8.3 向量数量积与夹角的坐标表示(第4课时） 教学课件（共16张PPT）

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2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）
第 8 章 平面向量
8.3向量数量积与夹角的坐标表示（第4课时）
4 向量数量积与夹角的坐标表示
给定两个坐标表示的向量 与 ，它们
的数量积是 　　
因为 是互相垂直的单位向量，所以 ，
，于是
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
我们前面给出过用两个向量的数量积表示两个向量夹角的
公式，但当时因为数量积的计算依赖于向量的夹角，那个公式
的实际意义没有足够地显示出来．现在，给定两个非零向量
与 ，把用坐标表示的模的公式和数量积
公式代入原来的向量夹角公式，我们得到
这样，把向量夹角用它们的坐标表示出来，使用上就很方便了．
例６ 已知向量 ＝（1，2）， ＝（２，－２）．求｜ ｜、
｜ ｜与
例７ 已知△ABC中A、B、C三点的坐标分别为（２，－２）、
（－２，３）、（３，７），求证：△ABC为直角三角形
证明 因为
所以 ，即△ABC为直角三角形
利用坐标形式的向量夹角公式，我们可以得到两个向量垂直
和平行的充要条件：
证明 如果 中有零向量，结论是显然的．因此，只要考
虑 均不为零向量的情况．
（１）根据向量夹角公式
（２） 因为
或 ，仍根据向量夹角
公式
用坐标形式的向量夹角公式，并模仿这里所用的把公式两边
同时平方的方法，可以证明一个重要的代数不等式．这是向量工
具在代数中应用的一个实例．
例８ 已知x１、x２、y１、y２都是实数，求证：
并且等式成立的充要条件是x１y２＝x２y１．
证明 构造向量 ＝（x１，y１）， ＝（x２，y２）．如果其中有零
向量，那么结论显然成立，从而只要考虑 都是非零向量的
情况．把坐标形式的向量夹角公式两边同时平方，整理后可得
并且，
等号成立
课本练习
随堂检测
7.若点A(1,2), B(2,3), C(-2,5), 则△ABC是什么形状？证明你的猜想.
x
y
O
C
A
B