2023年高三数学（理）押题卷四（含解析）

2023年高三数学（理）押题卷四
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．2012—2021年我国医疗服务市场规模情况如图，则下列结论中正确的是（ ）
A．2021年我国医疗服务市场规模是2012年我国医疗服务市场规模的3.6倍
B．我国医疗服务市场规模增长率始终呈现递增趋势
C．自2012年起我国医疗服务市场规模始终呈现递增趋势
D．自2018年起我国医疗服务市场规模增长率逐年下降
4．已知抛物线的焦点为，则过点且斜率为的直线截抛物线所得弦长为（ ）
A． B． C． D．
5．某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆与圆交于，两点，点在圆上，则点到直线距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．7
9．已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
10．已知函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的图像关于点对称
C．在区间上单调递增
D．在区间上单调递减
11．在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，则正四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
12．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知，．若，则______．
14．已知函数是定义在上的奇函数，且在定义域内有且只有三个零点，则可能是______．（本题答案不唯一）
15．已知双曲线的实轴长为4，离心率为，直线与交于两点，是线段的中点，为坐标原点．若点的横坐标为，则的取值范围为______．
16．已知某几何体的三视图如图所示，若是的中点，是的四等分点（靠近点），则下列说法正确的是______．（请填写所有正确答案的序号）
①；②平面；③；④三棱锥的体积为．
三、解答题
17．在中，内角的对边分别为，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
18．如图，在直三棱柱中，二面角的大小为，且，．
(1)求证：平面；
(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值．
19．2022年是中国共产主义青年团成立100周年，八桂大地兴起一股青年大学习的热潮，我市共青团委会为了响应青年的这股热潮决定举办一次共青团知识擂台赛，我市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表县参加市赛.已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响.
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列及数学期望.
20．已知椭圆的离心率为，直线交椭圆于A，两点，点为坐标原点，且的面积为．
(1)求椭圆的方程．
(2)点是椭圆上的一个动点，过点分别作直线，与曲线相切于点，．若直线在轴、轴上的截距分别是，，证明：．
21．已知函数，e是自然对数的底数．
(1)试判断函数的单调性；
(2)若关于的方程有且只有两个不等实根，求实数的取值范围．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若存在使得不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，根据交集的概念可求出结果.
【详解】由，得，得，得，
由，得或，得，
所以.
故选：A
2．C
【分析】由的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案.
【详解】因为复数，
所以复数z在复平面内所对应的点为， 该点位于第三象限.
故选：C．
3．C
【分析】根据条形图逐项判断.
【详解】A. 2021年我国医疗服务市场规模是2012年我国医疗服务市场规模的倍，故错误；
B.我国医疗服务市场规模增长率有增有减，故错误；
C.自2012年起我国医疗服务市场规模增长率都是正值，故我国医疗服务市场规模始终呈现递增趋势，故正确；
D.自2019年起我国医疗服务市场规模增长率逐年下降，故错误；
故选：C
4．B
【分析】求出直线的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义可求出结果.
【详解】由可得，准线方程为，
直线，
联立，消去并整理得，，
设直线与抛物线的两个交点为，，
则，
所以直线截抛物线所得弦长为.
故选：B
5．C
【分析】方法一：根据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案；
方法二：计算抽调3人全部为女医生的概率，利用对立事件的概率公式，求出至少有1名男医生参加的概率.
【详解】方法一：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种），
至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种），
所以至少有1名男医生参加的概率为.
方法二：抽调3人全部为女医生的概率为，
则至少有1名男医生参加的概率为.
故选：C．
6．A
【分析】结合函数的定义域，零点，时函数值的符号进行判断.
【详解】由知，，排除C选项；
函数没有定义，排除B；
时，，根据指数函数的单调性可知，，
又弧度是第二象限角，故，于是时，，排除D.
故选：A.
7．C
【分析】由，求出和，再求出和，可得公比，从而可得.
【详解】设等比数列的公比为，
由得，所以，
由得，又，所以，所以，
所以，所以.
故选：C
8．B
【分析】由两个圆的方程相减消去平方项可得直线的方程，根据直线的方程可得直线经过定点，再求出圆心的坐标和圆的半径，求出圆心到直线的距离的最大值可得点到直线距离的最大值.
【详解】因为，所以，
由和可得直线的方程为，
变形得，由，得，
所以直线经过定点，
因为圆的圆心为，半径，
所以点到直线的距离的最大值为，
所以点到直线距离的最大值为.
故选：B
9．D
【分析】根据，推出，推出数列是等差数列，设公差为，根据等差数列的通项公式以及求出，再根据等差数列求和公式可求出结果.
【详解】因为，所以，所以数列是等差数列，
设公差为，因为数列为递增数列，所以，
由，得，即，
由，得，将代入，得，
又，所以，，
所以数列的前2023项和为.
故选：D
10．B
【分析】由函数的图像关于直线对称，求得，再利用图象平移变换得到，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，
所以，则，
因为，所以，所以，
将函数的图像向右平移个单位长度，得到，
则，
令，解得，
则在上递增；
令，解得，
则在上递减，
故选：B
11．C
【分析】设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，在中，由求解.
【详解】解：如图所示
设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，
因为在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为的等腰三角形，
所以，
在中，，即，
解得，所以外接球的体积为，
故选：C
12．A
【分析】取对数后，根据结构特征构造函数，利用导数研究其单调性，根据单调性可得.
【详解】因为，，，
所以，
记，则，
当时，，函数单调递减，
所以，即.
故选：A
13．4
【分析】先由向量垂直的坐标表示求m，然后由数量积的坐标表示可得.
【详解】因为，，
所以，得
所以，所以.
故答案为：4
14．（或等，本题答案不唯一，符号题意即可）
【分析】本题答案不唯一，符合题意即可，
，满足为奇函数，且在上有且只有三个零点；或者满足为奇函数，且在上有且只有三个零点.
【详解】本题答案不唯一，符合题意即可，如，为奇函数，且在上有且只有三个零点0，，满足题意．
一题多解
由题知，本题答案不唯一，符合题意即可，易知，故可画出符合题意的草图
如图所示，此时
【点睛】开放性试题，可以从常用函数或者基本初等函数思考找到解题方向.
15．
【分析】先求出双曲线方程，然后联立直线和双曲线方程表示出，然后判断出直线和双曲线一定交于两支后进行计算.
【详解】由题知，解得，即双曲线的方程为：.
直线的斜率若不存在，则垂直于轴，由于双曲线顶点为，斜率不存在的直线和双曲线有交点，则两个交点横坐标相等且均大于，与点的横坐标为1矛盾；
直线的斜率也不会为，否则根据对称性可知，的横坐标为，矛盾.
故直线斜率存在且非零.
设直线方程为，联立，得到，由.
设，由题意，，即，的纵坐标为，即.
根据双曲线的范围可知，若直线和双曲线交于同一支，则交点横坐标均大于或小于，与的横坐标为矛盾，故直线和双曲线交于两支.
由，得到，显然满足判别式条件：.
由，于是
故答案为：
16．①②④
【分析】根据三视图还原直观图，得，，两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可判断①和②，根据余弦定理可判断③，根据等体积法求出三棱锥的体积可判断④.
【详解】根据三视图可知该几何体的直观图为：
其中，，两两垂直，，，，，
以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系：
则，，，，，，
所以，，
所以，即，故①正确；
设平面的一个法向量为，
由，取，得，，得，
又，所以，又平面，所以平面，故②正确；
在中，，，
所以由余弦定理得，所以，故③错误；
三棱锥的体积，故④正确.
综上所述：说法正确的是①②④.
故答案为：①②④
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角可求出结果；
（2）根据正弦定理求出，再求出，，最后根据三角形的面积公式可求出结果.
【详解】（1）由，得，结合正弦定理得，
所以，得，
因为为三角形的内角，所以.
（2）因为，，所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以，
所以的面积为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据直三棱柱推出平面，得，在中，推出，再根据直线与平面垂直的判定定理可得平面；
（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式可求出结果.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，
因为平面，平面，所以，，
所以是二面角的平面角，所以，
在中，因为，，，
所以由，得，
因为是三角形的内角，所以，即，
因为，，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，两两垂直，
以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：
在中，，，所以，
所以，，因为，所以，因为是棱的中点，所以，
所以，，，
设平面的一个法向量，
则，取，得，，则，
设平面的一个法向量，
则，得，，
取，得，则，
则.
结合图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.
19．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求出3人都没有通过初赛的概率，再利用对立事件求概率公式求出答案；
（2）得到的可能取值，利用独立事件概率乘法公式及互斥事件概率加法公式求得相应的概率，得到分布列及数学期望.
【详解】（1）3人都没有通过初赛的概率为，
所以这3人中至少有1人通过初赛的概率为.
（2）依题意的可能取值为0，1，2，3.
设事件A表示“甲参加市赛”，事件表示“乙参加市赛”，事件表示“丙参加市赛”，
则，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的数学期望为.
20．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据离心率和面积列方程，结合求解即可；
（2）设，根据圆的切线过点M可得直线的方程，求出在坐标轴上的截距，利用点M在椭圆上可证.
【详解】（1）当时，，
则有，解得
所以椭圆的方程为
（2）设
则直线，的方程分别为，
又直线，过点M，所以，
所以直线的方程为，
分别令解得
则，
因为点M在椭圆上，
所以，即
所以
21．(1)当时，函数在上为单调递增函数；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【分析】（1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可求出结果；
（2）令，根据转化为还有一个非零零点，按照，，分类讨论，利用导数研究函数的性质，结合函数的草图，可求出结果.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，故函数在上为单调递增函数；
当时，由，得，由，得，
故函数在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）令，则函数有且只有两个零点，
因为，即是函数的一个零点，
，
当，即时，，则函数在上单调递增，此时函数仅有一个零点，不符合题意；
当，即时，由，得，由，得，
则函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，
设，则，
由，得，由，得，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
当时，取得最大值，此时函数只有一个零点；
因为且在上为增函数，
所以当时，，即，此时，如图所示：
当时，，则函数为增函数，且，
所以当时，只有一个零点；
当时，，则为减函数，
取，则，
，
因为，，在上为减函数且连续，
所以在上有唯一的零点，
又因为在上没有零点，
所以当时，有且只有两个零点.
当时，因为在上为减函数，
所以，即，此时，如图所示:
因为当时，函数为减函数，且，所以当时，只有一个零点，
设（，则，
设，则，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，则为增函数，
所以当时，，即当时，，
故，
设，则，
当时，，则为减函数，
当时，，则为增函数，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，
而，在上为增函数且连续，
所以在上有唯一零点，
又因为在上没有零点，
所以当时，有两个零点.
综上所述：实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．(1)曲线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为.
(2)
【分析】（1）消去参数可得曲线的普通方程；根据，，可得曲线的直角坐标方程；
（2）将曲线的参数方程化为标准形式，将的参数方程的标准形式代入的直角坐标方程，根据直线参数方程中参数的几何意义可求出结果.
【详解】（1）由，消去得，
则曲线的普通方程为.
由，得，
根据，，得.
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）将曲线化为，（为参数），易知在曲线上，
联立，得，
设点对应的参数分别为，
则，，
所以.
23．(1)
(2)
【分析】（1）去绝对值将转化为分段函数分别求解，再取并集即可；
（2）先利用绝对值的三角不等式求函数的最大值，再转化为关于参数的不等式，解不等式即可．
【详解】（1）由题意，函数，
则不等式等价于或或，
解得或或
所以不等式的解集为.
（2）因为，
所以存在关于使得不等式恒成立，
等价于恒成立，解得.
所以a的取值范围为.
试卷第1页，共3页
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