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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（六）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）若全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的基本运算即可求解.
【详解】由题意得，所以.
故选：B.
2．（2023秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3．（2023·广东·统考二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的性质，求出，求出双曲线的渐近线方程，进而得解.
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
由，得，
所以，
所以渐近线方程为，
所以两条渐近线的倾斜角分别为和，
因为，
所以，两条渐近线所夹的锐角为；
即双曲线的两条渐近线的夹角为.
故选：C.
4．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．y＝f(x)的递增区间为，k∈Z
B．
C．成立的区间可以为
D．y＝f(x)其中一条对称轴为
【答案】C
【分析】根据函数图象，应用五点法求得，结合余弦型函数的性质求单调区间、解不等式判断A、B、C，代入法判断对称轴.
【详解】由题设，，则，故，
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，
所以；
若，则，
由，则，，
由，满足要求，不妨设，则.
综上，，B错误；
令，，可得，，
所以递增区间为，，A错误；
，则，，
所以，，当有，C正确；
，故不是对称轴，D错误.
故选：C
5．（2023秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可知，设，则，，过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，根据正四棱台的侧面积计算出的值，再利用台体的体积公式可求得结果.
【详解】由题意得，设，则，.
过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、，
在等腰梯形中，因为，，，则四边形为矩形，
所以，，，
因为，，，所以，，
所以，，所以，，
所以等腰梯形的面积为，得.
所以，，，故方亭的体积为.
故选：C.
6．（2018秋·广东韶关·高三韶关市第一中学校考期末）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
【答案】A
【详解】由平方得，即，则，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
7．（2023春·广东东莞·高三东莞市光明中学校考阶段练习）若的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
【答案】D
【分析】根据题意，用赋值法，在中，令可得，解可得a的值，即可得答案．
【详解】根据题意，的展开式的各项系数和为32，
令可得：，
解可得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．
8．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知，为函数的零点，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．a的取值范围是
【答案】C
【分析】作图，将 看作函数 与函数 的交点，根据函数的单调性逐项分析即可求解.
【详解】可以看作函数 与函数 的作差组成，作图如下：
对于A，由草图可知： 时， 单调递增， 单调递减，故存在唯一的交点 ，
考虑： 时， ， ， ，
当 时， ， ，A正确；
对于B，有 ，两边取对数得： ，
由条件 可得： ，
联立方程 ，消去 得 ，并且 ，解得 ，B正确；
对于C，当 时， ， ， 没有零点，即 ， ，C错误；
对于D，由于 在 时存在唯一零点，若 存在3个零点，必有 ，
考虑当 时， 必有2个解，两边取自然对数得 ，
构造函数： ，即 在时必有2个零点，
求导： ，令 ，则有 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
在 时， 取得最小值， 有2个零点的充分必要条件是 ，
即 ， ， ，D正确；
故选：C.
【点睛】思路点睛：函数零点性质问题，注意利用零点满足的方程构建零点之间的相互关系，同时注意将零点问题转化函数图象与水平直线的交点个数问题.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东清远·高三校考阶段练习）已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离是点到平面的距离的
C．若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为
D．异面直线与所成角的正切值的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据线线平行证明线面平行，进而证明面面平行；
对于B，利用面面平行和点到平面距离的概念进行判断即可；
对于C，利用球的表面积公式，直接求解即可；
对于D，根据异面直线所成角的概念，作出相应的辅助线，进而利用勾股定理和锐角三角函数即可求解.
【详解】
选项A：设，，如图1所示.选项A：，，则四边形为平行四边形，，所以平面，又因为，所以平面，因为，所以平面平面，故正确；
选项B：因为平面平面，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，又点到平面的距离与点到平面的距离相等，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，故不正确；
选项C：如图2所示，在梯形内过点作于点，所以面，取线段的中点，因为，所以为球心，，球的表面积为，故正确；
选项D：如图3所示，因为，平面，所以平面，又平面，所以，所以（或其补角）为与所成的角，所以，若最小，则最小，当点在点时，取最小值2，所以的最小值为，故正确.
故选：ACD.
10．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数的图像关于对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的最小值为2
【答案】ABC
【分析】A选项，计算出，A正确；计算出，故函数的图像关于对称，B正确；令，，得到在上单调递增，又在上单调递增，由复合函数的单调性满足同增异减得到C正确；去掉绝对值，得到，当时，的值域为，故D错误.
【详解】，所以选项A正确；
，所以选项B正确；
当时，，所以，令，，
易知在上单调递增，在上单调递增，
根据复合函数单调性可得函数在区间上单调递增，所以选项C正确；
因为，
当时，，当且仅当时等号成立；
当时，令，，在上的值域为，
所以函数的值域为，所以选项D错误.
故选：ABC.
11．（2023·广东·统考二模）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
【答案】AD
【分析】根据中位数，众数的定义判断A，结合中位数，平均数的定义举反例判断B，根据平均数和方差的定义，百分位数的定义，分析丙球员的得分判断CD.
【详解】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，且至少出现次，
故，A正确；
设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
则，，
取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误；
设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为，
由已知，
所以，
若，则，
所以，矛盾，
所以，，
因为的平均数为，所以，
取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误；
因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为，
若，则，故，矛盾，
所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确；
故选：AD.
12．（2023·广东·统考二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，
设直线的倾斜角为，斜率为，
①若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
②若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
③若所在的直线过点，如图，可得，
因为，即，则；
综上所述：的可能值为.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东佛山·高三罗定邦中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则________.
【答案】36
【分析】利用等比数列的性质化简，求值
【详解】设等比数列的公比为q，则，从而，
故.
故答案为：36.
14．（2023·广东·统考二模）已知直四棱柱的棱长均为2，，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为______．
【答案】
【分析】根据题意结合锥体的体积公式分析运算.
【详解】连接，由题意可得，
分别过E，F，G，H作底面ABCD的垂线，垂足分别为，
可得分别为的中点，
连接，
可得，
由题意可得：为四棱柱，
则，
四棱锥的高为直四棱柱的高的一半，即为1，
所以四棱锥的体积.
故答案为：.
15．（2023秋·广东江门·高三台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______.
【答案】
【分析】设所求椭圆方程为，根据椭圆的离心率得到，又在椭圆上得到，求出可得答案.
【详解】椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，
则，从而，，
又，∴，
∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
16．（2020·广东江门·统考模拟预测）已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则__________．
【答案】1
【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公共点的情况，明确D点即为直线与函数的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果．
【详解】由题意画出图象如下：
根据题意，很明显，在D点处，
直线与函数的图象相切，D点即为切点．
则有，在点D处，，．而，
且，
∴．
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题考查根据函数图象关系求解参数的取值，关键在于结合直线与曲线的几何位置关系利用导数的几何意义建立等式求解.
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式直接代入求公差和公比即可；
（2）利用等比数列的前项和公式即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且.
由，，得，解.
所以.
由，，得，又，解得.
所以.
（2）由（1）可知
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
因为恒成立，
即实数的取值范围为
18．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的值；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理运算求解；
（2）根据正弦定理得到，从而得到，根据题意结合角C的取值范围运算求解.
【详解】（1）由正弦定理得：，整理得：，
由余弦定理得：，
∵，则.
（2）由（1）可得：，且，
锐角中，由正弦定理得：，
可得，
则，
∵锐角三角形，且，则，
即，解得，
即，且，
可得，则，
故的范围是.
19．（2023春·广东广州·高三统考期末）如图，在正三棱柱中，已知，且D为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，设，连接，即可得到，从而得证；
（2）取的中点，连接、，即可证明平面，则为直线与平面所成角，再由勾股定理求出、，再由锐角三角函数计算可得；
（1）
证明：连接，设，连接，
在正三棱柱中，四边形为矩形，则为的中点，
又为的中点，所以，平面，平面，
所以平面
（2）
解：取的中点，连接、，在正三棱柱中，平面，平面，
所以，又为等边三角形，所以，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成角，
因为，所以，
，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为；
20．（2023秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 A大学 B大学 C大学 D大学
2022年毕业人数x（千人） 7 6 5 4
2022年考研人数y（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
【答案】(1)
(2)① 300（万元）；②
【分析】（1）利用参考公式分别求出与，代入即可求得；
（2）对于①，利用（1）中的代入估计得选择考研的人数，即可求得结果；
对于②，先设小浙与小江两人中选择考研的的人数为X，求出其数学期望，进而求得考研补贴的数学期望，计算，结合即可求得结果.
【详解】（1）由题意得，，
又，∴
∵，∴，
∴，所以，
故得y关于x的线性回归方程为．
（2）①将代入，
估计该省要发放补贴的总金额为（万元）
②设小浙、小江两人中选择考研的的人数为X，则X的所有可能值为0，1，2；
，
，
，
∴，
∴，解得，
又，∴，∴，
故p的取值范围为．
21．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分类讨论并利用导数去判定函数的单调性即可解决；
（2）构造新函数并利用导函数与函数单调性的关系去证明转化后的不等式即可解决.
【详解】（1）的定义域为.
当时，在上单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
综上：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，，由（1）知，在单调递增，
在单调递减，所以
又，所以在区间上存在零点，
又因为在单调递减，故在区间上存在唯一的零点；
因为，所以在区间上存在零点，
又因为在单调递增，所以在区间存在唯一的零点.
所以，函数有且仅有两个零点，不妨设.
要证，只需证明，
又因为，且，
所以只需证明，又，只需证明，
即证明，
构造函数，，所以
，
所以在区间上单调递增，所以，
所以，从而得证，所以得证.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法常用的有以下两种：
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论 型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．
22．（2020·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点，过点P作直线的垂线，垂足为M，的中点H在y轴上，且.设点P的轨迹为曲线Q.
（1）求曲线Q的方程；
（2）已知点，A为曲线Q上一点，直线交曲线Q于另一点B，且点A在线段上，直线交曲线Q于另一点C，内切圆的半径是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析
【解析】（1）设点，依题意可得，利用两点间距离公式即可求出曲线的方程；
（2）设，，，，， ，设直线的方程：，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，直线的方程为：，与抛物线联立可得，所以轴，设内切圆的圆心为，则点在轴上，利用分割面积法得到，令，，所以，利用函数的单调性可得的取值范围为，，故内切圆的半径的最小值不存在．
【详解】解：（1）设点，依题意可得，则，
化简为：，
所以曲线Q的方程为：.
（2）设，，，直线与轴交点为，直线与内切圆的切点为.
设直线的方程为：，
则联立方程组，
得，
∴，且，∴，
直线的方程为：，
与抛物线联立，
得，
化简得，
解得：或，
∴，
∵上面已证，
∴，故轴，
设的内切圆圆心为G，则点G在x轴上且.
∴，
且的周长为，
∴，
∴
.
令，∵，∴，
∴在区间上单调递增，
则，即r的取值范围为.
故的内切圆半径的最小值不存在，也就是最小值无限接近，但是取不到.
【点睛】本题考查抛物线的方程，结合三角形的内切圆，利用函数的单调性求出半径的范围，还涉及联立方程组合韦达定理，考查计算能力.
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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（六）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023秋·广东深圳·高三校考期末）若全集，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
3．（2023·广东·统考二模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考期中）函数的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．y＝f(x)的递增区间为，k∈Z
B．
C．成立的区间可以为
D．y＝f(x)其中一条对称轴为
5．（2023秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018秋·广东韶关·高三韶关市第一中学校考期末）设非零向量，满足，则
A．⊥ B．
C．∥ D．
7．（2023春·广东东莞·高三东莞市光明中学校考阶段练习）若的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-1 D．1
8．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）已知，为函数的零点，，下列结论中错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．a的取值范围是
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东清远·高三校考阶段练习）已知正四棱台中，，，高为2，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则以下正确的是（ ）
A．平面平面
B．点到平面的距离是点到平面的距离的
C．若点为的中点，则三棱锥外接球的表面积为
D．异面直线与所成角的正切值的最小值为
10．（2023秋·广东·高三统考阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的一个周期为
B．函数的图像关于对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的最小值为2
11．（2023·广东·统考二模）现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：
甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24；
乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26；
丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6；
根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（ ）
A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分
B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分
C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分
D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24
12．（2023·广东·统考二模）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东佛山·高三罗定邦中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则________.
14．（2023·广东·统考二模）已知直四棱柱的棱长均为2，，除面ABCD外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点E，F，G，H，Ⅰ，则由点E，F，G，H，Ⅰ构成的四棱锥的体积为______．
15．（2023秋·广东江门·高三台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为______.
16．（2020·广东江门·统考模拟预测）已知函数的图象与直线恰有四个公共点，，，，其中，则__________．
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）已知数列是等差数列，数列是公比大于零的等比数列，且
，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若是数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围.
18．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的值；
(2)若，求的取值范围．
19．（2023春·广东广州·高三统考期末）如图，在正三棱柱中，已知，且D为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的余弦值．
20．（2023秋·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人．某省统计了该省其中四所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），得到如下表格：
大学 A大学 B大学 C大学 D大学
2022年毕业人数x（千人） 7 6 5 4
2022年考研人数y（千人） 0.5 0.4 0.3 0.2
(1)已知y与x具有较强的线性相关关系，求：y关于x的线性回归方程；
(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴．
①若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：
②若大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为，，该省对小浙、小江两人的考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求的取值范围．
参考公式：，．
21．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且．
22．（2020·广东佛山·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点，过点P作直线的垂线，垂足为M，的中点H在y轴上，且.设点P的轨迹为曲线Q.
（1）求曲线Q的方程；
（2）已知点，A为曲线Q上一点，直线交曲线Q于另一点B，且点A在线段上，直线交曲线Q于另一点C，内切圆的半径是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
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