【精品解析】压轴题01 数列（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题01 数列（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
2．（2023·宣城模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（　　）
A．670 B．672 C．674 D．676
3．（2023·江门模拟）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·浙江模拟）已知等比数列的公比，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2022·义乌模拟）已知数列，满足，，，则下列选项错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022·浙江模拟）已知数列满足：，．记数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江模拟）已知数列 满足： ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·浙江模拟）已知数列 满足 ， ，给出下列三个结论：①不存在 ，使得数列 单调递减；②对任意的a，不等式 对所有的 恒成立；③当 时，存在常数 ，使得 对所有的 都成立.其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．（2022·海淀模拟）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
10．（2022·济南二模）已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 ，则满足 且 的n的最小值为（　　）
A．47 B．48 C．57 D．58
11．（2022·浙江模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（　　）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
12．（2022·长兴模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（2022·柯桥模拟）已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·湖南模拟）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点．另一方面，我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始，通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加，不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列 的首项 ，公比为q，前n项和为 ，则造成上述悖论的原理是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2022·浙江模拟）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（　　）
A．依次可组成等差数列
B．依次可组成等差数列
C．依次可组成等差数列
D．依次可组成等差数列
16．（2022·浙江模拟）记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（　　）
A．若满足，则
B．若满足，则对任意正整数
C．若满足，则对任意正整数
D．若满足，且，则
17．（2022·金华模拟）已知数列 满足 ，则下列有可能成立的是（　　）
A．若 为等比数列，则
B．若 为递增的等差数列，则
C．若 为等比数列，则
D．若 为递增的等差数列，则
18．（2022·嘉兴模拟）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（　　）
A． B．
C． D．
19．（2022·安阳模拟）已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
20．（2022·开封模拟）已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（　　）
A．-400 B．-200 C．200 D．400
21．（2022·辽宁模拟）设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
22．已知数列中，，，当数列的前项和取得最大值时，的值为（　　）
A．53 B．49 C．49或53 D．49或51
23．（2022·广东模拟）定义在上的函数序列满足（为的导函数），且，都有．若存在，使得数列是首项和公比均为的等比数列，则下列关系式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
24．（2021高二上·诸暨期末）已知数列的前项和为，满足，，，则（　　）
A． B．
C．，，成等差数列 D．，，成等比数列
25．（2022·吕梁模拟）已知为数列的前n项和，且，，则（　　）
A． B． C． D．
26．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
二、多选题
27．（2023·绍兴模拟）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数 乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当为奇数时，
D．当为偶数时，是递增数列
28．（2023·漳州模拟）已知数列，，且满足，，则（　　）
A． B．的最大值为
C． D．
29．（2022·青州模拟）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（　　）
A． B． C． D．
30．（2022·济南模拟）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
31．（2022·潍坊二模）已知数列，，有，，，则（　　）
A．若存在，，则
B．若，则存在大于2的正整数n，使得
C．若，，且，则
D．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列
32．（2022·福建模拟）已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（　　）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．存在最大项 D．存在最小项
33．（2022·石家庄模拟）已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（　　）.
A．（）
B．
C．若，则
D．若数列单调递增，则的取值范围是
三、填空题
34．（2023·广州模拟）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则　 　.
35．（2023·蚌埠模拟）若函数的定义域为，且，，则　 　．
36．（2022高二上·舟山期末）在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为　 　.
37．（2022·广东模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则　 　．
38．（2022·吉林模拟）已知复数，对于数列，定义为的“优值”．若某数列的“优值”，则数列的通项公式　 　；若不等式对于恒成立，则k的取值范围是　 　．
39．（2022·延庆模拟）数列是公比为的等比数列，为其前项和. 已知，， 给出下列四个结论：
① ；
②若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；
③若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；
④若存在使得的乘积最小，则的值只能是．
其中所有正确结论的序号是　 　.
40．（2022·丰台模拟）如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是　 　．
41．（2022·海淀模拟）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
①；
②；
③，使得当时，总有
④，使得当时，总有．
其中，所有正确结论的序号是　 　
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
2．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】∵为奇函数，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，①
又∵为偶函数，
∴，②
∴将②中换成得：，③
∴将③中换成得：，④
由①④得：，
∴的一个周期为3，
∴，
将代入③得：，
∴
又∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，再结合周期函数的定义得出函数的周期，再利用函数的周期性得出的值，再结合求和法得出的值。
3．【答案】C
【知识点】并集及其运算；利用导数研究函数的单调性；数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】因为，，，
所以，
故在上单调递增，
又，，
所以，
设，，令，
则，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，，
设，则在上单调递减，
所以，，
综上所述，，.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再结合并集的运算法则和构造法，进而得出区间E。
4．【答案】A
【知识点】等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】例如，则，
而，，
即，所以，C不符合题意；
若，，则，
例如取，，
，D不符合题意，
同理此时，，B不符合题意，
排除BCD，只有A符合题意．
故答案为：A．
【分析】对于C，举例，对于B，D举例，，即可解决问题。
5．【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】因为，所以，
所以，A符合题意；
由题意得：，
当且仅当时，取等号；
所以，即
所以
，
又，，所以，，B符合题意；
又
所以
所以
所以，C符合题意；
所以
即
所以，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】由递推公式可得，即可判断A；由结合基本不等式可得，再由递推公式逐项替代可得，即可判断B；由递推公式相加再平方可得，赋值可得，即可判断C；由递推公式相减再平方可得，进而可得，即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】，，…，依次类推，则；
由得：，
，
，
令，为的前项和，，
又，为递减数列，即为递减数列，，
（当且仅当时取等号），
，
，，，
，即，，
，，
，.
故答案为：B．
【分析】归纳可得，再由得：，取倒数可得。令，为的前项和，进而通过作商得到，进而得到，进而求得，即可得S10.
7．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由 可得an>0，则，
∴数列{an}为递增数列
∵，即 >2
则
相加可得： ，即 ，
∴，
又∵ an>a1=100，则，
，即< 2.0001 ，
则 < 2.0001 ， < 2.0001 ， ……，< 2.0001 ，
相加可得< 200.01 ， 即
∴
故选：A．
【分析】根据题意 ，可得数列{an}为递增教列，分析可得2<< 2.0001 ，利用累加法运算整理.
8．【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】由 ， ， 可得an>0 ，则an+1=，an+1-an=，则 ，都有数列{an}单调递增，故①正确；
由an+1-an=可得(an+2-an+1)-(an+1-an)=，又数列{an}单调递增，则an-an+1<0 ，
则(an+2-an+1)-(an+1-an)<0，即an+2+an<2an+1，②正确；
由an+1=可得an+1-2(n+1)=an-2n+，
则an-2n=an-1-2(n-1)+，……，a3-2×3=a2-2×2+，a2-2×2=a1-2×1+，
将以上等式相加得，an-2n==，
又an>0， {an}单调递增，则an≥a1=1 ，又由可得，
又a1-3<0，则an-3n<0，即，则，
设，
易得f(n)≥g(n)，当时，，
则， ，故不存在常数C，使得对所有的都成立，故③错误.
故选：A.
【分析】由an+1-an=即可判断①；由(an+2-an+1)-(an+1-an)<0即可判断②；由an+1=结合累加法求得an-2n=即可判断③.
9．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；
所以，解得.
故数列是等差数列.
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标以及准线的方程，再结合抛物线的定义整理化简，集合等差数列的定义就得出答案。
10．【答案】C
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】将数列分组为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…，
设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，
则 ，
此时数列共有项数为 ，
即得 ，解得 由于 ，
而 ，故 ，
又 ，故符合条件的m，的最小值为11，
则满足 且 的n的最小值为 ，
故答案为：C
【分析】找出规律，将数列分组为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，得到 ，进而可得，求出m，再得到x，即可求解。
11．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，A符合题意；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，B不符合题意；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．C，D均正确．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简化简圆锥的数列的递推公式，结合数列的前n项和与各个项之间的关系，即可得出数列的通项公式，由此得出数列的单调性，从而判断出选项A与B的正误；根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，由等比数列的通项公式整理化简即可得出数列的单调性，由数列的单调性即可求出最值，进而得出答案。
12．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴．
∴．∵，∴．则①成立，
对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，
∴，解得，∴．
∴．故②成立.
又由，可得：．
∴．∵，
∴
．
对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；
对于④，当时，因为，∴，即，
∴．则，故④成立.
故答案为：B
【分析】由已知条件结合整理化简数列的递推公式，然后由二次函数的性质即可得出数列的单调性以及首项的取值范围，由此即可判断出 ①② 的正误；结合已知条件即可得出数列的单调性，由数列前n项和公式结合裂项相消法即可得出数列前n项和的取值范围，进而判断出 ③④ 的正误，进而得出答案。
13．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于C，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于B，可取，则，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
时，也符合该式，从而.
此时
，
故成立，
若成立，取，则，
但此时，，不成立，B不符合题意.
对于D，
可令，则，
当且仅当m=n时等号成立，满足题干条件，
此时，，解得：，D选项可能成立
故答案为： D
【分析】根据题意对m赋值，由此计算出的数列的项，再结合已知的数列的不等式，结合不等式的性质即可计算出a的取值，从而对选项逐一判断即可得出答案。
14．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；反证法的应用
【解析】【解答】设这个人走的第n段距离为 ，前n段距离总和为 ，在第n段上的用时为 间的距离为S，人的速度为v，则不难知道 ，
同理 ，
两式相减，得 即 即 即 ，
则这个人在前n段距离上走的总时间为
，
这说明这个人行进的总时间不会超过 ，这与第一种说法中这个人不会到达终点在时间的连续性上产生矛盾．
故答案为：D．
【分析】设这个人走的第n段距离为 ，前n段距离总和为 ，在第n段上的用时为 间的距离为S，人的速度为v，再利用已知条件得出 ，同理 ，两式相减得出 ，再利用等比数列前n项和公式以及放缩法，得出这个人在前n段距离上走的总时间为 ，则这与第一种说法中这个人不会到达终点在时间的连续性上产生矛盾，再结合反证法找出造成上述悖论的原理。
15．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差关系的确定
【解析】【解答】解：对于A，当时，
此时依次组成严格递增的等差数列，
则依次组成等差数列，A正确，不符合题意；
对于B，假设依次可组成等差数列，
则有，
又因，
两式平方相加得，
则，
故，所以，
所以，与题意矛盾，
所以依次不可能组成等差数列，B错误，符合题意；
对于C，当时，
若，则为等差数列，C正确，不符合题意；
对于D，当时，
若，则为等差数列，D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由等差数列的项的定义以及数列的单调性，结合正弦函数、正切函数和余弦函数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】因为，
所以，A不符合题意，
取，，
则，，所以，B不符合题意，
因为，，
所以.
因此，，C不符合题意，
若是的子集，则.
若是的子集，则.
若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
所以D对，
故答案为：D.
【分析】根据题意由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项A错误；再由列举法对k赋值计算出集合T中的元素，由此判断出选项B与C的正误，结合等比数列的项的性质以及集合之间的关系，由等比数列的前n项和公式，即可判断出选项D正确，从而得出答案。
17．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 ，∴ ，即 ，
若 为等比数列，则 的公比为 ，
∴ ，
由 ，可得 ，∴ ，AC不符合题意；
若 为递增的等差数列， ，公差 ，
由 则 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴
，
又 ，
∴ ，又
则 ，
∴当 时，不等式 恒成立，
故 ，B符合题意，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意整理化简已知数列的递推公式，然后由等差数列的通项公式结合裂项相消法即可得出n的取值范围满足题意，由此对选项逐一判断即可得出答案。
18．【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】当，时，因为，所以，
又因为，
且，
下证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证
令，即证，当，时，不等式恒成立.
因此，，
所以
，
又因为，
故答案为：D.
【分析】先判断，通过缩放得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可得证，又有证得即可.
19．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为。
故答案为：A
【分析】在数列中，，，则有，因此，，，再利用数列的前n项积的最大值为3，进而得出当时的数列的前n项积，再利用分类讨论的方法，进而得出实数的取值范围。
20．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故答案为：C
【分析】由题设，所以，再利用数列为正项数列，则，由的关系式结合已知条件，可得的值，再利用等差数列的定义，进而判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而结合等差数列前n项和公式，得出正项数列的前n项和，再利用分类讨论的方法结合已知条件和分组求和的方法以及数列的周期性，进而得出数列的前100项的和。
21．【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的前n项和；函数的零点
【解析】【解答】设 的公差为d，由题知 ，解得 ，
所以
，
则
，
因为函数
的零点为0和
，所以
的最小值是靠近零点处的函数值，
又因为
，
，
，
所以当n=8时，
取得最小值为4。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式得出等差数列 的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出 等差数列 的前 项和，再利用函数零点求解方法得出函数 的零点，进而得出函数 的最小值是靠近零点处的函数值，再利用 ， ， 的值，从而得出 取得最小值时的n的值。
22．【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】因为
，则
，作差得
，
即
，则数列
为等差数列，且
，
由
得
，则公差
，通项
，数列
单调递减，
而
，
，
，
，设
，
当
时，
，
，
，当
时，
，
显然
，即数列
的前49项和与前51项和相等，并且最大，
所以当
或51时，
的前
项和取得最大值。
故答案为：D
【分析】利用
，则
，作差得出
，再利用等差数列的定义判断出数列
为等差数列，且
，由
结合等差数列的性质得出第四项的值，再结合等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出 数列
的通项公式，再利用数列
的单调性结合分类讨论的方法得出数
的前49项和与前51项和相等，并且最大，进而得出数列
的前
项和取得最大值时的
的值 。
23．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，则．
令，则，
在上单调递增．
又，∴，即，
数列是首项和公比均为的等比数列，则，∴，，
易知，上式两边同时取对数得，
即，，∴，令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，∴一定是和中的一个．
又，所以，则，
∴.
故答案为：D．
【分析】首先整理化简已知条件再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式成立，然后由已知条件结合等比数列的通项公式即可得出不等式，再由指对互化公式以及对数函数的单调性，整理化简计算出q的取值范围即可。
24．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】数列中，，，，
则此数列为1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…
即数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数，
A：，，则.判断错误；
B：由，可知当时，.判断错误；
C：，
则，即，，成等差数列.判断正确；
D：，
，
则，，即，，不能构成等比数列. 判断错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法，从而求出数列的各项，再利用数列的周期性，得出数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数；再利用数列各项的值得出；再由，可知当时，；再利用数列求和公式结合等差中项的公式，进而得出，，成等差数列；再结合数列求和公式结合等比中项的公式，进而得出，，不能构成等比数列，从而找出正确的选项。
25．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】由得，，
又因为，
所以为首项为，公比为的等比数列，所以，
即，
所以
。
故答案为：D.
【分析】由变形结合等比数列的定义，进而判断出数列为首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出，再利用分组求和的方法得出 数列的前100项的和。
26．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1，q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
27．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，当时，，
，，，，
，A符合题意；
对于B，当时，由A选项知：，B不正确；
对于C，因为，当为奇数时，且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有，C符合题意；
对于D，当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合 “冰雹猜想” 和分类讨论的方法以及递推公式，再结合数列的通项公式和增函数的定义，进而找出正确的选项。
28．【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
，A不符合题意；
对于B，由得：，
又，，，，，
数列为正项递减数列，，B符合题意；
对于C，由得：，，
，
数列为正项递减数列，，（当且仅当时取等号），
，即，，C符合题意；
对于D，由C知：，
，
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法得出数列的首项和第四项的值，进而得出的值；由结合，和不等式的基本性质得出的取值范围，再结合数列为正项递减数列，进而得出 的最大值；由结合裂项相消的方法得出
，再利用数列为正项递减数列，，进而得出，所以；由C知，再结合放缩法得出，再利用求和法得出，进而找出正确的选项。
29．【答案】A,D
【知识点】数列的求和；数列的极限；反证法与放缩法
【解析】【解答】由条件，两边同时除以，得，
∴∴，∴，
对于A选项，∵，∴，∴，A选项正确；
，，所以B选项错误；
对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，C选项错误；
对于D选项，，
∴
，又∵，所以D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】由条件，两边同时除以结合变形法得出，再利用
得出；再利用结合代入法得出的值；再利用得出，等价于，由极限思想知，当时，得出；利用已知条件结合放缩法得出，再结合等比数列前n项和公式和放缩法得出，再利用，进而结合交集的运算法则得出 ，进而找出正确的选项。
30．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，A符合题意，，B不符合题意，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，C符合题意，由于且，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出；点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点；由于且，所以，再结合代入法得出点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率，进而找出说法正确的选项。
31．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，，，，所以，，即，所以，，必有，得到；
对于A，若存在，取，有，则，所以，必有，则有，同理，若，由可得A符合题意；对于B，若，则，，又因为，必有，得到，所以当时，因为，必有，B不符合题意；
对于C，若，，且，则，则，又，所以，，根据递推公式，可得，；利用累加法，，整理得，
又因为，必有，得到，所以，
，所以，
，所以，C符合题意；
对于D，若，，，得到，所以，，则关于的方程可以化为，
，化简得，
，
设，可得，
化简得，，
所以，或(舍去)，
，得，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公式为：，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用，，，所以，必有，得到；若存在，取，进而得出的值，所以，同理，若，由可得；若，则，，再利用，得到，所以当时，再结合，必有；若，，且，则，再利用，所以，，根据递推公式和累加法，可得；若，，，得到，则关于的方程可化简得，设，可得，进而得出t的值，从而得出的值，进而得出，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而找出正确的选项。
32．【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知： ，
故，即，即，
所以，则，
故，，
由 得： ，
即，所以，
则，而 ，
故 ，则，
所以，由于 随的增大而减小，
故是随的增大而增大，
由题意知，故是递增数列，A符合题意；
同理随的增大而增大，是递增数列，B不符合题意；
又，由于，，且，
所以，是首项为，公比为的等比数列，故，
所以，，
因为，，故，，
所以，，
所以，，其中，
，其中，
因为数列随着的增大而减小，数列随着的增大而增大，
故数列随着的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，
同理可知数列随着的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的，
综上所述，数列的最大项为，最小项为，CD均对.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件可得 ，进而可说明=5，进一步可得，，结合面积公式化简可得，即可判断A，B.再由可得，所以，，，即可判断C，D.
33．【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，因为 ，当 ，两式相减得：
（ ），所以A符合题意.
对于B，因为 （ ），所以 ，
两式相减得：
（
），所以B不正确.
对于C，
，令
，则
，
，因为
，所以
.令
，则
，
，所以
.
因为
（
），而
，所以
.
所以
奇数项是以
为首项，2为公差的等差数列.
偶数项是以
为首项，2为公差的等差数列.
则：
，所以C符合题意.
对于D，
，令
，则
，
，则
又因为
，令
则
，所以
，
同理：
，
，
因为数列
单调递增，所以
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
所以
的取值范围是
，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】由 ，得 做差可判断A正确；由A通过做差可判断B错误；
由A可确定 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列.偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列.分组求和可判断C，
由数列单调递增，可得由 得： ，由 得： ，由 得： ，由 得： ，由 得： ，即可判断D.
34．【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，进而得出的值。
35．【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】函数的定义域为，且，
取，有，解得，
又因为，结合，则：
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和赋值法得出的值，再利用结合，再结合求和的方法得出。
36．【答案】4
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】，，，
，，，
，
又，则当取得最小值时，整数的值为4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法，进而结合，从而得出当取得最小值时的整数的值。
37．【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意可得函数周期为4，令，问题可转化成即与函数恰有个不同的交点，根据图像如图，可得，求得，由裂项相消求和即可。
38．【答案】n+1；
【知识点】数列的函数特性；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由得，所以，进而可得，当时，，两式相减得，当时，也符合.故
，即可
当为偶数时， (当时等号成立)，故
当为奇数时， (当时等号成立)，故，故对于恒成立，则
故答案为：n+1，
【分析】根据题意结合复数的运算性质整理化简，由此得出数列的通项公式结合已知条件即可得出不等式，再对n分情况讨论即可得出k的取值范围，由此即可得出答案。
39．【答案】①②③
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，
，
若，则，所以，，，无实解，
若，则，，，又因为，所以，
①正确，
，
，，，，，，，
因此，又时，，所以时，，
，，，，，，
所以或时，取得最大值，或时，取得最小值，
因此②③正确，④错误，
故答案为：①②③．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出满足要求的公比的值；再利用分类讨论的方法结合等比数列的通项公式以及数列求积的方法和绝对值不等式求解方法，进而结合函数求最值的方法，从而得出存在使得的乘积最大时对应的m可能的值。
40．【答案】①②④
【知识点】对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列概念与表示；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，因为，所以且，
又，所以，所以，即，
令，，则，
则在上单调递增，又，所以，故③错误；
由已知可得，则，，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；
令，则，，，
令，则，，
因为，所以，即，在上单调递增，
因为，所以，，，
令，，则，所以，在上单调递减，
且，即，
令，，则，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
，
故存在上，，故②正确；
依题意、、，所以，
所以，则，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故④正确；
故答案为：①②④
【分析】根据、求出a的取值范围，即可判断③，再根据等比数列的定义判断①，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断②，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断④.
41．【答案】①②③
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】因为，两式作差得，故为常数列，
即，故，①正确；
因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；
由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，
又，故，使得当时，总有，③正确；
，又，故，因为为常数，
为单增数列，故当时，，，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】根据题意由已知条件整理数列的递推公式，由此得出数列为常数列，再由已知条件即可判断出 ① 与 ② 的正误；然后由数列的单调性整理化简圆锥的数列的递推公式，结合题意即可判断出 ③ 与 ④ 的正误，从而得出答案。
1 / 1压轴题01 数列（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·闵行模拟）若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（　　）
A．存在等差数列，使得是的“M数列”
B．存在等比数列，使得是的“M数列”
C．存在等差数列，使得是的“M数列”
D．存在等比数列，使得是的“M数列”
【答案】C
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，A为真命题；
对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，B为真命题；
对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，
设等差数列的公差为，
∵、均为严格增数列，则，故，
取满足，可知必存在，使得成立，
当时，对任意正整数，则有；
对任意正整数，则有；
故不存在正整数，使得，C为假命题；
对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，
可得，则，
取，则，即成立，
所以是的“M数列”，D为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合“M数列”的定义和等差数列以及等比数列的定义，再结合数列的单调性和的关系式以及数列求和公式，进而找出假命题的选项。
2．（2023·宣城模拟）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若为奇函数，为偶函数，且，，则（　　）
A．670 B．672 C．674 D．676
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的周期性；数列的求和
【解析】【解答】∵为奇函数，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，①
又∵为偶函数，
∴，②
∴将②中换成得：，③
∴将③中换成得：，④
由①④得：，
∴的一个周期为3，
∴，
将代入③得：，
∴
又∵，
∴.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合奇函数和偶函数的定义，再结合周期函数的定义得出函数的周期，再利用函数的周期性得出的值，再结合求和法得出的值。
3．（2023·江门模拟）我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列，那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列（）的通项公式为，，记为的值域，为所有的并集，则E为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】并集及其运算；利用导数研究函数的单调性；数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】因为，，，
所以，
故在上单调递增，
又，，
所以，
设，，令，
则，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以，，
设，则在上单调递减，
所以，，
综上所述，，.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再结合并集的运算法则和构造法，进而得出区间E。
4．（2022·浙江模拟）已知等比数列的公比，则（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】A
【知识点】等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】例如，则，
而，，
即，所以，C不符合题意；
若，，则，
例如取，，
，D不符合题意，
同理此时，，B不符合题意，
排除BCD，只有A符合题意．
故答案为：A．
【分析】对于C，举例，对于B，D举例，，即可解决问题。
5．（2022·义乌模拟）已知数列，满足，，，则下列选项错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】因为，所以，
所以，A符合题意；
由题意得：，
当且仅当时，取等号；
所以，即
所以
，
又，，所以，，B符合题意；
又
所以
所以
所以，C符合题意；
所以
即
所以，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】由递推公式可得，即可判断A；由结合基本不等式可得，再由递推公式逐项替代可得，即可判断B；由递推公式相加再平方可得，赋值可得，即可判断C；由递推公式相减再平方可得，进而可得，即可判断D.
6．（2022·浙江模拟）已知数列满足：，．记数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】，，…，依次类推，则；
由得：，
，
，
令，为的前项和，，
又，为递减数列，即为递减数列，，
（当且仅当时取等号），
，
，，，
，即，，
，，
，.
故答案为：B．
【分析】归纳可得，再由得：，取倒数可得。令，为的前项和，进而通过作商得到，进而得到，进而求得，即可得S10.
7．（2022·浙江模拟）已知数列 满足： ，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由 可得an>0，则，
∴数列{an}为递增数列
∵，即 >2
则
相加可得： ，即 ，
∴，
又∵ an>a1=100，则，
，即< 2.0001 ，
则 < 2.0001 ， < 2.0001 ， ……，< 2.0001 ，
相加可得< 200.01 ， 即
∴
故选：A．
【分析】根据题意 ，可得数列{an}为递增教列，分析可得2<< 2.0001 ，利用累加法运算整理.
8．（2022·浙江模拟）已知数列 满足 ， ，给出下列三个结论：①不存在 ，使得数列 单调递减；②对任意的a，不等式 对所有的 恒成立；③当 时，存在常数 ，使得 对所有的 都成立.其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；数列与不等式的综合
【解析】【解答】由 ， ， 可得an>0 ，则an+1=，an+1-an=，则 ，都有数列{an}单调递增，故①正确；
由an+1-an=可得(an+2-an+1)-(an+1-an)=，又数列{an}单调递增，则an-an+1<0 ，
则(an+2-an+1)-(an+1-an)<0，即an+2+an<2an+1，②正确；
由an+1=可得an+1-2(n+1)=an-2n+，
则an-2n=an-1-2(n-1)+，……，a3-2×3=a2-2×2+，a2-2×2=a1-2×1+，
将以上等式相加得，an-2n==，
又an>0， {an}单调递增，则an≥a1=1 ，又由可得，
又a1-3<0，则an-3n<0，即，则，
设，
易得f(n)≥g(n)，当时，，
则， ，故不存在常数C，使得对所有的都成立，故③错误.
故选：A.
【分析】由an+1-an=即可判断①；由(an+2-an+1)-(an+1-an)<0即可判断②；由an+1=结合累加法求得an-2n=即可判断③.
9．（2022·海淀模拟）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；
所以，解得.
故数列是等差数列.
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标以及准线的方程，再结合抛物线的定义整理化简，集合等差数列的定义就得出答案。
10．（2022·济南二模）已知数列 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数，并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数，并且从大到小排列，依次类推.此数列第n项记为 ，则满足 且 的n的最小值为（　　）
A．47 B．48 C．57 D．58
【答案】C
【知识点】数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【解答】将数列分组为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），…，
设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，
则 ，
此时数列共有项数为 ，
即得 ，解得 由于 ，
而 ，故 ，
又 ，故符合条件的m，的最小值为11，
则满足 且 的n的最小值为 ，
故答案为：C
【分析】找出规律，将数列分组为（ ），（ ， ），（ ， ， ），（ ， ， ， ），设满足 的 首次出现在第m组的第x个数的位置上，得到 ，进而可得，求出m，再得到x，即可求解。
11．（2022·浙江模拟）已知是直角三角形，是直角，内角所对的边分别为，面积为．若，则下列选项错误的是（　　）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．数列存在最大项 D．数列存在最小项
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】由题意知，所以，所以，即，所以，则，故，，由，得，
即，所以，则，而，
故，则，
所以，由于随着n的增大而减小，
所以随着n的增大而增大，
由题意可知，所以数列是递增数列，A符合题意；
同理随着n的增大而增大，数列是递增数列，B不符合题意；
又，由于，且，所以数列是首项为7，公比为的等比数列，故，结合，可以解得，，
所以，
所以，其中所以，
，其中所以，
因为数列随着k的增大而减小，数列随着k的增大而增大，所以数列随着k的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，同理数列随着k的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的．综上所述，数列的最大项为，最小项为．C，D均正确．
故答案为：B．
【分析】根据题意首先整理化简化简圆锥的数列的递推公式，结合数列的前n项和与各个项之间的关系，即可得出数列的通项公式，由此得出数列的单调性，从而判断出选项A与B的正误；根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，由等比数列的通项公式整理化简即可得出数列的单调性，由数列的单调性即可求出最值，进而得出答案。
12．（2022·长兴模拟）已知数列的各项都是正数，．记，数列的前n项和为，给出下列四个命题：
①若数列各项单调递增，则首项②若数列各项单调递减，则首项③若数列各项单调递增，当时，④若数列各项单调递增，当时，，
则以下说法正确的个数（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】对于①，由题意，正数数列是单调递增数列，且，
∴，解得，∴．
∴．∵，∴．则①成立，
对于②，由题意，正数数列是单调递减数列，且，
∴，解得，∴．
∴．故②成立.
又由，可得：．
∴．∵，
∴
．
对于③，当时，因为，所以，∴，则，故③不成立；
对于④，当时，因为，∴，即，
∴．则，故④成立.
故答案为：B
【分析】由已知条件结合整理化简数列的递推公式，然后由二次函数的性质即可得出数列的单调性以及首项的取值范围，由此即可判断出 ①② 的正误；结合已知条件即可得出数列的单调性，由数列前n项和公式结合裂项相消法即可得出数列前n项和的取值范围，进而判断出 ③④ 的正误，进而得出答案。
13．（2022·柯桥模拟）已知正项数列，对任意的正整数m、n都有，则下列结论可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于C，可取，此时，所以，与为正项数列矛盾，舍去；
对于B，可取，则，
所以，即，
故累加后可得，整理得到，
时，也符合该式，从而.
此时
，
故成立，
若成立，取，则，
但此时，，不成立，B不符合题意.
对于D，
可令，则，
当且仅当m=n时等号成立，满足题干条件，
此时，，解得：，D选项可能成立
故答案为： D
【分析】根据题意对m赋值，由此计算出的数列的项，再结合已知的数列的不等式，结合不等式的性质即可计算出a的取值，从而对选项逐一判断即可得出答案。
14．（2022·湖南模拟）古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点．另一方面，我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始，通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加，不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列 的首项 ，公比为q，前n项和为 ，则造成上述悖论的原理是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；反证法的应用
【解析】【解答】设这个人走的第n段距离为 ，前n段距离总和为 ，在第n段上的用时为 间的距离为S，人的速度为v，则不难知道 ，
同理 ，
两式相减，得 即 即 即 ，
则这个人在前n段距离上走的总时间为
，
这说明这个人行进的总时间不会超过 ，这与第一种说法中这个人不会到达终点在时间的连续性上产生矛盾．
故答案为：D．
【分析】设这个人走的第n段距离为 ，前n段距离总和为 ，在第n段上的用时为 间的距离为S，人的速度为v，再利用已知条件得出 ，同理 ，两式相减得出 ，再利用等比数列前n项和公式以及放缩法，得出这个人在前n段距离上走的总时间为 ，则这与第一种说法中这个人不会到达终点在时间的连续性上产生矛盾，再结合反证法找出造成上述悖论的原理。
15．（2022·浙江模拟）已知依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误的是（　　）
A．依次可组成等差数列
B．依次可组成等差数列
C．依次可组成等差数列
D．依次可组成等差数列
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差关系的确定
【解析】【解答】解：对于A，当时，
此时依次组成严格递增的等差数列，
则依次组成等差数列，A正确，不符合题意；
对于B，假设依次可组成等差数列，
则有，
又因，
两式平方相加得，
则，
故，所以，
所以，与题意矛盾，
所以依次不可能组成等差数列，B错误，符合题意；
对于C，当时，
若，则为等差数列，C正确，不符合题意；
对于D，当时，
若，则为等差数列，D正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由等差数列的项的定义以及数列的单调性，结合正弦函数、正切函数和余弦函数的性质，对选项逐一判断即可得出答案。
16．（2022·浙江模拟）记．对数列和U的子集T，若，定义；若，定义．则以下结论正确的是（　　）
A．若满足，则
B．若满足，则对任意正整数
C．若满足，则对任意正整数
D．若满足，且，则
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断；数列的概念及简单表示法；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】因为，
所以，A不符合题意，
取，，
则，，所以，B不符合题意，
因为，，
所以.
因此，，C不符合题意，
若是的子集，则.
若是的子集，则.
若不是的子集，且不是的子集.
令，则，，.
于是，，进而由，得.
设是中的最大数，为中的最大数，则.
由（2）知，，于是，所以，即.
又，故，
从而，
故，所以，
即.
所以D对，
故答案为：D.
【分析】根据题意由特殊值代入法计算出结果由此判断出选项A错误；再由列举法对k赋值计算出集合T中的元素，由此判断出选项B与C的正误，结合等比数列的项的性质以及集合之间的关系，由等比数列的前n项和公式，即可判断出选项D正确，从而得出答案。
17．（2022·金华模拟）已知数列 满足 ，则下列有可能成立的是（　　）
A．若 为等比数列，则
B．若 为递增的等差数列，则
C．若 为等比数列，则
D．若 为递增的等差数列，则
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】因为 ，∴ ，即 ，
若 为等比数列，则 的公比为 ，
∴ ，
由 ，可得 ，∴ ，AC不符合题意；
若 为递增的等差数列， ，公差 ，
由 则 ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ，
∴
，
又 ，
∴ ，又
则 ，
∴当 时，不等式 恒成立，
故 ，B符合题意，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意整理化简已知数列的递推公式，然后由等差数列的通项公式结合裂项相消法即可得出n的取值范围满足题意，由此对选项逐一判断即可得出答案。
18．（2022·嘉兴模拟）已知数列满足，，为数列的前n项和，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】当，时，因为，所以，
又因为，
且，
下证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证
令，即证，当，时，不等式恒成立.
因此，，
所以
，
又因为，
故答案为：D.
【分析】先判断，通过缩放得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可得证，又有证得即可.
19．（2022·安阳模拟）已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【解答】数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为。
故答案为：A
【分析】在数列中，，，则有，因此，，，再利用数列的前n项积的最大值为3，进而得出当时的数列的前n项积，再利用分类讨论的方法，进而得出实数的取值范围。
20．（2022·开封模拟）已知正项数列的前n项和为，，记，若数列的前n项和为，则（　　）
A．-400 B．-200 C．200 D．400
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】由题设，则，
所以，又为正项数列，则，
由，可得，
所以是首项为1，公差为2的等差数列，则，故，
当且，；
当且，；
当且，；
当且，；
则，
由.
故答案为：C
【分析】由题设，所以，再利用数列为正项数列，则，由的关系式结合已知条件，可得的值，再利用等差数列的定义，进而判断出数列是首项为1，公差为2的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而结合等差数列前n项和公式，得出正项数列的前n项和，再利用分类讨论的方法结合已知条件和分组求和的方法以及数列的周期性，进而得出数列的前100项的和。
21．（2022·辽宁模拟）设是等差数列的前项和，，，当取得最小值时，（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的前n项和；函数的零点
【解析】【解答】设 的公差为d，由题知 ，解得 ，
所以
，
则
，
因为函数
的零点为0和
，所以
的最小值是靠近零点处的函数值，
又因为
，
，
，
所以当n=8时，
取得最小值为4。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式，得出等差数列的首项和公差，再结合等差数列的通项公式得出等差数列 的通项公式，再结合等差数列前n项和公式得出 等差数列 的前 项和，再利用函数零点求解方法得出函数 的零点，进而得出函数 的最小值是靠近零点处的函数值，再利用 ， ， 的值，从而得出 取得最小值时的n的值。
22．已知数列中，，，当数列的前项和取得最大值时，的值为（　　）
A．53 B．49 C．49或53 D．49或51
【答案】D
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】因为
，则
，作差得
，
即
，则数列
为等差数列，且
，
由
得
，则公差
，通项
，数列
单调递减，
而
，
，
，
，设
，
当
时，
，
，
，当
时，
，
显然
，即数列
的前49项和与前51项和相等，并且最大，
所以当
或51时，
的前
项和取得最大值。
故答案为：D
【分析】利用
，则
，作差得出
，再利用等差数列的定义判断出数列
为等差数列，且
，由
结合等差数列的性质得出第四项的值，再结合等差数列的通项公式得出公差的值，再利用等差数列的通项公式得出 数列
的通项公式，再利用数列
的单调性结合分类讨论的方法得出数
的前49项和与前51项和相等，并且最大，进而得出数列
的前
项和取得最大值时的
的值 。
23．（2022·广东模拟）定义在上的函数序列满足（为的导函数），且，都有．若存在，使得数列是首项和公比均为的等比数列，则下列关系式一定成立的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；等比数列的通项公式
【解析】【解答】因为，则．
令，则，
在上单调递增．
又，∴，即，
数列是首项和公比均为的等比数列，则，∴，，
易知，上式两边同时取对数得，
即，，∴，令，则，
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
∵，∴一定是和中的一个．
又，所以，则，
∴.
故答案为：D．
【分析】首先整理化简已知条件再由导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可得出不等式成立，然后由已知条件结合等比数列的通项公式即可得出不等式，再由指对互化公式以及对数函数的单调性，整理化简计算出q的取值范围即可。
24．（2021高二上·诸暨期末）已知数列的前项和为，满足，，，则（　　）
A． B．
C．，，成等差数列 D．，，成等比数列
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】数列中，，，，
则此数列为1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…
即数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数，
A：，，则.判断错误；
B：由，可知当时，.判断错误；
C：，
则，即，，成等差数列.判断正确；
D：，
，
则，，即，，不能构成等比数列. 判断错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法，从而求出数列的各项，再利用数列的周期性，得出数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数；再利用数列各项的值得出；再由，可知当时，；再利用数列求和公式结合等差中项的公式，进而得出，，成等差数列；再结合数列求和公式结合等比中项的公式，进而得出，，不能构成等比数列，从而找出正确的选项。
25．（2022·吕梁模拟）已知为数列的前n项和，且，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【解答】由得，，
又因为，
所以为首项为，公比为的等比数列，所以，
即，
所以
。
故答案为：D.
【分析】由变形结合等比数列的定义，进而判断出数列为首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出，再利用分组求和的方法得出 数列的前100项的和。
26．（2022·上海）已知 为等比数列， 的前n项和为 ，前n项积为 ，则下列选项中正确的是（　　）
A．若 ，则数列 单调递增
B．若 ，则数列 单调递增
C．若数列 单调递增，则
D．若数列 单调递增，则
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：对于A，设，显然有 ，但数列 单调递减，故A错误；
对于B，设an=-2n， 显然有 ，但数列 单调递减，故B错误；
对于C，设，显然有数列 单调递增，但 ，故C错误；
对于D，若数列{Tn}单调递增，则Tn>Tn-1>0，则an>1，q≥1，则，故D正确.
故答案为：D
【分析】根据等比数列的性质，结合特殊值法求解即可.
二、多选题
27．（2023·绍兴模拟）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数，如果是奇数 乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设，各项均为正整数的数列满足，则（　　）
A．当时，
B．当时，
C．当为奇数时，
D．当为偶数时，是递增数列
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，当时，，
，，，，
，A符合题意；
对于B，当时，由A选项知：，B不正确；
对于C，因为，当为奇数时，且为偶数，．
假设为奇数时， ；为偶数时，．
当为奇数时，，且为偶数；
当为偶数时，．
所以若为奇数，则；若为偶数，则．
因此对都有，C符合题意；
对于D，当为偶数时，若为奇数，则为奇数．
因为为奇数，所以归纳可得，对，均为奇数，则，
所以，
所以数列单调递增，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合 “冰雹猜想” 和分类讨论的方法以及递推公式，再结合数列的通项公式和增函数的定义，进而找出正确的选项。
28．（2023·漳州模拟）已知数列，，且满足，，则（　　）
A． B．的最大值为
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
当时，，即，解得：；
，A不符合题意；
对于B，由得：，
又，，，，，
数列为正项递减数列，，B符合题意；
对于C，由得：，，
，
数列为正项递减数列，，（当且仅当时取等号），
，即，，C符合题意；
对于D，由C知：，
，
，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法得出数列的首项和第四项的值，进而得出的值；由结合，和不等式的基本性质得出的取值范围，再结合数列为正项递减数列，进而得出 的最大值；由结合裂项相消的方法得出
，再利用数列为正项递减数列，，进而得出，所以；由C知，再结合放缩法得出，再利用求和法得出，进而找出正确的选项。
29．（2022·青州模拟）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】数列的求和；数列的极限；反证法与放缩法
【解析】【解答】由条件，两边同时除以，得，
∴∴，∴，
对于A选项，∵，∴，∴，A选项正确；
，，所以B选项错误；
对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，C选项错误；
对于D选项，，
∴
，又∵，所以D选项正确.
故答案为：AD.
【分析】由条件，两边同时除以结合变形法得出，再利用
得出；再利用结合代入法得出的值；再利用得出，等价于，由极限思想知，当时，得出；利用已知条件结合放缩法得出，再结合等比数列前n项和公式和放缩法得出，再利用，进而结合交集的运算法则得出 ，进而找出正确的选项。
30．（2022·济南模拟）如图，已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后仍在底面ABCD上的概率为，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．点Q移动4次后恰好位于点的概率为0
D．点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】在正方体中，每一个顶点由3个相邻顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为，在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为，所以，A符合题意，，B不符合题意，点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点，C符合题意，由于且，所以，所以，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出点Q移动两次后仍在底面ABCD上的概率；利用已知条件结合归纳推理的方法，进而推出；点Q由点A移动到点处最少需要3次，任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能到达点；由于且，所以，再结合代入法得出点Q移动10次后仍在底面ABCD上的概率，进而找出说法正确的选项。
31．（2022·潍坊二模）已知数列，，有，，，则（　　）
A．若存在，，则
B．若，则存在大于2的正整数n，使得
C．若，，且，则
D．若，，则关于的方程的所有实数根可构成一个等差数列
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】因为，，，，所以，，即，所以，，必有，得到；
对于A，若存在，取，有，则，所以，必有，则有，同理，若，由可得A符合题意；对于B，若，则，，又因为，必有，得到，所以当时，因为，必有，B不符合题意；
对于C，若，，且，则，则，又，所以，，根据递推公式，可得，；利用累加法，，整理得，
又因为，必有，得到，所以，
，所以，
，所以，C符合题意；
对于D，若，，，得到，所以，，则关于的方程可以化为，
，化简得，
，
设，可得，
化简得，，
所以，或(舍去)，
，得，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，其通项公式为：，D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】利用，，，所以，必有，得到；若存在，取，进而得出的值，所以，同理，若，由可得；若，则，，再利用，得到，所以当时，再结合，必有；若，，且，则，再利用，所以，，根据递推公式和累加法，可得；若，，，得到，则关于的方程可化简得，设，可得，进而得出t的值，从而得出的值，进而得出，写成数列形式，即所有实数根可构成一个等差数列，再结合等差数列的通项公式得出数列的通项公式，进而找出正确的选项。
32．（2022·福建模拟）已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（　　）
A．是递增数列 B．是递减数列
C．存在最大项 D．存在最小项
【答案】A,C,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】由题意知： ，
故，即，即，
所以，则，
故，，
由 得： ，
即，所以，
则，而 ，
故 ，则，
所以，由于 随的增大而减小，
故是随的增大而增大，
由题意知，故是递增数列，A符合题意；
同理随的增大而增大，是递增数列，B不符合题意；
又，由于，，且，
所以，是首项为，公比为的等比数列，故，
所以，，
因为，，故，，
所以，，
所以，，其中，
，其中，
因为数列随着的增大而减小，数列随着的增大而增大，
故数列随着的增大而减小，故为数列中所有正项中最大的，
同理可知数列随着的增大而增大，故为数列中所有负项中最小的，
综上所述，数列的最大项为，最小项为，CD均对.
故答案为：ACD.
【分析】由已知条件可得 ，进而可说明=5，进一步可得，，结合面积公式化简可得，即可判断A，B.再由可得，所以，，，即可判断C，D.
33．（2022·石家庄模拟）已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（　　）.
A．（）
B．
C．若，则
D．若数列单调递增，则的取值范围是
【答案】A,C
【知识点】数列的函数特性；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】对于A，因为 ，当 ，两式相减得：
（ ），所以A符合题意.
对于B，因为 （ ），所以 ，
两式相减得：
（
），所以B不正确.
对于C，
，令
，则
，
，因为
，所以
.令
，则
，
，所以
.
因为
（
），而
，所以
.
所以
奇数项是以
为首项，2为公差的等差数列.
偶数项是以
为首项，2为公差的等差数列.
则：
，所以C符合题意.
对于D，
，令
，则
，
，则
又因为
，令
则
，所以
，
同理：
，
，
因为数列
单调递增，所以
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
解
得：
，
所以
的取值范围是
，所以D不正确.
故答案为：AC.
【分析】由 ，得 做差可判断A正确；由A通过做差可判断B错误；
由A可确定 奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列.偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列.分组求和可判断C，
由数列单调递增，可得由 得： ，由 得： ，由 得： ，由 得： ，由 得： ，即可判断D.
三、填空题
34．（2023·广州模拟）已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则　 　.
【答案】
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】因为数列是正奇数列，
对于数列，当为奇数时，设，则为偶数；
当为偶数时，设，则为奇数，
所以，，则，
因此，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法，进而得出的值。
35．（2023·蚌埠模拟）若函数的定义域为，且，，则　 　．
【答案】
【知识点】数列的概念及简单表示法
【解析】【解答】函数的定义域为，且，
取，有，解得，
又因为，结合，则：
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和赋值法得出的值，再利用结合，再结合求和的方法得出。
36．（2022高二上·舟山期末）在数列中，，（n∈），若，则当取得最小值时，整数的值为　 　.
【答案】4
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】，，，
，，，
，
又，则当取得最小值时，整数的值为4.
故答案为：4.
【分析】利用已知条件结合递推公式和代入法，进而结合，从而得出当取得最小值时的整数的值。
37．（2022·广东模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则　 　．
【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意可得函数周期为4，令，问题可转化成即与函数恰有个不同的交点，根据图像如图，可得，求得，由裂项相消求和即可。
38．（2022·吉林模拟）已知复数，对于数列，定义为的“优值”．若某数列的“优值”，则数列的通项公式　 　；若不等式对于恒成立，则k的取值范围是　 　．
【答案】n+1；
【知识点】数列的函数特性；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由得，所以，进而可得，当时，，两式相减得，当时，也符合.故
，即可
当为偶数时， (当时等号成立)，故
当为奇数时， (当时等号成立)，故，故对于恒成立，则
故答案为：n+1，
【分析】根据题意结合复数的运算性质整理化简，由此得出数列的通项公式结合已知条件即可得出不等式，再对n分情况讨论即可得出k的取值范围，由此即可得出答案。
39．（2022·延庆模拟）数列是公比为的等比数列，为其前项和. 已知，， 给出下列四个结论：
① ；
②若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；
③若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是；
④若存在使得的乘积最小，则的值只能是．
其中所有正确结论的序号是　 　.
【答案】①②③
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】由题意，
，
若，则，所以，，，无实解，
若，则，，，又因为，所以，
①正确，
，
，，，，，，，
因此，又时，，所以时，，
，，，，，，
所以或时，取得最大值，或时，取得最小值，
因此②③正确，④错误，
故答案为：①②③．
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式，进而得出满足要求的公比的值；再利用分类讨论的方法结合等比数列的通项公式以及数列求积的方法和绝对值不等式求解方法，进而结合函数求最值的方法，从而得出存在使得的乘积最大时对应的m可能的值。
40．（2022·丰台模拟）如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】对数函数的图象与性质；互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性；等比数列概念与表示；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：依题意，因为，所以且，
又，所以，所以，即，
令，，则，
则在上单调递增，又，所以，故③错误；
由已知可得，则，，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；
令，则，，，
令，则，，
因为，所以，即，在上单调递增，
因为，所以，，，
令，，则，所以，在上单调递减，
且，即，
令，，则，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
，
故存在上，，故②正确；
依题意、、，所以，
所以，则，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故④正确；
故答案为：①②④
【分析】根据、求出a的取值范围，即可判断③，再根据等比数列的定义判断①，构造函数利用导数说明函数的单调性，再结合零点存在性定理判断②，根据指数对数的关系及对数函数的性质判断④.
41．（2022·海淀模拟）在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列，分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：
①；
②；
③，使得当时，总有
④，使得当时，总有．
其中，所有正确结论的序号是　 　
【答案】①②③
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式；判断（数列）的变化趋势
【解析】【解答】因为，两式作差得，故为常数列，
即，故，①正确；
因为，又，为正实数数列，故，故，②正确；
由上知，，因为为常数，为单增数列，故当时，，
又，故，使得当时，总有，③正确；
，又，故，因为为常数，
为单增数列，故当时，，，故④错误.
故答案为：①②③.
【分析】根据题意由已知条件整理数列的递推公式，由此得出数列为常数列，再由已知条件即可判断出 ① 与 ② 的正误；然后由数列的单调性整理化简圆锥的数列的递推公式，结合题意即可判断出 ③ 与 ④ 的正误，从而得出答案。
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