沪科版 八年级上册第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学情评估试题（含答案）

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学情评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是(　　)
A．2，3，4 B．3，6，6
C．2，2，6 D．5，6，7
2．如果∠A＝∠B＋∠C，那么△ABC是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
3．一个三角形的三边长之比是2∶2∶1，周长是10，则该三角形是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．以上都不对
4. 如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若BD＝5，DE＝2，则CD的长度为(　　)
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(第4题)
A．9 B．7 C．5 D．4
5．能说明命题“对于任何实数a，都有＝a”是假命题的反例是(　　)
A．a＝－2 B．a＝0 C．a＝1 D．a＝
6．等腰三角形的两边长分别为6和3，则这个三角形的周长是(　　)
A．12 B．15 C．12或15 D．18
7．下面的四个命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②过一点有且仅有一条直线和已知直线平行；③在同一平面内，过一点有且仅有一条直线和已知直线垂直；④同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行．真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．如图，在△ABC中，G是BC边上任意一点，D，E，F分别是AG，BD，CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为(　　)
A．6 B．8 C．12 D．4
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9．将一个直角三角尺和一把直尺如图放置，若∠α＝43°，则∠β的度数是(　　)
A．43° B．47° C．30° D．45°
10．如图，AB⊥AF，∠B，∠C，∠D，∠E，∠F的关系为(　　)
A．∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝270°
B．∠B＋∠C－∠D＋∠E＋∠F＝270°
C．∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°
D．∠B＋∠C－∠D＋∠E＋∠F＝360°
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．命题“如果m是整数，那么它是有理数”的逆命题为______________________________，这是一个________命题(填“真”或“假”)．
12．BM是△ABC中AC边上的中线，AB＝7 cm，BC＝4 cm，那么△ABM与△BCM的周长之差为________cm.
13．用长度相等的50根火柴棍，首尾相接摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，则最大边用了______根．
14．在△ABC中，BO平分∠ABC，点P为直线AC上一动点，PO⊥BO于点O.
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(第14题)
(1)如图①，当∠ABC＝40°，∠BAC＝60°，点P与点C重合时，∠APO＝____________；
(2)如图②，当点P在边AC所示位置时，写出∠APO与∠ACB，∠BAC的数量关系式：______________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，∠B＝48°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADC的度数．
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　 (第15题)
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，若∠BAD＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数．
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　 (第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角．
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断这个逆命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举一个反例．
18．已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足：a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，求△ABC的周长．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E.
(1)若∠A＝40°，∠BDC＝60°，求∠BED的度数；
(2)若∠A－∠ABD＝20°，∠EDC＝65°，求∠A的度数．
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(第19题)
20．如图，有如下三个条件：①AD∥BC，②∠B＝∠C，③AD平分∠EAC.
(1)请从这三个条件中选择两个作为条件，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果…，那么…”的形式写出来；(写出所有的真命题，不需要说明理由)
(2)请你在上述真命题中选择一个进行证明．
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(第20题)
已知：__________________________，
求证：__________________________．
证明：
六、(本题满分12分)
21．如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2.求证：△ABC是直角三角形．
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(第21题)
七、(本题满分12分)
22．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图①，在△ABC中，∠C ＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D.猜想∠B，∠C，∠EAD之间的数量关系，说明理由．
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(第22题)
(1)小亮阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入∠B，∠C的值求∠EAD的值，得到下面几组对应值：
∠B/度 10 30 30 20 20
∠C/度 70 70 60 60 80
∠EAD/度 30 20 15 a 30
上表中a＝________；
(2)猜想∠B，∠C，∠EAD之间的数量关系，说明理由；
(3)小亮突发奇想，交换B，C两个字母的位置，如图②，过EA的延长线上一点F作FG⊥BC交CB的延长线于G，当∠ABC＝80°，∠C＝20°时，∠F的度数为________°.
八、(本题满分14分)
23．如图①，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE.
(1)求证：∠BAE＝∠CED；
(2)如图②，AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是______；
(3)如图③，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G.求证：EG⊥AF.
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　(第23题)
答案
一、1.C　2.B　3.A　4.A　5.A　6.B　7.C
8．A　9.B
10．B　点拨：如图，连接AD.
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在△DMA中，∠DMA＋∠MDA＋∠MAD＝180°，
在△DNA中，∠DNA＋∠NDA＋∠NAD＝180°，
∴∠DMA＋∠MDA＋∠MAD＋∠DNA＋∠NDA＋∠NAD＝360°.
∵∠MAD＋∠NAD＝360°－∠BAF，
∴∠DMA＋∠DNA＋∠MDN＋360°－∠BAF＝360°.
∵AB⊥AF，∴∠BAF＝90°，
∴∠DMA＋∠DNA＝90°－∠MDN.
∵∠DMA＝∠1，∠DNA＝∠2，
∴∠1＋∠2＝90°－∠MDN.
∵∠1＝180°－∠B－∠C，∠2＝180°－∠E－∠F，
∴∠1＋∠2＝360°－(∠B＋∠C＋∠E＋∠F)，
∴90°－∠MDN＝360°－(∠B＋∠C＋∠E＋∠F)，
∴∠B＋∠C＋∠E＋∠F－∠MDN＝270°.
二、11.如果m是有理数，那么它是整数；假　12.3　13.24
14．(1)10°　(2)∠APO＝180°＋(∠BAC－∠ACB)
三、15.解：∵∠BAC＝50°，∠B＝48°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠B＝82°.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝25°，
∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠C＝73°.
16．解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝80°.
∵∠C＝70°，
∴∠B＝180°－∠BAC－∠C＝180°－80°－70°＝30°，
∴∠ADE＝∠B＋∠BAD＝30°＋40°＝70°.
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－70°＝20°.
四、17.解：(1)互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．
(2)假命题，反例：两个角都是直角．
18．解：∵a2＋2b2－4a－20b＋54＝0，
∴a2－4a＋4＋2b2－20b＋50＝0，
∴(a－2)2＋2(b－5)2＝0，
∴a－2＝0，b－5＝0，解得a＝2，b＝5.
∵△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且5－2＜c＜5＋2，
∴c＝4或5或6.
当c＝4时，△ABC的周长为2＋4＋5＝11；
当c＝5时，△ABC的周长为2＋5＋5＝12；
当c＝6时，△ABC的周长为2＋5＋6＝13.
综上，△ABC的周长为11或12或13.
五、19.解：(1)∵∠A＝40°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝60°－40°＝20°.
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBC＝2∠ABD＝40°.
∵DE∥BC，
∴∠BED＋∠EBC＝180°，
∴∠BED＝180°－40°＝140°.
(2)∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC.
∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD.
∵∠EDC＝∠EDB＋∠BDC＝∠EDB＋∠A＋∠ABD，
∴∠EDC＝∠A＋2∠ABD.
∵∠EDC＝65°，∴∠A＋2∠ABD＝65°.
∵∠A－∠ABD＝20°，∴∠A＝35°.
20．解：(1)如果①②，那么③；
如果①③，那么②；
如果②③，那么①.
(2)(答案不唯一)已知：AD∥BC，∠B＝∠C.求证：AD平分∠EAC.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠DAC＝∠C.
又∵∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠DAC，
∴AD平分∠EAC.
六、21.证明：由题意得AD⊥BC，BF平分∠ABC，
∴∠BED＋∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，
∴∠BED＋∠ABE＝90°.
又∵∠1＝∠BED，∠1＝∠2，
∴∠2＋∠ABE＝90°，
∴∠BAF＝90°，即△ABC是直角三角形．
七、22.解：(1)20
(2)猜想：∠EAD＝(∠C－∠B)．
理由：∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°－∠C.
∵AE平分∠BAC，∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∴∠EAC＝∠BAC＝90°－∠B－∠C，
∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝90°－∠B－∠C－(90°－∠C)＝(∠C－∠B)．
(3)30
八、23.(1)证明：∵AB⊥BC，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°.
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＋∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED.
(2)45°　点拨：过点F作FM∥AB交CB于点M.
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴AB∥CD，∴FM∥AB∥CD.
由(1)知∠BAE＝∠CED，
∵∠CED＋∠CDE＝90°，
∴∠BAE＋∠CDE＝90°.
∵AF，DF分别平分∠BAE和∠CDE，
∴∠CDF＝∠CDE，∠BAF＝∠BAE，
∴∠CDF＋∠BAF＝(∠BAE＋∠CDE)＝45°.
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF＋∠BAF＝45°.
(3)证明：∵EH平分∠CED，
∴∠CEH＝∠CED，
∴∠BEG＝∠CED.
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAG＝∠BAE.
由(1)知∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG.
∵∠BAE＋∠BEA＝90°，
∴∠BAG＋∠GAE＋∠AEB＝90°，
∴∠GAE＋∠AEB＋∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF.