为所以．
②e越接近１，则c越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于０，c越接近于０，从而b越接近于a，这时椭圆就接近于圆；
③当且仅当a=b时，c=0，这时两焦点重合，图形变为圆．
总结:椭圆的简单几何性质
方程
图像
a、b、c
焦点
范围
对称性 椭圆关于y轴、x轴和原点都对称
顶点
长轴: A1A2 长轴长 短轴：B1B2短轴长
离心率
二．例题解析
例4求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把已知方程化成标准方程这里a=５,b=4,所以．
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a=10和2b=8，离心率，两个焦点分别是Ｆ１（－３，０）和Ｆ２（３，０），椭圆的四个顶点是Ａ１（－５，０），Ａ２（５，０），Ｂ１（０，－４）和Ｂ２（０，４）．
例5 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）经过点Ｐ（－３，０）、Ｑ（０，－２）；
（２）长轴的长等于２０，离心率等于．
解：（１）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点Ｐ、Ｑ分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为．
（２）由已知，2a=20,,
由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为或．
说明：此题要求学生熟悉椭圆的几何性质，并注意区分两种椭圆标准方程．
Ⅲ、课堂练习 课本Ｐ52练习１，２，３，4．
●课堂小结
熟练掌握椭圆的几何性质，并能根据标准方程求出椭圆的焦点、顶点、离心率．
●课后作业：习题2．２A组 3、4、5§2.2.1椭圆及其标准方程（2）
●教学目标
1．熟练掌握椭圆的两个标准方程；
2．能应用特定系数法求椭圆的标准方程.
●教学重点
椭圆标准方程的两种形式
●教学难点
两种椭圆标准方程的区分和应用
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：上一节，我们学习了椭圆的定义并推导了椭圆的标准方程，下面作简要的回顾（略）.这一节，我们来继续熟悉椭圆定义及标准方程的应用.
Ⅱ.讲授新课：
例2 已知B、C是两个定点，∣BC∣=6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程.
分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.
在右图中，由△ABC的周长等于16，∣BC∣=6可知，点A到B、C两点的距离之和是常数，即
∣AB∣+∣AC∣=16－6=10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）
解：如右图，建立坐标系，使x轴经过点B、C，原点O与BC的中点重合.
由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16，∣BC∣=6，有∣AB∣+∣AC∣=10，即点A的轨迹是椭圆，且
2c=6, 2a=16－6=10
∴c=3, a=5, b2=52－32=16
但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能构成三角形，所以点A的轨迹方程是
说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；
②例2要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PPˊ，求线段PPˊ中点M的轨迹.
解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为（x0,y0），则
x=x0, y=.
因为P（x0,y0）在圆x2+y2=4上，所以x02+y02=4. ①
将x0=x, y0=2y代入方程①， 得
x2+4y2=4 即 + y2=1
所以点M的轨迹是一个椭圆.（如图）
说明：①本题在求点M(x,y)的轨迹方程时，不是直接建立关于x,y之间关系的方程，而是先寻找x,y与中间变量x0,y0之间的关系，利用已知关于x0,y0之间关系的方程，得到关于x,y之间关系的方程.这种利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法.
②如果求得点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆.
③由本题结论可以看到，将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆.
例4 已知F是椭圆25x2+16y2=400在x轴上方的焦点，Q是此椭圆上任意一点，点P分所成的比为2，求动点P的轨迹方程.
解：把已知椭圆方程变为
从而焦点F的坐标为（0，3）设点P坐标为（x,y），Q点的坐标为（x1,y1）,则 25x12+16y 12=400 ①
由P分所成比为2，得∴x1=3x, y1=3y－6 代入①得：
225x2+144y2－576y+176=0.
Ⅲ.课堂练习：
1．椭圆 上一点 到一个焦点的距离等于3，则它到另一个焦点的距离为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
2．椭圆 的焦距是2，则 的值等于（ ）
A．5或3 B．5 C．8 D．16
3．焦点坐标为（0，－4）、（0，4）， 的椭圆的标准方程为_________________．
4．已知椭圆 ， 、 是它的焦点， 是过 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的周长为__________________．
答案：1．B 2．A 3． 4．
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家进一步熟悉椭圆的定义与标准方程，并能熟练掌握它们的应用.
●课后作业
P53习题2.2 B组 1，2§2.3.2 双曲线的简单几何性质（1）
●教学目标
1.掌握双曲线的几何性质
2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程.
●教学重点
双曲线的几何性质
●教学难点 双曲线的渐近线
●教学过程
I.复习回顾：
师：上一节，我们学习了双曲线的标准方程，这一节，我们要根据它来研究双曲线的几何性质.同学们可以按照研究椭圆几何性质的方法和步骤，自己推出双曲线的几何性质，然后与课文对照，所以，我们来回顾一下研究椭圆的几何性质的方法与步骤.（略）
II.讲授新课：
1.范围：
双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内.
2.对称性：
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.
3.顶点：
双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.
线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
4.渐近线
①我们把两条直线y=±叫做双曲线的渐近线；
②从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与直线y=±逐渐接近.
③关于“渐近线”的说明：
可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但永远不等于0
④等轴双曲线：
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
5.离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e=，叫双曲线的离心率.
说明：①由c>a>0可得e>1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
列表：
（教师说明实轴、虚轴、实半轴长、虚半轴长）．
师：为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质，我们来看下面的例题.
例3 求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：把方程化为标准方程..由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.
.焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.离心率.
渐近线方程为，即.
例4双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的
最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.
解：如图，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴，且=13×2 (m)，=25×2 (m).
设双曲线的方程为 （a>0,b>0）
令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以解方程组
由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得
化简得 19b2+275b－18150=0 （3）解方程（3）得 b≈25 (m).
所以所求双曲线方程为：
说明：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要解决以下两个问题；（1）选择适当的坐标系；（2）将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.
说明：此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不同点.可让学生比较得出（作为练习）.
III.课堂练习：
（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质.
（2）课本练习 P66 练习1，2
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质.
● 课后作业P66 习题2.2 A组1，2，4 B组 1，2 §2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
●教学目标
１．熟悉椭圆的几何性质；
２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程；
３．了解椭圆在科学研究中的应用．
●教学重点：椭圆的几何性质应用
●教学过程：
Ⅰ、复习回顾：
利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．
Ⅱ、讲授新课：
例5 如图2.2—11，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知 ， 试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到0.1cm）
解：如图2.2—11，建立直角坐标系， 设所求它的标准方程为，
则中，
由椭圆的性质知， 所以
所以，所求椭圆的方程是
例6．点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是常数，求点 的轨迹．
解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合
由此得．
将上式两边平方，并化简得
即
所以，点M的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆
说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点 与焦点 的距离和它到定直线的距离的比是常数 （为椭圆的离心率）。其中定直线叫做椭圆的准线。
对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是 ，所以椭圆有两条准线．
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．
Ⅲ、课堂练习：
课本Ｐ52，练习 ５
再练习：已知椭圆 上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为 ．）
●课后作业
P53习题A组６，9，10
思考： 已知椭圆 内有一点 ， 是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使 的值最小，求 的坐标．（如图）
分析：若设 ，求出 ，再计算最小值是很繁的．由于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法．
解：设 在右准线 上的射影为 ．
由椭圆方程可知 ， ， ．
根据椭圆的第二定义，有 即 ．
∴ ．显然，当 、 、 三点共线时， 有最小值．过 作准线的垂线 ．
由方程组 解得 ．即 的坐标为 ．§2.4.1 抛物线及其标准方程（1）
●教学目标
1．掌握抛物线的定义及其标准方程；
2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；
3．认识抛物线的变化规律.
●教学重点
抛物线的定义及标准方程
●教学难点
区分标准方程的四种形式
●教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：我们知道，与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线.
师：下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程.
Ⅱ.讲授新课：
1．抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程.
2．抛物线的标准方程：
①推导过程：
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合.
设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为（，准线l的方程为
设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合
将上式两边平方并化简，得y2=2px ①
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是它的准线方程是
②抛物线标准方程的四种形式：
师：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px,x2=2py,x2=－2py.这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：
图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
师：下面，我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系.
例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.
解：（1）因为p=3,所以焦点坐标是准线方程是
（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.
说明：此题是抛物线标准方程的直线应用，要求学生熟练掌握.
Ⅲ.课堂练习：
课本练习 P73 1，2，3
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家掌握抛物线的定义及其标准方程，并掌握抛物线的焦点、准线及方程的相互关系，并能应用它解决一些相关问题.
●课后作业 P78 习题2.4 1，2，3§2.4.2 抛物线的简单几何性质（1）
●教学目标
1.掌握抛物线的几何性质;
2.能根据几何性质确定抛物线的标准方程;
3.能利用工具作出抛物线的图形.
●教学重点 抛物线的几何性质
●教学难点 几何性质的应用
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
简要回顾抛物线定义及标准方程的四种形式(要求学生回答)
师:这一节,我们根据抛物线的标准方程 ①来研究它的几何性质
Ⅱ.讲授新课
1. 范围
当x的值增大时,也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.(但应让学生注意与双曲线一支的区别,无渐近线).
2.对称性 抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫抛物线的轴.
3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫抛物线的顶点.即坐标原点.
4.离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫抛物线的离心率,用e表示.由抛物线定义可知,e=1.
总结：
标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率
轴
轴
轴
轴
师:下面,大家通过问题来进一步熟悉抛物线的几何性质.
例3.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),求它的标准方程。
分析：由已知条件求抛物线的标准方程时,首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型,再求出方程中的参数P.
解:因为抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,并且经过点M(2,-2),所以可设它的标准方程为:因为点M在抛物线上，所以，即，因此所求方程是
说明：①利用抛物线的对称性可以简化作图步骤；
②抛物线没有渐近线；
③抛物线的标准方程中的几何意义：抛物线的通径，即连结通过焦点而垂直于轴直线与抛物线两交点的线段.
例4 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.
分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的.
解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），
所以直线AB的方程为y=x－1. ①
将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0
解之得：
将x1，x2的值分别代入方程①中，得
即A、B坐标分别为、.
解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x=－1的距离同理于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1＋x2＋2.
由此可以看到，本题在得到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x1＋x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8.
说明：解法二 由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.
例5过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴。
证明：如图，以抛物线的对称轴为轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线的方程为： ①
点的坐标为，则直线的方程为 ②
抛物线的准线方程是 ③
联立②③，可得点的纵坐标为： ④
因为点的坐标是，所以直线的方程为 ⑤
其中
联立①⑤，可得点的纵坐标为 ⑥
由④⑥可知，∥轴，当时，结论显然成立，所以直线平行于抛物线的对称轴。
Ⅲ.课堂练习
课本练习1,2.
●课堂小结
师:通过本节学习,要求大家掌握抛物线的几何性质,并在具体应用时注意区分抛物线标准方程的四种形式.
●课后作业 P78习题A 4，5，6 §2.2.2 椭圆的简单几何性质(3)
●教学目标
熟悉椭圆的几何性质；利用椭圆的几何性质解题
●教学重点：椭圆的几何性质应用
●教学过程：
例7 已知椭圆，直线。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
分析：作出直线及椭圆。观察图形，可以发现，利用平行直线且与椭圆只有一个交点的直线，可以求得相应的最小距离。
解：设直线平行于直线，则直线的方程可写成 ……①
由方程组
消去得： …………②
令方程②的根的判别式△=0，得…………………③
解方程③得
由图可知，当时，直线与椭圆交点到直线的距离最近，此时直线的方程为，直线与直线的距离
所以，最小距离是。
例8 已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为 ，求椭圆的方程．
解：设所求的椭圆方程为 ，
由 得 ①
把直线方程 代入椭圆方程，整理得
设弦的两个端点为 ， ，则由根与系数关系得．
又 中点的横坐标为 ．∴ ．得 ②
解①，②得 ， ．故所求椭圆的方程为 ．
Ⅲ、课堂练习：
课本Ｐ52，练习 6（答案：（1） 相切 （2） ， ，相交．）
再练习： 如果椭圆 的弦被点 平分，求这条弦所在的直线的方程？
（答案：）
●课后作业
P53习题A组8，B组2，3
