2023届高三下学期4月高考理科数学猜题卷（全国卷）（含解析）

2023届高三下学期4月高考理科数学猜题卷（全国卷）
【满分：150 分】
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，.若，，则( )
A. B. C.1 D.3
2.设复数z满足，则( )
A. B. C. D.
3.的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积等于( )
A. B. C. D.
4.已知F是双曲线(，)的右焦点，点，连接AF与渐近线交于点M，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示：
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
根据上表可得y关于x的回归直线方程为，则当该产品的营销费用为6万元时，销售额为( )
A.40.5万元 B.41.5万元 C.42.5万元 D.45万元
6.已知函数的图象在点处的切线过点，则( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
7.的展开式中有理项的项数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
8.已知A，B为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
9.已知把函数的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则的最小正值为( )
A. B. C. D.
10.已知正三棱锥的四个顶点都在球O上，的外接圆半径为1，三棱锥的体积为，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为F，经过点且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，且，则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知函数则函数的零点个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知x，y满足约束条件，且（，）的最大值为1，则的最小值为___________.
14.已知向量,. 若, 则 ________.
15.已知抛物线的焦点到准线的距离为1,点F为抛物线的焦点,点M在抛物线上,点,若,则点M的横坐标为____________.
16.若正项数列的前n项和为，且，定义数列对于正整数m,是使不等式成立的n的最小值，则的前10项和为____________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 ～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22 、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17. （12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的大小；
(2)设D为线段AC上一点，，且满足，求AD的长.
18. （12分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，侧面为菱形，，且侧面底面ABC，点D为的中点，点E为直线与平面ABC的交点.
(1)试确定点E的位置，并证明：平面；
(2)求直线AB与平面所成角的正弦值.
19. （12分）为纪念中国共产党成立100周年,加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识,激发爱党爱国热情,坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心,某校举办了党史知识竞赛.竞赛规则是:两人一组,每一轮竞赛中,小组两人分别答3道题,若答对题目总数不少于5道题,则获得一个积分.已知甲、乙两名同学一组,甲同学和乙同学每道题答对的概率分别是和,且每道题答对与否互不影响.
(I)若,求甲、乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率;
(Ⅱ)若,且每轮比赛互不影响,若甲、乙同学这一组要想至少获得5个积分,从数学期望的角度分析,则理论上至少要进行多少
20. （12分）已知椭圆的长轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C上的点的直线l与x，y轴的交点分别为M，N，且，过原点O的直线m与l平行，且与C交于B，D两点，求面积的最大值.
21. （12分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22 、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设l与C相交于A，B两点，点P是C上任意一点，求面积最大时点P的坐标.
23. （10 分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为m，若，且，求的最小值.
答案以及解析
一、选择题
1.答案：B
解析：因为，故，故或，
若，则，，此时，符合；
若，则，，此时，不符合；
故选B.
2.答案：D
解析：依题意，
.故选D.
3.答案：A
解析：，，，又，C为锐角，，，由正弦定理，得，，故选A.
4.答案：A
解析：由已知得，，，，，，（舍负），故选A.
5.答案：C
解析：由题中表格数据可知，，因为回归直线一定经过点，所以，解得，
所以回归直线方程为，将代入，得.
所以当该产品的营销费用为6万元时，销售额为42.5万元.故选C.
6.答案：C
解析：由题意得，，则函数的图象在点处的切线方程为.因为函数的图象在点处的切线过点，所以，解得，故选C.
7.答案：C
解析：.又的展开式的通项，所以.当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.故选C.
8.答案：C
解析：，B为锐角，，，
，，
.故选C.
9.答案：C
解析：，，，即，解得，为最小正值，故选C.
10.答案：A
解析：设的外接圆的圆心为，连接，由于正三角形ABC的外接圆半径为1，所以正三角形ABC的边长为，三棱锥的体积，得.设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积.故选A.
11.答案：B
解析：抛物线C的准线方程为，直线l的方程为.如图，过点A，B分别作于点M，于点N，则.由得，点B为AP的中点.又因为O为PF的中点，连接OB，则，所以，故点B的横坐标为，将代入抛物线得，故点B的坐标为，由，解得，故选B.
12.答案：D
解析：根据题意，作的大致图象如图所示.
函数的零点个数即为的根的个数.
令，则
函数可转化为.
令，得，可得或.
由得或，即或.
数形结合得，方程有2个根，方程有1个根；
由得，，即.
数形结合得，方程有2个根，
所以方程的根有5个，即函数的零点个数为5，故选D.
二、填空题
13.答案：
解析：首先作出可行域，把变形为，根据图象可知当目标函数过点A时，取最大值为1，
，代入可得，则，当且仅当取等号，可知最小值为.故选C.
14.答案：-2
解析：因为向量，，,
所以 , 解得.
15.答案：或
解析：本题考查抛物线的方程与性质.依题意,,抛物线.过点M作准线以及直线的垂线,垂足分别为,则.因为,所以,即,故.根据对称性,不妨设M在第一象限,且,则,解得或,故点M的横坐标为或.
16.答案：1033
解析：当时，，解得.
当时，
整理，得.由题意得，
，故为等差数列，且.
令，则，且，，.
的前10项和为.
三、解答题
17.答案：(1).
(2).
解析：(1)由及正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
因为，所以.
(2)由(1)知，在中，由余弦定理得
，得，
则.
在中，，过D作于点E，则，
解得.
18.答案：(1)见解析.
(2)正弦值为.
解析：(1)延长线段，交AC的延长线于点E.
平面ABC，
平面ABC.
又平面，点E即为所求.
连接交直线于点F，连接FD.
，即，
点D为的中点.
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
为线段的中点，
为的中位线，
.
又平面平面，
平面.
(2)连接，取AC的中点O，连接，
侧面为菱形，，
.
又侧面底面ABC，侧面底面侧面，
平面ABC.
又为等边三角形，两两垂直.
以O为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设.由已知可得，则.
设平面的一个法向量为.
则有
取，则，即.
设直线AB与平面所成角为，
则，
即直线AB与平面所成角的正弦值为.
19.答案：(I)
(Ⅱ)15轮
解析：(I)设甲同学和乙同学答对的题目个数分别为和,
则所求概率
,
所以甲、乙同学在一轮竞赛中能获得一个积分的概率为.
(Ⅱ)甲、乙同学在一轮竞赛中获得一个积分的概率
.
因为,且,
所以,
所以,
当且仅当时,右边的等号成立,
即.
令,则,
设,
则,当时,恒成立,即在上单调递增,
所以当时,有最大值,即最大值为,
即甲、乙同学在一轮竞赛中获得一个积分的概率最大为.
甲、乙两同学在n轮竞赛中获得的积分数X满足,
由,得,
所以若甲、乙同学要想至少获得5个积分,理论上至少要进行15轮竞赛.
20.答案：（1）
（2）面积的最大值为2
解析：（1）由题意得解得
椭圆C的标准方程为.
（2）点A在椭圆上，，即.
由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
则，，
则，.
，，即，
直线l的斜率.
，直线BD的方程为，即.
联立解得，，
.
又点A到直线BD的距离，
.
又，当且仅当即时等号成立，
，，.
则面积的最大值为2.
21.答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，
，
，
，
所求切线方程为，即.
（2），
1°当时，若，则，，，
在上无零点，不符合题意.
2°当时，.
令，则，在上单调递增，
，，
（a）若，则，时，
在上恒成立，
在上单调递增，
，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增，，
在，上均无零点，不符合题意.
（b）若，则，时，存在，使得.
在上单调递减，在上单调递增.
，，.
（ⅰ）当，即时，在上恒成立，
在上恒成立，
在上单调递增.
，当时，，
在上无零点，不符合题意.
（ⅱ）当，即时，
存在，，使得，
在，上单调递增，在上单调递减.
，，当时，，
在上存在一个零点，
即在上存在一个零点，
，当时，，
在上存在一个零点，即在上存在一个零点.
综上，a的取值范围是.
22.答案：(1)曲线C的直角坐标方程为；直线l的普通方程为.
(2)坐标为.
解析：(1)由，得.
将代入上式，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
由(t为参数)，消去参数t得直线l的普通方程为.
(2)设曲线C的参数方程为(为参数)，
点P的坐标为，
则点P到直线l的距离.
又直线l与C相交于A，B两点，为定值，
所以当时，点P到直线l的距离最大，为，此时的面积最大，
所以当面积最大时点P的坐标为.
23.答案：(1) (2)
解析：(1)或或
解得或或，
所以，即不等式的解集为.
(2)，
当且仅当时取等号，所以
故.
由柯西不等式，
整理得，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为.