2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年重庆市南岸区珊瑚初级中学九年级（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中是有理数的是( )
A. B. C. D.
2. 如图图案中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4. 下列命题是真命题的是( )
A. 立方根等于它本身的数是，， B. 三角形的任意两边之和小于第三边
C. 采用抽样调查的方式检查飞机零部件 D. 五边形的内角和是
5. 如图，在外任取一点，连接、、，并分别取它们的中点、、，顺次连接、、得到，则下列说法错误的是( )
A. 与是位似图形 B. 与是相似图形
C. 与的周长比是： D. 与的面积比是：
6. 估算的结果最接近的整数是( )
A. B. C. D.
7. 按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值为若输出的值为，则输入的值是( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
8. 把黑色梅花按如图所示的规律拼图案，其中第个图案有朵梅花，第个图案有朵梅花，第个图案有朵梅花，，按此规律排列下去，第个图案中黑色梅花的朵数是( )
A. B. C. D.
9. 如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点若点为的中点，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知多项式，多项式．
若多项式是完全平方式，则或；
；
若，，则；
代数式的最小值为．
以上结论正确的个数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算 ______ ．
12. 人体最小的细胞是血小板，个血小板紧密排成一直线，数据用科学记数法表示是______ ．
13. 函数的自变量的取值范围是______ ．
14. 在一个不透明的口袋里装有除标号外完全一样的三个小球，小球上分别标有，，这三个数字，从袋中随机摸出一个小球，记标号为，然后放回摇匀后再随机摸出一个小球，记标号为，则满足的概率是______ ．
15. 如图，在边长为的等边中，以为圆心、为半径画弧，再以为直径画半圆，则阴影部分的面积为______ ．
16. 若整数的不等式组有解，且最多有个整数解，且使关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为______ ．
17. 如图，矩形中，，，点为的中点，点为上一点，连接、交于点，连接，当时，线段的长度是______ ．
18. 若一个四位数正整数，其千位数字的倍与后三位组成的数的和得到的数称为的“笃学数”，记为，“笃学数”百位数字的倍与后两位组成的数的和得到的数称为的“图新数”，记为，例如：的“笃学数”为，的“图新数”，则 ______ ；若一个千位为，十位为的四位数的“笃学数”与“图新数”之和能被整除，则的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
化简：
；
．
20. 本小题分
在数学课上老师提出了如下问题：
如图，，当与满足什么关系时，？
小明认为时，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
解：用直尺和圆规，在的右侧找一点，使只保留作图痕迹．
，
，
，
，
，
，
，
．
所以满足的关系为：当时，．
21. 本小题分
垃圾的分类回收不仅能够减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约能源，为增强学生垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某中学组织全校学生参加了“垃圾分类知识竞赛”该校数学兴趣小组为了解全校学生竞赛分数情况，现从该校七年级、八年级中各随机抽攻了名学生的竞赛分数分及以上为“优秀”，分及以上为“及格”，学生竞赛分数记为分进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级名学生的竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
八年级名学生的竞赛成绩条形统计图如图：：；：；：；：：：组的数据为：，，，，，，，．
七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、优秀率如表所示：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级
八年级
直接写出上述表中的，，的值；
根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃圾分类知识较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七、八年级共名学生参加了此次测试活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？
22. 本小题分
月日，重庆市长生桥垃圾镇埋场生态修复工程全面竣工验收，全国最大垃圾镇埋场摇身变为环境优美、空气宜人的生态绿地，实现了城市土地的循环再利用修复之初，一期工程共有吨垃圾要运走，计划由甲、乙两个工程队运走垃圾已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的垃圾比乙平均每天运走的垃圾多，这样甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．
求原计划甲平均每天运垃圾多少吨？
实际施工时，甲平均每天运走的垃圾比原计划增加了吨，乙平均每天运走的垃圾比原计划增加了，甲、乙合作天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作天完成若运走每吨垃圾的运输费用为元，请求出甲工程队的运输费用．
23. 本小题分
如图，我国某海域里，渔船正在小岛的正西方向的处停留一艘渔政船在处巡逻，这时测得在处的渔船在它的北偏东方向上，渔政船的航行速度为每小时海里，它沿东北方向航行小时后到达处，测得渔船在它的西北方向．
求当渔政船到达处时，渔政船与渔船的距离；
若该渔政船在处测得小岛在它的北偏东方向上，这时渔船以每小时海里速度从处向小岛航行，同时渔政船以原速度也向小岛航行，则哪艘船先到达小岛参考数据：，，，，，
24. 本小题分
如图，在矩形中，，，动点，同时从点出发，点沿着方向运动，点沿着方向运动，有一点到达终点，另一点停止运动，已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，若运动时间为秒，将的长度记为，的面积记为．
直接写出，与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
在平面直角坐标系中画出，的图象并写出的一条性质；
若函数与有两个交点，求的取值范围．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
求抛物线的函数解析式；
点是直线下方抛物线上一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，求周长的最大值及此时点的坐标；
在中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移个单位，点为点的对应点，点为原抛物线对称轴上一点在平移后抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
26. 本小题分
如图，在中，，，点在直线上运动，连接，以为斜边在直线的右侧作，其中，．
如图，点运动到点的左侧时，与相交于点，当平分时，若，求的长；
如图，点沿射线方向运动过程中，当时，连接，过点作交的延长线于点，取的中点，连接求证：；
如图，点沿射线方向运动过程中，连接，将线段绕点顺时针方向旋转，得到线段，连接、若，当取得最小值时，请直接写出的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、是无理数，不符合题意；
B、是有理数，符合题意；
C、是无理数，不符合题意；
D、是无理数，不符合题意．
故选：．
根据有理数和无理数的定义即可判断．
本题考查了实数的分类，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】解：根据合并同类项法则，，那么A错误，故A不符合题意．
B.根据完全平方公式，，那么B错误，故B不符合题意．
C.根据积的乘方与幂的乘方，，那么C正确，故C符合题意．
D.根据同底数幂的除法，，那么D错误，故D不符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
本题主要考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、立方根等于它本身的数是，，，是真命题，符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、采用全面调查的方式检查飞机零部件，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、五边形的内角和是，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：．
根据立方根的概念、三角形的三边关系、抽样调查和全面调查、多边形的内角和定理判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】
【解析】解：、、的中点分别为、、，
，，，，，，
∽，
与是位似图形，位似中心为点，
与是相似图形，
与的周长比是：，与的面积比是：，
选项说法错误，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，，，，，进而证明∽，根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质、三角形中位线定理，掌握位似图形的概念、相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：
结果最接近的整数是．
故选：．
先化简计算，再作出估算．
本题考查了估算无理数的大小，关键是确定的近似值．
7.【答案】
【解析】解：输入的值是，且输出的值为，
，
解得，
当时，，
当时，，
若输出的值为，
设，则，
解得，
而，
此时输入的是；
设，则，
解得，
，
不符合题意，
综上所述，，
故选：．
根据输入的值是，则输出的值为求出的值，再分论讨论输出的值为时输入的值．
本题考查代数式的值，解题的关键是分类讨论思想的应用．
8.【答案】
【解析】解：第个图形有朵梅花，
第个图形有朵梅花，
第个图形有朵梅花，
第个图形中共有梅花的朵数是，
则第个图形中共有梅花的朵数是．
故选：．
观察图形变化，找到图形变化的规律，利用规律求解即可．
此题考查图形的变化规律，找出图形之间的运算规律，利用规律解决问题．
9.【答案】
【解析】解：是的切线，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
故选：．
根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据圆周角定理求出，计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理以及弧、弦、圆心角之间的关系，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：根据题意得，
，
解得或，
故正确；
，
，，
，
，
故正确；
，，
，
由可知，，
，
故错误；
，
又，，
，
最小值为，
故错误．
故选：．
利用完全平方公式的形式求解；
利用整式的加减运算和配方法求解；
利用完全平方和和完全平方差公式求解；
利用完全平方公式和配方法求解．
本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
11.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接利用零指数幂的性质化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
13.【答案】且
【解析】解：由题可得，，
解得：且．
故答案为：且．
当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量的取值范围．
本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
14.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，满足的结果有种，
满足的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，满足的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】
【解析】解：设以为直径画半圆交、于点、，
等边中，且以为直径画半圆，
，，
，，，都是等边三角形，
．
故答案为：．
根据阴影部分的面积，利用扇形的面积公式以及三角形的面积公式求解即可．
本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是仔细观察图形，利用差值法求不规则图形的面积．
16.【答案】
【解析】解：解不等式组得：，
不等式组有解，且最多有个整数解，
，
解得：，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
分式方程的解为整数，
为整数，且，
符合条件的所有整数的值为，，，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：．
解不等式组，根据题意确定的范围，再解出分式方程，根据题意确定的范围，再根据题意计算即可．
本题考查的是分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：在矩形中，，，点为的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：，
；
设四位数的百位数字为，个位数字为为整数，
则，
，即，
，
，
能被整除，且，，，为整数，
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，符合题意；
当时，即能被整除，符合题意；
当时，即能被整除，符合题意；
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，值无解；
当时，即能被整除，值无解．
综上，符合条件的四位数有：，，，其中的最大值为．
故答案为：，．
根据“笃学数”“图新数”的定义即可求得；设四位数的百位数字为，个位数字为为整数，根据“笃学数”“图新数”的定义可求得，，则，再根据“笃学数”与“图新数”之和能被整除，分类讨论即可．
本题主要考查新定义运算、整式的加减、数的整除，解题关键在于理解“笃学数”“图新数”的定义．
19.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】先展开．去括号，再合并同类项即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
本题考查整式运算及分式的运算，解题的根据是掌握整式运算、分式运算的相关法则及运算顺序．
20.【答案】
【解析】解：图形如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
．
所以满足的关系为：当时，．
故答案为：，，，．
根据要求作出图形，利用平行线的判定和性质证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：八年级学生成绩的中位数为：，
七年级名学生成绩的出现次数最多的是分，出现次，因此众数，
八年级优秀的人数是，所以优秀率，
答：，，；
七年级学生掌握垃圾分类知识较好，
理由：虽然两个年级的平均分相等，但七年级的众数、中位数和优秀率均高于八年级，
七年级学生掌握垃圾分类知识较好；
人，
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是人．
【解析】根据中位数、众数的意义，分别计算即可；
根据表格中的数据可得结论；
根据两个年级参加活动的人数和优秀率可得答案．
本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算方法，是解题的关键．
22.【答案】解：设原计划乙平均每天运垃圾吨，则甲平均每天运垃圾吨，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：原计划甲平均每天运走垃圾吨；
根据题意得：，
解得：，
甲工程队运输费用为：元，
答：甲工程队的运输费用为元．
【解析】设原计划乙平均每天运垃圾吨，则甲平均每天运垃圾吨，由题意：甲运走吨垃圾的时间比乙运走剩下垃圾的时间少两天．即可列出关于的分式方程，解分式方程，即可解决问题；
由题意：甲、乙合作天后，甲临时有其他任务，剩下的垃圾由乙再单独工作天完成．即可列出关于的一元一次方程，解方程，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】解：由题意知，，，，，海里，
，，
在中，
海里，
答：渔政船与渔船的距离为海里．
过点作的垂线，垂足为点，
，
由题意知，
在中，，
海里，
海里，
在中，，
，
海里，
渔船的到达小岛的时间：小时或者，
渔政船到达小岛的时间：小时或者，
，
，
即渔政船先到达小岛．
【解析】，，在中，运用正切函数即可得；
过点作的垂线，垂足为点，可得，由题意知，在中，，运用三角函数得，，在中，，运用三角函数得，，即可得渔船的到达小岛的时间：小时，渔政船到达小岛的时间：，可得，即可得．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，掌握锐角三角函数，添加辅助线构造直角三角形．
24.【答案】解：当时，点在上运动，
则，
当时，点在上运动，
同理可得：，
即，
则；
对于，
当时，，当时，，当时，，
对于，
当时，，当时，，
通过对上述点描点、连线、绘制图象如下：
从图象看，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大答案不唯一；
从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有个交点，
将代入得：，则，
将代入得：，则，
的取值范围为：．
【解析】当时，点在上运动，则，当时，点在上运动，同理可解；由，即可求解；
通过取点、描点、连线、绘制图象即可求解；
从图象看，当函数过点和时，两条直线恰好有个交点，进而求解．
本题考查了一次函数综合运用，涉及到矩形性质，一次函数的基本性质，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，但是有一定的难度．
25.【答案】解：分别把点，，
代入得：，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
，
，，，
直线的解析式为：，
设：，，
，
当时，最大为，
轴，，
，，
∽，
，
，
所以当最大为时，的周长最大为，
此时；
，将该抛物线沿水平方向向左平移个单位，
则平移后的解析式为，，
设，，，
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
可得，则，即：；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
可得，则，即：；
当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，
可得，则，即：；
综上，符合条件的点的坐标为：，，．
【解析】利用待定系数法求解即可；
先求得直线的解析式为：，设，，可得，当时，最大为，再证∽，可得，进而可知，可知当最大为时，的周长最大为，得此时的坐标为；
先求出平移后的抛物线解析式为，，设，，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
26.【答案】解：如图中，过点作于，
在中，，，
，，
是的角平分线，，
，
，
，
，
．
证明：如图中，取的中点，连接，，．
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
在和中，，，
点为的中点，
，，，
为的中点，
，
，
，
，
，且，
≌，
，
，
是底角为的等腰三角形，
，
．
解：如图中，当点在射线上时，点在射线上运动，此时，
则线段绕点顺时针旋转得到线段，则点在上运动，在点的左侧作射线，使得，过点作于，
当点，，三点共线时，最短，此时点也在线段上，则，，
，
，
过点作于，则，
．
【解析】如图中，过点作于，证明是等腰直角三角形即可解决问题．
如图中，取的中点，连接，，证明是底角为的等腰三角形，即可解决问题．
如图中，当点在射线上时，点在射线上运动，此时，当点，，三点共线时，最短，此时点也在线段上，由此即可解决问题．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
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