贵州省贵阳市2023年初中学业水平考试数学模拟卷(三)
答案
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分
1．下列各数的相反数中，最大的是（D）
A．2 B.1 C.－1 D.－2
2．下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（B）
A．1个 B．2个 C.3个 D.4个
3．快马加鞭君为先，自古英雄出少年，寒窗苦读十余载．走过高考，前面是一片新天地，据统计，2021年全国约有1 078万人报名参加高考，其中1 078万人用科学记数法表示为（C）
A．1.078×103人 B.1.08×103人
C.1.078×107人 D.1.078×108人
4．同时抛两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，则下列事件中是不可能事件的是（B）
A．点数之和为奇数 B.点数之和等于1
C.点数之和为偶数 D．点数之和大于9
5．化简＋的结果为（D）
A．－1 B.0 C.±1 D.1
6．在一次古诗词诵读比赛中，五位评委给某选手打分，得到互不相等的五个分数，若去掉一个最高分，平均分为a；若去掉一个最低分，平均分为c；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为m.则a，c，m的大小关系正确的是（A）
A．c＞m＞a B.a＞m＞c
C.c＞a＞m D.m＞c＞a
7．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|－|a|正确的是（C）
A．b－a B.a－b C．a＋b D.－a－b
8．已知点P在△ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（B）
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC.AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（A）
A．110°
B.115°
C.120°
D.125°
10．如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（C）
A．x＜－2或x＞2 B.－2＜x＜0或x＞2
C.x＜－2或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或0＜x＜2
11．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（C）
A．3 B. C. D.
12．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（B）
A．100 B.121 C.144 D.169
二、填空题：每小题4分，共16分
13．在函数y＝(x－1)2中，当x＞1时，y随x的增大而 增大 .(选填“增大”或“减小”)
14．在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 (0，3)，(0，－1) .
15．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 .
16．六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，则中间正六边形的面积为 .
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算歩骤
17．(12分)两位同学解方程组的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3；
解法二：由②得3x＋(x－3y)＝5；③
把①代入③得3x＋8＝5.
(1)上述两种消元过程是否正确？你的判定是 B ；
A．都正确 B．解法一错
C．解法二错 D．两种都错
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
解：(1)解法一错误，解法二正确，故答案为B.
(2)②－①得3x＝－3，解得x＝－1，
把x＝－1代入①，得－1－3y＝8，解得y＝－3，
所以方程组的解为
18．(10分)2021年7月1日，是中国共产党100岁的伟大日子，为了迎接党的百岁生日，某校学生会举行了“中国共产党百岁知识竞答”问卷活动，现从中随机抽取了30份问卷的成绩进行统计，这30份问卷的成绩整理如表(表1，满分为100分)，并绘制出频数分布表(表2)和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息，回答以下问题：
表1
69 70 74 75 77 77 78 80 81 82
82 84 84 84 85 85 86 86 86 89
90 90 93 93 93 97 98 98 100 100
表2
成绩分组 69≤x＜73 73≤x＜77 77≤x＜81 81≤x＜85 85≤x＜89 89≤x＜93 93≤x＜97 97≤x≤100
频数 2 2 4 a 5 3 b 5
等级 H G F E D C B A
(1)其中a＝ 6 ；b＝ 3 ；
(2)根据频数分布表，补全频数分布直方图；
(3)该校共有3 000名学生，请估计全校竞答得分93分及以上的有多少人？
解：(1)由题意知a＝6，b＝3，故答案为：6 3.
(2)补全图形如图所示．
(3)估计全校竞答得分93分及以上的人数为3 000×＝800(人)．
19．(10分)如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形DFBE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE且DF∥EB，
∴四边形DFBE是平行四边形，又∵DE⊥AB，
∴四边形DFBE是矩形．
(2)解：∵∠DAB＝60°，AD＝3，DE⊥AB，
∴AE＝，DE＝AE＝，∵四边形DFBE是矩形，
∴BF＝DE＝，∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝∠DAB＝30°，且BF⊥AB，
∴AB＝BF＝.
20．(10分)如图，已知Rt△AOB的锐角顶点A在反比例函数y＝的图象上，且△AOB的面积为2，若OB＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)一条直线过A点且交x轴于C点，已知
tan∠ACB＝，求直线AC的解析式．
解：(1)∵△AOB为直角三角形，
∴S△AOB＝OB·AB，
∴2＝×2·AB，
∴AB＝2，∴A(2，2)，
∵A在反比例函数的图象上，∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝，∵AB＝2，∴BC＝10，又∵OB＝2，∴OC＝8，∴C(－8，0)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，
∴解得
∴直线AC的解析式为y＝x＋.
21．(10分)如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50 m，求点B到水面距离BM的高度．
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75，sin 63.44°≈0.89，cos 63.44°≈0.45，tan 63.44°≈2.00)
解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得AD＝HM＝50 m，
设BM＝x m，则MC＝BM＝x m，
∵BH＝BM－HM，
∴BH＝(x－50)m，在Rt△ABH中，
AH＝≈(x－50)．
∵HC＝HM＋MC，∴HC＝(50＋x)m，
在Rt△AHC中，AH＝≈，
∴(x－50)＝，解得x＝110，即BM＝110 m，
答：点B到水面距离BM的高度约为110 m.
22．(10分)端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五，民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A，B两种粽子进行销售，据了解，用3 000元购买A种粽子的数量(个)比用3 360元购买B种粽子的数量(个)多40个，且B种粽子的单价(元/个)是A种粽子单价(元/个)的1.2倍．
(1)求A，B两种粽子的单价各是多少；
(2)若商场计划购进这两种粽子共2 200个进行销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y(元)与购买A种粽子数量m(个)之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
解：(1)设A种粽子单价为x元/个，则B种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得
－＝40，解得x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，∴1.2x＝6.
答：A种粽子单价为5元/个，B种粽子单价为6元/个．
(2)购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2 200－m)个，依题意，得5m≤6(2 200－m)，
解得m≤1 200，由题意得
y＝5m＋6(2 200－m)＝－m＋13 200，
当m＝1 200时，y最小＝12 000，
2 200－1 200＝1 000，
答：购进A种粽子1 200个，购进B种粽子1 000个，总费用最低，最低是12 000元．
23．(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.
解：(1)∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°(圆周角定理)，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AB＝6，∴BC＝3，
∵OE⊥AC，∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝.
(2)连接OC，则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，
S扇形FOC＝＝π.
即阴影部分的面积为π.
24．(12分)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
图1 图2
解：(1)根据题意可知点F的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数解析式为y1＝a1x2.
将F(6，－1.5)代入y1＝a1x2，得－1.5＝36a1，
解得a1＝－，∴y1＝－x2，
当x＝12时，y1＝－×122＝－6，
∴桥拱顶部O离水面的距离为6 m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其解析式为y2＝a2(x－6)2＋1，
将H(0，4)代入其解析式，得4＝a2(0－6)2＋1，
解得a2＝，
∴右边钢缆所在抛物线解析式为y2＝(x－6)2＋1，
左边钢缆所在抛物线解析式为y3＝(x＋6)2＋1.
②设彩带的长度为l m，
则l＝y2－y1＝(x－6)2＋1－
＝x2－x＋4
＝(x－4)2＋2，
∴当x＝4时，l最小值＝2，
答：彩带长度的最小值是2 m.
25．(12分)(1)阅读理解
定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
(2)问题解决
①如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
②如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF.试判定△EFG的形状，并证明；
(3)拓展探究
如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝10，则边AB长的最小值为 3 .
(2)①证明：如图①，延长BE，DG交于点H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°.
∴∠BAE＝∠DAG.∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG.
∵∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠ABE＋∠EBD＋∠ADB＝∠DBE＋∠ADB＋∠ADG＝90°，
即∠EBD＋∠BDG＝90°，
∴∠BHD＝90°.∴BE⊥DG.又∵BE＝DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”．
②解：△EFG是等腰直角三角形．
证明：如图②，延长BA，CD交于点H，
∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，
∴AB⊥CD，AB＝CD，∴∠HBC＋∠HCB＝90°.
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴EG＝AB，GF＝CD，EG∥AB，GF∥DC，
∴∠BFG＝∠C，∠EGD＝∠HBD，EG＝GF.
∴∠EGF＝∠EGD＋∠FGD＝∠ABD＋∠DBC＋∠GFB＝∠ABD＋∠DBC＋∠C＝∠HBC＋∠HCB
＝90°.
∴△EFG是等腰直角三角形．
(3)解：如图③，延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F.连接HE，EF，HF，则
EF≥HF－HE＝BC－AD＝5－2＝3，
由②可知AB＝EF≥3.
∴AB长的最小值为3.贵州省贵阳市2023年初中学业水平考试数学模拟卷(三)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分
1．下列各数的相反数中，最大的是（ ）
A．2 B.1 C.－1 D.－2
2．下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D.4个
3．快马加鞭君为先，自古英雄出少年，寒窗苦读十余载．走过高考，前面是一片新天地，据统计，2021年全国约有1 078万人报名参加高考，其中1 078万人用科学记数法表示为（ ）
A．1.078×103人 B.1.08×103人 C.1.078×107人 D.1.078×108人
4．同时抛两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，则下列事件中是不可能事件的是（ ）
A．点数之和为奇数 B.点数之和等于1 C.点数之和为偶数 D．点数之和大于9
5．化简＋的结果为（ ）
A．－1 B.0 C.±1 D.1
6．在一次古诗词诵读比赛中，五位评委给某选手打分，得到互不相等的五个分数，若去掉一个最高分，平均分为a；若去掉一个最低分，平均分为c；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为m.则a，c，m的大小关系正确的是（ ）
A．c＞m＞a B.a＞m＞c C.c＞a＞m D.m＞c＞a
7．如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别是a，b，则计算|b|－|a|正确的是（ ）
A．b－a B.a－b C．a＋b D.－a－b
8．已知点P在△ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC.AT是⊙O的切线，∠BAT＝55°，则∠D等于（ ）
A．110°
B.115°
C.120°
D.125°
10．如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜－2或x＞2 B.－2＜x＜0或x＞2 C.x＜－2或0＜x＜2 D．－2＜x＜0或0＜x＜2
11．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE⊥CF于点G，若BC＝4，AF＝1，则GF的长为（ ）
A．3 B. C. D.
12．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为（ ）
A．100 B.121 C.144 D.169
二、填空题：每小题4分，共16分
13．在函数y＝(x－1)2中，当x＞1时，y随x的增大而 .(选填“增大”或“减小”)
14．在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是 .
15．在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同的5个小球，其中3个红球、2个黄球．如果第一次先从袋中摸出1个球后不放回，第二次再从袋中摸出1个球，那么两次都摸到黄球的概率是 .
16．六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，则中间正六边形的面积为 .
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算歩骤
17．(12分)两位同学解方程组的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3；
解法二：由②得3x＋(x－3y)＝5；③
把①代入③得3x＋8＝5.
(1)上述两种消元过程是否正确？你的判定是 ；
A．都正确 B．解法一错
C．解法二错 D．两种都错
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
18．(10分)2021年7月1日，是中国共产党100岁的伟大日子，为了迎接党的百岁生日，某校学生会举行了“中国共产党百岁知识竞答”问卷活动，现从中随机抽取了30份问卷的成绩进行统计，这30份问卷的成绩整理如表(表1，满分为100分)，并绘制出频数分布表(表2)和频数分布直方图的一部分，请根据图表信息，回答以下问题：
表1
69 70 74 75 77 77 78 80 81 82
82 84 84 84 85 85 86 86 86 89
90 90 93 93 93 97 98 98 100 100
表2
成绩分组 69≤x＜73 73≤x＜77 77≤x＜81 81≤x＜85 85≤x＜89 89≤x＜93 93≤x＜97 97≤x≤100
频数 2 2 4 a 5 3 b 5
等级 H G F E D C B A
(1)其中a＝ ；b＝ ；
(2)根据频数分布表，补全频数分布直方图；
(3)该校共有3 000名学生，请估计全校竞答得分93分及以上的有多少人？
19．(10分)如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形DFBE是矩形；
(2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝3，求AB的长．
20．(10分)如图，已知Rt△AOB的锐角顶点A在反比例函数y＝的图象上，且△AOB的面积为2，若OB＝2.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)一条直线过A点且交x轴于C点，已知
tan∠ACB＝，求直线AC的解析式．
21．(10分)如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50 m，求点B到水面距离BM的高度．
(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80，tan 36.87°≈0.75，sin 63.44°≈0.89，cos 63.44°≈0.45，tan 63.44°≈2.00)
22．(10分)端午节是中国首个入选世界非遗的节日，日期是每年农历五月初五，民间有“赛龙舟”“吃粽子”等习俗．某商场在端午节来临之际准备购进A，B两种粽子进行销售，据了解，用3 000元购买A种粽子的数量(个)比用3 360元购买B种粽子的数量(个)多40个，且B种粽子的单价(元/个)是A种粽子单价(元/个)的1.2倍．
(1)求A，B两种粽子的单价各是多少；
(2)若商场计划购进这两种粽子共2 200个进行销售，且购买A种粽子的费用不多于购买B种粽子的费用，写出总费用y(元)与购买A种粽子数量m(个)之间的关系式，并求出如何购买才能使总费用最低？最低是多少元？
23．(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E.
(1)求OE的长；
(2)若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF，AC和弧CF围成的图形(阴影部分)的面积S.
24．(12分)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6 m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求桥拱顶部O离水面的距离；
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
图1 图2
25．(12分)(1)阅读理解
定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．
(2)问题解决
①如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；
②如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF.试判定△EFG的形状，并证明；
(3)拓展探究
如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝10，则边AB长的最小值为 .
