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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（八）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出B集合的元素，再根据补集和并集的定义求解.
【详解】由题意，所以 ，所以 ；
故选：A.
2．（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.
【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
3．（2023春·广东揭阳·高三惠来县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】D
【分析】先由得到，再利用解出即可.
【详解】因为，故，又，
故，所以.
故选：D.
4．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知等差数列满足，，则值为（ ）
A．1024 B． C．256 D．
【答案】B
【分析】由对数运算，得出，再计算公差，由等差数列性质求出结果.
【详解】由已知，
因为数列是等差数列，设公差为，由，又，解得.
故有，，
.
故选：B.
5．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】设出双曲线半焦距，由双曲线渐近线斜率求出，再由余弦定理求出，判断形状即可求解作答.
【详解】设双曲线的半焦距为c，直线的方程为，有，如图
即有，而，解得，
在中，由余弦定理得：，
因此，即有，而，则，
又，于是，
所以双曲线的离心率.
故选：C
6．（2023春·广东广州·高三校考期中）在长方形中，已知，，，则的值是（ ）
A． B．22 C．13 D．
【答案】C
【分析】将目标向量用基底表达，利用数量积的运算律即可求得结果.
【详解】因为，，
故
.
故选：C.
7．（2023·广东深圳·统考二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.表示出3个几何体的表面积，得出，进而求出体积的平方，比较体积的平方大小，然后得出答案.
【详解】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.
正方体表面积为，所以，
所以，；
如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.
则，，所以，
所以，
所以，正四面体的表面积为，所以.
又为的中心，所以.
又根据正四面体的性质，可知，
所以，
所以，；
球的表面积为，所以，
所以，.
因为，
所以，，
所以，.
故选：B.
8．（2023秋·广东深圳·高三校考期中）定义在上的偶函数满足,当时,,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数和,判断出周期,根据的解析式判断出单调性,将根据奇偶性,周期性,对称性,转化至同一单调区间,判断的大小即可判断函数值的大小比较,不好判断时可利用放缩或构造函数进行大小判断.
【详解】解:由题知为偶函数,,
①,
将代换为可得:
②
①-②可得,
,
的一个周期为4.
，,
，,
时单调递增,
由以上可知:
;
,
,
将代入上式,则有,
,
,
,
将代入上式,则有,
,
,
若比较的大小,只需比较的大小,
,
只需要比较的大小,
两式相减可得:,
记,
,
,
单调递增,
则,
即,
故,
时单调递增,
,
,
.
故选:C
【点睛】(1)若,则周期为,若满足,周期均为,为非零常数;
(2)常用的放缩有:
;
当时取等;
,当时取等,
在大题中应用时需进行证明,做差求导求最值即可证明.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023·广东汕头·汕头市第二中学校考模拟预测）某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x（单位：万元）与年家庭消费y（单位：万元）的数据，制作了对照表：
x/万元 2.7 2.8 3.1 3.5 3.9
y/万元 1.4 1.5 1.6 1.8 2.2
由表中数据得回归直线方程为，得到下列结论，其中正确的是（ ）
A．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元
B．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元
C．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元
D．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元
【答案】BC
【分析】先求出样本中心点的坐标，再求出，即可判断得解.
【详解】由题得，
，
所以.
所以.
当时，，所以选项B正确，选项A错误;
因为，
所以若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元，
所以选项C正确，选项D错误.
故选：BC
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
10．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．单调递增
C．曲线在点处切线的斜率为
D．
【答案】BD
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断A，根据导函数即可判断函数单调性，根据导数的几何意义，即可求切线斜率，根据函数单调性和奇偶性，即可比较的大小.
【详解】解：函数定义域为R，又，所以函数为奇函数，故A错误；
，当时，，
当时，，，所以，
所以，
当时，，，所以，
所以，
综上恒成立，故单调递增，故B正确；
由B得，曲线在点处切线的斜率为，故C错误；
因为在R上单调递增，且，
所以，所以，故D正确.
故选：BD.
11．（2023春·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习）已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为
【答案】ABD
【分析】利用线面平行的判定推理判断A；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断B；计算三棱锥的体积判断C；利用空间向量求夹角判断D作答.
【详解】如图所示，
依题意，，平面，平面，则平面，A正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，则，，，
因此，，则，，
即是平面的一个法向量，所以平面，B正确；
三棱锥的体积为，C错误；
由B选项知，，，即，，
于是，，
所以直线与所成的角为，D正确．
故选：ABD
12．（2023秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
【答案】ABD
【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案.
【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象，
将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象，
将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象，
则函数的图象如图所示.
由图可得函数在区间上单调递增，A正确；
函数的图象关于直线对称，B正确；
若，但，若，关于直线对称，则，C错误；
函数有且仅有两个零点，D正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023·广东深圳·统考二模）若，则__________(精确到0.01).
参考数据：若，则，.
【答案】0.82
【分析】根据正态分布的均值和标准差计算概率.
【详解】因为，根据参考数据，.
故答案为：.
14．（2023秋·广东梅州·高三校考阶段练习）复数，则复数z的实部与虚部之和是___________.
【答案】
【分析】先化简求得再计算实部和虚部的和即可.
【详解】，故实部和虚部之和为.
故答案为：
15．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考期末）设是定义域为的奇函数，且.若，则______.
【答案】
【分析】先由的奇偶性与题设条件推得，从而证得是周期函数，进而利用的周期性与奇偶性求得.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，
又因为，所以，
所以，则是周期为的周期函数，
所以.
故答案为：.
16．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
【答案】
【分析】若选择线路，设，利用两角差的正切公式可得出关于的表达式，利用基本不等式可求得的值及的长；若选择线路，若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，利用斜率公式、两角差的正切公式以及基本不等式可求得结果.
【详解】若选择线路，设，其中，，，
则，，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；
若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，，
直线的方程为，设点，其中，
，，
所以，
，
令，则，
所以，
，
当且仅当时，即当，即当时，等号成立，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
此时，，
所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.
故答案为：；.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
(1)求A；
(2)若，且，求c的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角以及和差的正弦公式化简即可求解；
（2）结合余弦定理与条件即可求解.
【详解】（1）依题意，
因为，由正弦定理得：
，
由，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，所以.
（2）由（1）以及余弦定理变形式得：
即，
由，
解得或（舍去），
所以，.
18．（2023·广东广州·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取中点，连接，可证明，，进而可证平面，则结论成立；（2）过做平面，过做于，则为平面PAB与平面所成角，根据题中所给条件计算，的长，求出正切值，进而求出正弦值.
【详解】（1）取中点，连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，即，
因为，所以；
因为△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以；
，所以平面，平面，所以.
（2）过做平面，过做于，则为平面PAB与平面所成角，
由（1）可知：平面，平面，所以平面平面，平面平面，
则直线，由题意可知，，又，所以，在直角三角形中，，所以，，
过做于，则，
在中，，，则，，
所以，所以，，则.
19．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)1
【分析】（1）由题意分析的可能取值为0，1，2.分别求出概率，写出分布列；（2）由全概率公式得到，判断出数列为以为首项，以为公比的等比数列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，进而求出.
【详解】（1）（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，
所以，
所以，
又，
所以，数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,
又,
所以,
所以,
又,
所以,
所以,
所以,
所以.
20．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)表格见解析，可以认为
(2)（i）；（ii）109或110．
【分析】(1)根据独立性检验的方法求解即可；
(2)根据二项分布的概率公式列出不等式即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只）；
在内有（只），
在内有（只）．
由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；
而指标值小于60的小白鼠共有只，
所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，
故列联表如下：单位：只
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体 50 110 160
没有抗体 20 20 40
合计 70 130 200
零假设为:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联．
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，
此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件A=“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件B=“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体’’，
事件C=“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”，
记事件A，B，C发生的概率分别为，
则，，
，
所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率，
（ii）由题意，知随机变量，
，
因为最大，
所以，
解得
是整数，所以或，
接受接种试验的人数为109或110．
21．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据已知，得出的方程，然后联立与双曲线的方程，根据韦达定理得出坐标的关系，表示出弦长，最后根据面积公式，即可得出答案；
（2）①②为条件，③为结论：易得.又，.然后根据直线的斜率可得出.设点，则，即可得出坐标；①③为条件，②为结论：易得，.又，即可的得出，，求解，整理即可得出证明；②③为条件，①为结论：易得，平方整理可得.根据，得.进而根据，即可求出，平方整理，即可得出证明.
【详解】（1）由已知可得，，.
因为点，直线的斜率为，
所以直线的垂线的方程为，
整理可得，.
设点，，
联立直线与双曲线的方程可得，，
则，且，
所以，.
原点到直线的距离为，
所以，的面积为.
（2）
①②为条件，③为结论
令点，，且，
因为三点共线，所以.
又，所以点的坐标为，
所以直线的斜率为.
又，所以.
设点，
因为直线的斜率，
所以，
所以；
①③为条件，②为结论
令点，，且，
因为三点共线，所以.
又，所以点的坐标为，
又，点Q在x轴正半轴上，所以，
所以.
又，
所以，
所以，；
②③为条件，①为结论
令点，，且，不妨设.
因为三点共线，
所以，且.
因为，点Q在x轴正半轴上，所以.
因为，所以.
又，
所以，，且，
所以，，即.
【点睛】思路点睛：①②为条件，③为结论：先得出的斜率，根据，得出..然后根据两点坐标，表示出斜率，即可推出点的坐标.
22．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知函数，，其中且.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）分析可得等价于即，构建，结合导数证明即可；
（2）根据导数的几何意义分析可得，构建，利用导数证明在上有且只有两个零点即可.
【详解】（1）当时，，即，等价于即，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递减，在上单调递增，
可得，即，当且仅当时，等号成立；
可得，则，当且仅当时，即时，等号成立；
可得，则，当且仅当，即时，等号成立；
综上所述：.
但等号不同时取到，故，
∴，原式得证．
（2）由题意可得：，，
设直线l与相切于点，则切线斜率，直线l与相切于点，则切线斜率，
则，整理得，
由题意可得：，
消去可得：，
令，则，
则，
可得，
令，
要证两函数有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点．
且，令，
则，可得在定义域内单调递增，
且，
故在上有唯一零点，且，
∴当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，可知的最小值为，
又∵，
则，
注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近，
∴在和上分别存在一个零点，故有且只有两个零点，故原命题得证．
【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
(2)求导数，得单调区间和极值点；
(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
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2023年高考数学押题预测卷（新高考卷）（八）
说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东揭阳·高三惠来县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为若则的值为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
4．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知等差数列满足，，则值为（ ）
A．1024 B． C．256 D．
5．（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）已知双曲线C的右顶点为A，左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的渐近线在第一象限的交点为M，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
6．（2023春·广东广州·高三校考期中）在长方形中，已知，，，则的值是（ ）
A． B．22 C．13 D．
7．（2023·广东深圳·统考二模）设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·广东深圳·高三校考期中）定义在上的偶函数满足,当时,,则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023·广东汕头·汕头市第二中学校考模拟预测）某同学参加社会实践活动，随机调查了某小区5个家庭的年可支配收入x（单位：万元）与年家庭消费y（单位：万元）的数据，制作了对照表：
x/万元 2.7 2.8 3.1 3.5 3.9
y/万元 1.4 1.5 1.6 1.8 2.2
由表中数据得回归直线方程为，得到下列结论，其中正确的是（ ）
A．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.3万元
B．若某户年可支配收入为4万元时，则年家庭消费约为2.1万元
C．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.5万元
D．若年可支配收入每增加1万元，则年家庭消费相应平均增加0.1万元
10．（2023秋·广东广州·高三广州市第七中学校考阶段练习）已知函数，则（ ）
A．是偶函数
B．单调递增
C．曲线在点处切线的斜率为
D．
11．（2023春·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习）已知在棱长为的正方体中，点，，分别是，，的中点，下列结论中正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．三棱锥的体积为 D．直线与所成的角为
12．（2023秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）关于函数，下列描述正确的有（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数的图象关于直线对称
C．若，但，则
D．函数有且仅有两个零点
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023·广东深圳·统考二模）若，则__________(精确到0.01).
参考数据：若，则，.
14．（2023秋·广东梅州·高三校考阶段练习）复数，则复数z的实部与虚部之和是___________.
15．（2023秋·广东广州·高三执信中学校考期末）设是定义域为的奇函数，且.若，则______.
16．（2023·广东深圳·统考二模）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_________码时，到达最佳射门位置.
解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a b c分别为三内角A B C所对的边，且.
(1)求A；
(2)若，且，求c的值.
18．（2023·广东广州·统考一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面ABCD交角的正弦值.
19．（2023·广东茂名·统考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为.
(1)求的分布列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求的期望.
20．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示，实验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
抗体 指标值 合计
小于60 不小于60
有抗体
没有抗体
合计
(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．（单位：只）
(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小自鼠产生抗体．
（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ii）以（i）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示，当X =99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n．
参考公式：（其中为样本容量）
0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
21．（2023·广东深圳·统考二模）已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
22．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知函数，，其中且.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)证明：当时，曲线与曲线有且只有两条公切线．
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