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03 解答题压轴题纯含参二次函数问题（原卷版）
模块一 2022中考真题集训
1．（2022 北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
2．（2022 安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（，），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
3．（2022 长沙）若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在x1的图象的最高点的坐标．
5．（2022 贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
6．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
7．（2022 嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
8．（2022 杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
9．（2022 连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
10．（2022 赛罕区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（2）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（3）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M，N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B，点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，则m的值是多少？
11．（2022 婺城区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A是抛物线yx2+mx+2m+2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间（包括A，B两点）的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m﹣1．
（1）当m＝1时，
①图象G对应的函数y的值随x的增大而 （填“增大”或“减小”），自变量x的取值范围为 ；
②图象G最高点的坐标为 ．
（2）当m＜0时，若图象G与x轴只有一个交点，求m的取值范围．
（3）当m＞0时，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h，直接写出h与m之间的函数关系式．
12．（2022 保定二模）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，点B在点A的右侧，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）．
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标 ；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 ，顶点坐标为 ，点B （填“是”或“不”）在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围；
②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
13．（2022 都安县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）顶点为A．
（1）当m时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ；
（2）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）抛物线y＝2（x﹣m）2+2n（m的常数）的对称轴为直线x＝m．M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上任意两点，其中x1＜x2．若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2．求m的取值范围．
14．（2022 香洲区校级三模）直线yx+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．
（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；
（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．
15．（2022 柘城县校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．
①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．
16．（2022 新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2a+3与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）若点A，B均在x轴正半轴上，求OA+OB的值；
（2）若AB＝6，求a的值；
（3）过点P（0，1）作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点．若CD≥4，请直接写出a的取值范围．
17．（2022 柘城县校级四模）如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
18．（2022 路北区校级一模）已知抛物线：y＝x2+2ax（a＜0），抛物线上有两点A（m，y1），B（n，y2）（m＞0）．
（1）当a＝﹣1时，求抛物线的对称轴；
（2）当α为何值时．抛物线的顶点到两坐标轴的距离相等？
（3）求抛物线与x轴两交点之间的距离（用含α的式子表示）；
（4）当n＝m，且y1y2＜0时，直接写出m的取值范围（用含a的式子表示）．
19．（2022 亭湖区校级模拟）已知：二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．若△BCE的面积为16，求该二次函数的表达式．
20．（2022 亭湖区校级三模）已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3；
（3）当2≤x≤4时：二次函数的函数值y≥0恒成立，求k的取值范围．
21．（2022 博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；
（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．
22．（2022 海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．
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03 解答题压轴题纯含参二次函数问题（解析版）
模块一 2022中考真题集训
1．（2022 北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
思路引领：（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x，
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴，即t＜2．
由题意可知，点（x0，m）与点（1，m）关于x＝t对称；
∴t；
当t时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
综上，t的取值范围为：t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3．
总结提升：本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
2．（2022 安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（，），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
思路引领：（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴a+15+c，
∴ca，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
3．（2022 长沙）若关于x的函数y，当tx≤t时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）①由题意求出M＝6066，N＝2022，再由定义可求h的值；
②分两种情况讨论：②当k＞0时，M＝ktk+b，N＝ktk+b，hk；当k＜0时，M＝ktk+b，有N＝ktk+b，hk；
（2）由题意t1，M，N，则h，所以h有最大值；
（3）分四种情况讨论：①当2≤t时，M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k，h＝t﹣2；②当t2时，N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k，h＝2﹣t，；③当t2≤t，即2≤t，N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，h（t）2；④当t＜2≤t，N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，h（t）2，画出h的函数图象，结合图象可得4+k，解得k．
解：（1）①∵t＝1，
∴x，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
当k＜0时，函数y＝kx+b在tx≤t有最大值M＝ktk+b，有最小值N＝ktk+b，
∴hk；
综上所述：h＝|k|；
（2）t1，即t，
函数y（x≥1）最大值M，最小值N，
∴h，
当t时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t时，即t，
此时M＝﹣（t2）2+4+k，N＝﹣（t2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；
②当t2时，即t，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝﹣（t2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t2≤t，即2≤t，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值为；
④当t＜2≤t，即t＜2，
此时N＝﹣（t2）2+4+k，M＝4+k，
∴h（t）2，
∴h的最小值为；
h的函数图象如图所示：h的最小值为，
由题意可得4+k，
解得k；
综上所述：k的值为．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
4．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在x1的图象的最高点的坐标．
思路引领：（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a0，求m的取值即可；
②由题意求出Q点的横坐标为m，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m2m，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m，确定抛物线的解析式后即可求解．
解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m2m，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在x上的最高点坐标为（2，5）；
当m时，y＝﹣2（x）2，
此时抛物线的对称轴为直线x，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在x1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
5．（2022 贵阳）已知二次函数y＝ax2+4ax+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含a，b的代数式表示）；
（2）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，AB＝6，且图象过（1，c），（3，d），（﹣1，e），（﹣3，f）四点，判断c，d，e，f的大小，并说明理由；
（3）点M（m，n）是二次函数图象上的一个动点，当﹣2≤m≤1时，n的取值范围是﹣1≤n≤1，求二次函数的表达式．
思路引领：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）分类讨论a＞0，a＜0，根据抛物线对称轴及抛物线开口方向求解．
（3）分类讨论a＞0，a＜0，由抛物线开口向上可得m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，由抛物线开口向下可得m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，进而求解．
解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2﹣4a+b，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣2，﹣4a+b）．
（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＞c＞e＝f．
当a＜0时，抛物线开口向下，
∵3﹣（﹣2）＞1﹣（﹣2）＞（﹣1）﹣（﹣2）＝（﹣2）﹣（﹣3），
∴d＜c＜e＝f．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，x＞﹣2时，y随x增大而增大，
∴m＝﹣2时，n＝﹣1，m＝1时，n＝1，
∴，
解得，
∴yx2x．
当a＜0时，抛物线开口向下，x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴m＝﹣2时，n＝1，m＝1时，n＝﹣1，
∴，
解得．
∴yx2x．
综上所述，yx2x或yx2x．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．
6．（2022 天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
思路引领：（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1，a2（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为yx．即可得点E，F的坐标．
解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴，解得，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a．
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN′2＝9+49a2＝25．
解得a1，a2（舍）．
∴点P'的坐标为（﹣1，），点N′的坐标为（2，）．
∴直线P'N′的解析式为yx．
∴点E（，0），点F（0，）．
总结提升：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．
7．（2022 嘉兴）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．
（1）求抛物线L1的函数表达式．
（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
思路引领：（1）把（1，0）代入抛物线的解析式求出a即可；
（2）求出平移后抛物线的顶点关于原点对称点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，根据y1＞y2，构建不等式求解即可．
解：（1）∵y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0），
∴4a﹣4＝0，
∴a＝1，
∴抛物线L1的函数表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点（﹣1，﹣4），
将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点（﹣1，﹣4+m），
而（﹣1，﹣4+m）关于原点的对称点为（1，4﹣m），
把（1，4﹣m）代入y＝x2+2x﹣3得到，1+2﹣3＝4﹣m，
∴m＝4；
（3）抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，的解析式为y＝（x﹣n+1）2﹣4，
∵点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，
∴y1＝（2﹣n）2﹣4，y2＝（4﹣n）2﹣4，
∵y1＞y2，
∴（2﹣n）2﹣4＞（4﹣n）2﹣4，
解得n＞3，
∴n的取值范围为n＞3．
总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
8．（2022 杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．
（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．
（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．
思路引领：（1）根据A、B两点的坐标特征，可设函数y1的表达式为y1＝2（x﹣x1）（x﹣x2），其中x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标；
（2）把函数y1＝2（x﹣h）2﹣2，化成一般式，求出对应的b、c的值，再根据b+c式子的特点求出其最小值；
（3）把y1，y2代入y＝y1﹣y2求出y关于x的函数表达式，再根据其图象过点（x0，0），把（x0，0）代入其表达式，形成关于x0的一元二次方程，解方程即可．
解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），
∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．
∴抛物线的对称轴为直线x．
（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2
＝2（h﹣1）2﹣4．
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
（3）由题意得，y＝y1﹣y2
＝2（x﹣m） （x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）
＝ （x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．
∵函数y的图象经过点 （x0，0），
∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．
∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．
即x0﹣m＝0或x0﹣m．
总结提升：本题考查了二次函数表达式的三种形式，即一般式：y＝ax2+bx+c，顶点式：y＝a（x﹣h）2+k，交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
9．（2022 连云港）已知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4，其中m＞2．
（1）当该函数的图象经过原点O（0，0），求此时函数图象的顶点A的坐标；
（2）求证：二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．
思路引领：（1）把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4可得y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，即得函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），根据m＞2，（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，可知二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（，），将（，）代入y＝﹣x﹣2得c，可得OB＝﹣c，过点A作AH⊥OB于H，有S△AOBOB AH（）×1（b+1）2，由二次函数性质得△AOB面积的最大值是．
（1）解：把O（0，0）代入y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4得：
m﹣4＝0，
解得m＝4，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴函数图像的顶点A的坐标为（﹣1，﹣1）；
（2）证明：由抛物线顶点坐标公式得y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点为（，），
∵m＞2，
∴2﹣m＜0，
∴0，
∵（m﹣4）2﹣1≤﹣1＜0，
∴二次函数y＝x2+（m﹣2）x+m﹣4的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为y＝x2+bx+c，其顶点为（，），
当x＝0时，B（0，c），
将（，）代入y＝﹣x﹣2得：
2，
∴c，
∵B（0，c）在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴OB＝﹣c，
过点A作AH⊥OB于H，如图：
∵A（﹣1，﹣1），
∴AH＝1，
在△AOB中，
S△AOBOB AH（）×1b2b+1（b+1）2，
∵0，
∴当b＝﹣1时，此时c＜0，S△AOB取最大值，最大值为，
答：△AOB面积的最大值是．
总结提升：本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图像上点坐标的特征等，解题的关键是掌握二次函数的性质及数形结合思想的应用．
10．（2022 赛罕区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（2）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（3）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M，N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B，点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，则m的值是多少？
思路引领：（1）运用勾股定理建立方程求解即可；
（2）分两种情况进行讨论：①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解方程即可得出答案；②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解方程即可得出答案；
（3）分情况讨论：①当m＞1时，如图1，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；②当m＝1时，如图2，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；③当m＜1时，如图3，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，得出B（m，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m，求解即可；④当0≤m时，如图4，可得B（m，2），C（m，2﹣2m），则2﹣2m＝m，求解即可；⑤当m＜0时，如图5，B（m，2﹣2m），C（m，2），则|m|＝2，求解即可．
解：（1）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA，
∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；
（2）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，
①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，
解得：m（舍）或m，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，
解得：m，
综上所述，m的值为或；
（3）P（4，2）、Q（4，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m，
①当m＞1时，如图1，
∵2m＞2，2﹣2m＜0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；
②当m＝1时，如图2，
∵2m＝2，2﹣2m＝0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m的顶点在边PM边上，
即抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；
③当m＜1时，如图3，
∵1≤2m＜2，0＜2﹣2m≤1，P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m 或 x＝m（不合题意，应舍去），
∴B（m，2），C（m，2m），
根据题意得：2m＝m，
解得：m或m（不合题意，应舍去）；
④当0≤m时，如图4，
∴点B在PM边上，点C在NQ边上，
∴B（m，2），C（m，2﹣2m），
则2﹣2m＝m，
解得：m，
∵0≤m，
∴m，
⑤当m＜0时，如图5，
∵2m＜0，2﹣2m＞2，
∴点B在NQ边上，点C在PM边上，
B（m，2﹣2m），C（m，2），
则|m|＝2，
当m2时，得m2﹣2m+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无解；
当m2时，得m2+6m+3＝0，
解得：m＝﹣3或m＝﹣3，
当m＝﹣3时，
|m|＝|﹣3|＝24≠2，
不符合题意，舍去，
综上所述，m的值为或或﹣3．
总结提升：本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数图象和性质，矩形性质等相关知识，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．
11．（2022 婺城区校级模拟）在平面直角坐标系中，点A是抛物线yx2+mx+2m+2与y轴的交点，点B在该抛物线上，将该抛物线A，B两点之间（包括A，B两点）的部分记为图象G，设点B的横坐标为2m﹣1．
（1）当m＝1时，
①图象G对应的函数y的值随x的增大而 增大 （填“增大”或“减小”），自变量x的取值范围为 x≤1 ；
②图象G最高点的坐标为 （1，） ．
（2）当m＜0时，若图象G与x轴只有一个交点，求m的取值范围．
（3）当m＞0时，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为h，直接写出h与m之间的函数关系式．
思路引领：（1）①当m＝1时，抛物线的表达式为yx2+x+2，当函数y的值随x的增大而增大时，则图象在对称轴的左侧，即可求解；
②函数的对称轴为x＝1，当x＝1时，y，即点G的坐标为（1，）；
（2）求出点A、B的坐标，确定点A在点B的上方，进而求解；
（3）分m≤0，0＜m，m≤1，m＞1四种情况，分别确定点A、B、H的位置，进而求解．
解：（1）①当m＝1时，抛物线的表达式为yx2+x+4，
∵0，故抛物线开口向下，
当函数y的值随x的增大而增大时，图象在对称轴的左侧，
即x≤1，
故答案为：增大，x≤1；
②函数的对称轴为x＝1，
当x＝1时，yx2+x+4，
即点G的坐标为（1，），
故答案为：（1，）；
（2）当x＝2m﹣1时，yx2+mx+2m+2＝3m，
则点B的坐标为（2m﹣1，3m），
所以，点A的坐标为（0，2m+2），
∵m＜0，
则yB﹣yA＝3m2m﹣2＝m0，
即点A在点B的上方，
故当yA＞0且yB≤0时，符合题意，
即2m+2＞0且3m0，
解得﹣1＜m，
当抛物线顶点落在x轴上时，
此时m2﹣4×（）×（2m+2）＝0，
解得：m＝﹣2，
此时抛物线对称轴为直线x＝﹣2，B点横坐标为﹣5，符合题意，
综上，﹣1＜m或m＝﹣2；
（3）设抛物线的顶点为H，则点H（m，m2+2m+2），
由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为（0，2m+2），（2m﹣1，3m），
①当0＜m时，此时点A、B分别是G的最高和最低点，
则h＝yA﹣yB＝（2m+2）﹣（3m）＝﹣m；
②当m≤1时，此时点B、A分别是G的最高和最低点，
则h＝yB﹣yA＝m；
③当m＞1时，此时点H、A分别是G的最高和最低点，
则h＝yH﹣yAm2；
∴h．
总结提升：本题考查二次函数的综合应用，掌握一次和二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，确定图象上点的位置关系和分类求解是解题的关键．
12．（2022 保定二模）已知：如图，点O（0，0），A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，点B在点A的右侧，抛物线l：y＝kx2﹣2kx﹣3k（k≠0）．
（1）当k＝1时，求该抛物线与x轴的交点坐标 （﹣1，0），（3，0） ；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代数式表示）；
（3）当抛物线l经过点C（0，3）时，l的解析式为 y＝﹣x2+2x+3 ，顶点坐标为 （1，4） ，点B 不 （填“是”或“不”）在l上；若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）
①若l与线段AB总有公共点，求t的取值范围；
②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，直接写出t的取值范围．
思路引领：（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0，解方程即可得出答案；
（2）先确定出对称轴直线x1，再分k大于0和小于0两种情况讨论即可得出答案；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），A（﹣4，﹣1），将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，点B不在l上；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），当抛物线经过点B时，有y＝﹣5，当抛物线经过点A时，有y＝﹣21，l与线段AB总有公共点，则﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），于是，解得4≤t＜5．
解：（1）当k＝1时，该抛物线解析式y＝x2﹣2x﹣3，
y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线与x轴的交点坐标（﹣1，0），（3，0）；
（2）抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3k的对称轴直线x1，
∵k＜0，
∴x＝1时，y有最大值，y最大值＝k﹣2k﹣3k＝﹣4k；
当k＞0时，x＝3时，y有最大值，y最大值＝9k﹣6k﹣3k＝0；
（3）当抛物线经过点C（0，3）时，
﹣3k＝3，k＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标（1，4），
∵A（﹣4，﹣1），线段AB与x轴平行，且AB＝2，
∴B（﹣2，﹣1），
将x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣5≠﹣1，
∴点B不在l上，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3，（1，4），不；
①设平移后B（﹣2，﹣1﹣2t），A（﹣4，﹣1﹣2t），
当抛物线经过点B时，有y＝﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
当抛物线经过点A时，有y＝﹣（﹣4）2+2×（﹣4）+3＝﹣21，
∵l与线段AB总有公共点，
∴﹣21≤﹣1﹣2t≤﹣5，
解得2≤t≤10；
②平移过程中，设C（0，3﹣3t），则抛物线的顶点（1，4﹣3t），
∵抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，
，
解得4≤t＜5．
总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象的性质与平移规律是解题的关键．
13．（2022 都安县校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）顶点为A．
（1）当m时，点A的坐标是 （，1） ，抛物线与y轴交点的坐标是 （0，） ；
（2）若点A在第一象限，且OA，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）抛物线y＝2（x﹣m）2+2n（m的常数）的对称轴为直线x＝m．M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上任意两点，其中x1＜x2．若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2．求m的取值范围．
思路引领：（1）将m代入抛物线解析式中，即可得出顶点坐标，再令x＝0，即可求得答案；
（2）运用勾股定理建立方程求解即可；
（3）由题意点（x1，0），（x2，0）连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．
解：（1）当m时，y＝2（x）2+1，
∴顶点A（，1），
令x＝0，得y，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），
故答案为：（，1），（0，）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA，
∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵y＝2（x﹣m）2+2n的对称轴为直线x＝m．M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线上任意两点，
∵x1＜x2，x1+x2＞3，都有y1＜y2．
∴m，
∴m．
总结提升：本题考查考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022 香洲区校级三模）直线yx+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解析式为y＝2x2﹣4ax+2a2+a．
（1）求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；
（2）若函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；
（3）取a＝﹣1，将线段AB平移得到线段A'B'，若抛物线y＝2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点，求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围．
思路引领：（1）根据坐标轴上点的特征分别令x＝0，y＝0即可求得点A，B的坐标，利用公式或运用配方法即可求得抛物线的对称轴；
（2）利用二次函数的性质建立方程求解即可得出答案；
（3）求出直线A′B′与抛物线相切时与y轴交点的纵坐标，再求出线段A′B′两个端点均落在抛物线上时直线A′B′与y轴交点的纵坐标，即可得出答案．
解：（1）在yx+1中，令x＝0，得y＝1，
∴B（0，1），
令y＝0，得x+1＝0，
解得：x＝2，
∴A（2，0），
∵y＝2x2﹣4ax+2a2+a＝2（x﹣a）2+a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝a；
（2）函数y＝2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，
当a时，32﹣16a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝3或a＝5（不符合题意，舍去）；
当a时，18﹣12a+2a2+a＝a+2，
解得：a＝4或a＝2（不符合题意，舍去）；
综上所述，a的值为3或4；
（3）当a＝﹣1时，y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵直线AB的解析式为yx+1，
∴设直线A′B′的解析式为yx+b，
与抛物线解析式联立，得：2x2+4x+1x+b，
整理得：4x2+9x+2﹣2b＝0，
当直线yx+b与抛物线只有一个公共点时，Δ＝81﹣16（2﹣2b）＝0，
解得：b，
当线段A′B′的两个端点恰好落在抛物线上时，|x1﹣x2|＝2，即（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，
∵x1+x2，x1x2，
∴2（1﹣b）＝4，
解得：b，
∴直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围为b．
总结提升：本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，平移变换的性质，直线与抛物线的交点，一元二次方程根与系数的关系的应用等，属于中档题．
15．（2022 柘城县校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，m）和点（6，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
（1）若m＝4，n＝﹣12，求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）已知点A（1，y1），B（4，y2）在该抛物线上，且mn＝0．
①比较y1，y2，0的大小，并说明理由；
②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线有交点，直接写出点A'的横坐标x的取值范围．
思路引领：（1）利用待定系数法解答即可；
（2）①利用分类讨论的方法分m＝0和n＝0两种情形讨论解答：分别求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性和二次函数的性质，数形结合的思想方法解答即可；
②结合函数的图象利用平移的性质分别求得A'的横坐标x的最小值与最大值即可得出结论．
解：（1）∵m＝4，n＝﹣12，
∴点（2，4）和点（6，﹣12）在抛物线y＝ax2+bx（a＜0）上．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，4）；
（2）①∵mn＝0，
∴m＝0或n＝0．
当m＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（2，0），
∴抛物线的对称轴为x1，
∴A（1，y1）为抛物线的顶点，
∴y1为函数的最大值且大于0，
∵点（2，0）在x轴上，
∴点B（4，y2）在x轴的下方，
∴y2＜0，
∴y1，y2，0的大小关系为：y1＞0＞y2；
当n＝0时，
∵抛物线y＝ax2+bx（a＜0）的开口方向向下，经过（0，0），（6，0），
∴抛物线的对称轴为x3，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，
由抛物线的对称性可知：（2，y2）在抛物线上，
∵0＜1＜2，
∴0＜y1＜y2．
综上，当m＝0时，y1＞0＞y2，当n＝0时，0＜y1＜y2；
②A'的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，﹣5＜x＜1．理由：
由①知：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝1，
∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′（1，y1），B′（﹣2，y2），
∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了6个单位，
∴A'的横坐标x的最小值为1﹣6＝﹣5，而最大值为1，
∴A'的横坐标x的取值范围为：﹣5＜x＜1；
由①知：当n＝0时，抛物线y＝ax2+bx的对称轴为x＝3，
∴点A，B关于对称轴对称的点的坐标分别为A′（5，y1），B′（2，y2），
∵将线段AB沿水平方向向左平移至B与B′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向左平移就没有交点了，而由B平移到B′平移了2个单位，
∴A'的横坐标x的最小值为1﹣2＝﹣1，
∵将线段AB沿水平方向向右平移至A与A′重合时，线段A'B'与抛物线有交点，再向右平移就没有交点了，而由A平移到A′平移了4个单位，
∴A'的横坐标x的最大值为1+4＝5，
∴A'的横坐标x的取值范围为：﹣1＜x＜5．
综上，A'的横坐标x的取值范围为：当n＝0时，﹣1＜x＜5，当m＝0时，﹣5＜x＜1．
总结提升：本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
16．（2022 新兴县校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣2a+3与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）若点A，B均在x轴正半轴上，求OA+OB的值；
（2）若AB＝6，求a的值；
（3）过点P（0，1）作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点．若CD≥4，请直接写出a的取值范围．
思路引领：（1）令y＝0，则ax2﹣4ax﹣2a+3＝0，A，B在x轴正半轴，由跟与系数的关系得出OA+OB＝x1+x2＝4；
（2）根据跟与系数的关系得出x1+x2＝4，x1 x2＝﹣2，然后由AB＝6解出a的值；
（3）联立方程组，化简得ax2﹣4ax﹣2a+2＝0，然后xC+xD＝4，xC xD，再由CD≥4求出a的取值范围．
解：（1）令y＝0，则ax2﹣4ax﹣2a+3＝0，
由根与系数的关系得：x1+x24，
∵点A，B均在x轴正半轴上，
∴OA＝x1，OB＝x2，
∴OA+OB＝x1+x2＝4；
（2）由（1）知，x1+x2＝4，x1 x22，
AB＝|x2﹣x1|6，
化简得：6，
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1符合题意，
∴a＝﹣1；
（3）∵过点P（0，1）作与x轴平行的直线交抛物线于C，D两点，
∴联立方程组，
化简得ax2﹣4ax﹣2a+2＝0，
∴xC+xD＝4，xC xD，
∴CD＝|xC﹣xD|，
∵CD≥4，
∴4，
化简得：1，
∴a≥1或a＜0．
总结提升：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是对二次函数图象和性质的综合运用．
17．（2022 柘城县校级四模）如图，抛物线y＝mx2﹣2mx+4经过点A，B，C，点A的坐标为（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，求y的最大值与最小值的差；
（3）若点P的坐标为（2，2），连接AP，并将线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，若线段A1P1与抛物线只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
思路引领：（1）将A点代入y＝mx2﹣2mx+4，可求函数的解析式及顶点坐标；
（2）当﹣2≤x≤2时，y的最大值为，最小值为0，即可求解；
（3）由题意可求A1（﹣2，a），P1（2，2+a），当P1在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则0≤a＜2时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；求出平移后直线A1P1的解析式yx+1+a，当直线与抛物线有一个交点时，求出a的值．
解：（1）将A点代入y＝mx2﹣2mx+4，
∴4m+4m+4＝0，
解得m，
∴yx2+x+4，
∵yx2+x+4（x﹣1）2，
∴顶点为（1，）；
（2）当x＝﹣2时，y＝0，
∴当﹣2≤x≤2时，y的最大值为，最小值为0，
∴y的最大值与最小值的差为；
（3）∵线段AP向上平移a（a≥0）个单位得到线段A1P1，
∴A1（﹣2，a），P1（2，2+a），
当P1在抛物线上时，﹣2+2+4＝2+a，
解得a＝2，
∴0≤a＜2时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；
设直线AP的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴yx+1，
∴yx+1+a，
当x+1+ax2+x+4时，x2﹣x+2a﹣6＝0，
∴Δ＝1﹣4（2a﹣6）＝0，解得a，
∴当a时，线段A1P1与抛物线只有一个交点；
综上所述：0≤a＜2或a时，线段A1P1与抛物线只有一个交点．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
18．（2022 路北区校级一模）已知抛物线：y＝x2+2ax（a＜0），抛物线上有两点A（m，y1），B（n，y2）（m＞0）．
（1）当a＝﹣1时，求抛物线的对称轴；
（2）当α为何值时．抛物线的顶点到两坐标轴的距离相等？
（3）求抛物线与x轴两交点之间的距离（用含α的式子表示）；
（4）当n＝m，且y1y2＜0时，直接写出m的取值范围（用含a的式子表示）．
思路引领：（1）确定函数的解析式后再求对称轴即可；
（2）求出抛物线的顶点为（﹣a，），由题意可得﹣a，求出a的值即可；
（3）令y＝0，则x2+2ax0，由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2a，x1 x2，则|x1﹣x2|a；
（4）抛物线与x轴的两个交点坐标分别为C（﹣aa，0），D（﹣aa，0），由题意可知A、B的横坐标差与CD相等，n＞m，点A只需在原点与D点之间，并且不与C点重合，则y1y2＜0，即可求0＜m＜﹣aa且m≠﹣aa．
解：（1）∵a＝﹣1，
∴y＝x2﹣x，
∴对称轴为直线x；
（2）∵y＝x2+2ax（x+a）2，
∴抛物线的顶点为（﹣a，），
∵顶点到两坐标轴的距离相等，
∴﹣a，
解得a＝﹣2；
（3）令y＝0，则x2+2ax0，
∴x1+x2＝﹣2a，x1 x2，
∴|x1﹣x2|a，
∴抛物线与x轴两交点之间的距离为a；
（4）令y＝0，则x2+2ax0，
解得x＝﹣aa或x＝﹣aa，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为C（﹣aa，0），D（﹣aa，0），
∵n＝m，
∴m﹣na，
∵CDa，
∴A、B的横坐标差与CD相等，
∵a＜0，
∴n＞m，
∴点A只需在原点与D点之间，并且不与C点重合，则y1y2＜0，
∴0＜m＜﹣aa且m≠﹣aa．
总结提升：本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根与系数的关系是解题的关键．
19．（2022 亭湖区校级模拟）已知：二次函数y＝ax2+bx+4（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．
（1）求C点坐标，并判断b的正负性；
（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．若△BCE的面积为16，求该二次函数的表达式．
思路引领：（1）确定C（0，4），根据OA＜OB，则对称轴在y轴右侧，可得b的正负；
（2）过点D作DM⊥Oy，得到，DMOA，求出D（m，6），B（4m，0）、OE＝8，由S△BEC4×4m＝16，即可求出m值，确定A，B的坐标，设y＝a（x+4）（x﹣8），结合点C坐标可得a值，即可得到函数表达式．
解：（1）在y＝ax2+bx+4中，令x＝0，
则y＝4，
∴C（0，4），
∵图像与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），
∴对称轴在y轴右侧，
∵a＜0，
∴b＞0；
（2）过点D作DM⊥y轴，垂足为M，
则DM∥OA，
∴，
∴DMOA，
设A（﹣2m，0），m＞0，
则AO＝2m，DM＝m，
∵OC＝4，
∴CM＝2，
∴D（m，6），B（4m，0），
则，
∴OE＝8，S△BEC4×4m＝16，
∴m＝2，
∴A（﹣4，0），B（8，0），
设y＝a（x+4）（x﹣8），
令x＝0，
则y＝﹣32a，
∴C（0，﹣32a），
∴﹣32a＝4，a，
∴．
总结提升：本题考查的是二次函数的图像及性质，掌握二次函数的性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
20．（2022 亭湖区校级三模）已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3；
（3）当2≤x≤4时：二次函数的函数值y≥0恒成立，求k的取值范围．
思路引领：（1）将点（1，3）代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k中，求解即可；
（2）将点（1，a），（3，b）分别代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k得出a，b，然后表示出ab，运用配方法求其最小值即可；
（3）分k﹣1＜0和k﹣1＞0讨论，k﹣1＜0时，只需，此时无解；k﹣1＞0时，再按对称轴的位置讨论，分三种情况列不等式，即可得出答案．
解：（1）将点（1，3）代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k中，
得：3＝k﹣1﹣2k+3k，
解得：k＝2；
（2）∵抛物线经过点（1，a），（3，b），
∴a＝k﹣1﹣2k+3k＝2k﹣1，b＝9k﹣9﹣6k+3k＝6k﹣9，
∴ab＝（2k﹣1）（6k﹣9）＝12k2﹣24k+9＝12（k﹣1）2﹣3，
∵12（k﹣1）2≥0，
∴12（k﹣1）2﹣3≥﹣3，
∵二次函数二次项系数不为0，即k﹣1≠1，即k≠1，
∴12（k﹣1）2﹣3＞﹣3，
即ab＞﹣3；
（3）二次函数为y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，对称轴，
当x＝2时，y＝3k﹣4，
当x＝4时，y＝11k﹣16，
①若k﹣1＜0，当2≤x≤4时，二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，只需，此时无解；
②若k﹣1＞0，当2≤x≤4时，二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，分以下三种情况：
（一）对称轴在直线x＝2或其左侧时，即，只需3k﹣4≥0，
解得k≥2，
（二）当时，只需顶点纵坐标为正，即，
解得，
（三）当时，只需11k﹣16≥0，
此时无解，
综上所述，当2≤x≤4时，二次函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k的函数值y≥0恒成立，k的取值范围为．
总结提升：本题考查二次函数的综合知识，解题的关键是掌握二次函数的基本性质，分情况讨论解决问题．
21．（2022 博望区校级一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0）．
（1）求a的值；
（2）若点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2ax﹣3上，求m+n的值；
（3）若一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是（x1，y1），（x2，y2）且x1＜0＜x2时，求函数w＝y1+y2的最小值．
思路引领：（1）把A的坐标代入y＝ax2﹣2ax﹣3即可求得a的值；
（2）先将（m，n）、（m+1，n+1）两点的坐标分别代入y＝x2﹣2x﹣3，得到n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，再用②﹣①求得出m＝1，进而由②求得n，即可求出m+n＝﹣3；
（3）由一次函数解析式可得直线过定点（﹣1，0），可得y1＝0，因为抛物线顶点坐标为（1，﹣4），则y2的最小值为﹣4，然后作和求解．
解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A（﹣1，0），
∴a+2a﹣3＝0，
∴a＝1；
（2）∵a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，
∵点B（m，n）与点C（m+1，n+1）都在抛物线y＝x2﹣2x﹣3上，
∴n＝m2﹣2m﹣3①，n+1＝（m+1）2﹣2（m+1）﹣3，即n＝m2﹣5②，
②﹣①得2m﹣2＝0，解得m＝1，
∴n＝m2﹣5＝﹣4，
∴m+n＝1﹣4＝﹣3；
（3）∵y＝（k+1）x+k+1＝（k+1）（x+1），
∴直线数y＝（k+1）x+k+1经过定点（﹣1，0），
∵x＝﹣1时，y＝x2﹣2x﹣3＝0，
∴一次函数y＝（k+1）x+k+1的图象与二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象的一个交点为（﹣1，0），
∵x1＜0＜x2，
∴x1＝﹣1，y1＝0，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4），
∴y2≥﹣4，
∴y1+y2≥﹣4，
∴w＝y1+y2的最小值为﹣4．
总结提升：本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握抛物线图象的性质，掌握求函数经过定点的方法．
22．（2022 海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．
思路引领：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线是x，由此即可求解；
（2）﹣1≤x≤3时，得出当x＝3时，函数的最大值为4，即可求出a的值，从而求出二次函数的顶点坐标；
（3）由条件得到抛物线两点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x对称，推出x1+x2≠1由，t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，即可求出t的取值范围．
解：y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，
（1）二次函数对称轴是直线x；
（2）∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）图像开口向上，（﹣1）＜3，
∴﹣1≤x≤3，当x＝3时，二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）取得最大值，是4，
∴当x＝3时，y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝9﹣3﹣a2﹣a＝4，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a1＝1，a2＝﹣2，
∵a＞0，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝x2﹣x﹣2，
∴此二次函数的顶点坐标是（，）；
（3）∵抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2），对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，
∴点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x对称，
∴x1+x2≠1，
∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
∴2t+2＜x1+x2＜2t+4，
∴2t+2≥1或2t+4≤1，
∴t或t．
总结提升：本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数对称轴，顶点坐标的求法及由二次函数的性质列不等式．
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