§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课 题：空间向量的基本定理
教学目标：
1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
教学重点：空间向量的基本定理及其推论
教学难点：空间向量的基本定理唯一性的理解
教学过程：
一、创设情景
平面向量基本定理的内容及其理解
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，
使
二、新课讲授
1、空间向量的基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使
证明：（存在性）设不共面，
过点作过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使
∴
所以
（唯一性）假设还存在使
∴∴
不妨设即 ∴
∴共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一
综上两方面，原命题成立（注：上述证明不须给学生讲授）
由此定理， 若三向量不共面，那么空间的任一向量都可由线性表示，所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作是由向量生成的，我们把{}叫做空间的一个基底，叫做基向量。
注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．
特别地，设、、为由公共起点的三个两两互相垂直单位向量，称这个基底为单位正交基底，以 、、的公共起点为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系。那么，对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量。有空间向量基本定理可知，存在有序实数组，使得，我们把称作向量在单位正交基底、、下的坐标，记作
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使
有空间向量定理可知，空间任意一个向量都可以用不共面的向量表示出来，这能为解决问题带来方便。
三、典例分析
例1 （课本例4）如图，、分别是四面体的边、的中点，、是的三等分点。用向量、、表示和。
解：
=
例2如图，在正方体中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，试分别用向量表示和
解：
例3 如图，已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量
解：
∴
四．课堂练习
课本
五、回顾总结
六、布置作业
O
A/
C
M
E
D/
B/
A
D
B§3.2立体几何中的向量方法（7）
课 题：空间的距离
教学目标：能用向量方法进行有关距离的计算
教学重点：向量方法求距离
教学难点：向量方法求距离
教学过程
一、创设情景
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
二、新课讲授
1、两点间的距离公式
设空间两点，则
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模。
4、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P到平面的距离d等于在方向上正射影向量的模。
（2）先求出平面的方程，然后用点到平面的距离公式：点P（x0,y0,z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离d为：d= EQ \F(︱A x0+B y0+C z0+D︱, )
三、典例分析
例1 直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=，底面ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=1，求点B1到平面A1BC的距离。
解1：如图建立空间直角坐标系，由已知得直棱柱各顶点坐标如下：
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0,），B1（0,1,），C1（0,0,）
∴ =（－1,1,－）， =（－1,0,－） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2 建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
(a,b,c,d不全为零)，把点A1，B，C三点坐标分别代入平面方程得平面A1BC的方程为x+z=0
又 B1（0,1,），设点B1到平面A1BC的距离为d，则
d= EQ \F(︱x0+1 x0+︱, EQ \R(,() ) = EQ \F(,2)
例2（2006年福建卷）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
解：（I）略
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
例3（2005福建卷理第20题）如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离。
解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，
建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， ，
在的中点，
设平面AEC的一个法向量为，则解得
令得是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，∴点D到平面ACE的距离
四、回顾总结
向量法求距离
五、布置作业
PAGE§3.1.1～§3.1.2空间向量及其运算（1）
教学目标：
1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的运算及其性质；
3．理解空间向量共线的充要条件
教学重点：空间向量的概念、空间向量的运算及其性质；
教学难点：空间向量的运算及其性质。
教学过程：
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；
2、物体的受力情况分析
如图3.1-1，一块均匀的正三角形钢板，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且。这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？
图3.1-1中的三个力、、是既有大小又有方向的量，它们是不在同一平面内的向量。因此，解决这个问题需要空间向量的知识。事实上，不同在一个平面内的向量随处可见。例如，正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量、、就是不在同一平面内的向量（图3.1-2 ）
二、新课讲授
1．空间向量的概念：
⑴．在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。如：上述力、、；三个向量、、都是空间向量。
⑵．向量的表示：几何表示法:用有向线段表示；字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。（与空间向量一样）
⑶．零向量、单位向量、相反向量、相等向量。
⑷．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。
2．空间向量的加减运算：
加法运算：三角形法则和平行四边形法则
减法运算：三角形法则
3．加法运算律：交换律、结合律
加法交换律：
加法结合律：
4．空间向量的数乘运算：,k为正数,负数,零；
数乘分配律：
数乘结合律：
5．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．
当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
6．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.
推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 ．其中向量叫做直线的方向向量.
三、典例分析
例1 如图，在三棱柱中，M是的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）;
（2）;
（3）
解：
（1）
（2）
（3）
例2 如图，在长方体中，，点E,F分别是的中点，设,试用向量表示和
解：
四．课堂练习
已知空间四边形，连结，设分别是的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）；
（2）；
（3）．
五．回顾总结
空间向量的定义与运算法则
六．布置作业
图3.1-1
图3.1-2
A
B
C
A1
B1
C1
O
A/
C
F
E
D/
B/
A
D
B§3.2立体几何中的向量方法（4）
课 题：空间的角的计算（1）
教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题
教学重点：异线角与线面角的计算
教学难点：异线角与线面角的计算
教学过程
一．创设情景
1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法
2、向量的夹角公式
二．新课讲授
1、法向量在求线面角中的应用：
原理：设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。
2、法向量在求面面角中的应用：
原理：一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。
三．典例分析
例1 在正方体中,E1，F1分别在A1B1,,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的大小。
解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角
解2：（向量法）设，则且
解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系
,，＝15
例2 在正方体中, F分别是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的大小
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
为D1AC平面的法向量，
所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为
补充例题 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB= ( http: / / www. / wxc / )
（1）求证：SC⊥BC；
（2）求SC与AB所成角的余弦值 ( http: / / www. / wxc / )
解：如图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，
得B（0,,0）、S（0,0,2）、C（2,,0），
∴ =（2,,-2），=（－2,,0） ( http: / / www. / wxc / )
（1）∵·=0，∴SC⊥BC ( http: / / www. / wxc / )
（2）设SC与AB所成的角为α，
∵=（0,,0），·=4，||||=4，
∴cosα=，即为所求 ( http: / / www. / wxc / )
四．课堂练习
五．回顾总结
求异线角与线面角的方法
六．布置作业
F
E1
z
y
C1
C
B
D
A
B1
D1
x
A1
G
H
F1
E1
z
y
C1
C
B
D
A
B1
D1
x
A1§3.2立体几何中的向量方法（2）
课 题：空间线面关系的判定（1）
教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；
3．能用向量方法判断空间线面垂直关系。
教学重点：用向量方法判断空间线面垂直关系
教学难点：用向量方法判断空间线面垂直关系
教学过程
一、创设情景
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义
二、新课讲授
立体几何要解决的主要是空间图形的形状、大小及其位置关系。其中颠倒直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的主要问题。空间向量的运算，特别是数量积涉及向量的模以及向量之间的夹角。像前面说的那样，我们可以把点、直线、平面用向量表示，然后利用向量的运算（特别是数量积）解决电、直线、平面之间的夹角与长度等问题。
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
直线、平面 平 行 垂 直
与
与
与
2、相关说明：
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，判断的依据是相关的判定与性质，要理解掌握。
三、典例分析
例1 如图3.2-3，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
分析：如图3.2-3，由于平行六面体的棱之间具有平行关系，所以以为起点的三个向量可以将各棱有向量表示，根据题设，不妨设这三个向量的模都等于1，为了求出对角线的长，可以将用与棱有关的向量表示出来。
图3.2-3
解：如图3.2-3，设，
化为向量问题
根据向量的加法法则，
进行向量运算
==6
所以
回到图形问题
这个晶体的对角线的长是棱长的倍．
例2 在直三棱柱中，, ,是得中点。求证：
证明：如图，建立空间坐标系，
则
，∴
总结：用向量证明比几何方法证明简单、明了。
四．课堂练习：
棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？
解：以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P（0，0，z），
=(-a,0,z)，=(-a,a,0)，=(a,a,a)，∵B1D⊥面PAC，∴，∴－a2+az=0 ( http: / / www. / wxc / )∴z=a，即点P与D1重合 ( http: / / www. / wxc / )
∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC ( http: / / www. / wxc / )
五．回顾总结
本课主要研究垂直问题
六．布置作业
A
B
C
A1
B1
C1
M
y
z
x§3.1.3空间向量的数量积运算
教学目标：
1．掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；
2．会用空间向量的数量积解决有关垂直的问题。
教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律
教学难点：用空间向量的数量积解决有关垂直的问题
教学过程
一．创设情景
1、空间直角坐标系中的坐标；
2、空间向量的直角坐标运算律；
3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。
二．新课讲授
1、夹角
定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作，则叫做向量与向量的夹角，记作
规定：
特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作。
2、数量积
已知两个非零向量是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，记作，即＝
特别的，
3、空间向量的数量积的运算律
（交换律）
（分配律）
三．典例分析
例1 （课本例2）证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）
已知：如图, 、分别是平面的垂线、斜线，O为斜足，是在平面的的射影，，
求证：
分析：用向量方法证明这个命题时，只需证明直线的方向向量与的数量积为0．由于与，构成一个三角形，且，又已知，，命题容易得证．
证明：取直线的方向向量，同时取与．
因为，所以
因为，且，所以
因此
又因为
所以
例2 （课本例3）如图，、是平面内的两条相交直线，如果，求证：求证：
（直线于平面垂直的判定定理）
已知：，
求证：
证明：在内任作一条直线，在直线上分别取非零向量，
因为、是平面内的两条相交直线，所以不平行．由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序数对，使
将上式两边与向量作数量积，得
因为，所以
可得即
这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以
四．课堂练习
五．回顾总结
六．布置作业§3.2立体几何中的向量方法（5）
课 题：空间的角的计算（2）
教学目标：
能用向量方法解决二面角的计算问题
教学重点：二面角的计算
教学难点：二面角的计算
教学过程
一、创设情景
1、二面角的定义及求解方法
2、平面的法向量的定义
二、新课讲授
利用向量求二面角的大小。
方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）
如图：二面角α-l-β的大小为θ，
A，B∈l，ACα，BDβ, AC⊥l，BD⊥l
则θ=<, >=<, >
方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。
如图：已知二面角α-l-β，在α内取一点P，
过P作PO⊥β，及PA⊥l,连AO，
则AO⊥l成立，∠PAO就是二面角的平面角
用向量可求出|PA|及|PO|，然后解三角形PAO
求出∠PAO。
方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。
如图（1）P为二面角α-l-β内一点，作PA⊥α，
PB⊥β，则∠APB与二面角的平面角互补。
三、典例分析
例3 （课本例2）如图3.2-4，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，从，到直线（库底与水坝的交线）的距离和分别为和，的长为，的长为，求库底与水坝所成二面角的余弦值．
分析：所求二面角的平面角就是图3.2-4中直线，所成的角或它的补角．因此，我们首先根据题设，用向量表示线段和的方向，然后利用向量的数量积求出这个角．
解：如图3.2-4，，，，
化为向量问题
根据向量的加法法则，
进行向量运算
于是，得
设向量与的夹角为，就是库底与水坝所成二面角．
因此，，所以
回到图形问题
库底与水坝所成二面角的余弦值为
例4 在正方体中,求二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（法一）,，
（法二）求出平面与平面的法向量
，
例5 已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：
（1）A1D与EF所成角的大小；
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；
（3）二面角的大小。
解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz
（1），
，
A1D与EF所成角是
（2）,，
（3）,，
二面角的正弦值为
四、回顾总结
1、二面角的向量解法
2、法向量的夹角与二面角相等或互补的判断
五、布置作业
六．布置作业
图3.2-4
F
E
z
y
C1
C
B
D
A
B1
D1
x
A1
E
z
y
C1
C
B
D
A
B1
D1
x
A1
l
B
A
P§3.1.5空间向量运算的坐标表示
教学目标：
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
教学重点：空间向量的坐标运算
教学难点：空间向量的坐标运算
教学过程：
一．创设情景
1、平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的
坐标， 特别地，，，
二．新课讲授
1、空间直角坐标系：（让学生了解即可，重点知道坐标表示）
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，
这个基底叫单位正交基底，用表示；
2、空间直角坐标系中的坐标：
如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．
在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯
一的有序实数组，使，有序实数组
叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记
作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．
3、空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，
则，
，
，
；
（2）在空间直角坐标系中，已知点，，
则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（3）两点间的距离公式：若，，
则，
或．
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。
三．典例分析
例1 （课本例5）如图，在正方体中，，分别是，的一个四等分点，求与所成角的余弦值．
分析：与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，我们可以通过，的坐标表示，计算出它们的数量积与模，进而求出它们所成角的余弦值．
解：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，，，
所以
，
所以
因此，与所成角的余弦值是．
例2 （课本例6）如图，正方体中，，分别是，中点，求证：
证明：如图，不妨设正方体的棱长为1，分别以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系，则，
所以，又，，
所以
所以，
因此，即
例3 已知，，
求：（1）线段的中点坐标和长度；
（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件
解：（1）设是线段的中点，则．
∴的中点坐标是；；．
（2）∵ 点到两点的距离相等，
则,
化简得：,所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是．
点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段AB的中垂面，若将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发现与共线。
四。课堂练习
课本
五．回顾总结
空间向量的坐标表示及其运算
六．布置作业预备知识
课 题：平面向量知识复习
教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备
教学重点：平面向量的基础知识
教学难点：运用向量知识解决具体问题
教学过程：
一、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算
1、向量的运算及其性质：
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1平行四边形法则2三角形法则
向量的减法 三角形法则
向量的乘法 1是一个向量,满足:2>0时,与同向;<0时,与异向;=0时, =0 ∥
向量的数量积 是一个数1或时, =02且时,
2、平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 ；
注意,的几何意义
3、两个向量平行的充要条件：
⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件：
⑴ 的充要条件是： ；（向量表示）
⑵ 若，则的充要条件是： ；（坐标表示）
三、课堂练习
1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则ABC是（ ）
A．以AB为底边的等腰三角形 B．以BC为底边的等腰三角形
C．以AB为斜边的直角三角形 D．以BC为斜边的直角三角形
2．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．在四边形ABCD中，＝，且·＝0，则四边形ABCD是（ ）
A． 矩形 B． 菱形 C．直角梯形 D．等腰梯形
4．已知，，、的夹角为，则以，为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足，
则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．若上的投影为 。
8．向量，且A，B，C三点共线，则k＝ ．
9．在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则=
10．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是__________。§3.1.1～§3.1.2空间向量及其运算（2）
课 题：共面向量定理
教学目标：
1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；
教学重点：共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题
教学过程：
一．创设情景
1．关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
二．新课讲授
1、 共面向量的定义：
一般地，平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
（另：能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；）
理解：若为不共线且同在平面内，则与共面的意义是在内或
2、共面向量的判定
平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有
共面向量定理 如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在有序实数组，使得
这就是说，向量可以由不共线的两个向量线性表示。
三．典例分析
例1 如图3.1-10，已知平行四边形，过平面外一点作射线、、、，在四条射线上分别取点、、、，并且使，求证：、、、四点共面
分析：欲证、、、四点共面，只需证、
、共面。下面我们利用、、共面来证明。
证明:∵
∴,,
,
由于四边形是平行四边形，所以
因此==
==
由向量共面的充要条件知、、、四点共面
引申证明：例1条件不变，证明：平面AC//平面EG。
例2如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且.求证：MN//平面CDE
证明：=，又与不共线根据共面向量定理，可知共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
引申：例2 设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系（其中x+y+z=1）试问：P、A、B、C四点是否共面？
解：由可以得到
，由A,B,C三点不共线，可知与不共线，所以,,共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面。
解题总结：推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：，或对空间任意一点O有：。
四．课堂练习
⑴已知非零向量不共线，如果，求证：A、B、C、D共面。
⑶课本
五．回顾总结：1、共面向量定理；2、类比方法的运用。
六．布置作业
B
M
N
A
D
C
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
E
F
N
M§3.2立体几何中的向量方法（3）
课 题：空间线面关系的判定（2）
教学目标：
1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；
2．能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。
教学重点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系
教学难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系
教学过程
一、复习引入
1、用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论
平 行 垂 直
与
与
与
二、典例分析
例4 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面
证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c
又平面CDE的一个法向量，由，得到
因为MN不在平面CDE内，所以NM//平面CDE
例5在正方体中,E,F分别是BB1,,CD中点，求证：D1F平面ADE
证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D-xyz，则
,，因为
所以，
，所以平面
补充： (2004年湖南高考理科试题)如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中, ，点E在PD上,且PE:ED= 2: 1.
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一点F, 使BF∥平面AEC 证明你的结论.
该问为探索性问题，作为高考立体几何解答题的最后一问，用传统方法求解有相当难度，但使如果我们建立如图所示空间坐标系，借助空间向量研究该问题，不难得到如下解答：根据题设条件，结合图形容易得到：
假设存在点F，。
又， ，则必存在实数使得，把以上向量得坐标形式代入得
即有
所以，在棱PC存在点F，即PC中点，能够使BF∥平面AEC。
本题证明过程中，借助空间坐标系，运用共面向量定理，应用待定系数法，使问题的解决变得更方便，这种方法也更容易被学生掌握。
四．回顾总结
综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直
五．布置作业
六．布置作业
z
y
x
F
E
D
C
B
A
x
F
z
y
x
P
E
D
C
B
A
F
E
z
y
C1
C
B
D
A
B1
D1
x
A1
N
M§3.2立体几何中的向量方法（1）
课 题：直线的方向向量与平面的法向量
教学目标：
1．理解直线的方向向量和平面的法向量；
2．会用待定系数法求平面的法向量。
教学重点：直线的方向向量和平面的法向量
教学难点：求平面的法向量
教学过程
一、创设情景
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线平行与垂直的判定；
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？
二．新课讲授
如图3.2-1（1），在空间中，我们取定一点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以由向量来表示，我们把向量称为点的位置向量。
1、直线的方向向量（如图3.2-1（2））
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量
2、平面的法向量（如图3.2-1（4））
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量。给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的。
图3.2-1
空间平面的位置可以由内两条相交直线来确定，如图3.2-1，设着两条直线相交于点，它们的方向向量分别为和，为平面上任意一点，有平面向量基本定理可知，存在有序数对，使得，这样，点与向量和不仅可以确定平面的位置，开可以具体表示出平面内的任意一点．
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系。
例如：如图，设直线的方向向量是，平面的法向量，则
（图3.2-2（1））
，，（图3.2-2（2））
三.典例分析
例1 在正方体中，求证：是平面的法向量
证：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系
，，
，所以,同理
所以平面,从而是平面的法向量。
例2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。
解：由题意可得,
即,化简得
四．课堂练习
1．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
五．回顾总结
1、直线得方向向量与平面法向量得概念；
2、求平面法向量得方法
六．布置作业
（1） （2） （3）
图3.2-2
A1
D1
B1
A
D
B
C
C1
x
y
z§3.2立体几何中的向量方法（6）
课 题： 立体几何中的向量方法的实际应用
教学目标： 立体几何中的向量方法的实际应用
教学重点： 立体几何中的向量方法的实际应用
教学难点： 立体几何中的向量方法的实际应用
教学过程
一、创设情景
1、利用向量的运算（特别是数量积）解决点、线、面的位置关系；
2、利用空间向量的运算求线面角、二面角等夹角的问题．
二．典例分析
例1 （课本例3）如图3.2-5，一块均匀的正三角形面的钢板的质量为，在它的顶点处分别受力、、，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是，且。这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？
分析：钢板所受重力的大小为，垂直向下作用在三角形的中心，如果能将各顶点出所受的力、、用向量形式表示，求出其合力，就能判断钢板的运动状态。
解：如图3.2-6，以点为原点，平面为坐标平面，方向为轴正方向，为轴的单位长度，建立空间直角坐标系，则正三角形的顶点坐标分别为
，，
设方向上的单位向量坐标为，由于与，的夹角均为，利用向量的数量积运算，得 ①
②
由①，②解得 ，
注意到向量是单位向量，，
因此，
于是；；
这样，它们的合力
这说明，作用在钢板的合力方向向上，大小为，作用点为。
由于所以钢板仍静止不动，要提起这块钢板，设均为，则需，解得，因此，要提起这块钢板， ，，均要大于．
例2 （课本例4）如图3.2-7，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：∥平面；
（2）求证：⊥平面；
（3）求二面角的大小．
分析：本题涉及的问题包括：判定直线与平面平行和垂直，计算二面角的大小．这些问题都可以利用向量方法解决．由于已知条件中四棱锥的底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，所以非常适合建立直角坐标系表示向量．
解：如图3.2-8所示建立空间直角坐标系，点为坐标原点，设．
（1） 证明：连接，交于点，连接．
依题意得，，
因为底面是正方形，所以点是此正方形的中心，
故点的坐标为，且
，
所以，即，
而平面，且平面，
所以∥平面
（2） 证明：依题意得，
又，故，所以，由已知，
且∩，所以⊥平面．
（3） 解：已知，由（2）可知，故是二面角的平面角．
设点的坐标为，则，因为
所以，即，，．
因为，所以
所以，点的坐标为，又点的坐标为
所以，因为
所以，即二面角的大小为．
四、回顾总结
1．
2．解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量方法、坐标方法．
五、布置作业
六．布置作业
把运算结果“翻译”成相应的几何意义
进行空间向量的运算，研究点、直线、平面之间的关系
用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素
图3.2-6
图3.1-5
