二次根式
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文档简介
第十一章 二次根式
一、素质教育目标
知识教学点
1．使学习了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式．
2．使学生掌握二次根式的性质：
并能根据上述性质熟练地化简二次根式．
3．使学生掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算．
4．使学生了解分母有理化的概念和作用，会将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化．
5．使学生能结合二次根式的化简与运算，进行求二次根式的值的近似计算．
(二)能力训练点
通过本章学习，使学生了解二次根式的有关概念，二次根式的运算是本章的主线，在掌握二次根式运算法则、具备熟练运算技能的基础上，能在实数范围内灵活运用运算律、乘法公式、因式分解等变形方法，根据题目条件寻求更加合理、简捷的运算途径，提高运算能力．在二次根式的化简及运算中通过对二次根式的性质和运算法则的运用，培养学生逆向思维的能力，并通过对算理的理解，提高逻辑思维能力．
(三)德育渗透点
本章内容紧密配合了几何课中勾股定理的有关内容，通过对本章的学习可引导学生利用数学知识解决实际问题，使学生对数学知识联系实际的问题有进一步的认识和理解．
二、教材分析
(一)知识结构
(二)地位作用
在第十章数的开方中，学方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法．在此基础上，本章首先给出了二次根式的概念，掌握二次根式的化简与二次根式的运算是本章的中心．我们要把二次根式的概念、性质、运算有机地联系起来，学好本章知识，为下一章学习一元二次方程打下必要的基础．例如：解无理系数的一元一次方程、二元一次方程组及可化为一元一次方程的未知数系数是无理数的分式方程．
(三)重点难点分析与突破
本章的重点是二次根式的化简与运算，学习二次根式的有关概念与性质，目的就是为了熟练地掌握二次根式的化简与运算．
运用这个公式时，要涉及到对字母取值范围的讨论，所以本章教学中要着重突破对算术根概念的理解这一难点．正确认识与运用二次根式的概念与性质则是学习本章的关键．
在学习本章时，要注意复习有理数的运算，以便帮助学生排解学习中出现的问题与难点．
(四)重要的数学思想 1．在二次根式的运算训练中，渗透转化的思想．
三、课时安排
本章教学时间约需22课时，具体分配如下(仅供参考)：
§11．1 二次根式 约2课时
§11．2 二次根式的乘法 约3课时
§11．3 二次根式的除法 约3课时
§11．4 最简二次根式 约2课时
§11．5 二次根式的加减法 约2课时
§11．6 二次根式的混合运算 约4课时
小结与复习 约3课时
二次根式(一)
一、教学目标
1．使学生知道二次根式的意义．
2．对于二次根式的定义，重点是使学生了解被开方数必须是非负数．
3．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题．
5．渗透分类讨论的数学思想，培养学生从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性的能力．
二、教学重点和难点
1．重点：(1)二次根的定义；(2)二次根式中字母的取值范围．
2．难点：二次根式中，较复杂的字母取值问题的讨论．
三、教学方法
启发学生发现，从特殊到一般总结归纳的方法，讲授与练习结合法．
四、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫平方根、算术平方根？
2．说出下列各式的意义，并计算：
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或
(二)引入新课
的内容，引出：
新课：二次根式
是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜
解：略．
有意义．
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
题转化为解不等式．
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，
根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．
所以所求字母x的取值范围是全体实数．
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
(四)练习和作业 练习：
1．判断下列各式是否是二次根式
分析：
因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是
式．
2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业 教材P．172习题11．1；A组1；B组1．
六、板书设计
二次根式(二)
一、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫二次根式？
2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．
(二)二次根式的简单性质
上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质
个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：
这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代
时才成立．
一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．
例1 计算：
中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第
例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
(1)5； (2)11； (3)1.6； (4)0.35．
例3 把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
(1)4x2-1； (2)a4-9；
(3)3a2-10； (4)a4-6a2+9．
解：(1)4x2-1
=(2x)2-12
=(2x+1)(2x-1)．
(2)a4-9
=(a2)2-32
=(a2+3)(a2-3)
(3)3a2-10
(4)a4-6a2+32
=(a2)2-6a2+32
=(a2-3)2
(三)小结
1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．
(1)经常用于乘法的运算中．
(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．
(四)练习和作业
1．填空
注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．
2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：
分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
3．计算
二、作业 教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．
补充作业：
下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？
分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：
(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，
但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，
∴ ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．
(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0
∴ (m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，
∴ m-n≤0，即m≤n．
说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．
三、板书设计
二次根式的乘法(一)
一、教学目标
1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
2．会进行简单的二次根式的乘法运算．
3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．
4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．
二、教学重点和难点
1．重点会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．
2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
观察下面的例子：
类似地可以得到：
(二)新课 积的算术平方根．
(a≥0，b≥0)．
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．
根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．
例1 把下面各数分解因数：
(1)20； (2)42； (3)63； (4)128．
说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．解：略．
例2 化简：
分析：
本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．
(a≥0，b≥0，c≥0)．
②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．
说明：(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．
注意：通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．
等结果，于是可以总结出：一般地，有
例3 化简：
分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．
注意：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．
例4 如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．
求AB．
解：∵ AB2=AC2+BC2
答：AB长26cm．
(三)小结1．本节课讲了积的算术平方根的性质
通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．
公式显然不成立．
2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．
3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．
(四)练习
1．化简：
2．计算：
(2)略．
3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．
六、作业 教材P．177习题11．2； A组1、2、3、4、5．
七、板书设计
二次根式的乘法(二)
一、教学过程
(1) 复习提问
1．叙述积的算术平方根的性质，并用公式表达出来．
注意：在学生回答后，特别注意是否写条件a≥0、b≥0了，并问为什么必须有这个条件．
2．化简：
通过练习巩固利用积的算术平方根的性质化简二次根式的方法．
(二)新课 二次根式的乘法，
请同学们观察上式的左边和右边，启发学生总结得出：等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式，这是把被开方数的积作为积的被开方数．
利用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算．
例1 计算：
0)，运算的结果，应该尽量化简，例如第(2)小题结
以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况．
例2 计算：
第(3)小题是否还有其他解法？请同学们想一想．
方法二：
说明：二次根式乘法，有时也可以先化简，然后再利用公式相乘．
说明：①这是二次根式运算在实际问题的应用．
②题目没有提出计算要求时，结果可以用带根号的式子表示．
(三)小结
2．启发学生总结二次根式乘法运算的结果应该尽量化简．
(四)练习 1．计算：
角三角形的面积
二、作业 教材P．177习题11．2；A组6、7；B组2．
三、板书设计
二次根式的乘法(三)
一、教学过程
(二)学生练习
1．计算：
分析：
要化简．
学生做完练习后要引导学生做小结：如第(1)小题，问学生应该注意
号．又如第(3)小题让学生分析此小题做法首先应把 2x＋4y分解为2(x+
2．计算：
分析：让学生通过观察这两个小题有什么特点：启发学生回答，这两个题的被开方数都是小数，再让学生动手计算一下，引导学生总结这样的题一般先将被开方数进行因数分解，例如：
3．计算：
分析：首先让学生动手解这两个小题，然后观察这两个小题的特点，并总
(三)介绍化简二次根式的又一种方法
练习：
1．化简下列各式：
当然，今后我们还可以学习到其他方法对上面两个二次根式进行化简．
法一：
引导学生总结得出以下结论：
方法二：
利用这种方法要注意什么问题，请同学们想一想．应注意：在a＞0、b＞0时，可由a2＞b2，得a＞b．
让学生小结比较二次根式的常用方法，使同学们感到学习二次根式乘法的一个用途．
(四)教材P.178“想一想”的问题，请同学们讨论回答．
用长3cm，宽2.5cm的邮票30枚摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少？你可以用几种不同的方法求解？
这个问题可以引导学生如何用数字方法列出式子，求出正方形边长，
一下，邮票长边排几个、宽边又排几个才能摆成一个正方形，如邮票长边排5枚、宽边排6枚等方法．
(三)小结
1．本节课复习巩固了二次根式的乘法．
2．二次根式化简的应用．
(四)练习
1．计算：
=2×6＋6
=18．
注意：关于乘与加的混合运算，对于实数分配律也是适用的．
2．求下列代数式的值：
二、作业 教材P．178习题11．2；A组8；B组3．P．179练习(1)、(2)．
三、板书设计
二次根式的除法(一)
一、教学目标
1．使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
2．会进行简单的二次根式的除法运算．
3．使学生知道什么叫分母有理化，并能利用分母有理化解决二次根式的近似计算问题．
二、教学重点和难点
1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行．
2．难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
什么样的方法引出的？
(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)
学生观察下面的例子，并计算：
由学生总结上面两个式的关系得：
类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：
(二)新课
商的算术平方根．一般地，有
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．
引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．
例1 化简：
说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数．
例2 化简：
再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中
决．
学生讨论本节课所学内容，并进行小结．
(三)小结
1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)
2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．
(四)练习1．化简：
2．化简：
六、作业 教材P．183习题11．3；A组1．
七、板书设计
二次根式的除法(二)
一、教学过程
(一)复习提问
1．叙述商的算术平方根的性质．
2．计算：
(二)新课 二次根式的除法．
可以进行简单的二次根式的除法运算．
例1 计算：
说明：本节例题、习题只限于被除式的被开方数能被除式的被开方
所以二次根式的除法运算，通常还采用化去分母中根号的方法来进行．
把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我
例2 把下列各式的分母有理化：
例3 把下列各式的分母有理化：
例4 计算：
二次根式的乘法，我们经常采用把它转化为分母有理化的问题
讲完例题以后，让学生根据例题中的不同题型反思，启发学生从二次根式除法的例题中总结出二次根式除法的两种基本方法．
(三)小结1．二次根式的除法，有两种基本方法：
(1)把除法先写成分式的形式，然后进行分母有理化的运算．
2．在进行分母有理化之前，可先观察，把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号．(有时也可以利用约分把二次根式化简．)
(四)练习
1．计算
2．把下列各式的分母有理化：
二、作业 教材P．183习题11．3；A组2、3；B组1、2．
三、板书设计
二次根式的除法(三)
一、教学过程
(一)复习二次根式的除法学生做练习
1．计算
解：(1)方法一：按二次根式除法公式做：
方法二：按分母有理化做：
通过练习使学生进一步复习巩固了二次根式除法的两种基本方法：(1)把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化．(2)利用二次根式的除
(二)新课
例1 计算：
通过例1使学生进一步体会如何利用分母有理化进行二次根式的除法运算．
例2 已知a＝6，b＝3，c＝5，求下列各式的值．
启发学生在求值时，应该注意先化简．
当a＝b，c＝5时，
当b＝3时，
注意：通过例3，应该使学生明确求值的问题，应该是先化简、再求值，这也是二次根式乘、除法的一个应用．
(2) 小结 (1)进一步巩固二次根式除法运算的两种基本方法．
(2)通过二次根式乘、除法的运算，解决近似计算问题，为联系实际的应用题的计算打下基础．
(四)练习 1．计算：(用两种方法计算)
2．求下列各式的值(精确到0.01)：
二、作业 教材P．183习题11．3；A组4、5、6；B组3．
三、板书设计
最简二次根式(一)
一、教学目标
1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．
2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．
3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．
二、教学重点和难点
1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．
2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．
三、教学方法
通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
提出问题：如果一个正方形的面积是0.5m2，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？
了．这样会给解决实际问题带来方便．
(二)新课 由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创
这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数．
总结满足什么样的条件是最简二次根式．即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1．被开方数的因数是整数，因式是整式．
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么．
说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式．
例2 把下列各式化成最简二次根式：
说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．
例3 把下列各式化简成最简二次根式：
说明：①引导学生观察例题3中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．②要提问学生
问题，通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件．
通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况，并引导学生小结应该注意的问题．
注意：①化简时，一般需要把被开方数分解因数或分解因式．②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母进行有理化．
(三)小结 1．满足什么条件的根式是最简二次根式．
2．把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法．
(四)练习 1．指出下列各式中的最简二次根式：
2．把下列各式化成最简二次根式：
六、作业 教材P．187习题11．4；A组1；B组1．
七、板书设计
最简二次根式(二)
一、教学过程
(一)复习最简二次根式，学生首先做以下练习
1．选择题：
(1)下列根式中最简二次根式是 [ ]
[ ]
答案(1)C；(2)B．
2．化简下列二次根式：
3．检查下列计算是否正确？
让学生通过自己计算，检查上面各题的化简是否正确，以便培养学生分析、辨别的能力．教师引导学生对以上3个小题分析回答如下：
(1)根号内的分母乘以2y，而分子没乘，改变了原式的值，正确结果应是：
(2)根号内的分母的系数应该先分解质因数，20＝5×22，分子与分母同时乘以5y就行了．
号外：
它还可以与分母约分．
(3)分母开出根号后，还应写在分母上．
学生通过对化最简二次根式中错误的分析，进一步巩固了化简二次根式的方法．
(二)巩固化简二次根式的方法
例 把下列根式化为最简二次根式：
由最简二次根式的定义，学生分析应该如何计算．
以上两个小题，可由学生在黑板做题完成，然后做题同学为大家讲为什么这样做，再让其他同学检查一下运算的结果是否是最简二次根式，从而再次巩固把二次根式化为最简二次根式所要求满足的两个条件．
(三)二次根式应用举例
二次根式实际应用很广泛，可让同学举出例子．如已知正方形面积是50cm2，求正方形边长，又如利用勾股定理计算时经常要化简二次根式，我们再向同学们介绍几个例子．
以根据下面的公式(秦九韶—海伦公式)求这个三角形的面积S：
另外，我们还将在物理学中学到公式：W＝I2Rt，其中W表示电功，I表示电流， R表示电阻，t表示时间，如果已知W、 R、 t求I，
我们还知道，一个物体从高处自行落下，落到地面所用的时间t(单
需要对二次根式化简．
(四)小结 1．继续巩固化二次根式为最简二次根式的方法．
2．二次根式的应用．
(五)练习1．化下列各式为最简二次根式：
说明：本例题中第(6)小题需要讨论，在解这个小题时，首先要问学生a、b为实数，a、b可取什么值，再让学生观察a、b在什么位置，这样可引导学生挖掘出隐含条件中a≠0、b≠0，再问学生，a、b究竟可以取什么样的值呢？启发学生回答可取a＞0或a＜0、b＞0或b＜0，这样a和b的取值有几种可能，这里可以让学生讨论．引导学生归纳，得出结论．通过这个小题，可以让学生小结一下，这样通过练习，培养了学生的观察能力、如何挖掘隐含条件以及分类讨论和总结归纳的能力．
下面题中字母取值有负数，同学们试算一下．
2．求下列各式的值：
(2)当a＝1，b＝2，c＝-5时，
说明：为了减少学生学习的困难，在本章如果没有特别说明，根号内所有字母都表示正数，但是今后我们学习中遇到的二次根式，根号内的字母可能取负值，上面两个例题，就是让学生通过练习体会到：根号内的字母可以取负值，关键被开方数如b2－4ac一定要大于等于零．
二、作业 教材P．187习题11．4；A组2、3． 三、板书设计
二次根式的加减法(一)
一、教学目标
1．使学生明确最简二次根式的概念，明确同类二次根式的概念．
2．对不同的二次根式，通过化简，确定同类二次根式．
3．使学生明确二次根式的加减法，实际上就是合并同类的二次根式，要明确合并的方法．
4．通过例题，使学生了解解题的全过程，并能分步骤去完成，即认题、化简、确认同类二次根式、结合加法的运算律加以整理，最后合并同类二次根式．
二、教学重点及难点
1．教学重点：二次根式的化简．同类二次根式的合并法则．
2．教学难点：被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．同类二次根式的合并法则．
3．疑点及分析和解决办法：二次根式的化简在上节课中已基本解决，可作适当复习，与整式的加减法运算进行比较，可练习几个整式的加减法的题目，以引起学生的求知欲和兴趣，进一步引出同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生识别真伪，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的效果．
三、教学方法
引导法，比较法，剖析法．在比较和剖析中，不断修正错误，得到正确的结论，以牢固地掌握计算方法．
四、教学手段
列举正、反例题，引导学生讨论并由学生总结计算步骤和计算法则，由学生分析错误的原因及避免错误的方法．
五、教学过程
(一)复习引入 什么样的二次根式叫做最简二次根式？(由学生回答)
这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．
(二)讲解新课 1．复习整式的加减运算
计算：
(1)2a＋5a；
(2)3a2b＋ab－4a2b；
(3)-5x2-x－(2x－x2)
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
小结：(1)如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
(2)如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．(可对比整式的加减法则)
例4 计算：
4．练习题 计算：
练习：教材P．192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5)；教材P．193中1、2．
(三)小结 同类二次根式的定义．二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
六、作业 教材P．193中3(1)、(4)、(5)、(6)；教材P．194中4 (2)、(3)、(4)．
七、板书设计
PAGE
１
一、素质教育目标
知识教学点
1．使学习了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式．
2．使学生掌握二次根式的性质：
并能根据上述性质熟练地化简二次根式．
3．使学生掌握二次根式加、减、乘、除的运算法则，会用它们进行运算．
4．使学生了解分母有理化的概念和作用，会将分母中含有一个或两个二次根式的式子进行分母有理化．
5．使学生能结合二次根式的化简与运算，进行求二次根式的值的近似计算．
(二)能力训练点
通过本章学习，使学生了解二次根式的有关概念，二次根式的运算是本章的主线，在掌握二次根式运算法则、具备熟练运算技能的基础上，能在实数范围内灵活运用运算律、乘法公式、因式分解等变形方法，根据题目条件寻求更加合理、简捷的运算途径，提高运算能力．在二次根式的化简及运算中通过对二次根式的性质和运算法则的运用，培养学生逆向思维的能力，并通过对算理的理解，提高逻辑思维能力．
(三)德育渗透点
本章内容紧密配合了几何课中勾股定理的有关内容，通过对本章的学习可引导学生利用数学知识解决实际问题，使学生对数学知识联系实际的问题有进一步的认识和理解．
二、教材分析
(一)知识结构
(二)地位作用
在第十章数的开方中，学方根、算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根、算术平方根的方法．在此基础上，本章首先给出了二次根式的概念，掌握二次根式的化简与二次根式的运算是本章的中心．我们要把二次根式的概念、性质、运算有机地联系起来，学好本章知识，为下一章学习一元二次方程打下必要的基础．例如：解无理系数的一元一次方程、二元一次方程组及可化为一元一次方程的未知数系数是无理数的分式方程．
(三)重点难点分析与突破
本章的重点是二次根式的化简与运算，学习二次根式的有关概念与性质，目的就是为了熟练地掌握二次根式的化简与运算．
运用这个公式时，要涉及到对字母取值范围的讨论，所以本章教学中要着重突破对算术根概念的理解这一难点．正确认识与运用二次根式的概念与性质则是学习本章的关键．
在学习本章时，要注意复习有理数的运算，以便帮助学生排解学习中出现的问题与难点．
(四)重要的数学思想 1．在二次根式的运算训练中，渗透转化的思想．
三、课时安排
本章教学时间约需22课时，具体分配如下(仅供参考)：
§11．1 二次根式 约2课时
§11．2 二次根式的乘法 约3课时
§11．3 二次根式的除法 约3课时
§11．4 最简二次根式 约2课时
§11．5 二次根式的加减法 约2课时
§11．6 二次根式的混合运算 约4课时
小结与复习 约3课时
二次根式(一)
一、教学目标
1．使学生知道二次根式的意义．
2．对于二次根式的定义，重点是使学生了解被开方数必须是非负数．
3．使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问题．
5．渗透分类讨论的数学思想，培养学生从事物特殊性入手，总结归纳事物的一般性的能力．
二、教学重点和难点
1．重点：(1)二次根的定义；(2)二次根式中字母的取值范围．
2．难点：二次根式中，较复杂的字母取值问题的讨论．
三、教学方法
启发学生发现，从特殊到一般总结归纳的方法，讲授与练习结合法．
四、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫平方根、算术平方根？
2．说出下列各式的意义，并计算：
通过练习使学生进一步理解平方根、算术平方根的概念．
观察上面几个式子的特点，引导学生总结它们的被平方数都大于或
(二)引入新课
的内容，引出：
新课：二次根式
是，因此二次根式指的是某种式子的“外在形态”．请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式．下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答．
例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜a＜1时，a2-1＜
解：略．
有意义．
例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：
题转化为解不等式．
解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意
例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的条件，
根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零．
所以所求字母x的取值范围是全体实数．
(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0．
(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)
平方根的表达式．
2．式子中，被开方数(式)必须大于等于零．
(四)练习和作业 练习：
1．判断下列各式是否是二次根式
分析：
因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是
式．
2．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
五、作业 教材P．172习题11．1；A组1；B组1．
六、板书设计
二次根式(二)
一、教学过程
(一)复习提问
1．什么叫二次根式？
2．下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：
(3)∵x取任何值都有2x2≥0，所以2x2+1＞0，故x的取值为任意实数．
(二)二次根式的简单性质
上节课我们已经学习了二次根式的定义，并了解了第一个简单性质
个数进行平方的运算，而开平方运算和平方运算是互为逆运算，因而有：
这里需要注意的是公式成立的条件是a≥0，提问学生，a可以代
时才成立．
一想是否就可以把任何一个非负数写成一个数的平方形式了．
例1 计算：
中(2)、(3)、(4)题又运用了整式乘除中学习的积的幂的运算性质．结合第
例2 把下列非负数写成一个数的平方的形式：
(1)5； (2)11； (3)1.6； (4)0.35．
例3 把下列各式写成平方差的形式，再分解因式：
(1)4x2-1； (2)a4-9；
(3)3a2-10； (4)a4-6a2+9．
解：(1)4x2-1
=(2x)2-12
=(2x+1)(2x-1)．
(2)a4-9
=(a2)2-32
=(a2+3)(a2-3)
(3)3a2-10
(4)a4-6a2+32
=(a2)2-6a2+32
=(a2-3)2
(三)小结
1．继续巩固二次根式的定义，及二次根式中被开方数的取值范围问题．
(1)经常用于乘法的运算中．
(2)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式，解决在实数范围内因式分解等方面的问题．
(四)练习和作业
1．填空
注意第(4)题需有2m≥0，m≥0，又需有-3m≥0，即m≤0，故m=0．
2．实数a、b在数轴上对应点的位置如下图所示：
分析：通过本题渗透数形结合的思想，进一步巩固二次根式的定义、性质，引导学生分析：由于a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜．
3．计算
二、作业 教材P．172习题11．1；A组2、3；B组2．
补充作业：
下列各式中的字母满足什么条件时，才能使该式成为二次根式？
分析：要使这些式成为二次根式，只要被开方式是非负数即可，启发学生分析如下：
(1)由-｜a-2b｜≥0，得a-2b≤0，
但根据绝对值的性质，有｜a-2b｜≥0，
∴ ｜a-2b｜=0，即a-2b=0，得a=2b．
(2)由(-m2-1)(m-n)≥0，-(m2+1)(m-n)≥0
∴ (m2+1)(m-n)≤0，又m2+1＞0，
∴ m-n≤0，即m≤n．
说明：本题求解较难些，但基本方法仍是由二次根式中被开方数(式)大于或等于零列出不等式．通过本题培养学生对于较复杂的题的分析问题和解决问题的能力，并且进一步巩固二次根式的概念．
三、板书设计
二次根式的乘法(一)
一、教学目标
1．使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
2．会进行简单的二次根式的乘法运算．
3．使学生能联系几何课中学习的勾股定理解决实际问题．
4．使学生了解比较二次根式的大小的方法．
二、教学重点和难点
1．重点会利用积的算术平方根的性质化简二次根式，会进行简单的二次根式的乘法运算．
2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法，类比的方法，讲授与练习结合法．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
观察下面的例子：
类似地可以得到：
(二)新课 积的算术平方根．
(a≥0，b≥0)．
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．
要注意a≥0、b≥0的条件，因为只有a、b都是非负数公式才能成立，这里要启发学生为什么必须a≥0、b≥0．在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数，下面启发学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a、b先做乘法求积，再开方求积的算术平方根，等号右边是先分别求a、b的两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积．
根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．
例1 把下面各数分解因数：
(1)20； (2)42； (3)63； (4)128．
说明：通过本题复习分解因数，为利用积的算术平方根公式化简二次根式打下基础．解：略．
例2 化简：
分析：
本题需要用积的算术平方根公式进行化简，题目中的被开方数都是具体数字，学生便于理解，在讲完例2后可以总结化简的方法．
(a≥0，b≥0，c≥0)．
②这个小题与本章章头图与章序言的内容有联系，解答了章序言中提出的一个问题．
说明：(4)小题要首先用平方差公式分解成积的形式，才可以用积的算术平方根公式进行化简．
注意：通过例2可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简．
等结果，于是可以总结出：一般地，有
例3 化简：
分析：由例3，让学生注意，在本章中，未加特别说明时，字母一般表示正数，但在实际问题中不一定非是正数不可，如第(1)小题，a可以是负数，根据学生实际情况，可适当引导学生展开小组的讨论，渗透分类讨论的思想．
注意：x2+y2这个式子不能再开方了，进一步强调积的算术平方根公式的特点．
例4 如右图，在△ABC中，∠C=90°，4C=10cm，BC=24cm．
求AB．
解：∵ AB2=AC2+BC2
答：AB长26cm．
(三)小结1．本节课讲了积的算术平方根的性质
通过分式的应用，让学生进一步总结，为什么必须有a≥0、b≥0这个条件，而没有这个条件上述性质不成立．
公式显然不成立．
2．利用积的算术平方根的性质，化简二次根式的方法．
3．结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力．
(四)练习
1．化简：
2．计算：
(2)略．
3．已知一个直角三角形的斜边c=21，一条直角边b＝4，求另一条直角边a．
六、作业 教材P．177习题11．2； A组1、2、3、4、5．
七、板书设计
二次根式的乘法(二)
一、教学过程
(1) 复习提问
1．叙述积的算术平方根的性质，并用公式表达出来．
注意：在学生回答后，特别注意是否写条件a≥0、b≥0了，并问为什么必须有这个条件．
2．化简：
通过练习巩固利用积的算术平方根的性质化简二次根式的方法．
(二)新课 二次根式的乘法，
请同学们观察上式的左边和右边，启发学生总结得出：等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式，这是把被开方数的积作为积的被开方数．
利用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算．
例1 计算：
0)，运算的结果，应该尽量化简，例如第(2)小题结
以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况．
例2 计算：
第(3)小题是否还有其他解法？请同学们想一想．
方法二：
说明：二次根式乘法，有时也可以先化简，然后再利用公式相乘．
说明：①这是二次根式运算在实际问题的应用．
②题目没有提出计算要求时，结果可以用带根号的式子表示．
(三)小结
2．启发学生总结二次根式乘法运算的结果应该尽量化简．
(四)练习 1．计算：
角三角形的面积
二、作业 教材P．177习题11．2；A组6、7；B组2．
三、板书设计
二次根式的乘法(三)
一、教学过程
(二)学生练习
1．计算：
分析：
要化简．
学生做完练习后要引导学生做小结：如第(1)小题，问学生应该注意
号．又如第(3)小题让学生分析此小题做法首先应把 2x＋4y分解为2(x+
2．计算：
分析：让学生通过观察这两个小题有什么特点：启发学生回答，这两个题的被开方数都是小数，再让学生动手计算一下，引导学生总结这样的题一般先将被开方数进行因数分解，例如：
3．计算：
分析：首先让学生动手解这两个小题，然后观察这两个小题的特点，并总
(三)介绍化简二次根式的又一种方法
练习：
1．化简下列各式：
当然，今后我们还可以学习到其他方法对上面两个二次根式进行化简．
法一：
引导学生总结得出以下结论：
方法二：
利用这种方法要注意什么问题，请同学们想一想．应注意：在a＞0、b＞0时，可由a2＞b2，得a＞b．
让学生小结比较二次根式的常用方法，使同学们感到学习二次根式乘法的一个用途．
(四)教材P.178“想一想”的问题，请同学们讨论回答．
用长3cm，宽2.5cm的邮票30枚摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少？你可以用几种不同的方法求解？
这个问题可以引导学生如何用数字方法列出式子，求出正方形边长，
一下，邮票长边排几个、宽边又排几个才能摆成一个正方形，如邮票长边排5枚、宽边排6枚等方法．
(三)小结
1．本节课复习巩固了二次根式的乘法．
2．二次根式化简的应用．
(四)练习
1．计算：
=2×6＋6
=18．
注意：关于乘与加的混合运算，对于实数分配律也是适用的．
2．求下列代数式的值：
二、作业 教材P．178习题11．2；A组8；B组3．P．179练习(1)、(2)．
三、板书设计
二次根式的除法(一)
一、教学目标
1．使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
2．会进行简单的二次根式的除法运算．
3．使学生知道什么叫分母有理化，并能利用分母有理化解决二次根式的近似计算问题．
二、教学重点和难点
1．重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算，还要使学生掌握二次根式的除法采用分母有理化的方法进行．
2．难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用．
三、教学方法
从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，在学习了二次根式乘法的基础上本小节内容可引导学生自学，进行总结对比．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
什么样的方法引出的？
(上述积的算术平方根的性质是由具体例子引出的．)
学生观察下面的例子，并计算：
由学生总结上面两个式的关系得：
类似地，每个同学再举一个例子，然后由这些特殊的例子，得出：
(二)新课
商的算术平方根．一般地，有
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．
让学生讨论这个式子成立的条件是什么？a≥0，b＞0，对于为什么b＞0，要使学生通过讨论明确，因为b＝0时分母为0，没有意义．
引导学生从运算顺序看，等号左边是将非负数a除以正数b求商，再开方求商的算术平方根，等号右边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，根据商的算术平方根的性质可以进行简单的二次根式的化简与运算．
例1 化简：
说明：如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数．
例2 化简：
再总结：这一小节开始讲的二次根式的化简，只限于所得结果的式子中
决．
学生讨论本节课所学内容，并进行小结．
(三)小结
1．商的算术平方根的性质．(注意公式成立的条件)
2．会利用商的算术平方根的性质进行简单的二次根式的化简．
(四)练习1．化简：
2．化简：
六、作业 教材P．183习题11．3；A组1．
七、板书设计
二次根式的除法(二)
一、教学过程
(一)复习提问
1．叙述商的算术平方根的性质．
2．计算：
(二)新课 二次根式的除法．
可以进行简单的二次根式的除法运算．
例1 计算：
说明：本节例题、习题只限于被除式的被开方数能被除式的被开方
所以二次根式的除法运算，通常还采用化去分母中根号的方法来进行．
把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我
例2 把下列各式的分母有理化：
例3 把下列各式的分母有理化：
例4 计算：
二次根式的乘法，我们经常采用把它转化为分母有理化的问题
讲完例题以后，让学生根据例题中的不同题型反思，启发学生从二次根式除法的例题中总结出二次根式除法的两种基本方法．
(三)小结1．二次根式的除法，有两种基本方法：
(1)把除法先写成分式的形式，然后进行分母有理化的运算．
2．在进行分母有理化之前，可先观察，把能化简的二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号．(有时也可以利用约分把二次根式化简．)
(四)练习
1．计算
2．把下列各式的分母有理化：
二、作业 教材P．183习题11．3；A组2、3；B组1、2．
三、板书设计
二次根式的除法(三)
一、教学过程
(一)复习二次根式的除法学生做练习
1．计算
解：(1)方法一：按二次根式除法公式做：
方法二：按分母有理化做：
通过练习使学生进一步复习巩固了二次根式除法的两种基本方法：(1)把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化．(2)利用二次根式的除
(二)新课
例1 计算：
通过例1使学生进一步体会如何利用分母有理化进行二次根式的除法运算．
例2 已知a＝6，b＝3，c＝5，求下列各式的值．
启发学生在求值时，应该注意先化简．
当a＝b，c＝5时，
当b＝3时，
注意：通过例3，应该使学生明确求值的问题，应该是先化简、再求值，这也是二次根式乘、除法的一个应用．
(2) 小结 (1)进一步巩固二次根式除法运算的两种基本方法．
(2)通过二次根式乘、除法的运算，解决近似计算问题，为联系实际的应用题的计算打下基础．
(四)练习 1．计算：(用两种方法计算)
2．求下列各式的值(精确到0.01)：
二、作业 教材P．183习题11．3；A组4、5、6；B组3．
三、板书设计
最简二次根式(一)
一、教学目标
1．使学生知道什么是最简二次根式，遇到实际式子能够判断是不是最简二次根式．
2．使学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法．
3．使学生了解把二次根式化简成最简二次根式在实际问题中的应用．
二、教学重点和难点
1．重点：能够把所给的二次根式，化成最简二次根式．
2．难点：正确运用化一个二次根式成为最简二次根式的方法．
三、教学方法
通过实际运算的例子，引出最简二次根式的概念，再通过解题实践，总结归纳化简二次根式的方法．
四、教学手段 利用投影仪．
五、教学过程
(一)引入新课
提出问题：如果一个正方形的面积是0.5m2，那么它的边长是多少？能不能求出它的近似值？
了．这样会给解决实际问题带来方便．
(二)新课 由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创
这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数．
总结满足什么样的条件是最简二次根式．即：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
1．被开方数的因数是整数，因式是整式．
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
例1 指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么．
说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式．
例2 把下列各式化成最简二次根式：
说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．
例3 把下列各式化简成最简二次根式：
说明：①引导学生观察例题3中二次根式的特点，即被开方数是分数或分式，再启发学生总结这类题化简的方法，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简．②要提问学生
问题，通过这个小题使学生明确如何使用化简中的条件．
通过例2、例3总结把一个二次根式化成最简二次根式的两种情况，并引导学生小结应该注意的问题．
注意：①化简时，一般需要把被开方数分解因数或分解因式．②当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应该把它化简成分母中不含二次根式的式子，也就是把它的分母进行有理化．
(三)小结 1．满足什么条件的根式是最简二次根式．
2．把一个二次根式化成最简二次根式的主要方法．
(四)练习 1．指出下列各式中的最简二次根式：
2．把下列各式化成最简二次根式：
六、作业 教材P．187习题11．4；A组1；B组1．
七、板书设计
最简二次根式(二)
一、教学过程
(一)复习最简二次根式，学生首先做以下练习
1．选择题：
(1)下列根式中最简二次根式是 [ ]
[ ]
答案(1)C；(2)B．
2．化简下列二次根式：
3．检查下列计算是否正确？
让学生通过自己计算，检查上面各题的化简是否正确，以便培养学生分析、辨别的能力．教师引导学生对以上3个小题分析回答如下：
(1)根号内的分母乘以2y，而分子没乘，改变了原式的值，正确结果应是：
(2)根号内的分母的系数应该先分解质因数，20＝5×22，分子与分母同时乘以5y就行了．
号外：
它还可以与分母约分．
(3)分母开出根号后，还应写在分母上．
学生通过对化最简二次根式中错误的分析，进一步巩固了化简二次根式的方法．
(二)巩固化简二次根式的方法
例 把下列根式化为最简二次根式：
由最简二次根式的定义，学生分析应该如何计算．
以上两个小题，可由学生在黑板做题完成，然后做题同学为大家讲为什么这样做，再让其他同学检查一下运算的结果是否是最简二次根式，从而再次巩固把二次根式化为最简二次根式所要求满足的两个条件．
(三)二次根式应用举例
二次根式实际应用很广泛，可让同学举出例子．如已知正方形面积是50cm2，求正方形边长，又如利用勾股定理计算时经常要化简二次根式，我们再向同学们介绍几个例子．
以根据下面的公式(秦九韶—海伦公式)求这个三角形的面积S：
另外，我们还将在物理学中学到公式：W＝I2Rt，其中W表示电功，I表示电流， R表示电阻，t表示时间，如果已知W、 R、 t求I，
我们还知道，一个物体从高处自行落下，落到地面所用的时间t(单
需要对二次根式化简．
(四)小结 1．继续巩固化二次根式为最简二次根式的方法．
2．二次根式的应用．
(五)练习1．化下列各式为最简二次根式：
说明：本例题中第(6)小题需要讨论，在解这个小题时，首先要问学生a、b为实数，a、b可取什么值，再让学生观察a、b在什么位置，这样可引导学生挖掘出隐含条件中a≠0、b≠0，再问学生，a、b究竟可以取什么样的值呢？启发学生回答可取a＞0或a＜0、b＞0或b＜0，这样a和b的取值有几种可能，这里可以让学生讨论．引导学生归纳，得出结论．通过这个小题，可以让学生小结一下，这样通过练习，培养了学生的观察能力、如何挖掘隐含条件以及分类讨论和总结归纳的能力．
下面题中字母取值有负数，同学们试算一下．
2．求下列各式的值：
(2)当a＝1，b＝2，c＝-5时，
说明：为了减少学生学习的困难，在本章如果没有特别说明，根号内所有字母都表示正数，但是今后我们学习中遇到的二次根式，根号内的字母可能取负值，上面两个例题，就是让学生通过练习体会到：根号内的字母可以取负值，关键被开方数如b2－4ac一定要大于等于零．
二、作业 教材P．187习题11．4；A组2、3． 三、板书设计
二次根式的加减法(一)
一、教学目标
1．使学生明确最简二次根式的概念，明确同类二次根式的概念．
2．对不同的二次根式，通过化简，确定同类二次根式．
3．使学生明确二次根式的加减法，实际上就是合并同类的二次根式，要明确合并的方法．
4．通过例题，使学生了解解题的全过程，并能分步骤去完成，即认题、化简、确认同类二次根式、结合加法的运算律加以整理，最后合并同类二次根式．
二、教学重点及难点
1．教学重点：二次根式的化简．同类二次根式的合并法则．
2．教学难点：被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．同类二次根式的合并法则．
3．疑点及分析和解决办法：二次根式的化简在上节课中已基本解决，可作适当复习，与整式的加减法运算进行比较，可练习几个整式的加减法的题目，以引起学生的求知欲和兴趣，进一步引出同类二次根式的加减法，可进行阶梯式教学，由浅到深、由简单到复杂的教学方法，以利于学生的理解、掌握和运用，通过具体例题的计算，可由教师引导，由学生总结出计算的步骤和注意的问题，还可以通过反例，让学生识别真伪，这种比较法的教学可使学生对概念的理解、法则的运用更加准确和熟练，并能提高学生的学习兴趣，以达到更好的效果．
三、教学方法
引导法，比较法，剖析法．在比较和剖析中，不断修正错误，得到正确的结论，以牢固地掌握计算方法．
四、教学手段
列举正、反例题，引导学生讨论并由学生总结计算步骤和计算法则，由学生分析错误的原因及避免错误的方法．
五、教学过程
(一)复习引入 什么样的二次根式叫做最简二次根式？(由学生回答)
这就是本节课研究的内容——二次根式的加减法．
(二)讲解新课 1．复习整式的加减运算
计算：
(1)2a＋5a；
(2)3a2b＋ab－4a2b；
(3)-5x2-x－(2x－x2)
小结：整式的加减法，实质上就是去括号和合并同类项的运算．
2．例题
小结：(1)如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算．
(2)如果所给的二次根式不是最简二次根式，应该先化简，再进行加减运算．
定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
3．例题
二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．(可对比整式的加减法则)
例4 计算：
4．练习题 计算：
练习：教材P．192中1、2(1)、(2)、(3)、(4)、(5)；教材P．193中1、2．
(三)小结 同类二次根式的定义．二次根式的加减法与整式的加减法进行比较，强调注意的问题．
六、作业 教材P．193中3(1)、(4)、(5)、(6)；教材P．194中4 (2)、(3)、(4)．
七、板书设计
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