深圳市教育集团2022-2023学年高二下学期期中测试
数学
（满分150分.考试时间120分钟.）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的个人信息填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
2.函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3.某种品牌手机的电池使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（ ）
A.0.9 B.0.7 C.0.3 D.0.1
4.已知等差数列中，，，是数列的前项和，则最大值时的值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
5.已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（ ）
A. B.1 C.2 D.4
6.有2男2女共4名大学毕业生被分配到，，三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为（ ）
A.12 B.14 C.36 D.72
7.若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知随机变量的分布列为：
则下列说法正确的是（ ）
A.存在，， B.对任意，，
C.对任意，， D.存在，，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.某校1000名学生在高三一模测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.分数不低于即为优秀，已知优秀学生有80人，则（ ）
A. B.
C.70分以下的人数约为6人 D.本次考试的平均分约为93.6
10.已知数列的前项和为，，若，则可能为（ ）
A.4 B.8 C.9 D.12
11.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件：取出的两球同色；事件：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A.事件，为互斥事件 B.事件，为独立事件
C. D.
12.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于点对称 B.在区间上单调递增
C.在区间内有7个零点 D.的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若的展开式中含有常数项，则正整数的一个取值为______.
14.大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.梧桐山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据）
15.设函数，若函数在上是单调减函数，则的取值范围是______.
16.已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前项和.
18.设函数.
（1）若在点处的切线为，求，的值；
（2）求的单调区间.
19.为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.深圳市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.
（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中近似为平均数，近似为方差.
①利用该正态分布，求；
②若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.参考数据：.若，则，
，.
20.已知正项数列的前项和为，且，，.
（1）求；
（2）在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列
，求的前100项和.
21.甲、乙两人进行下象棋比赛（没有平局）.采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，.
（1）设甲以获胜的概率为，求的最大值；
（2）记（1）中，取得最大值时的值为，以作为的值，用表示甲、乙两人比赛的局数，求的分布列和数学期望.
22.已知函数，.
（1）当时，证明：；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.深圳市教育集团2022-2023 学年第二学期期中数学答案
1． CADBD BBC 9 .AD 10. AC
C23
2
P(BC) C5 3
11． ACD P(C) ，事件 B 不发生，则两球一白一红，P(C) 1 B,C
C2 2
， 不
P(B) 3 C2 4
C25
C23 C
2
2
独立， 2B 错；P(B) 2 ，C 正确；事件 A2发生后，口袋中有 3 个红球 1 个白球，只有C5 5
3
从中取出一个红球，事件C 才发生，所以P(C | A2 ) ，D 正确．
4
1 1
12． BD f π x f x sin 2 π x cos π x sin 2x cos x sin 2x cos x 0， 2 2
所以函数 f x 的图象不关于点 ( ,0)对称，故A 错误.
2
因为 f (x) cos x(1 3sin2
π π 1 1 1
x)，所以当 x ( , )时，sin x ( , ) sin
2 x [0, )，
6 6 2 2 4
f (x) 0，故 B 正确.
π 3π 5π
由 f x 0 x ,π, , 2π, ,3π，则 f x 在[1,10]内共有 6 个零点，故 C 错误.
2 2 2
2
由题意可得 f x sin xcos x sin x 1 sin2 x =sin x sin3 x，
令 sin x t t 1,1 2，则 y g(t) t t3，从而 g t 1 3t 1 3t 1 3t ，
3 3 3 3
当 g t 0 t ， g t 0 1 t ，或 1 t ，
3 3 3 3
3 3 3 3
故 g t 在 ( 1, )上单调递减；在 , 上单调递增；在 ,1 上单调递减.
3 3 3 3
3 2 3 2 3
因为 g( 1) 0 ， g( ) ，所以 f (x)的最大值为 ，故 D 正确.
3 9 9
13． 3（只要是 3 正整数倍即可） 14． 873
1 1 1
15． , ∵ f (x)定义域为 (0, )， f x k 1 2 ， f (x)在 (0, )上是单调减函数，
2 x x
x 1
x 1 1
∴ f x 0恒成立；∴ k ( )max， x 0，∵ x2 1 1 ， x 0，2 x 2 x 2，当x 1 x x x
x
x 1 1 1
且仅当 x 1时取等号.∴0 2 ，∴ k ，即：k 的取值范围是x 1 2 2
, ．
2
f x xex x16． 2 因为函数 e x的两个零点为x x1， 2，
则 x1 x1 x x x x x xx1e e x1 0, x 22e e 2 x2 0，即 x 1 1 21e e x1, x2e e 2 x2 ，
又 g x x ln x ln x x ln x eln x eln x ln x f ln x ，
第 1 页
x1 ln x3 x3 e
x1 x x1 1 1 1 1 1 1 1 x e 1 x e 2
则 ，即 ，所以
1 2 2
x x1 x x x
.
x2 ln x
2 2 1 2
4 x e x1 x2 x x4 3 4 x1 x2 e e x1e x2e
a1 q q2 q3 39 a 1
1
17．（1）设数列 a q 0n 的公比为q q 0 ，则 ， ，解得 ，
a1q
4 2a q3 3a q2 q 31 1
所以an 3
n 1 a a 3n 1，即 n 的通项公式为 n ；
（2）由题可知b n 3n 1n ，
则Tn 1 2 3
1 3 32 n 3n 1，
3Tn 1 3
1 2 32 n 3n ，
2Tn 1 3
1 32 3n 1 n 3n
1 3n
2Tn n 3
n
1 3
1
2Tn 3n 1 n 3n
2
1
2Tn 3n 1 n 3n
2
2n 1 3n 1
Tn
4
1
18．（1） f x ax 2 ln x a R 的定义域为 0， ， f x a ，
x
因为 f x 在点 e, f e 处的切线为 x ey b 0，
1 1 2
所以 f e a ，所以a ；所以 f e 1
e e e
2
把点 e, 1 代入 x ey b 0得：b 2e .即 a，b 的值为： a ，b 2e .
e
1 ax 1
（2）由（1）知： f x a x 0 .
x x
①当a 0时， f x 0在 0， 上恒成立，所以 f x 在 0， 单调递减；
1
②当a 0时，令 f x 0，解得： x ，
a
列表得：
1 1 1
x 0， ，
a a a
f x - 0 +
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y f x 单调递减 极小值 单调递增
1 1
所以，a 0时， f x 的递减区间为 0， ，单增区间为 ， .
a a
综上所述：当a 0时， f x 在 0， 单调递减；
1 1
当a 0时， f x 的递减区间为 0， ，单增区间为 ， .
a a
19．（1）由题意得，
x 40 0.02 50 0.3 60 0.4 70 0.23 80 0.04 90 0.01 60；
s2 (40 60)2 0.02 (50 60)2 0.3 (60 60)2 0.4 (70 60)2 0.23 (80 60)2 0.04 (90 60)2 0.01
400 0.02 100 0.3 0 0.4 100 0.23 400 0.04 900 0.01 86 .
所以这 200 名学生体重的平均数为 60，方差为 86；
（2）①由（1）可知 60， 86 9.27，
则P 50.73＜Z 69.27 P(60 9.27＜Z 60 9.27) 0.6827；
②由①可知 1 名学生的体重位于 (50.73,69.27]的概率为 0.6827.
则 X～B（50,0.6827)，
所以E X 50 0.6827 34.135 .
2 2 2 2 2 2
20．（1）因为 S 2 2n 1 Sn 8n，当n 2时， Sn Sn Sn 1 S2 S1 S1
n(n 1) 2 8 n 1 8 1 1 8 1 2 3 n 1 1 8 1 2n 1 ，
2
因为an 0，所以 Sn 0，故 Sn 2n 1．
当n 1时， S1 a1 1适合上式，
所以 Sn 2n 1， n N
.
（2）（方法 1）因为 Sn 2n 1，n N
，
所以当n 2时， an Sn Sn 1 2n 1 2n 3 2．
1，n 1,
所以an
2，n 2.
所以数列 bn ：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
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n(n 1)
设1 2 n ≤100，则 n2 n 200≤0，
2
因为 n *N ，所以n 13 .
所以 bn 的前 100 项是由 14 个 1 与 86 个 2 组成．
所以.
n(n 1)
（方法 2）设1 2 n ≤100，则 n2 n 200≤0，
2
因为n N ，所以n 13 .
根据数列 bn 的定义，知
T100 a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 a13 a1 a2 a9
13 (1 25)
S1 S2 S3 S13 S 1 3 5 25 179 17 186 .
2
21．（1）甲以 3：1 获胜，则前三局中甲胜两局败一局，第四局甲必须获胜，
所以 f ( p) C
2 p3 (1 p) 3p3 3p4 ， 0 p 1， f ( p) 9p23 12p
3 3p2(3 4p) ，
3 3 3
令 f ( p) 0，得 p ；令 f ( p) 0，得0 p ；令 f ( p) 0，得 p 1．
4 4 4
3 3 3 81
所以 f ( p)在 0, 上单调递增，在 ,1 上单调递减，所以当 p 时，f ( p)取得最大值为 ．
4 4 4 256
3
（2）由（1）知 p p0 ，由题意，知 X 的所有可能取值为 3、4、5，相应的概率为
4
3 3
3 1 27 1 7
P(X 3) ，
4 4 64 64 16
3 3
3 1 3 1 81 9 45
P(X 4) C23 C
1
3 ，
4 4 4 4 256 256 128
3 2 2 3
2 3 1 2 3 1 81 27 27P(X 5) C4 C 4 ，
4 4 4 4 512 512 128
所以 X 的分布列为:
X 3 4 5
7 45 27
P
16 128 128
7 45 27 483
X 的数学期望E(X ) 3 4 5 ．
16 128 128 128
2 1 1
22．（1）当a 时， f x xlnx x x2 x lnx 1 x2 2 2 ， e e e
第 4 页
1 1
要证 f x 0，即证 lnx 1 x 0，设 g x lnx 1 x, x 0
e2 2
，
e
1 1
令 g x 02 ，解得 x e
2，
x e
当0 x e2 时， g x 0，当 x e2时， g x 0，
2 2
所以 g x 在 0,e 上递增，在 e , 上递减，
1 1
则 g(x) g e2 ln e2 1 e2 0，所以 g x 0max ，即 lnx 1 x 02 2 成立， e e
所以 f x 0成立.
x a 2 x
（2）由已知可得H x x ln x x 1 e x ，所以H x ln x 1 xe ax
2
因为对任意的 x 0, H x 在 0, 上单调递减，所以H x 0在 0, 上恒成立，
x ex lnx 1
所以 ln x 1 xex ax 0在 0, 上恒成立，即a 在 0, 上恒成立，
x
xex lnx 1 x2 ex lnx 2 x
令F x (x 0)，则F x ，令h x x e lnx ，则
x x2
1
h x x2 2x ex 0，所以h x 在 0, 上为增函数，
x
1
e 1 2
又因为 1 eh 1 e 0,h 1 ee 1 0，
e e
2
1
所以 x
2 x0
0 ,1 ，使得h x0 0，即 x0 e lnx0 0，
e
当0 x x0 时，h x 0，可得F x 0，所以F x 在 0, x0 上单调递减；
当 x x0时，h x 0，可得F x 0，所以F x 在 x0 , 上单调递增，
x
x e 0 lnx 1
所以F(x)min F x0
0 0 2 x
，由 x 00 e lnxx 0
0，可得
0
1
lnx 1 1 1 ln x x x 1
x0 e
0 0 ln ln e
0 ，令t x xe ,则t x0 t ln ,
x0 x0 x x0 x0 0
又由 t x x 1 ex 0，所以 t x 在 0, 上单调递增，
1 x 1
所以 x0 ln lnx x
0 x
，可得 0 0 ，所以e ，即 x0 e
0 1，
x0 x0
x
x 00 e lnx0 1 1 x0 1
所以F(x)min F x0 1，
x0 x0
即得a 1 .
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