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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（三）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·广东东莞·高三校考阶段练习）复数满足，则等于（ ）
A． B．7 C． D．5
3．（2023·广东佛山·统考二模）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023秋·广东广州·高三华南师大附中校考期末）已知向量，，，则向量、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东·统考模拟预测）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．28种 C．20种 D．16种
6．（2023秋·广东江门·高三校考期中）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
7．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·广东珠海·高三珠海市实验中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若一组平行线分别与图象的交点为，，...，,且，其中，则
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东佛山·高三佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．双曲线的离心率
C．点为双曲线上任意一点，点到的两条渐近线的距离分别为，，则
D．直线与交于两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
11．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为( )
A． B． C． D．
12．（2023秋·广东揭阳·高三惠来县第一中学校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个“和谐区间”
B．函数存在“和谐区间”
C．函数的所有“和谐区间”为、、
D．是函数的一个“和谐区间”
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考期中）的展开式中的系数为______（用数字作答）．
14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是________.
15．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________.
16．（2023秋·广东茂名·高三校联考期末）设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东深圳·高三校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的周长的最大值．
18．（2023春·广东广州·高三广州市第八十九中学校考期中）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：．
19．（2023春·广东深圳·高三校考期中）某校在高三部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）．
(1)写出列联表；
(2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关；
(3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率．
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中．
20．（2023秋·广东汕尾·高三统考期末）如图，在四棱锥中，，，平面，，三棱锥的体积为.
(1)求的长度；
(2)已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
21．（2023·广东汕头·统考一模）如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点．
(1)若且时，求面积的最小值；
(2)若，证明：直线过定点．
22．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（三）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023秋·广东广州·高三广东实验中学校考期末）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解二次不等式，结合自然数集的概念化简全集，再利用集合的补集运算即可得解.
【详解】因为，所以，则，故，
所以全集，
因为，
所以.
故选：A.
2．（2023春·广东东莞·高三校考阶段练习）复数满足，则等于（ ）
A． B．7 C． D．5
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的加法及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为
即，所以，解得，
所以；
故选：D
3．（2023·广东佛山·统考二模）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】等差数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，显然有，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
4．（2023秋·广东广州·高三华南师大附中校考期末）已知向量，，，则向量、的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量模与数量积运算公式，我们易计算出，，，代入我们易求出向量与的夹角．
【详解】解：，，
，
设向量、的夹角为，则，
又，得，
故选：.
【点睛】本题考查的知识点是平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，其中利用计算两个向量的夹角是解答本题的关键，属于中档题．
5．（2023·广东·统考模拟预测）为推动党史学习教育各项工作扎实开展，营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围，某校党委计划将中心组学习、专题报告会、党员活动日、主题班会、主题团日这五种活动分5个阶段安排，以推动党史学习教育工作的进行．若中心组学习必须安排在前2个阶段，且主题班会、主题团日安排的阶段相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．28种 C．20种 D．16种
【答案】C
【分析】分中心组学习在第1阶段和第2阶段分别求解，再利用分类加法计数原理求解即可．
【详解】若中心组学习安排在第1阶段，则其余四种活动的安排方法有（种）；若中心组学习安排在第2阶段，则主题班会、主题团日可安排在第3，4阶段或者第4，5阶段，专题报告会、党员活动日分别安排在剩下的2个阶段，不同的安排方法有（种）．故共有种不同的安排方案，
故选：C．
6．（2023秋·广东江门·高三校考期中）已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（ ）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】对焦点所在位置进行分类讨论，利用、进行求解.
【详解】因为椭圆的焦距是2，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，
当椭圆焦点在轴上，，所以，故A，C，D错误.
故选：B.
7．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知求得，再根据离心率公式及同角三角函数的基本关系即可求得的离心率
【详解】双曲线的渐近线方程为，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得，
则，
得，
，
故选：C
8．（2023秋·广东珠海·高三珠海市实验中学校联考阶段练习）已知定义在上的函数满足，若一组平行线分别与图象的交点为，，...，,且，其中，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令得到；令得到，代入计算得到答案.
【详解】令，则，所以,令
则,即,
所以，从而，故.
故选：
【点睛】本题考查了函数的交点问题，化简得到是解题的关键.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东佛山·高三佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.
【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；
最小正周期为，在区间上单调递增；
最小正周期为，在区间上单调递减；
不是周期函数，在区间上单调递减；
故选：AC
10．（2023秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（ ）
A．双曲线的实轴长为
B．双曲线的离心率
C．点为双曲线上任意一点，点到的两条渐近线的距离分别为，，则
D．直线与交于两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则
【答案】ABD
【分析】先根据直线与圆的位置关系求得双曲线的标准方程，由双曲线的性质判断AB，利用点到直线的距离公式化简整理判断C，将直线与双曲线联立，利用韦达定理求得点坐标进而求得判断D.
【详解】双曲线的渐近线方程为即，
因为圆与双曲线的渐近线相切，
所以，解得，则双曲线的方程为，
选项A：双曲线的实轴长，正确；
选项B：，所以，正确；
选项C：设点为，则，
点到两条渐近线的距离分别为，
则，错误；
选项D：直线与双曲线联立可得，
设，，
由韦达定理得，所以，
因为点为弦的中点，所以点坐标为，
所以，
所以，正确；
故选：ABD
11．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考期中）唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值可能为( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】首先设圆柱的高与半球的半径分别为，，酒杯的容积为，则，再根据和得到，即可得到答案.
【详解】设圆柱的高与半球的半径分别为，，酒杯的容积为，则，
所以，
所以
解得.
又，所以，解得.
所以.
故选：AC.
12．（2023秋·广东揭阳·高三惠来县第一中学校考阶段练习）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足，①在上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一个“和谐区间”
B．函数存在“和谐区间”
C．函数的所有“和谐区间”为、、
D．是函数的一个“和谐区间”
【答案】BC
【分析】根据题意得，在定义域内满足或时，则区间就为函数的一个和谐区间，或者直接求出的值域判断，据此解答即可.
【详解】对于A，因为函数在区间上单调递减，但，，即值域为，不符合题意，故A错误；
对于B，假设存在“和谐区间”，
因为函数在，单调递增，则，则为方程的两个根，解得，
又，所以存在“和谐区间”，故B正确；
对于C，中函数在上单调递增，即，则是关于方程的两根得，，，所以函数的所有“和谐区间”为，，，故C正确；
对于D，因为，
当时，单调递减，故；
当时，单调递增，故；
综上：，即不是函数的一个“和谐区间”，故D错误.
故选：BC.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东广州·高三广州科学城中学校考期中）的展开式中的系数为______（用数字作答）．
【答案】
【分析】依题意可看做个盒子中均有三个元素、、，从每个盒子中取出一个元素再相乘，再根据分步乘法计算原理计算可得；
【详解】解：依题意可将问题看做个盒子中均有三个元素、、，现从每个盒子中取出一个元素再相乘，
要得到则需在2个盒子中取出、1个盒子中取出、1个盒子中取出，
故的系数为；
故答案为：
14．（2023秋·广东佛山·高三统考期末）已知是定义在上的奇函数， 是的导函数，当时， .若，则不等式的解集是________.
【答案】
【分析】构造函数 ，运用条件求出 的单调性，再根据函数 的奇偶性求解.
【详解】设 ，则 ，
在 时是单调递增的， ， 时 ， 时， ， ， ；
设 ，则 ， 是偶函数，
时， 的解是 ；
故答案为： .
15．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示.已知，若在该半正多面体内放一个球，则该球表面积的最大值为__________.
【答案】
【分析】分析出球心的位置，得出半正多面体所在的正四面体的高，求出点到正六边形所在平面的距离，到正三角形所在平面的距离，即可求出当球的表面积最大时，该球的半径，进而得出表面积.
【详解】由题意，
半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，，
当球的表面积最大时，该球的球心即为半正多面体所在正四面体的外接球的球心，记球心为.
在中， ，,
该半正多面体所在的正四面体的高为：
，
设点到正六边形所在平面的距离为，
过点作于，
由几何知识得，
∴，即，
解得：，
∴当球的表面积最大时，该球的半径为，表面积为.
故答案为：.
16．（2023秋·广东茂名·高三校联考期末）设、是双曲线C：的左、右焦点，过点且倾斜角为30°的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A、B．若，则双曲线C的离心率为______．
【答案】
【分析】取中点，连接，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，推出，的关系，化简即可得离心率的值．
【详解】解：如图，取AB中点M，连接，
，，
设，
，，
又，，
，，
，
过点且倾斜角为的直线，，
，
在中，可得，
在中，可得，
消去化简得，
离心率．
故答案为：.
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东深圳·高三校考期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)求角C；
(2)若，求的周长的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理化角为边，由余弦定理求得；
（2）由正弦定理用表示出，计算，利用两角和与差的正弦公式化简变形，再由正弦函数性质得最大值．
【详解】（1）因为，由正弦定理得，即，
所以，是三角形内角，则；
（2）由（1），则，
由正弦定理得，，，
，
，则，，
所以．
时，取得最大值．
18．（2023春·广东广州·高三广州市第八十九中学校考期中）已知数列的前项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据数列的递推式可得时，，采用作差的方法可得，结合累乘法即可求得答案；
（2）由（1）可得的通项公式，利用裂项求和的方法，即可求得，从而证明结论..
【详解】（1）因为，所以当时，，
两式作差可得，整理得．
，令，则，
所以，所以，
则，
当时，也符合上式，综上，．
（2）证明：由（1）可知，，
则，
因为，所以，所以．
19．（2023春·广东深圳·高三校考期中）某校在高三部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜欢，白色代表不喜欢，单位：人）．
(1)写出列联表；
(2)依据的独立性检验，分析喜欢这项体育运动是否与性别有关；
(3)在这次调查中，从喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率．
附表及公式：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
，其中．
【答案】(1)列联表见解析；
(2)认为喜欢这项体育运动与性别无关
(3)
【分析】（1）由题图数据列表
（2）由公式计算卡方后判断
（3）由古典概型求解
（1）
观察题中二维条形图，可得
被调查的男生总共45人，其中喜欢这项运动的有15人，不喜欢的有30人；
被调查的女生总共45人，其中喜欢这项运动的有5人，不喜欢的有40人．
由此写出列联表如下：
单位：人
喜欢 不喜欢 合计
男 15 30 45
女 5 40 45
合计 20 70 90
（2）
零假设为：喜欢这项体育运动与性别无关．计算可得
，
所以依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为喜欢这项体育运动与性别无关．
（3）
设喜欢这项体育运动的一名男生和两名女生分别为，，．
任选两人的情况有，，，选一名男生和一名女生的情况有，，所以恰是一男一女的概率．
20．（2023秋·广东汕尾·高三统考期末）如图，在四棱锥中，，，平面，，三棱锥的体积为.
(1)求的长度；
(2)已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)2
(2)存在，点为的中点
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知得出，，得出平面，则，即可根据等体积法列式得出答案；
（2）根据已知得出平面，即可以为轴正方向，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，设，得出，设平面的一个法向量为，根据平面的法向量的求法列式求得，根据垂直得出是平面的一个法向量，即可根据二面角的向量求法列式解出答案.
【详解】（1）取的中点，连接，
，
.
又平面，
.
又，
平面.
又平面，
，
于是，
.
（2），
四边形为平行四边形
.
又平面，
平面，
以为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.
，.
由题意设，故，
因此.
设平面的一个法向量为，
则由得，
令，则是平面的一个法向量.
平面，
是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
，又，于是，
因此点为的中点时，平面与平面夹角的余弦值为.
21．（2023·广东汕头·统考一模）如图，已知为抛物线内一定点，过E作斜率分别为，的两条直线，与抛物线交于，且分别是线段的中点．
(1)若且时，求面积的最小值；
(2)若，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设直线方程并联立抛物线方程，表示出的坐标，从而求得面积的表达式，结合基本不等式即可求得答案.
（2）设直线方程并联立抛物线方程，表示出的坐标，求出直线的斜率的表达式，从而表示出直线的方程，结合直线过定点的解法，即可证明结论.
【详解】（1）当时，为y轴上一点，
因为，所以，
设的方程为，
由，可得，
由于为抛物线内一点，，故，
则，
故中点为，即，
同理可得,即，
因为,则,
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积的最小值为；
（2）证明：由题意知所在直线的方程为，代入中，
得，设，
则有，从而，
则；
所在直线的方程为，同理可得，
所以，
所以直线的方程为，
即，
又，故，
代入，得，
即，
当时，，即，
所以直线恒过定点.
【点睛】关键点点睛：解答本题的一般方法是设直线方程，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，进行化简等，从而证明直线恒过定点，需要表示出直线的斜率，进而表示出其直线方程，由其方程可得到定点，难点在于参数多，计算十分复杂，要注意解题思路的通畅.
22．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的定义域，利用导数求出其单调区间作答.
（2）利用导数探讨函数的最小值，再作差即可推理作答.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）定义域是，
显然函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
，当时，函数的取值集合为，函数的取值集合为，
因此函数在上的取值集合为，
即存在，使得，，于是存在，使得，有，
当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，
，，由两边取对数得，即，
，即，
所以.
【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.
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