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05 解答题重点出题方向圆的证明与计算（原卷版）
模块一 2022中考真题解析
1．（2022 南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
2．（2022 呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC，BD＝4，求AE．
3．（2022 娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
4．（2022 武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
5．（2022 威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
6．（2022 湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
7．（2022 广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
8．（2022 黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC，求⊙O的半径．
9．（2022 淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
10．（2022 徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
11．（2022 鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA，求△OCD的面积．
12．（2022 娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC＝3，CD，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．
13．（2022 宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
14．（2022 攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
15．（2022 济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
16．（2022 铜仁市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA，求EF的长．
17．（2022 恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
18．（2022 临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
19．（2022 随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝4，sinC，
①求⊙O的半径；②求BD的长．
20．（2022 天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
21．（2022 新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
22．（2022 绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．
23．（2022 宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
24．（2022 北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
25．（2022 扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA，OA＝8，求CB的长．
26．（2022 陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
27．（2022 阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
28．（2022 东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
29．（2022 锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF，求⊙O的半径．
30．（2022 鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC，求⊙O的半径．
31．（2022 菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB，求CG的长．
32．（2022 黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．
33．（2022 鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD，求OE的长．
34．（2022 枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求AD的长．
35．（2022 金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
36．（2022 福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
37．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
38．（2022 荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
39．（2022 益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
40．（2022 潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
41．（2022 德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
42．（2022 淄博）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．
43．（2022 黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE AP的值．
44．（2022 绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
45．（2022 西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE，⊙O的半径为2，求FM的长．
46．（2022 西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
47．（2022 青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
48．（2022 柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023 红桥区模拟）已知PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A，B不重合．
（1）如图①，若∠P＝26°，求∠C的大小；
（2）如图②，AC⊥OB，垂足为D，若∠P＝∠C，OB＝2，求AC的长．
2．（2023 蜀山区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：∠EAC＝∠ADC
（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．
3．（2023 合肥一模）如图1，AB为⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于D，点E为AB延长线上一点，CE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BCE＝∠BOD；
（2）如图2，取弧AC的中点P，连接OP，AP，若AB＝13，BC＝5，求弦PA的长．
4．（2023 大连模拟）△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线AD切⊙O于点A，过点B作BF∥AC，交⊙O于点E，交AD于点F．
（1）如图1，求证：四边形ACBF为平行四边形；
（2）如图2，连接CE，延长BO交FA的延长线于点G，BC＝6，CE＝3，求BC的长．
5．（2023 碑林区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．
6．（2023 庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°．
（1）若AB＝2，求PD的长度；
（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．
7．（2023 莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若，求CF的长．
8．（2023 定远县校级模拟）如图1，已知AB是半圆O的直径，BC是半圆O的切线，OC平行于弦AD．
（1）连接BD，若BD＝BC，求∠C的度数；
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，连接AC与DE交于点P，求证：PD＝PE．
9．（2023 松原一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．
10．（2023 西安二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．
（1）求证：∠DBE＝∠EBA；
（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．
11．（2023 工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．
12．（2023 榆阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，点E是AB上的一点，以AE为直径的⊙O与BD相切于点M，⊙O交AC于点G，过点G作GF⊥AE交⊙O于另一点F，连接AF．
（1）求证AF∥BD；
（2）若AB＝6，BC＝8，求⊙O半径的长．
13．（2023 长丰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC．
（2）若BE＝2，CE＝4，求AD的长．
14．（2023 庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，连接BD交AC于点P．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若CEAD＝4，求tan∠ABD的值．
15．（2023 雁塔区校级模拟）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．
16．（2023 碑林区校级三模）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OB与EF交于点P，若OG＝3，EG＝4，求PG的长．
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05 解答题重点出题方向圆的证明与计算（解析版）
模块一 2022中考真题解析
1．（2022 南通）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；
（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．
解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝24；
（2）∵BE＝5，
∴CE＝3，
∵BC＝DC，
∴S阴影＝S△CDE26．
总结提升：本题考查了圆的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．（2022 呼和浩特）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tanC，BD＝4，求AE．
思路引领：（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）利用（1）的结论可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．
（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC，
∴AD＝CD tanC＝42，
∴AC2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴，
∴，
∴CE，
∴AE＝CE﹣AC，
∴AE的长为．
总结提升：本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
3．（2022 娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．
（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．
思路引领：（1）证明四边形DEGF是平行四边形，可得结论；
（2）当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．证明OJ∥AB，可得结论．
（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，
∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，
∵D，C，F共线，
∴G，B，E共线，
∴DF∥EG，DF＝GE，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴EF与BC互相平分．
当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，
∴EG＝2GF，
∴∠GEF＝30°，
∴θ＝90°﹣30°＝60°；
（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．
理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．
∵四边形BCFG是菱形，
∴∠G＝∠FCO＝90°，
∵EF与BC互相平分，
∴OC＝OB，
∴CF＝BC，
∴FC＝2OC，
∴tan∠FOC＝tan∠ABC，
∴∠ABC＝∠FOC，
∴OJ∥AB，
∵OC＝OB，
∴CJ＝AJ，
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠OJC＝90°，
∴EF垂直平分线段AC．
总结提升：本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4．（2022 武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
思路引领：（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键．
5．（2022 威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
思路引领：（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC．
总结提升：此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
6．（2022 湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
思路引领：（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD6．
∴OBBD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BEAB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC3．
∵AE BE＝EG EC，
∴EG．
总结提升：本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．
7．（2022 广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
思路引领：（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD．
即CD的长为：．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解答本题的关键．
8．（2022 黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．
①求证：BD⊥AD；
②若AC＝6，tan∠ABC，求⊙O的半径．
思路引领：（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．
（1）解：如图1，⊙O即为△ABC的外接圆；
（2）①证明：如图2，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∵点B是的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠EAB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠EAB，
∴∠CAB＝∠OBA，
∴OB∥AD，
∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得：∠AEC＝∠ABC，
∵tan∠ABC，
∴tan∠AEC，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴，
∵AC＝6，
∴EC＝8，
∴AE10，
∴⊙O的半径为5．
总结提升：本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．（2022 淮安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB＝60°，AD经过圆心O交⊙O于点E，连接BD，∠ADB＝30°．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）连接BE，根据圆周角定理得到∠AEB＝∠C＝60°，连接OB，根据等边三角形的性质得到∠BOD＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，解直角三角形得到OB，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：（1）直线BD与⊙O相切，
理由：连接BE，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AEB＝∠C＝60°，
连接OB，
∵OB＝OE，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OB⊥BD，
∵OB是⊙O的半径，
∴直线BD与⊙O相切；
（2）∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝4，
∴sin∠AEB＝sin60°，
∴AE＝8，
∴OB＝4，
∴BDOB＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBD﹣S扇形BOE48．
总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2022 徐州）如图，点A、B、C在圆O上，∠ABC＝60°，直线AD∥BC，AB＝AD，点O在BD上．
（1）判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）由切线的判定定理，可证明；
（2由弓形面积公式，可求解．
解：（1）直线AD与圆O相切，
连接OA，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠DBC＝∠ABD＝30°，
∠BAD＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABD＝30°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与圆O相切，
（2）连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴OHOB＝3，BHOH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∴扇形OBC的面积为：12π，
∵S△OBCBC OH63＝9，
∴阴影部分的面积为：12π﹣9．
总结提升：本题考查圆的切线的判定定理，弓形面积求法，关键是掌握切线的判定方法，弓形面积的表示方法．
11．（2022 鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA，求△OCD的面积．
思路引领：（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，进而得出∠OAC+∠OBC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠OBC＝∠OCB，结合已知得出∠PCB+∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，即可得出PC是⊙O的切线；
（2）由tanA，得出，由△PCB∽△PAC，得出，进而求出PB＝2，PA＝8，OC＝3，由平行线分线段成比例定理得出，进而求出CD＝6，即可求出△OCD的面积．
解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠PCB＝∠OAC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，tanA，
∵tanA，
∴，
∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∵PC＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，
∴OC＝OB＝OA＝3，
∵BC∥OD，
∴，即，
∴CD＝6，
∵OC⊥CD，
∴3×6＝9．
总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键．
12．（2022 娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC＝3，CD，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．
思路引领：（1）连接OD，证明OD∥BC，则∠ODA＝∠C＝90°，再根据圆的切线的判定定理证明AC是⊙O的切线；
（2）①根据三角函数定义可得结论；
②计算cos∠DBC的值，并计算2sin∠DBC cos∠DBC的值，可得结论：sin∠ABC＝2sin∠DBC cos∠DBC；并用α＝30°可得结论．
解：（1）AC是⊙O切线，理由如下：
如图，连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠OBD＝∠DBC，
∴∠ODB＝∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠ODA＝∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD，
∴AC是⊙O的切线；
（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD，
∴BD，
∴sin∠DBC，
如图2，连接DE，OD，过点O作OG⊥BC于G，
∴∠ODC＝∠C＝∠CGO＝90°，
∴四边形ODCG是矩形，
∴OG＝CD，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴cos∠DBE＝cos∠CBD，
∴，
∴，
∴BE，
∴OBBE，
∴sin∠ABC；
②∵2sin∠DBC cos∠DBC＝2，
∴sin∠ABC＝2sin∠DBC cos∠DBC；
猜想：sin2α＝2sinαcosα，理由如下：
当α＝30°时，sin2α＝sin60°，
2sinαcosα＝2，
∴sin2α＝2sinαcosα．
总结提升：此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、三角函数的定义等知识，解题的关键是正确的作出所需要的辅助线，掌握三角函数的定义进行解题．
13．（2022 宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAC＝90°，可得结论；
（2）根据图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD可得结论．
解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：
∵∠ABC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，
∴BA⊥AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切；
（2）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，
∵AO＝OB，AB＝4，
∴S△ABD AB OD4×2＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD
4×44
＝8﹣2﹣π
＝6﹣π．
总结提升：本题考查了切线的判定，勾股定理，扇形的面积，等腰三角形的性质．解题的关键：（1）熟练掌握切线的判定；（2）利用等腰三角形的性质解决问题．
14．（2022 攀枝花）如图，⊙O的直径AB垂直于弦DC于点F，点P在AB的延长线上，CP与⊙O相切于点C．
（1）求证：∠PCB＝∠PAD；
（2）若⊙O的直径为4，弦DC平分半径OB，求：图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）连接OC，根据切线的性质得到∠PCB+∠OCB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，根据圆周角定理得到∠ADF＝∠OBC，等量代换证明结论；
（2）连接OD，根据直角三角形的性质求出∠ODF＝30°，根据三角形的面积公式得到S△CFB＝S△DFO，根据扇形面积公式计算，得到答案．
（1）证明：连接OC，
∵CP与⊙O相切，
∴OC⊥PC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB⊥DC，
∴∠PAD+∠ADF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
由圆周角定理得：∠ADF＝∠OBC，
∴∠PCB＝∠PAD；
（2）解：连接OD，
在Rt△ODF中，OFOD，
则∠ODF＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵AB⊥DC，
∴DF＝FC，
∵BF＝OF，AB⊥DC，
∴S△CFB＝S△DFO，
∴S阴影部分＝S扇形BODπ．
总结提升：本题考查的是切线的性质、扇形面积计算、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
15．（2022 济南）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
思路引领：（1）连接OC，利用切线的性质可得∠OCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD＝60°，从而利用圆周角定理可得∠A＝30°，最后根据等角对等边，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而利用（1）的结论可得BCAB＝6，再利用角平分线的定义可得∠BCE＝45°，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BCAB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC sin45°＝63，
∴线段BF的长为3．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．（2022 铜仁市）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝CB；
（2）若AB＝18，sinA，求EF的长．
思路引领：（1）连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通过证明得出∠A＝∠C，结论得证；
（2）连接BD，在Rt△ABD中，利用sinA求得线段BD的长；在Rt△BDF中，利用sin∠A＝sin∠FDB，解直角三角形可得结论．
（1）证明：连接OD，如图1，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC；
（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，如图2，
在Rt△ABD中，
∵sinA，AB＝18，
∴BD＝6．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF，
∴BF＝2．
由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴．即：．
解得：BE．
∴EF．
总结提升：本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
17．（2022 恩施州）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
（1）求证：∠ADE＝∠PAE．
（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．
（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．
思路引领：（1）连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；
（2）利用（1）的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
（3）CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，OA＝OE，OC＝OE﹣CE，OP＝OE+PE，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．
（1）证明：连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴∠OAE+∠PAE＝90°．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠ADE＝∠PAE；
（2）证明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，
∵∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．
∵∠AED＝∠PAE+∠APE，
∴∠APE＝∠PAE＝30°，
∴AE＝PE；
（3）解：设CE＝x，则DE＝CD+CE＝6+x，
∴OA＝OE，
∴OC＝OE﹣CE，
OP＝OE+PE．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴，
∴，
即：x2+10x﹣24＝0．
解得：x＝2或﹣12（不合题意，舍去），
∴CE＝2．
总结提升：本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．
18．（2022 临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．
思路引领：（1）连接OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，证出∠BOE＝∠OCB，则可得出结论；
（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
（1）证明：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBE＝90°，
∴∠E+∠BOE＝90°，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
∴∠D+∠DCB＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OCB，
∴∠D＝∠E；
（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，
∴OF＝EF＝3，
∴OE＝6，
∴BOOE，
∵∠OBE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
∴OG，BG，
∴S△BOGOG BG，S扇形BOFπ，
∴S阴影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG．
总结提升：本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
19．（2022 随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝4，sinC，
①求⊙O的半径；
②求BD的长．
思路引领：（1）结论：CD是⊙O的切线；只要证明OD⊥CD即可；
（2）①根据sinC，构建方程求解即可；
②证明△CDA∽△CBD，推出，设ADk，BD＝2k，利用勾股定理求解即可．
解：（1）结论：CD是⊙O的切线；
理由：如图，连接OD．
∵EB＝ED，OB＝OD，
∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，
∵BE是⊙O的切线，OB是半径，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①设OD＝OA＝r，
∵OD⊥CD，
∴sinC，
∴，
∴r＝2，
∴⊙O的半径为2；
②在Rt△COD中，CD4，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠ADC+∠ODA＝90°，
∴∠ADC＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CBD，
∴，
设ADk，BD＝2k，
∵AD2+BD2＝AB2，
∴（k）2+（2k）2＝42，
∴k（负根已经舍去），
∴BD＝2k．
总结提升：本题考查作切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2022 天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．
思路引领：（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据余弦的定义求出AC；
（Ⅱ）根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
解：（Ⅰ）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵C为的中点，
∴，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB cos∠CAB＝3；
（Ⅱ）∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC4，
∵OD⊥BC，
∴ECBC＝2，
∴FD＝2．
总结提升：本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．
21．（2022 新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．
（1）求证：∠ABC＝∠CAD；
（2）求证：BE⊥CE；
（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．
思路引领：（1）利用等腰三角形的性质可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；
（2）利用切线的性质可得∠OCE＝90°，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的结论可得∠OCB＝∠CBE，然后可证OC∥BE，最后利用平行线的性质可得∠E＝90°，即可解答；
（3）根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB，进而可证△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性质可求出DE的长，最后再利用（2）的结论可证△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性质可求出BE的长，进行计算即可解答．
（1）证明：连接OC，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠CAD；
（2）证明：∵CE与⊙O相切于点C，
∴∠OCE＝90°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC＝180°，
∵∠DBC+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ABC＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠ABC，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠ABC，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BE，
∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，
∴BE⊥CE；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，
∴△ACB∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE，
∵∠CBE＝∠ABC，
∴△ACB∽△CEB，
∴，
∴，
∴BE，
∴BD＝DE﹣BE，
∴DB的长为．
总结提升：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
22．（2022 绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．
（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．
（2）求证：AD平分∠BDO．
思路引领：（1）连结OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧长公式即得的长为；
（2）根据AB切⊙O于点A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，从而AD平分∠BDO．
（1）解：连结OA，如图：
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴；
（2）证明：∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AB切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
∵∠B＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠OAD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ODA，
∴AD平分∠BDO．
总结提升：本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
23．（2022 宁夏）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB＝AM；
（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的长．
思路引领：（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3））由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则△ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝BD＝2．
（1）证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）证明：∵线段AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
总结提升：此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
24．（2022 北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．
（1）求证：∠BOD＝2∠A；
（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．
思路引领：（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．
证明：（1）如图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠CAB＝∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠A；
（2）如图，连接OC，
∵F为AC的中点，
∴DF⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠CDF＝∠CAB，
∵OC＝OD，
∴∠CDF＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CAB，
∵，
∴∠CAB＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠OCD，
∵∠E＝90°，
∴∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠OCD+∠DCE＝90°，
即OC⊥CE，
∵OC为半径，
∴直线CE为⊙O的切线．
总结提升：本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
25．（2022 扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若sinA，OA＝8，求CB的长．
思路引领：（1）连接OB，由等腰三角形的性质得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，结合对顶角的性质得出∠APO＝∠CBP，由垂直的性质得出∠A+∠APO＝90°，进而得出∠OBA+∠CBP＝90°，即可得出直线BC与⊙O相切；
（2）由sinA，设OPx，则AP＝5x，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，进而得出OP4，再利用勾股定理得出BC2+82＝（BC+4）2，即可求出CB的长．
解：（1）直线BC与⊙O相切，
理由：如图，连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠OBA，
∵CP＝CB，
∴∠CPB＝∠CBP，
∵∠APO＝∠CPB，
∴∠APO＝∠CBP，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO＝90°，
∴∠OBA+∠CBP＝90°，
∴∠OBC＝90°，
∵OB为半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（2）在Rt△AOP中，sinA，
∵sinA，
∴设OPx，则AP＝5x，
∵OP2+OA2＝AP2，
∴，
解得：x或（不符合题意，舍去），
∴OP4，
∵∠OBC＝90°，
∴BC2+OB2＝OC2，
∵CP＝CB，OB＝OA＝8，
∴BC2+82＝（BC+4）2，
解得：BC＝6，
∴CB的长为6．
总结提升：本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．
26．（2022 陕西）如图，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延长OA至点C，使AC＝8，连接BC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，延长BA，与⊙O交于点E，作弦BF＝BE，连接EF，与BO的延长线交于点D．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求EF的长．
思路引领：（1）根据题意可得，∠OAB＝∠BAC＝90°，以此推出△OAB∽△BAC，根据相似三角形的性质可得∠BOA＝∠ABC，以此得到∠OBA+∠ABC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥BF于点G，根据题意可证明Rt△BOG≌Rt△BOA，以此得到BD平分∠FBE，则BD⊥EF，DF＝DE，再根据sin∠OBA，以此即可求解．
（1）证明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，
∴，
∵∠OAB＝∠BAC＝90°，
∴△OAB∽△BAC，
∴∠BOA＝∠ABC，
∵∠OBA+∠BOA＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
即∠OBC＝90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图，过点O作OG⊥BF于点G，
∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，
∴BG＝AB，
∵OB＝OB，
∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），
∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，
∵BF＝BE，即△BEF为等腰三角形，
∴BD⊥EF，DF＝DE，
∵OA＝2，AB＝4，
∴，
在Rt△ABO中，sin∠OBA，
在Rt△BDE中，sin∠DBE，
∴DE
∴EF．
总结提升：本题主要考查切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、垂径定理，熟练运用相关知识答题时解题关键．
27．（2022 阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．
思路引领：（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCOtan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长．
总结提升：此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．
28．（2022 东营）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，BD⊥CE于点D，BC平分∠ABD．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
思路引领：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到∠DBC＝∠OCB，证明OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，根据切线的判定定理证明结论；
（2）过点O作OH⊥BC于H，根据垂径定理得到BH＝HC，根据余弦的定义求出BH，进而求出BC，根据正弦的定义求出OH，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
（1）证明：连接OC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CE，
∴OC⊥CE，
∵OC为⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：过点O作OH⊥BC于H，
则BH＝HC，
在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，
∴BH＝OB cos∠OBH＝2，OHOB＝1，
∴BC＝2，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴S阴影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC
21
．
总结提升：本题考查的是切线的判定、扇形面积计算，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
29．（2022 锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF，求⊙O的半径．
思路引领：（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧对等角可得∠BAD＝∠CAD∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF＝90°便可证明；
（2）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．
（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为的中点，则∠BAD＝∠CAD∠BAC，
∵，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
总结提升：本题考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质；正确作出辅助线是解题关键．
30．（2022 鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE∠ABC．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若BF＝2，sin∠BEC，求⊙O的半径．
思路引领：（1）根据切线的判定定理，圆周角定理解答即可；
（2）根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可．
（1）证明：连接OE，
∵∠BCE∠ABC，∠BCE∠BOE，
∴∠ABC＝∠BOE，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠BCD，
∵EF∥AC，
∴∠FEC＝∠ACE，
∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，
即∠FEO＝∠ACB，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，
∴FE⊥EO，
∵EO是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵EF∥AC，
∴△FEO∽△ACB，
∴，
∵BF＝2，sin∠BEC，
设⊙O的半径为r，
∴FO＝2+r，AB＝2r，BCr，
∴，
解得：r＝3，
检验得：r＝3是原分式方程的解，
∴⊙O的半径为3．
总结提升：本题主要考查了切线的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关的定理是解答本题的关键．
31．（2022 菏泽）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是⊙O的切线；
（2）若HA＝3，cosB，求CG的长．
思路引领：（1）连接OD，根据三角形中位线定理得到OD∥BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
（2）根据余弦的定义求出⊙O的半径，根据三角形中位线定理求出BC，再根据余弦的定义求出BG，计算即可．
（1）证明：连接OD，
∵AD＝DC，AO＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，ODBC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为x，则OH＝x+3，BC＝2x，
∵OD∥BC，
∴∠HOD＝∠B，
∴cos∠HOD，即，
解得：x＝2，
∴BC＝4，BH＝7，
∵cosB，
∴，即，
解得：BG，
∴CG＝BC﹣BG＝4．
总结提升：本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理是解题的关键．
32．（2022 黔西南州）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若E为AH的中点，求的值．
思路引领：（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）连接AD，由圆周角定理得∠ADB＝90°，再由等腰三角形的性质得BD＝CD，则ODAC，OD∥AC，进而得到△AEF∽△ODF，由等腰三角形的性质得CH＝EH，根据相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB，∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴ODAC，OD∥AC，
∴△AEF∽△ODF，
∴，
∵∠CED+∠DEA＝180°，∠B+∠DEA＝180°，
∴∠CED＝∠B＝∠C，
∴CD＝ED，
∵DH⊥AC，
∴CH＝EH，
∵E为AH的中点，
∴AE＝EH＝CH，
∴．
总结提升：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，三角形中位线定理，平行线的判定与性质，三角形相似的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定、圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键．
33．（2022 鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝5，cos∠ABD，求OE的长．
思路引领：（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，进而证明△DOE≌△BOE，进一步得出结论；
（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．
（1）证明：如图，
连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠ADB＝90°，
∵E是BC的中点，
∴DE＝BE＝EC，
在△DOE和△BOE中，
，
∴△DOE≌△BOE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴OD⊥DE
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，
∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，
∴∠C＝∠ABD，
在Rt△ABC中，
AC，
∵OA＝OB，BE＝CE，
∴OE．
总结提升：本题考查了直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
34．（2022 枣庄）如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．
思路引领：（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线；
（2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：连接OC，如图：
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴，即，
∴ADcm．
总结提升：本题考查圆的切线及圆中的计算，涉及圆周角定理、相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．
35．（2022 金华）如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法 如图2．
1．作直径AF．
2．以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．
3．连接AM，MN，NA．
（1）求∠ABC的度数．
（2）△AMN是正三角形吗？请说明理由．
（3）从点A开始，以DN长为边长，在⊙O上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
思路引领：（1）根据正五边形内角和，可以计算出∠ABC的度数；
（2）先判断，然后根据题意和图形说明理由即可；
（3）根据题意和（2）中的结果，计算出∠NOD的度数，然后即可计算出n的值．
解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC108°，
即∠ABC＝108°；
（2）△AMN是正三角形，
理由：连接ON，NF，如图，
由题意可得：FN＝ON＝OF，
∴△FON是等边三角形，
∴∠NFA＝60°，
∴∠NMA＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°，
∴∠MAN＝60°，
∴△MAN是正三角形；
（3）连接OD，如图，
∵∠AMN＝60°，
∴∠AON＝120°，
∵∠AOD144°，
∴∠NOD＝∠AOD﹣∠AON＝144°﹣120°＝24°，
∵360°÷24°＝15，
∴n的值是15．
总结提升：本题考查正多边形和圆、等边三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
36．（2022 福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
思路引领：（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l．
总结提升：本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
37．（2022 衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．
（1）求证：CD∥AB．
（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．
思路引领：（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；
（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．
（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∵∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴CD∥AB．
（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
∵∠ACD＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S扇形BOD．
在Rt△ODE中，
∵DE＝sin60° OD，
∴S△BOD，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD．
∴S阴影．
总结提升：本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．
38．（2022 荆门）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
（1）求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
（2）在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
思路引领：（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB，
∴阴影部分的面积S阴．
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∵相切两圆的连心线必过切点，
∴O、O1、C三点共线，
∴∠EOO1∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，
在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，
∴OO1＝2O1E，
∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．
∴S1＝πr2＝π．
总结提升：本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
39．（2022 益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
思路引领：（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；
（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；
（3）∠A＝30°，可得BCAB＝2，ACBC＝2，即得S△ABCBC AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣22π﹣2．
（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BCAB＝2，ACBC＝2，
∴S△ABCBC AC2×22，
∴阴影部分的面积是π×（）2﹣22π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
总结提升：本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．
40．（2022 潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
思路引领：根据圆锥侧面积公式S＝πrl计算即可．
解：小亮的说法不正确．
设直角三角尺三边长分别为BC＝a，ACa，AB＝2a，
∴甲圆锥的侧面积：S甲＝π BC AB＝π×a×2a＝2πa2．
乙圆锥的侧面积：S乙＝π AC AB＝πa×2a＝2πa2，
∴S甲≠S乙，
∴小亮的说法不正确．
总结提升：本题考查了圆锥的计算，熟练运用圆锥的侧面积公式S侧＝πrl是解题的关键．
41．（2022 德州）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 相切 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
思路引领：（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MFDM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF，
∴sin24°，
∴OD4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
总结提升：本题主要考查了圆的有关性质，垂径定理，圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的内角和定理，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线．
42．（2022 淄博）已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．
思路引领：（1）根据角的和与外角的性质可得：∠BID＝∠DBI，从而得结论；
（2）根据垂径定理可得：OD⊥BC，再由BC∥DE可得结论；
（3）如图③，连接BH，CH，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB，可得结论．
证明：（1）如图①，
∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI，
∴BD＝DI；
（2）如图②，连接OD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，
∴∠MCH＝90°，
∴∠M+∠CHM＝90°，
∵∠B＝∠M，
∴∠B+∠CHM＝90°，
∵GH是⊙O的切线，
∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，
∴∠CHG＝∠B，
如图③，连接BH，CH，
∵GH是⊙O的切线，
∴∠CHG＝∠HBG，
∵∠CGH＝∠BGH，
∴△HCG∽△BHG，
∴，
∴GH2＝BG CG，
∵AD∥GF，
∴∠AFG＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠FBG，
∴∠FBG＝∠AFG，
∵∠CGF＝∠BGF，
∴△CGF∽△FGB，
∴，
∴FG2＝BG CG，
∴FG＝HG．
总结提升：本题是圆的综合题，考查了切线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，三角形相似的性质和判定等知识点，第三问有难度，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB是解此题的关键．
43．（2022 黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE AP的值．
思路引领：（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出ABr，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出 r，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE AP＝AC AD得出结论．
（1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE AP＝AC AD＝2×24．
总结提升：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
44．（2022 绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
思路引领：（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；
（2）连接OD，BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．
（1）证明：连接OD，如图，
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴OD⊥BC．
∵PF是⊙O的切线，
∴OD⊥PF，
∴BC∥PF；
（2）连接OD，BD，如图，
设AE＝x，则AD＝1+x．
∵D为劣弧的中点，
∴，
∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴，
∴CD2＝DE AD＝1×（1+x）＝1+x．
∴BD2＝1+x．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2．
∴，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB2，
∵∠ADB＝90°，
∴cos∠DAB．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cos∠ADO＝cos∠DAB．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cos∠ADO，
∴DH＝DE．
∴OH＝OD﹣DH．
∴BH，
∴CH＝BH．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，
∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH，DP＝CH，
∴△DCP的面积CP DP．
总结提升：本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接OD，BD是解决此类问题常添加的辅助线．
45．（2022 西宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．
（1）求证：四边形EMFC是矩形；
（2）若AE，⊙O的半径为2，求FM的长．
思路引领：（1）利用直径所对的圆周角是直角及邻补角互补，可求出∠CFD＝90°，由⊙O与AC相切于点E，利用圆的切线垂直于过切点的半径可得出OE⊥AC，进而可得出∠OEC＝∠OEA＝90°，结合∠C＝90°，三个角是直角即可证明矩形即可；
（2）在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OA的长，进而可得出AB的长，由∠AEO＝∠C，利用“同位角相等，两直线平行”可得出OE∥BC，进而可得出△AEO∽△ACB，利用相似三角形的性质可求出AC的长，结合CE＝AC﹣AE可求出CE的长，再利用矩形的对边相等，即可求出FM的长．
（1）证明：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BFD＝90°，
∴∠CFD＝90°．
∵⊙O与AC相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴∠OEC＝∠OEA＝90°．
又∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴四边形EMFC是矩形．
（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE，OE＝2，
∴OA3，
∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．
∵∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴△AEO∽△ACB，
∴，即，
∴AC，
∴CE＝AC﹣AE．
又∵四边形EMFC是矩形，
∴FM＝CE．
总结提升：本题考查了矩形的判定、相切、勾股定理、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出四边形EMFC的四个角均为直角；（2）利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC的长度．
46．（2022 西藏）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
思路引领：（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠EBD，进而得到OD∥BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O的切线；
（2）根据平行线的性质得到∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，解直角三角形求出OC＝5，OA，根据线段的和差求解即可．
（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD∥BE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∴OD⊥CE，
∵AD∥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DG∥CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC10，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB，
∴sinA＝sin∠ECB，
在Rt△AOD中，sinA，OD＝5，
∴OA，
∴AC＝OA﹣OC．
总结提升：此题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
47．（2022 青海）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若CF＝1，AC＝2，AB＝4，求BE的长．
思路引领：（1）连接OD，由AD平分∠CAB，OA＝OD，可得OD∥AF，而EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，有OD⊥EF，即得AF⊥EF；
（2）连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，由CK是⊙O的直径，OD⊥EF，可得∠K＝∠CDF，即可得∠FAD＝∠K，从而△FAD∽△FDC，，知，解得FD，根据tan∠FAD，得∠FAD＝30°，故∠FAE＝2∠FAD＝60°，即得AE6，可得BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2．
（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAD＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠FAD＝∠ODA，
∴OD∥AF，
∵EF是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，
∴OD⊥EF，
∴AF⊥EF；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于K，连接DK，DC，如图：
∵CK是⊙O的直径，
∴∠CDK＝90°，
∴∠K+∠DCK＝90°，
∵OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°，即∠ODC+∠CDF＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠DCK＝∠ODC，
∴∠K＝∠CDF，
∵，
∴∠FAD＝∠K，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FDC，
∴，
∵CF＝1，AC＝2，
∴FA＝CF+AC＝3，
∴，
解得FD，
在Rt△AFD中，tan∠FAD，
∴∠FAD＝30°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠FAE＝2∠FAD＝60°，
∴AE6，
∵AB＝4，
∴BE＝AE﹣AB＝6﹣4＝2，
答：BE的长为2．
总结提升：本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形解决问题．
48．（2022 柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
思路引领：（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG；
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB6，
∴⊙O的直径为6．
解法二：由（2）可知sin∠FHG，
∴FH＝FG＝4，
∴FB＝FH+HB＝4+2＝6，2，
∵DG是∠FDA的角平分线，
可证2，
∵△DAF∽△DFB，
∴，
∴AF＝12，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB6．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
模块二 2023中考押题预测
1．（2023 红桥区模拟）已知PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在优弧AB上，且与点A，B不重合．
（1）如图①，若∠P＝26°，求∠C的大小；
（2）如图②，AC⊥OB，垂足为D，若∠P＝∠C，OB＝2，求AC的长．
思路引领：（1）连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理计算即可；
（2）求出∠P＝30°，∠AOB＝60°，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案．
解：（1）连接OA，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠C＝64°，
∴∠C∠AOP＝32°；
（2）连接OA，
∵∠AOB＝2∠C，∠C＝∠P，
∴∠AOB＝2∠P，
由（1）知∠AOB+∠P＝90°，
∴2∠P+∠P＝90°，
∴∠P＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠OAD＝30°，
∵OB＝AO＝2，
∴ODOA＝1，
∴AD，
∵AC⊥OB，
∴AC＝2AD＝2．
总结提升：本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键．
2．（2023 蜀山区校级模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：∠EAC＝∠ADC
（2）若AB＝4，BC＝6，求DC的长．
思路引领：（1）作直径AM，连接CM，如图，先根据切线的性质得到∠EAM＝90°，根据圆周角定理得到∠ACM＝90°，则利用等角的余角相等得到∠EAC＝∠M，然后利用圆周角定理得到∠M＝∠ADC，从而得到∠EAC＝∠ADC；
（2）先证明，则根据垂径定理得到AM⊥BC，所以BC∥AE，再证明四边形ABCE为平行四边形得到AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，接着证明△EAC∽△EDA，然后利用相似比求出ED，从而得到CD的长．
（1）证明：作直径AM，连接CM，如图，
∵AE为⊙O的切线，
∴AE⊥AM，
∴∠EAM＝90°，
∵AM为直径，
∴∠ACM＝90°，
∵∠EAC+∠CAM＝90°，∠M+∠CAM＝90°，
∴∠EAC＝∠M，
∵∠M＝∠ADC，
∴∠EAC＝∠ADC；
（2）解：∵AB＝AC，
∴，
∴AM⊥BC，
而AM⊥AE，
∴BC∥AE，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE为平行四边形，
∴AE＝BC＝6，CE＝AB＝4，
∵∠EAC＝∠EDA，∠AEC＝∠DEA，
∴△EAC∽△EDA，
∴EA：ED＝EC：EA，
即6：ED＝4：6，
解得ED＝9，
∴CD＝ED﹣EC＝9﹣4＝5．
总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
3．（2023 合肥一模）如图1，AB为⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC于D，点E为AB延长线上一点，CE是⊙O的切线．
（1）求证：∠BCE＝∠BOD；
（2）如图2，取弧AC的中点P，连接OP，AP，若AB＝13，BC＝5，求弦PA的长．
思路引领：（1）连接OC，如图1，先根据切线的性质得到∠OCE＝90°，即∠OCB+∠BCE＝90°，由于∠OCB＝∠OBC，∠BOD+∠OBD＝90°，从而可得到∠BCE＝∠BOD；
（2）连接AC交OP于F，如图2，先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝12，再根据垂径定理，由P为AC弧的中点得到OF⊥AC，所以AF＝CF＝6，则OF，所以PF＝4，然后利用勾股定理计算出AP的长．
（1）证明：连接OC，如图1，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB+∠BCE＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵OD⊥BC，
∴∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠OCB＝90°，
∴∠BCE＝∠BOD；
（2）解：连接AC交OP于F，如图2，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC12，
∵P为AC弧的中点，
∴OF⊥AC，
∴AF＝CF＝6，
∴OFBC，
∴PF＝OP﹣OF4，
在Rt△APF中，AP2，
即弦PA的长为2．
总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
4．（2023 大连模拟）△ABC内接于⊙O，AB＝AC，射线AD切⊙O于点A，过点B作BF∥AC，交⊙O于点E，交AD于点F．
（1）如图1，求证：四边形ACBF为平行四边形；
（2）如图2，连接CE，延长BO交FA的延长线于点G，BC＝6，CE＝3，求BC的长．
思路引领：（1）连接AO并延长交BC于点H，利用垂径定理可证明AO⊥BC，根据AD切⊙O于点A，证明AO⊥AD，可得AD∥BC，又BF∥AC，可证四边形ACBF为平行四边形；
（2）由BF∥AC，得∠ABF＝∠BAC，所以弧AB＝弧EC，所以EC＝AB，可以求出半径，再由△AOG∽△HOB，求长度即可．
（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点H，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AH经过圆心O，
∴AH⊥BC，
∵AD切⊙O于点A，
∴AO⊥AD，
∴AD∥BC，
∵BF∥AC，
∴四边形ACBF为平行四边形；
（2）解：∵BF∥AC，
∴∠ABF＝∠BAC，
∴弧AE＝弧BC，
∴弧AB＝弧EC，
∴EC＝AB＝3，
∵BHBC＝3，
∴AH＝9，
设半径OA＝OB＝x，则OH＝9﹣x，
在Rt△OBH中，根据勾股定理得，
32+（9﹣x）2＝x2，
∴x＝5，
∴OH＝4，
∵AG∥BH，
∴△AOG∽△HOB，
∴，
∴，
∴OG，
∴BG＝OB+OG＝5．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（2023 碑林区校级二模）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．
思路引领：（1）先垂直的定义得到∠ODB＝90°，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，然后根据等角的余角相等可得到结论；
（2）连接AC，如图，先利用勾股定理计算出AE＝2，再根据圆周角定理得到∠C＝90°，接着证明△ABC∽△OEA，则利用相似比可计算出AC，BC，然后根据垂径定理得到CD＝BD，最后利用勾股定理可计算出AD的长．
（1）证明：∵OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵AE为⊙O的切线，
∴AB⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
∵∠BOD＝∠AOB，
∴∠B＝∠E；
（2）解：连接AC，如图，
在Rt△AOE中，AE2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝∠E，∠C＝∠OAE，
∴△ABC∽△OEA，
∴，即，
解得AC，BC，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BDBC，
在Rt△ACD中，AD．
总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
6．（2023 庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°．
（1）若AB＝2，求PD的长度；
（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．
思路引领：（1）由四边形ABCD为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠POM＝45°，CO＝DC＝1，求出OD，再连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得PD．
（2）证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，得出AO＝5，再根据勾股定理求出AB的长即可．
解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝2，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴CO＝DC＝2，
∴，
连接AO，则△ABO为直角三角形，
∴，
∴即⊙O的半径为，
∴；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
∵MO＝NO＝5，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：，
则正方形ABCD的边长为．
总结提升：此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出△DCO是等腰直角三角形，得出BO＝2AB，作出辅助线，利用勾股定理求解．
7．（2023 莱芜区模拟）如图，在△ADC中，AC＝CD，∠D＝30°，点B是AD上一点，∠ACB的角平分线CE交以AB为直径的⊙O于点E，过点B作BF⊥EC，垂足为F，⊙O恰好过点C．
（1）求证：CD是⊙O切线；
（2）若，求CF的长．
思路引领：（1）如图所示，连接OC，先根据等边对等角得到∠A＝30°，由圆周角定理得到∠BOC＝60°，再利用三角形内角和定理求出∠OCD＝90°即可证明结论；
（2）由AB是直径，得到∠ACB＝90°，再由含30度角的直角三角形的性质得到BC＝4，由角平分线的定义得到∠BCE＝45°，即可证明△BCF是等腰直角三角形，则．
（1）证明：如图所示，连接OC，
∵AC＝CD，∠D＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O切线；
（2）解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∵BF⊥CE，即∠BFC＝90°，
∴∠CBF＝45°＝∠BCF，
∴．
总结提升：本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2023 定远县校级模拟）如图1，已知AB是半圆O的直径，BC是半圆O的切线，OC平行于弦AD．
（1）连接BD，若BD＝BC，求∠C的度数；
（2）如图2，过D作DE⊥AB于E，连接AC与DE交于点P，求证：PD＝PE．
思路引领：（1）设DB，DC交于点E，根据AB是半圆O的直径，OC平行于弦AD．得出OC⊥BD，则DE＝EB，根据题意得出BD＝BC，进而根据sinC，即可求解；
（2）先判定△ODC≌△OBC，然后根据切线的判定和性质以及平行线分线段成比例，可得，从而得到DP＝EP，即可得答案．
（1）解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC平行于弦AD．
∴OC⊥BD
如图1，设DB，DC交于点E，
∴DE＝EB，
∵BD＝BC，
∴BEBD，
即sinC，
∴∠C＝30°；
（2）解：连接CD，OD，如图2所示，
∵OC∥AD
∴∠DOC＝∠ADO，∠COB＝∠DAO
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DOC＝∠COB，
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC（SAS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，
∴BC⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴CD⊥OD，
∵OD是半径，
∴CD是⊙O的切线，
如图3，过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则FA⊥AB，
∵DE⊥AB，CB⊥AB，
∴FA∥DE∥CB，
∴，
在△FAC中，
∵DP∥FA，
∴，，
∵FA、FD是⊙O的切线，
∴FA＝FD，
∴，
在△ABC中，
∵EP∥BC，
∴，
∵CD、CB是⊙O的切线，
∴CB＝CD，，
∴，
∴DP＝EP．
总结提升：本题考查了根据特殊角的三角函数值求角度，垂径定理，三角形的全等，切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用切线的判定和性质以及平行线分线段成比例等知识．
9．（2023 松原一模）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，连接CE．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的长（结果保留π）．
思路引领：（1）结论：CD是⊙O的切线，证明OC⊥CD即可；
（2）根据三角函数的定义和弧长公式即可得到结论．
解：（1）结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC∥BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）在Rt△BCD中，∵，
∴sin∠CBD，
∴∠CBD＝30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠CBD＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB4，
∴AO＝2，
∴．
总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
10．（2023 西安二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．
（1）求证：∠DBE＝∠EBA；
（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．
思路引领：（1）连接OE，由切线的性质得∠AEO＝90°，则∠AEO＝∠C，所以OE∥BC，则∠DBE＝∠OEB，即可证明∠DBE＝∠EBA；
（2）连接OD，则∠OED＝∠ODE，由∠OEB+∠OED＝90°，∠CED+∠OED＝90°，得∠CED＝∠OEB，则∠CED+90°＝∠OEB+90°，即可推导出∠BDE＝∠BEA，于是可证明△DBE∽△EBA，得，即可求得EB2．
（1）证明：连接OE，则OE＝OB，
∴∠EBA＝∠OEB，
∵⊙O与AC相切于点E，
∴AC⊥OE，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴OE∥BC，
∴∠DBE＝∠OEB，
∴∠DBE＝∠EBA．
（2）解：连接OD，则OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠DOE+∠OED+∠ODE＝180°，且∠DOE＝2∠DBE＝2∠OEB，
∴2∠OEB+2∠OED＝180°，
∴∠OEB+∠OED＝90°，
∵∠CED+∠OED＝90°，
∴∠CED＝∠OEB，
∴∠CED+90°＝∠OEB+90°，
∵∠BDE＝∠CED+∠C＝∠CED+90°，∠BEA＝∠OEB+∠AEO＝∠OEB+90°，
∴∠BDE＝∠BEA，
∵∠DBE＝∠EBA，
∴△DBE∽△EBA，
∴，
∴EB2，
∴EB的长是2．
总结提升：此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的性质、切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．（2023 工业园区校级模拟）如图，半径为10的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝12．
（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）求AB的长．
思路引领：（1）连接OM，由AC平分∠OAM可得∠OAC＝∠CAM，又MC＝AM，所以∠CAM＝∠ACM，进而可得∠OAC＝∠ACM，所以OA∥MC，可得MC⊥x轴，进而可得结论；
（2）过点M作MN⊥y轴于点N，则AN＝BN，且四边形MNOC是矩形，设AO＝m，可分别表达MN和ON，进而根据勾股定理可建立等式，得出结论；
解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：
如图，连接OM，
∵AC平分∠OAM，
∴∠OAC＝∠CAM，
又∵MC＝AM，
∴∠CAM＝∠ACM，
∴∠OAC＝∠ACM，
∴OA∥MC，
∵OA⊥x轴，
∴MC⊥x轴，
∵CM是半径，
∴⊙M与x轴相切．
（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，
∴AN＝BNAB，
∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，
∴四边形MNOC是矩形，
∴NM＝OC，MC＝ON＝10，
设AO＝m，则OC＝12﹣m，
∴AN＝10﹣m，
在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，
∴102＝（10﹣m）2+（12﹣m）2，
解得m＝4或m＝18（舍去），
∴AN＝6，
∴AB＝12．
总结提升：本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．
12．（2023 榆阳区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，点E是AB上的一点，以AE为直径的⊙O与BD相切于点M，⊙O交AC于点G，过点G作GF⊥AE交⊙O于另一点F，连接AF．
（1）求证AF∥BD；
（2）若AB＝6，BC＝8，求⊙O半径的长．
思路引领：（1）先根据斜边上的中线性质得到AD＝BD，则∠ABD＝∠BAD，再根据垂径定理得到，则利用圆周角定理得到∠EAG＝∠EAF，所以∠EAF＝∠ABD，然后根据平行线的判定得到结论；
（2）连接OM，如图，设⊙O半径为r，先利用勾股定理计算出AC＝10，再根据切线的性质得到∠OMB＝90°，接着证明△OBM∽△CAB，根据相似三角形的性质得到（6﹣r）：10＝r：8，然后利用比例的性质求出r即可．
（1）证明：∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的中线，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD，
∵直径AE⊥GF，
∴，
∴∠EAG＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠ABD，
∴AF∥BD；
（2）解：连接OM，如图，设⊙O半径为r，则OB＝6﹣r，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC10，
∵⊙O与BD相切于点M，
∴OM⊥BD，
∴∠OMB＝90°，
∵∠OBM＝∠BAC，∠OMB＝∠ABC，
∴△OBM∽△CAB，
∴OB：AC＝OM：BC，即（6﹣r）：10＝r：8，
解得r，
即⊙O半径的长为．
总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形斜边上的中线性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
13．（2023 长丰县模拟）如图，AB为⊙O的直径，E为AB的延长线上一点，过点E作⊙O的切线，切点为点C，连接AC、BC，过点A作AD⊥EC交EC延长线于点D．
（1）求证：∠BCE＝∠DAC．
（2）若BE＝2，CE＝4，求AD的长．
思路引领：（1）如图，连接OC，根据切线的性质得到∠OCE＝90°，再根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用等角的余角相等得到∠BCE＝∠OCA，接着证明OC∥AD，然后根据平行线的性质和等量代换得到结论；
（2）设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解得r＝3，所以OE＝5，AE＝8，OC＝3．再证明△OCE～△ADE，然后利用相似比可计算出AD的长．
（1）证明：如图，连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCB+∠BCE＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCE＝∠OCA，
∵OC⊥ED，AD⊥ED，
∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠BCE＝∠CAD；
（2）解：设⊙O半径为r，则OC＝r，OE＝r+2，
在Rt△OEC中，∵OC2+EC2＝OE2，
∴r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
∴OE＝5，AE＝8，OC＝3．
∵OC∥AD，
∴△OCE～△ADE，
∴，
即，
解得AD．
总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
14．（2023 庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，连接BD交AC于点P．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若CEAD＝4，求tan∠ABD的值．
思路引领：（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADC＝90°，根据切线的性质得到∠ACE＝90°，根据余角的性质得到∠DCE＝∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DBC＝∠CAD，从而证明；
（2）证明△ACE∽△ADC，得到，设DE＝x，得到AC2＝4（4+x）＝42+4x＝AD2+CD2，从而可得CD2＝4x，利用勾股定理列出方程，求出x值，得到DE，求出CD，最后根据可得结果．
（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵CE与⊙O相切，
∴∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD，
∵∠DBC＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
又∠ACE＝∠ADC＝90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴，即，
设DE＝x，则，
∴AC2＝4（4+x）＝42+4x＝AD2+CD2，
∴CD2＝4x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴4x+x2＝5，
解得：x＝1或x＝﹣5（舍），
∴DE＝1，
∴，
∴．
总结提升：本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据相似三角形的性质得到比例式，求出DE＝1是解题的关键．
15．（2023 雁塔区校级模拟）如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．
思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得到OB⊥AE，根据等腰三角形的性质得到∠OBC＝∠OCB，求得∠OBC＝∠BCE，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AO10，过O作OH⊥CF于H，根据矩形的性质得到EH＝OB＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．
（1）证明：连接OB，
∵AB所在的直线是⊙O的切线，
∴OB⊥AE，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠ACB＝∠ECB，
∴∠OBC＝∠BCE，
∴OB∥CE，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵OB⊥AE，OB＝6，AB＝8，
∴AO10，
过O作OH⊥CF于H，
则CH＝FH，∠OBE＝∠OHE＝∠E＝90°，
∴四边形BEHO是矩形，
∴EH＝OB＝6，
∴OH∥AE，
∴∠COH＝∠A，
∵∠ABO＝∠OHC＝90°，
∴△AOB∽△OCH，
∴，
∴，
∴CH＝3.6，
∴HF＝CH＝3.6，
∴EF＝6﹣3.6＝2.4．
总结提升：本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16．（2023 碑林区校级三模）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，AD平分∠BAC，以AD为直径作⊙O，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接OB与EF交于点P，若OG＝3，EG＝4，求PG的长．
思路引领：（1）根据等腰三角形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接DE，DF，OE，根据圆周角定理得到∠AED＝∠AFD＝90°，根据角平分线的定义得到∠EAD＝∠FAD，根据勾股定理得到OE5，根据相似三角形的性质即可
