2023 钦州市第六中学高二数学期中考试试卷
(1 24. )8的展开式的第3项的系数是( )
考试时间：120 分钟； x
A.112 B. 112 C. 28 D.28
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 5.四名获奖学生可以从钢笔、文具盒、精美水杯、笔记本等四种奖品中，挑选一份送给自己，
2．请将答案正确填写在答题卡上 每人限选一份，不同的选择方法共有（ ）
第 I 卷（选择题） A.7 种 B.256 种 C.6 种 D.12 种
6. ( 2 x )8 的展开式中的不含x
4项的系数的和为( )
一、单选题
f ( x + 3 ) f ( 3 ) A.1 B.0 C. 1 D.2
1． f ( x ) =1 2x,,则 lim = ( )
x→0 x
A. 6 B.2 C. 2 D.6 7.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的
概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
2.小明早晨赶往 1 公里外的学校，开始时选择搭乘同学的自行车，加速行进，中途经过早餐
店，停下来休息，吃完早餐后，匀速步行到达学校，与以上事件吻合得最好的图像是（ ） A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
8.袋中有大小相同的 5 个球，分别标有 1,2,3,4,5 等五个号码，现在在有放回抽取的条件下依
次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量 X，则 X 所有可能取值的个数是（ ）
A.5 B.9 C.10 D.25
二、 多选题
9.下列选项正确的是（ ）
A.y ln 2,则y′ 1 B. f ( x ) 1 ,则f ′( 3 )= 23.如图所示是函数 y = f ( x )的图像，其中 f ′( x ) 为 f ( x )的导函数，则下列大小关系正确的是 = = =
2 x2
27
（ ）
C.y = 2x ,则y′ = 2x ln 2 D.y=log2x,则y′
1
=
x ln 2
10.某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共 6 个
班，其中只有 1 班有 2 个劳动模范，本次义务劳动一共 20 个名额，劳动模范必须参加并不
占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）’
A． 若 1 班不再分配名额，则共有C 420 种分配方法
B． 若 1 班有除劳动模范之外学生参加，则共有C5 种分配方法
A. f ′( 3 ) > f ′( 2 ) > f ′(1) B. f ′( 2 ) > f ′( 3 ) > f ′(1) 19
C. f ′( 3 ) > f ′(1) > f ′( 2 ) D. f ′( 2 ) > f ′(1) > f ′( 3 ) C． 若每个班至少 3 人参加，则共有 90 种分配方法
D． 若每个班至少 3 人参加，则共有 126 种分配方法
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姓名： 班别： 考号：
密 封 线
1 24 18.某班两位老师和 6 名学生出去郊游，分别乘坐两台车，每台车坐 4 人。 11.在( x + ) 的展开式中，下列说法正确的是( )
3 x （1）若要求两位老师分别坐在两台车上，问共有多少种分配方法
12 5 k （2）郊游结束后，大家在景点合影留念，若要求 8 人站成一排且两名老师不能相邻，问共
A.展开式中各项的通项公式为T kk+1 =C24 x 6 有多少种站法？（列式并说明）
B.展开式中各项的系数等于其二项式系数
C.x的幂指数是整数的项共有5项
19.已知 (1+mx )10 = a + a x + a x2 + + a x100 1 2 10 ，其中m ≠ 0，且 a6 +14a3 = 0 D.展开式中存在常数项
（1） 求实数 m 的值
12.两批同种规格的产品，第一批占 30%，次品率为 3%；第二批占 70%，次品率为 6%，将这 （2） 求 a2 + a4 + a6 + a8 + a10
两批产品混合后，从中任取 1 件，则下列说法正确的是（ ）
20. 已知随机变量 X ~N( ,σ 2 ) ,且其正态曲线在 ( ∞,80 ) 上是增函数,在 (80,+∞ ) 上是减函
A．这件产品是合格品的概率为 0.949
B．这件产品是次品的概率为 0.949 数,且 P( 72 ≤ X ≤ 88 ) ≈ 0.6827 .
291
C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为
949 (1)求参数 ,σ 的值.
291
D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 (2)求 P( 64 ≤ X < 72 ) .
949
2
附:若 X ~N( ,σ ) ,则 P( σ ≤ X ≤ +σ ) ≈ 0.6827,P( 2σ ≤ X ≤ + 2σ ) ≈ 0.9545
第 II 卷（非选择题）
21. 防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了 n
三、填空题
株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为 p，设 X 为成活沙柳的株数，期望
13.若函数f ( x ) = ex sin 2x,则f ′( 0 ) = .
E (X ) = 3，方差D (X ) 3= ．
2
14.五名工人各自在 3 天选择 1 天休息，不同方法的种数是 .
(1)求 n 和 p 的值，并写出 X 的分布列.；
15.将两个骰子各掷一次，设事件 A=“二个点数都相同”，B=“至少出现一个 5 点”，则
(2)若有 3 株或 3 株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
P( B A ) = .
16. 已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的 4 倍，设随机变量 X 为他投篮一次
22. 设函数 f ( x ) = ex 1 x ax2 ．
命中的个数，则 X 的期望是 .
（1）若 a = 0 ，求 f ( x )的单调区间；
（2）若当 x≥0 时， f ( x )≥0，求 a 的取值范围．
四、解答题：
17.已知函数 y = x ln x
（1）求这个函数的导数
（2）求这个函数的图像在点（1，0）处的切线方程
第 3 页 / 共 4 页 第 4 页 / 共 4 页一、 选择题
1-5CADAB 6-8.CAB
9.BCD 10.BD 11.ABC 12.AC
二、 填空题
13.2
14. 35 / 243
1
15. 6
4
16. / 0.85
解析
lim f ( x + 3 ) f ( 3 ) = f ′( 3 )
1. x→0 x
f ′( x ) = 2
∴ f ′( 3 ) = 2
故选 C
2.（1）加速行进——瞬时变化率增大——斜率增大， tanα → tan900
（2）中途停下来休息——行进距离不增不减——与 x 轴平行
（3）匀速前进——平均变化率不变——斜率不变
故选 A
3.
在x∈( ∞,-1)上是单调递增 f ′( x ) > 0
f ( x )
在x∈( 2,4 )上是单调递减 f ′( x )< 0
∴ f ′( 2 ) > 0 > f ′( 3 )
又 f ( x )在x =1处可以取到极小值
∴ f ′(1)=0
∴ f ′( 2 ) > f ′(1) > f ′( 3 )
故选 D
4
(1 2 )8的通项:
x
k
k 8 k 2 k k k 1 k k k Tk+1 =C8 1 ( ) =C8 ( 2 ) ( ) =C ( 2 ) x 2x x 8
.第三项 k+1=3
∴k = 2
T2+1 ==C
2( 2 )2 x 1 8×7 4 1 18 = × × =112 2×1 x x
故选 A
5
奖品一共有钢笔、文具盒、水杯、笔记本四种
且每种奖品数量无限制
.
∴四名获奖学生，每个人都可以从四种奖品中任选一种
∴共有4×4×4×4 = 44 = 256种
故选 B
6.
令x =1 ( 2 x )8的系数和为( 2 -1)8 =1
k
( 2 x )8的通项：T k 8 k k k 8 k k 2k +1 =C8 2 ( x ) =C8 2 ( 1) x
" x4 " k = 4 k = 8
2
∴T 8 0 8 48+1 =C8 2 ( 1) x = x
4
∴( 2 x )8的展开式中的不含x4项的系数的和为1 1= 0
故选 B
7.设事件 A=“一天的空气质量为优良”
事件 B=“随后一天的空气质量为优良”
P( B A ) P( AB ) 0.6= = = 0.8
P( A ) 0.75
故选 A
8.依次从袋中有放回地摸两个球，所以每次摸到球的可能性都是五个号码（可重复排列）
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
因此，X 的取值有 2,3,4,5,6,7,8,9,10，共 9 个
故选 B
9.
A. ln 2是常数 ∴(ln 2 )′ = 0
B. 1 f ( x ) = = x 2 ∴ f ′( x ) = 2x 2 1 2=
x2 x3
∴ f ′( 3 ) 2 2= 3 = 3 27
C. y = 2x ∴ y′ = ( 2x )′ = 2x ln 2
D. y = log2 x ∴ y′
1
=
x ln 2
故选 BCD
10.
A．
20个名额 分 配 给 →6个班级
同A选项，C519
插板法：
一共 19 个空位，∴C 419
B．因为 1 班除劳动模范之外还有学生参加，且依据题干，劳动模范不算名额
B. ( x+ 1
5
)24
12 k
的通项：T k 6
3 x k+1
=C24x
各项的系数为：Ck 24
二项式系数为：Ck24
两者相等
C、D 选项.
因为 1 班已有 2 个劳动模范参加
先解决特殊元素，给其他 5 个班分配 2 个名额
20-5x2=10——剩余 10 个名额分配给 6 个班
插板法：
一共 9 个空位，∴C59 =126
故选 BD
11.
A. T =Ck ( x )24 kk+1 24 (
1 )k 1班不再分配名额
3 x
12 k k - ∴20个名额
分 配 给→5个班级
=Ck x 2 324 x
k k 又 名额属于相同元素12
=Ck 2 324x ∴属于相同元素分组分配
12 5k
=Ck 624x
5
C.x的幂指数是整数 1 24 12 kD.( x + ) 的通项：T k 6
3 x k+1
=C24x
1 24 k 12
5
k
( x+ ) 的通项：T 6
3 x k+1
=C24x 12 5∴ k = 0 且k∈N +
5 6
∴12 k∈N + ,且0 ≤ k ≤ 24,k∈N + ∴k无解
6
∴k = 0,6,12,18,24 共5项
故选.ABC
次品 “一次”
12. 第一批
正品 “一正”
次品 “二次”
第二批
正品 “二正”
次品 “三次” 第三批
正品 “三正”
设Ai ="取出的是第i批产品"，B ="取出的是合格品"
P( B ) = P( A1B )+ P( A2B ) = 30%×0.97 + 70%×0.94 = 0.949
设C ="取出的是次品"
P( C ) = P( A1C )+ P( A2C ) = 30%×3% + 70%×6% = 0.051
C、D 选项.
P( A B ) P( A B ) 30%×0.97 2941 = 1 = =P( B ) 0.949 949
P( A B ) P( A2B ) 70%×0.94 6582 = = =P( B ) 0.949 949
故选. AC
13.
f ′( x ) = ( ex )′ sin 2x + ex(sin 2x )′
= ex sin 2x + ex cos 2x( 2x )′
= ex sin 2x + 2ex cos 2x
= ex(sin 2x + 2 cos 2x )
∴ f ′( 0 ) = e0(sin0 + 2 cos 0 ) = 2
14.因为.当天休息几个工人无限制
所以.五个工人都可以从三天中选一天（可重复排列）
∴3×3×3×3×3 = 35( 243 )
15.
P( B A ) P( BA )=
P( A )
C1
P( A ) 6 6 1= 1 1 = =C6C6 36 6
P( BA ) 1=
36
P( B A ) 1∴ =
6
16.
x 0 1
P p 4p
p + 4 p =1
p 1 4∴ = ,4 p =
5 5
E( X ) = 0 1 +1 4 4 =
5 5 5
解答题
17.
（1）
y′ = ( x )′ln x + x(ln x )′ 1分
y′ = ln x +1 3分
（2）
y′ x=1 = ln1+1=1 2分
点(1,0)在切线上
y y0 =k( x x0 ) 1分
y 0=1×( x 1) 3分
y=x 1或x y 1= 0 2分
18.
（1）第一步：将 2 位老师安排在两辆车上： A22 1分
C3C3
第二步：因为每辆车只能坐 4人，所以 6名学生分成两组，每组 3人（不同元素均匀分组） 6 32 2分 A2
第三步：将分好组的学生分配到两辆车上 A22 1分
C3C3
∴A2 6 32 2 A
2
2 = 40 1分 A2
（2）“不相邻”——插空法
第一步：处理其他人， A66 2分
第二步：一共 7 个空位， A27 / C
2
7 A
2
2 2分
∴A6 A26 7 = 30240 1分
19.
(1)
a6 +14a3 = 0
T =Ck ( mx )k =Ck k kk+1 10 10m x 1分
∴a6 =C
6
10m
6 1分
a3 =C
3 3
10m 1分
∴C610m
6 +14C310m
3 = 0 1分
m3 ( C610m
3 +14C310 ) = 0
m3 ( 210m3 +14×120 ) = 0
m = 2或m = 0(舍 ) 2分
（2）
(1 2x )10 = a0 + a1x + a
2
2x + + a
10
10x 1分
令x=1 (1 2 )10 = a0 + a1 + a2 + a3 + + a9 + a10 ① 1分
令x= 1 (1+ 2 )10 = a0 a1 + a2 a3 + a9 + a10 ② 1分
① +② ,得：
2
( 1)10 + 310
= a0 + a2 + a4 + a6 + a8 + a10 1分2
令x=0 (1 2×0 )10 = a0 1分
a ( 1)
10 + 310 310
∴ 10
1
2 + a4 + a6 + a8 + a10 = 1 = 1分2 2
20. 已 知 随 机 变 量 X ~N( ,σ 2 ) , 且 其 正 态 曲 线 在 ( ∞,80 ) 上 是 增 函 数 , 在 (80,+∞ ) 上 是 减 函 数 , 且
P( 72 ≤ X ≤ 88 ) ≈ 0.6827 .
(1)求参数 ,σ 的值.
(2)求 P( 64 ≤ X < 72 ) .
附:若 X ~N( ,σ
2 ) ,则 P( σ ≤ X ≤ +σ ) ≈ 0.6827,P( 2σ ≤ X ≤ + 2σ ) ≈ 0.9545
（1）
正态曲线关于x = 80对称
∴ = 80 1分
P( 72 ≤ X ≤ 88 ) ≈ 0.6827
P( σ ≤ X ≤ +σ ) ≈ 0.6827
σ =72
∴ 1分
+σ =88
∴σ =8 1分
（2）
P( 2σ ≤ X ≤ + 2σ ) = P( 64 ≤ X ≤ 96 ) ≈ 0.9545 1分
正态曲线关于x = 80对称
∴P( X < 64 ) = P( X > 96 ) 1分
∴P( X < 64 ) 1≈ ×(1 0.9545 ) = 0.02275 2分
2
P( X ≥ 64 ) ≈1 P( X < 64 ) ≈ 0.97725 1分
P( 72 ≤ X ≤ 88 ) ≈ 0.6827
P( X < 72 ) 1= ×[1 P( 72 ≤ X ≤ 88 )] 1≈ ×(1 0.6827 ) = 0.15865 2分
2 2
∴P( X ≥ 72 ) =1 P( X < 72 ) ≈ 0.84135 1分
∴P( 64 ≤ X < 72 ) = P( X ≥ 64 ) P( X ≥ 72 ) ≈ 0.97725 0.84135 = 0.1359 1分
21.（1）
“各株沙柳的成活与否是相互独立”——二项分布
E( X ) = np,D( X ) = np(1 p ) 1分
E( X ) 3= 3,D( X ) =
2
np = 3
3 1分
np(1 p ) = 2
1
∴ p = ,n = 6 1分
2
Y=“一株沙柳存活”
Y 0 1
P 0.5 0.5
X=0,1,2,3,4,5,6…………………………………………………………………………………1 分
X 0 1 2 3 4 5 6
P
P( X = 0 ) =C0 1 0 1 6 16 ( ) (1 ) =2 2 64
P( X =1) C1( 1= 6 )
1(1 1 6 )5 =
2 2 64
P( X 2 ) C 2( 1 )2(1 1 15= = 46 ) =2 2 64
P( X 1 1 20= 3 ) =C3( )3(1 )36 = …………………………………………………………………………………5 分 2 2 64
P( X 4 ) C 4( 1 4 1 15= = 6 ) (1 )
2 =
2 2 64
P( X 1 1 6= 5 ) =C5 56 ( ) (1 )
1 =
2 2 64
P( X = 6 ) =C6 1 66 ( ) (1
1 )0 1 =
2 2 64
（2）
若有3株或3株以上的沙柳未存活，需要补种
∴X ≤ 3 1分
∴P( X < 3 ) = P( X = 0 )+ P( X =1)+ P( X = 2 )+ P( X = 3 ) 1分
1 6 15 20= + + +
64 64 64 64
42=
64
21= 1分
32
22.（1）
a = 0 f ( x ) = ex 1 x 1分
∴ f ′( x ) = ex 1 1分
令f ′( x ) = 0
ex 1=0
ex =1
ex =e0
∴x = 0
f ′( x ) > 0 ex 1> 0,得：当x > 0时 , f ( x )↑
x 2分
f ′( x )< 0 e 1< 0,得：当x < 0时 , f ( x )↓
故f ( x )在(-∞,0 )上单调递减，在( 0,+∞ )上单调递增 1分
（2）
由(1)知ex ≥1+ x 当且仅当x = 0时等号成立
f ′( x ) = ex 1 2ax
∴ f ′( x )≥1+ x 1 2ax ≥ x 2ax = (1 2a )x
x ≥ 0
∴1 2a ≥ 0 a 1≤ 时，f ′( x )≥ 0
2
f ( 0 ) = 0
当x 1∴ ≥ 0,a ≤ 时，f ′( x )≥ 0 满足题干
2
角度一：
当a 1> 时，
2
ex ≥ x +1 " x"代替" x"
e x ≥ x +1
e x 1≥ x
∴ f ′( x ) = ex 1 2ax ≤ ex 1+ 2a( e x 1)
x
= ex 1+ 2a( 1 e
ex
)
x x x
e ( e 1)= x + 2a(
1 e
x )e e
x x x
e ( e 1)+ 2a(1 e )=
ex
x
( e 1)( e
x 2a )
=
ex
ex > 0,ex 1≥ 0
∴当ex 2a < 0 ex < 2a x < ln 2a
∴当x∈( 0,ln 2a ), f ′( x )≤ 0 f ( x )↓
f ( x )≤ 0 不满足题干
角度二：
当1 2a < 0时，即a 1>
2
f ′( x ) = ex 1 2ax
f ′′( x ) = ex 2a
令f ′′( x ) = 0 x = ln 2a
f ′′( x )< 0 ex 2a < 0,得 :当0 < x < ln 2a ，f ′( x )↓
f ′( 0 ) = e0 1 0 = 0
∴当0 < x < ln 2a ，f ′( x )< 0 f ( x )↓
f ( 0 ) = 0
∴当0 < x < ln 2a ，f ( x )< 0 不满足题干
综上所述，a∈ 1 ∞,
2
