压轴题02 数列（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

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压轴题02 数列（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·台州模拟）已知数列，满足：，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③.
2．（2023·安庆模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
3．（2023·宣城模拟）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
4．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
5．（2023·汕头模拟）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．
6．（2023·广州模拟）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
7．（2023·武威模拟）设等比数列的前项和为，已知，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，.
8．（2023·广州模拟）已知数列的前项和为，且
（1）求，并证明数列是等差数列：
（2）若，求正整数的所有取值.
9．（2023·平谷模拟）对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（1）如果数列为、、，写出数列、；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
10．（2023·大理模拟）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
11．（2022·齐齐哈尔模拟）在①，其中为数列的前n项和；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知数列满足____．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得为数列中的项？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
12．（2022·义乌模拟）已知数列的前n项和为，且，又，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）求，并证明．
13．（2022·浙江模拟）等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ， ， .
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）已知数列 满足 ，设 的前 项和为 ，若实数 满足 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
14．（2022·和平模拟）已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
15．（2022·延庆模拟）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
16．（2022·滨海模拟）已知数列中，，，令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前23项和．
17．（2022·天津市模拟）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，且，，成等差数列．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，．
18．（2022·天津市模拟）设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为1，公比为的等比数列，记，，．证明：．
19．（2022·通州模拟）从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．
20．（2022·西城模拟）已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
21．（2022·河西模拟）已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
22．（2022·顺义模拟）设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
23．（2022·济南二模）已知 是递增的等差数列， ， ， ， 分别为等比数列 的前三项.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）删去数列 中的第 项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ，求数列 的前n项和 .
24．（2022·长兴模拟）已知数列满足（q为实数，且），，，，且，，成等差数列．
（1）求q的值和的通项公式；
（2）设 ，记数列的前n项和为，若对任意的，满足，试求实数的取值范围．
25．（2022·广东三模）已知数列{}的前n项和，，，.
（1）计算的值，求{}的通项公式；
（2）设，求数列{}的前n项和.
26．（2022·湖北二模）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．
27．（2022·金华模拟）已知数列 单调递增且 ，前 项和 满足 ，数列 满足 ，且 ， .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）若 ，求证： .
28．（2022·嘉兴模拟）设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
29．（2022·潍坊二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
30．（2022·山西二模）已知数列的前n项和为，若，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：因为，
所以，
所以，
又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；
（2）解：由（1）知，
又因为，
所以数列为常数列.
若选条件①或③，均可得，
所以，所以.
若选②，因为，所以，又因为，
所以，所以，所以，所以.
【知识点】等比数列；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 （1）利用，所以，再结合和等比数列的定义，进而证出数列是首项为1公比为的等比数列。
（2） 由（1）知，再利用和常数列的定义，进而判断出数列为常数列，若选条件①或③，均可得，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和。
若选②，利用，所以，再结合，进而得出的值，从而得出的值，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和。
2．【答案】（1）解：由条件知，故.
设数列的公差为，则.
因成等比数列，所以，
即，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，所以
，
故
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】 （1）由条件结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列第五项的值，设数列的公差为，则，再利用成等比数列结合等比中项公式和等差数列的性质，从而得出公差的值，再结合等差数列的性质得出数列的通项公式。
（2）利用数列的通项公式结合 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
3．【答案】（1）解：因为成等比数列，则有，
即，而，解得，则，
所以的通项公式是．
（2）解：由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，
设的前项和为，则，
若，，
若，
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用 成等比数列结合等比中项公式和等差数列前n项和公式以及，从而得出公差，再结合等差数列的通项公式得出等差数列的通项公式。
（2） 由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，再利用等差数列前n项和公式和分类讨论的方法以及绝对值的定义，从而由数列求和得出数列的前项和。
4．【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
5．【答案】（1）解：由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，
所以，即，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，结合，可知数列 是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）解：由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
故，.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列递推式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和常数列的定义， 可知数列 是常数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和，再结合放缩法和等比数列前n项和公式可得，且，故，从而得出的值。
6．【答案】（1）解：甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）解：①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
【知识点】数列的函数特性；等比数列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出甲前3次答题得分之和为40分的概率。
（2） ①利用已知条件结合古典概型求概率公式、独立事件乘法求概率公式和数学期望公式以及数学期望的性质，进而得出与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，结合数学期望的性质，从而得出当时，，而，再利用等比数列的定义，因此数列以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出，显然数列是递增数列，再利用数列的单调性，进而得出正整数i的最小值。
7．【答案】（1）解：设数列的公比为，
∵，则，解得，
故.
（2）证明：由（1）知，
所以
∵在上单调递增，则数列为递增数列，
∴当时，，
故当时，.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式得出公比和首项的值，再结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和，再结合函数的单调性判断出数列为递增数列，再利用数列的单调性得出的最小值，进而证出当时，不等式成立。
8．【答案】（1）解：由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
【知识点】函数单调性的性质；等差数列；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由已知条件结合的关系式和代入法得出数列的首项的值，再结合分类讨论的方法和等差数列的定义，从而证出数列是以为首项，为公差的等差数列。
（2） 由（1）得，所以，再利用错位相减的方法得出，再利用代入法，则，由结合数列的通项公式得出，令，再利用函数的单调性和函数的解析式代入法得出当时，，从而得出若时的正整数的所有取值。
9．【答案】（1）解：、、，、、、，、、，
、、、，、、、.
（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、，
则为、、、、，
从而．
又 ，
所以，
故．
（3）证明：设是每项均为非负整数的数列，，．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列，，为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由，1，2，…
可知．
又由（2）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由为、、， 求得，再通过求解；
（2）设有穷数列求得，再求得，由，两者作差比较；
（3） 设是每项均为非负整数的数列，，，在存在，有时条件下， 交换数列的第项与第项得到数列， 在存在，使得时条件下，若 记数列，，为，， 由得到，是大于的整数，所以经过有限步后，必有，所以存在正整数，当时，．
10．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
∴，，
∴，
（2）解：当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.
当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.
∴.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出公差和公比的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列 和的通项公式。
（2） 当的前60项中含有的前6项时，令，从而得出n的取值范围，此时至多有项（不符），当的前60项中含有的前7项时，令得出n的取值范围，且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项，再结合等差数列前n项和公式和求和法，进而得出数列的前60项和。
11．【答案】（1）解：如果选择条件①：令，，所以，
则由于，当时，
两式相减得：，则，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
则数列的通项公式为；
如果选择条件②：
，则由，得，
所以是首项，公差为1的等差数列，
所以，
所以；
（2）解：对于条件①，假设存在正整数m，使得，则，
所以 ，此等式左边为偶数，右边为奇数，
所以不存在正整数m满足题意；
对于条件②，
假设存在正整数m，使得，
则，化简得，
解得，
因为，所以，
m无正整数解，故不存在这样的m满足题意．
综上，对于条件①，通项公式为 ，不存在正整数m满足题意；
对于条件②，通项公式为，不存在正整数m满足题意.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式；反证法的应用
【解析】【分析】（1） 选择条件①：利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法和等比数列的定义，从而判断出数列是首项为6，公比为3的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式；
如果选择条件②：利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义判断出数列是首项，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列的通项公式。
（2） 对于条件①，假设存在正整数m，使得，再利用等比数列的通项公式得出 ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m满足题意；
对于条件②，假设存在正整数m，使得，则，解得，再利用，得出m与k的不等关系式，所以m无正整数解，故不存在这样的m满足题意，进而得出对于条件①，通项公式为 ，不存在正整数m满足题意；对于条件②，通项公式为，不存在正整数m满足题意。
12．【答案】（1）解：由，，成等比数列，得①
所以②
②－①得
∵
∴
所以，，，…，成等差数列，
首项，公差，
∴
由，得
所以，，，…，成等差数列，首项，公差，
∴
∴
（2）解：
所以
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】(1)由题意可得，通过作差法可得，再由赋值法求得 ，即可求解；
（2）由（1）求得再由放缩法得到，再累加求和即可。
13．【答案】解：（Ⅰ）设 的公差为 的公比为 .
则
（Ⅱ）
当 为奇数， .
.
.
（方法2：采用分组求和法.
， 求解方法同上）
令 ，当 时， ， .
令 ，当 时， ， 分
若实数 满足 对任意的 恒成立，则
即 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可；
(2)先求出cn，分组求和求得T2n，进而求得T2n-1，作差求得当n≥3时，T2nT2n-3，由(T2n)max <λ<(T2n-1)min即可求解.
14．【答案】（1）解：依题有，因为，解得：
．数列是等差数列，设其公差为，，解得：
（2）解：数列与数列都是递增数列， ，
，，
新数列的前50项和为：
（3）解：∵，
设 ，
，
，两式相减有
，
∴.
∴
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式以及性质整理化简数列的递推公式，由此计算出首项、公比和公差的取值，由此即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论结合等差、比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
(3)利用错位相减法整理化简计算出结果即可。
15．【答案】（1）解：因为，所以．
所以，
所以， ，
所以，
因为，
所以数列是等比数列，
所以数列的前项和为：
（2）证明：由题意可知，，
所以，
所以．所以 ，
所以，
由“生成数列”的定义可得，
所以．
累加可得
（3）证明：由题意知．由（Ⅱ）可知．
① 当时，得，即，
所以，
所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾，
所以，即.
取，当时，
，显然是等比数列，
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和；数列的求和；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而判断出数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式得出数列的前项和。
（2） 由题意可知，，所以，所以 ，所以，由“生成数列”的定义可得，再利用累加法证出 成立。
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合生成数列的定义，从 而结合等比数列的定义，进而证出存在正整数，当时， 是等比数列。
16．【答案】（1）解：当n=1时，a1a2=2，
又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②两式相除可得，
则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故
（2）解：当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
=，
=
．
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式，①，得，②，①②两式相除可得的值，进而得出的值，且b1=a2=2，再利用等比数列的定义判断出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式和裂项相消的方法，进而得出数列的前23项和。
17．【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以，即，
又，即， 所以，
由题意，，成等差数列，所以，
即，解得，满足，
所以，所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为3
（2）解：由（1）可知，所以
（3）证明：，当时，成立；
当时，，所以，
，
，
所以对一切正整数，
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法结合等差中项公式，所以，所以，再利用等比数列的定义，从而证出数列为等比数列，首项为，公比为3的等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（3）利用数列的通项公式得出 ，再利用等比数列前n项和公式和放缩法，进而证出对一切正整数，不等式成立。
18．【答案】（1）解：∵，，∴，
∴．
∵成等差数列，∴，
即，∴．
解得，或（舍去）．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
又，∴数列的通项公式是
（3）证明：∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．
∵，，
∴， ①
， ②
①式两边乘以得 ③
由②③得
将代入上式，得．
另证： 先用错位相减法求，再验证.
∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．
又，所以
①
②
将①乘以2得： ③
①－③得： ，
整理得：
将②乘以得： ④
②－④整理得：
∴
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据题意可求得 ， 结合 成等差数列，可得 ，解之即可得 的值；
(2)利用累乘法 可求得Sn，继而可求得数列的通项公式；
(3)依题意求得 后，可分别求得A2n与B2n，进一步可求得 的值；另解，先用错位相减法求An， Bn，再验证 .
19．【答案】（1）解：由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或5.
因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：1、2、3、5或1、2、3、1或1、2、1、3
（2）证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列
（3）证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有．
所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．
又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得
【知识点】函数单调性的判断与证明；数列的概念及简单表示法；数列的应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】利用 ，和 ，再利用代入法得出数列前项的所有可能情况。
（2）利用已知条件结合无穷递增子列，再利用分类讨论的方法，进而证出数列存在无穷递增子列。
（3） 考察数列和，再利用分类讨论的方法和放缩法以及累加法，得出，令，解得，即存在，使得，再利用数列是的子列，令，则，进而证出对于任意实数，都存在，使得。
20．【答案】（1）解：由题设，，，，则，
，，，则，
所以，
（2）解：若数列任意两项均不相等，
当时；
当且时，，
又，，
此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则，
当，则，不合要求；
当，则，满足题设；
综上，.
（3）解：由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理，
所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故，
综上，.
【知识点】等差数列；等比数列；数列的应用
【解析】【分析】（1）利用 表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值，再利用已知条件得出 ，的值。
（2）利用 表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值，再利用已知条件结合交集的运算法则和元素与集合的关系，得出 ，即存在且使，即， 再利用分类讨论的方法得出满足要求的实数q的值。
（3） 由题设，数列单调递增且，由（2）知，根据题设定义，存在且，，则，由比数列中个项大，，同理，所以，再利用至少比数列中一项小，，同理，
所以；进而得出。令数列，下证各值均可取到，再利用分类讨论的方法和数列的单调性，进而得出括号中各数的最值，再结合元素与集合的关系，再利用作差法得出 的所有可能值。
21．【答案】（1）证明：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为1，首项为3.
所以，，即.
（2）解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
（3）解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，由此即可得出数列为等差数列，解已知条件计算出首项和公差，由此得出数列的通项公式。
(2)利用错位相减法整理化简即可得出答案。
(3)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和，再对n分情况讨论由二次函数的性质即可求出函数的最值。
22．【答案】（1）解：2，5，16
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是3的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数
（3）解：首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于8的正奇数，即或；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列
【知识点】数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【解答】(1)解：因为正整数数列满足，
当时，，所以，，所以，则或，即或，
当时，或，所以或；
当时，，所以；
所以的可能取值为2、5、16；
【分析】(1)根据题意由特殊值法代入计算出结果即可。
(2)由已知条件结合数列的通项公式，即可得出数列项的性质，由此即可得出结论。
(3)根据题意由数列项的性质结合周期的定义，整理化简即可得出项之间的规律，然后由列举法与假设法即可得出满足题意的答案。
23．【答案】（1）解：设数列 的公差为 ，数列 的公比为q，
由已知得 ，解得 ， ，所以 ；
所以 ， ，所以 .
（2）解：由题意可知新数列 为： ， ， ， ，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时，
，
综上： .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的运算即可得 ， ，求得，进而可求；
（2）由 n为偶数时 ，分组求和即可；
当n为奇数时， 由即可求解。
24．【答案】（1）解：由已知，有，即，所以，又因为，所以．由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
（2）解：由（1）得，
设数列的前n项和为，则，
，
两式相减，得，整理得，所以数列的前n项和为．
∴，
即，又，∴，∴
【知识点】对数的运算性质；不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合等差数列的项的性质整理化简数列的递推公式，由此计算出q的取值，然后由对n分情况讨论即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法整理化简结合放缩法即可得出的取值范围。
25．【答案】（1）解：当时，，解得
由题知①
②
由②①得，
因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
（2）解：由（1）可得.
当n为偶数时，
当n为奇数时，
当时，
当时，
经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，
综上，数列的前n项和
【知识点】等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）由可得，作差可得，进而可求解；
（2）由（1）可得，进而分 n为偶数时， 由求和；和 n为奇数时， 由求和，即可。
26．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得，则，
所以．
因为、、成等比数列，所以，即，
所以，解得或，
因为为正项数列，所以，所以，所以．
（2）解：由（1）可得，
所以，
因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而得出满足要求的公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2） 由（1）数列 的通项公式结合 ，得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前n项和， 若对任意均有恒成立，再结合放缩法得出对任意均有，进而结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围，从而得出实数的最小值。
27．【答案】（1）解：当 时， ，所以 或 ，因为 ，故 ；
当 时， ，即 ，
因为 是单调递增的数列，所以， ，则 ，即 ，
所以， 是等差数列，公差为2，首项是3，所以， .
由 得， ，所以 是等比数列， ， ，
则数列 的公比为 ，所以， .
（2）解：当 时， ，
当 时， .
所以，
.
综上可知，对任意的 ， 成立.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值代入法，整理化简即可得出数列的通项公式，由数列的通项公式即可得出数列的单调性，由此得出数列为等差数列，结合题意即可求出数列的通项公式，由已知条件整理化简即可得出数列的通项公式。
(2)根据题意由n的取值，计算出数列的通项公式，由裂项相消法结合放缩法即可得证出结论，由此得证出结论。
28．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即，
所以的取值范围是.
【知识点】数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.
(2)利用(1)求出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
29．【答案】（1）解：①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
∵
，
∴，，成等差数列
（2）解：，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用 ①，结合的关系式，再利用分类讨论的方法得出当时，②，再利用①－②得出，再结合
，得出，再利用等差数列的定义判断出数列是以2为首项，2为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出，进而得出，再利用等比数列的定义判断出数列是首项为－2，公比为2的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出，再利用等差中项公式证出，，成等差数列。
（2）利用数列和数列的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和分组求和的方法，进而得出数列的前n项和。
30．【答案】（1）证明：因为，所以，
则，
两式相减得，
所以，
以上两式相减得，
所以数列是等差数列
（2）解：中令 得，又，
所以等差数列的公差，
所以，，
若选①：
若，，则
；
若，
，
所以；
若选②：
【知识点】等差数列；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用 结合的关系式，再利用分类讨论的方法和等差数列的定义，进而证出数列是等差数列。
（2） 利用结合赋值法得出数列的首项的值，再利用结合等差数列的定义，进而得出公差的值，再利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式得出，，
若选①：再利用已知条件和，再利用绝对值的定义结合分类讨论的方法，再利用分组求和的方法和等差数列前n项和公式，从而得出数列的前n项的和；
若选②：利用已知条件结合并项求和的方法和等差数列前n项和公式得出数列的前n项的和。
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压轴题02 数列（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·台州模拟）已知数列，满足：，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③.
【答案】（1）证明：因为，
所以，
所以，
又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；
（2）解：由（1）知，
又因为，
所以数列为常数列.
若选条件①或③，均可得，
所以，所以.
若选②，因为，所以，又因为，
所以，所以，所以，所以.
【知识点】等比数列；数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 （1）利用，所以，再结合和等比数列的定义，进而证出数列是首项为1公比为的等比数列。
（2） 由（1）知，再利用和常数列的定义，进而判断出数列为常数列，若选条件①或③，均可得，进而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和。
若选②，利用，所以，再结合，进而得出的值，从而得出的值，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和。
2．（2023·安庆模拟）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）解：由条件知，故.
设数列的公差为，则.
因成等比数列，所以，
即，解得，
所以.
（2）解：由（1）知，所以
，
故
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】 （1）由条件结合等差数列的前n项和公式和等差数列的性质，进而得出等差数列第五项的值，设数列的公差为，则，再利用成等比数列结合等比中项公式和等差数列的性质，从而得出公差的值，再结合等差数列的性质得出数列的通项公式。
（2）利用数列的通项公式结合 ，进而得出数列的通项公式，再结合裂项相消的方法得出数列的前项和。
3．（2023·宣城模拟）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为成等比数列，则有，
即，而，解得，则，
所以的通项公式是．
（2）解：由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，
设的前项和为，则，
若，，
若，
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用 成等比数列结合等比中项公式和等差数列前n项和公式以及，从而得出公差，再结合等差数列的通项公式得出等差数列的通项公式。
（2） 由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值，再利用等差数列前n项和公式和分类讨论的方法以及绝对值的定义，从而由数列求和得出数列的前项和。
4．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
5．（2023·汕头模拟）已知为正项数列的前n项的乘积，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求（表示不超过x的最大整数）．
【答案】（1）解：由题意知为正项数列的前n项的乘积，，故，
所以，即，
所以，即，
所以，
当时，，解得，
所以，结合，可知数列 是常数列，
所以，所以，
所以．
（2）解：由（1）可得，
则，
由于，
故，且，
故，.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和；数列递推式；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和常数列的定义， 可知数列 是常数列， 再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前n项和，再结合放缩法和等比数列前n项和公式可得，且，故，从而得出的值。
6．（2023·广州模拟）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【答案】（1）解：甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）解：①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
【知识点】数列的函数特性；等比数列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出甲前3次答题得分之和为40分的概率。
（2） ①利用已知条件结合古典概型求概率公式、独立事件乘法求概率公式和数学期望公式以及数学期望的性质，进而得出与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，结合数学期望的性质，从而得出当时，，而，再利用等比数列的定义，因此数列以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出，显然数列是递增数列，再利用数列的单调性，进而得出正整数i的最小值。
7．（2023·武威模拟）设等比数列的前项和为，已知，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，.
【答案】（1）解：设数列的公比为，
∵，则，解得，
故.
（2）证明：由（1）知，
所以
∵在上单调递增，则数列为递增数列，
∴当时，，
故当时，.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式和等比数列前n项和公式得出公比和首项的值，再结合等比数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2） 由（1）中数列的通项公式和 ，从而得出数列的通项公式，再结合分组求和的方法得出数列的前项和，再结合函数的单调性判断出数列为递增数列，再利用数列的单调性得出的最小值，进而证出当时，不等式成立。
8．（2023·广州模拟）已知数列的前项和为，且
（1）求，并证明数列是等差数列：
（2）若，求正整数的所有取值.
【答案】（1）解：由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）解：由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
所以，
则，
由，
得，
即，
令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
由，
，
则当时，，
所以若，正整数的所有取值为.
【知识点】函数单调性的性质；等差数列；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由已知条件结合的关系式和代入法得出数列的首项的值，再结合分类讨论的方法和等差数列的定义，从而证出数列是以为首项，为公差的等差数列。
（2） 由（1）得，所以，再利用错位相减的方法得出，再利用代入法，则，由结合数列的通项公式得出，令，再利用函数的单调性和函数的解析式代入法得出当时，，从而得出若时的正整数的所有取值。
9．（2023·平谷模拟）对于每项均是正整数的数列、、、，定义变换，将数列变换成数列、、、、．对于每项均是非负整数的数列、、、，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（1）如果数列为、、，写出数列、；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
【答案】（1）解：、、，、、、，、、，
、、、，、、、.
（2）证明：设每项均是正整数的有穷数列为、、、，
则为、、、、，
从而．
又 ，
所以，
故．
（3）证明：设是每项均为非负整数的数列，，．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则．
当存在，使得时，若记数列，，为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由，1，2，…
可知．
又由（2）可知，所以．
即对于，要么有，要么有．
因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．
即存在正整数，当时，.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）由为、、， 求得，再通过求解；
（2）设有穷数列求得，再求得，由，两者作差比较；
（3） 设是每项均为非负整数的数列，，，在存在，有时条件下， 交换数列的第项与第项得到数列， 在存在，使得时条件下，若 记数列，，为，， 由得到，是大于的整数，所以经过有限步后，必有，所以存在正整数，当时，．
10．（2023·大理模拟）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
∴，，
∴，
（2）解：当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.
当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.
∴.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出公差和公比的值，再结合等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，进而得出数列 和的通项公式。
（2） 当的前60项中含有的前6项时，令，从而得出n的取值范围，此时至多有项（不符），当的前60项中含有的前7项时，令得出n的取值范围，且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项，再结合等差数列前n项和公式和求和法，进而得出数列的前60项和。
11．（2022·齐齐哈尔模拟）在①，其中为数列的前n项和；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知数列满足____．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数m，使得为数列中的项？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：如果选择条件①：令，，所以，
则由于，当时，
两式相减得：，则，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
则数列的通项公式为；
如果选择条件②：
，则由，得，
所以是首项，公差为1的等差数列，
所以，
所以；
（2）解：对于条件①，假设存在正整数m，使得，则，
所以 ，此等式左边为偶数，右边为奇数，
所以不存在正整数m满足题意；
对于条件②，
假设存在正整数m，使得，
则，化简得，
解得，
因为，所以，
m无正整数解，故不存在这样的m满足题意．
综上，对于条件①，通项公式为 ，不存在正整数m满足题意；
对于条件②，通项公式为，不存在正整数m满足题意.
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的通项公式；数列递推式；反证法的应用
【解析】【分析】（1） 选择条件①：利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法和等比数列的定义，从而判断出数列是首项为6，公比为3的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式；
如果选择条件②：利用已知条件结合递推公式变形和等差数列的定义判断出数列是首项，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式，进而求出数列的通项公式。
（2） 对于条件①，假设存在正整数m，使得，再利用等比数列的通项公式得出 ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m满足题意；
对于条件②，假设存在正整数m，使得，则，解得，再利用，得出m与k的不等关系式，所以m无正整数解，故不存在这样的m满足题意，进而得出对于条件①，通项公式为 ，不存在正整数m满足题意；对于条件②，通项公式为，不存在正整数m满足题意。
12．（2022·义乌模拟）已知数列的前n项和为，且，又，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式：
（2）求，并证明．
【答案】（1）解：由，，成等比数列，得①
所以②
②－①得
∵
∴
所以，，，…，成等差数列，
首项，公差，
∴
由，得
所以，，，…，成等差数列，首项，公差，
∴
∴
（2）解：
所以
∴
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】(1)由题意可得，通过作差法可得，再由赋值法求得 ，即可求解；
（2）由（1）求得再由放缩法得到，再累加求和即可。
13．（2022·浙江模拟）等差数列 的前 项和为 ，数列 是等比数列，满足 ， ， ， .
（Ⅰ）求数列 和 的通项公式；
（Ⅱ）已知数列 满足 ，设 的前 项和为 ，若实数 满足 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）设 的公差为 的公比为 .
则
（Ⅱ）
当 为奇数， .
.
.
（方法2：采用分组求和法.
， 求解方法同上）
令 ，当 时， ， .
令 ，当 时， ， 分
若实数 满足 对任意的 恒成立，则
即 .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)设出公差公比，由已知建立方程组，再由等差、等比通项公式求解即可；
(2)先求出cn，分组求和求得T2n，进而求得T2n-1，作差求得当n≥3时，T2nT2n-3，由(T2n)max <λ<(T2n-1)min即可求解.
14．（2022·和平模拟）已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
【答案】（1）解：依题有，因为，解得：
．数列是等差数列，设其公差为，，解得：
（2）解：数列与数列都是递增数列， ，
，，
新数列的前50项和为：
（3）解：∵，
设 ，
，
，两式相减有
，
∴.
∴
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由等差数列的通项公式以及性质整理化简数列的递推公式，由此计算出首项、公比和公差的取值，由此即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论结合等差、比数列的前n项和公式，代入数值计算出结果即可。
(3)利用错位相减法整理化简计算出结果即可。
15．（2022·延庆模拟）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，最小值记为，令 ，并将数列称为的“生成数列”．
（1）若，求数列的前项和；
（2）设数列的“生成数列”为，求证：；
（3）若是等比数列，证明：存在正整数，当时， 是等比数列．
【答案】（1）解：因为，所以．
所以，
所以， ，
所以，
因为，
所以数列是等比数列，
所以数列的前项和为：
（2）证明：由题意可知，，
所以，
所以．所以 ，
所以，
由“生成数列”的定义可得，
所以．
累加可得
（3）证明：由题意知．由（Ⅱ）可知．
① 当时，得，即，
所以，
所以.
即为公比等于1的等比数列，
②当时，令，则.
当时，显然．
若，则，与矛盾，
所以，即.
取，当时，
，显然是等比数列，
综上，存在正整数，使得时，是等比数列.
【知识点】等比数列；等比数列的前n项和；数列的求和；反证法的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式变形和等比数列的定义，进而判断出数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式得出数列的前项和。
（2） 由题意可知，，所以，所以 ，所以，由“生成数列”的定义可得，再利用累加法证出 成立。
（3）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合生成数列的定义，从 而结合等比数列的定义，进而证出存在正整数，当时， 是等比数列。
16．（2022·滨海模拟）已知数列中，，，令．
（1）求数列的通项公式；
（2）若求数列的前23项和．
【答案】（1）解：当n=1时，a1a2=2，
又a1=1，得a2=2，
由，①，
得，②，
①②两式相除可得，
则，且b1=a2=2，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，
故
（2）解：当n为偶数时，；
当n为奇数时，，
，
所以数列的前23项和为，
=，
=
．
【知识点】等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式，①，得，②，①②两式相除可得的值，进而得出的值，且b1=a2=2，再利用等比数列的定义判断出数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，再结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法得出数列的通项公式，再利用分组求和的方法和等比数列前n项和公式和裂项相消的方法，进而得出数列的前23项和。
17．（2022·天津市模拟）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，且，，成等差数列．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）证明：对一切正整数，．
【答案】（1）证明：因为，所以，
又，所以，即，
又，即， 所以，
由题意，，成等差数列，所以，
即，解得，满足，
所以，所以，
所以数列为等比数列，首项为，公比为3
（2）解：由（1）可知，所以
（3）证明：，当时，成立；
当时，，所以，
，
，
所以对一切正整数，
【知识点】数列的概念及简单表示法；等比数列；等比数列的通项公式；数列的求和；等差数列的性质；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再结合分类讨论的方法结合等差中项公式，所以，所以，再利用等比数列的定义，从而证出数列为等比数列，首项为，公比为3的等比数列。
（2）利用已知条件结合等比数列的通项公式得出数列的通项公式。
（3）利用数列的通项公式得出 ，再利用等比数列前n项和公式和放缩法，进而证出对一切正整数，不等式成立。
18．（2022·天津市模拟）设数列的前项和为，已知，（为常数，，），且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若数列是首项为1，公比为的等比数列，记，，．证明：．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∴．
∵成等差数列，∴，
即，∴．
解得，或（舍去）．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
又，∴数列的通项公式是
（3）证明：∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．
∵，，
∴， ①
， ②
①式两边乘以得 ③
由②③得
将代入上式，得．
另证： 先用错位相减法求，再验证.
∵数列是首项为1，公比为的等比数列，∴．
又，所以
①
②
将①乘以2得： ③
①－③得： ，
整理得：
将②乘以得： ④
②－④整理得：
∴
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】 (1)根据题意可求得 ， 结合 成等差数列，可得 ，解之即可得 的值；
(2)利用累乘法 可求得Sn，继而可求得数列的通项公式；
(3)依题意求得 后，可分别求得A2n与B2n，进一步可求得 的值；另解，先用错位相减法求An， Bn，再验证 .
19．（2022·通州模拟）从一个无穷数列中抽出无穷多项，依原来的顺序组成一个新的无穷数列，若新数列是递增数列，则称之为的一个无穷递增子列．已知数列是正实数组成的无穷数列，且满足．
（1）若，，写出数列前项的所有可能情况；
（2）求证：数列存在无穷递增子列；
（3）求证：对于任意实数，都存在，使得．
【答案】（1）解：由已知，即，可得或.
当时，由，即，因为，可得；
当时，由，即，因为，可得或5.
因此，若，，写出数列前项的所有可能情况为：1、2、3、5或1、2、3、1或1、2、1、3
（2）证明：对于数列中的任意一项，
由已知得，或，即或．
若，则由可得；
若，则，此时，即．
设集合，、，且，
，，，，，，
则数列是数列一个无穷递增子列
（3）证明：考察数列和．
①当或时，显然成立；
②当时，设，由（2）可知．
如果，那么，或，于是总有，
此时；
如果，那么，或，于是总有，
此时．
综上，当且时总有．
所以，
所以，，，，
叠加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超过的最大整数），使得．
又因为是的子列，令，则．
由①②可知，对于任意实数，都存在，使得
【知识点】函数单调性的判断与证明；数列的概念及简单表示法；数列的应用；反证法与放缩法
【解析】【分析】利用 ，和 ，再利用代入法得出数列前项的所有可能情况。
（2）利用已知条件结合无穷递增子列，再利用分类讨论的方法，进而证出数列存在无穷递增子列。
（3） 考察数列和，再利用分类讨论的方法和放缩法以及累加法，得出，令，解得，即存在，使得，再利用数列是的子列，令，则，进而证出对于任意实数，都存在，使得。
20．（2022·西城模拟）已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
【答案】（1）解：由题设，，，，则，
，，，则，
所以，
（2）解：若数列任意两项均不相等，
当时；
当且时，，
又，，
此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则，
当，则，不合要求；
当，则，满足题设；
综上，.
（3）解：由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理，
所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故，
综上，.
【知识点】等差数列；等比数列；数列的应用
【解析】【分析】（1）利用 表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值，再利用已知条件得出 ，的值。
（2）利用 表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值，再利用已知条件结合交集的运算法则和元素与集合的关系，得出 ，即存在且使，即， 再利用分类讨论的方法得出满足要求的实数q的值。
（3） 由题设，数列单调递增且，由（2）知，根据题设定义，存在且，，则，由比数列中个项大，，同理，所以，再利用至少比数列中一项小，，同理，
所以；进而得出。令数列，下证各值均可取到，再利用分类讨论的方法和数列的单调性，进而得出括号中各数的最值，再结合元素与集合的关系，再利用作差法得出 的所有可能值。
21．（2022·河西模拟）已知数列的首项，且满足．
（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）设，数列的前项和为，求的最大值和最小值．
【答案】（1）证明：因为，
所以，等式两边同除以得，
又因为，
所以，数列是等差数列，公差为1，首项为3.
所以，，即.
（2）解：设，
则，
所以，两式作差得：，
整理得：，即.
所以，
（3）解：由（1）知
，
所以，，
所以，当为奇数时，，随着的增大而增大，故当时，有最小值；
当为偶数时，，随着的增大而减小，故当时，有最大值；
综上所述，有最小值，最大值
【知识点】数列的求和；数列与函数的综合；函数最值的应用
【解析】【分析】(1)首先整理化简已知的数列的递推公式，由此即可得出数列为等差数列，解已知条件计算出首项和公差，由此得出数列的通项公式。
(2)利用错位相减法整理化简即可得出答案。
(3)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由裂项相消法即可得出数列前n项和，再对n分情况讨论由二次函数的性质即可求出函数的最值。
22．（2022·顺义模拟）设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
【答案】（1）解：2，5，16
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，则对，都是3的倍数；
如果存在为3的倍数，根据，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，当为3的倍数时，可知也是3的倍数，以此类推，都是3的倍数；
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数
（3）解：首先注意到是正整数数列，则数列一定有最小值，设为，下证或；
当为偶数时，设，则，与是最小值矛盾；
所以是奇数；不妨设，则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾；
综上，只能是小于8的正奇数，即或；
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环；
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数；
经检验，当时，数列确实是周期数列
【知识点】数列的函数特性；数列与函数的综合
【解析】【解答】(1)解：因为正整数数列满足，
当时，，所以，，所以，则或，即或，
当时，或，所以或；
当时，，所以；
所以的可能取值为2、5、16；
【分析】(1)根据题意由特殊值法代入计算出结果即可。
(2)由已知条件结合数列的通项公式，即可得出数列项的性质，由此即可得出结论。
(3)根据题意由数列项的性质结合周期的定义，整理化简即可得出项之间的规律，然后由列举法与假设法即可得出满足题意的答案。
23．（2022·济南二模）已知 是递增的等差数列， ， ， ， 分别为等比数列 的前三项.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）删去数列 中的第 项（其中 ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1）解：设数列 的公差为 ，数列 的公比为q，
由已知得 ，解得 ， ，所以 ；
所以 ， ，所以 .
（2）解：由题意可知新数列 为： ， ， ， ，…，
则当n为偶数时
，
则当n为奇数时，
，
综上： .
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的运算即可得 ， ，求得，进而可求；
（2）由 n为偶数时 ，分组求和即可；
当n为奇数时， 由即可求解。
24．（2022·长兴模拟）已知数列满足（q为实数，且），，，，且，，成等差数列．
（1）求q的值和的通项公式；
（2）设 ，记数列的前n项和为，若对任意的，满足，试求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由已知，有，即，所以，又因为，所以．由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
（2）解：由（1）得，
设数列的前n项和为，则，
，
两式相减，得，整理得，所以数列的前n项和为．
∴，
即，又，∴，∴
【知识点】对数的运算性质；不等式的综合；数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合等差数列的项的性质整理化简数列的递推公式，由此计算出q的取值，然后由对n分情况讨论即可得出数列的通项公式。
(2)由(1)的结论即可得出数列的通项公式，然后由错位相减法整理化简结合放缩法即可得出的取值范围。
25．（2022·广东三模）已知数列{}的前n项和，，，.
（1）计算的值，求{}的通项公式；
（2）设，求数列{}的前n项和.
【答案】（1）解：当时，，解得
由题知①
②
由②①得，
因为，所以
所以数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列；偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列；
当n为奇数时，
当n为偶数时，所以的通项公式.
（2）解：由（1）可得.
当n为偶数时，
当n为奇数时，
当时，
当时，
经检验，也满足上式，
所以当n为奇数时，
综上，数列的前n项和
【知识点】等差关系的确定；数列的求和
【解析】【分析】（1）由可得，作差可得，进而可求解；
（2）由（1）可得，进而分 n为偶数时， 由求和；和 n为奇数时， 由求和，即可。
26．（2022·湖北二模）已知正项等差数列满足：，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，是数列的前n项和，若对任意均有恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，由得，则，
所以．
因为、、成等比数列，所以，即，
所以，解得或，
因为为正项数列，所以，所以，所以．
（2）解：由（1）可得，
所以，
因为对任意均有，所以，所以实数的最小值为
【知识点】函数恒成立问题；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比中项公式和等差数列的通项公式，进而得出满足要求的公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列 的通项公式。
（2） 由（1）数列 的通项公式结合 ，得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法得出数列的前n项和， 若对任意均有恒成立，再结合放缩法得出对任意均有，进而结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数的取值范围，从而得出实数的最小值。
27．（2022·金华模拟）已知数列 单调递增且 ，前 项和 满足 ，数列 满足 ，且 ， .
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）解：当 时， ，所以 或 ，因为 ，故 ；
当 时， ，即 ，
因为 是单调递增的数列，所以， ，则 ，即 ，
所以， 是等差数列，公差为2，首项是3，所以， .
由 得， ，所以 是等比数列， ， ，
则数列 的公比为 ，所以， .
（2）解：当 时， ，
当 时， .
所以，
.
综上可知，对任意的 ， 成立.
【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)根据题意由特殊值代入法，整理化简即可得出数列的通项公式，由数列的通项公式即可得出数列的单调性，由此得出数列为等差数列，结合题意即可求出数列的通项公式，由已知条件整理化简即可得出数列的通项公式。
(2)根据题意由n的取值，计算出数列的通项公式，由裂项相消法结合放缩法即可得证出结论，由此得证出结论。
28．（2022·嘉兴模拟）设等差数列的前n项和为，数列是首项为1公比为的等比数列，其前n项和为，且，对任意恒成立.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为则
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以数列的通项公式为，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，所以，
①
②
②-①得：
化简得：，
又因为，即
即，
（i）当时，，所以；
（ii）当时，，
令，则
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增；
当时，取得最小值为
，即，
所以的取值范围是.
【知识点】数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】(1)根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前项和公式即可求解.
(2)利用(1)求出的通项公式，再利用错位相减法求出，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.
29．（2022·潍坊二模）已知正项数列的前n项和为，且，数列满足．
（1）求数列的前n项和，并证明，，是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：①，，
当时，，∴或(舍)，
当时，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2为首项，2为公差的等差数列，∴，，
∴数列是首项为－2，公比为2的等比数列，
∴．
∵
，
∴，，成等差数列
（2）解：，
当n为偶数时，
．
当n为奇数时，
．
综上可知
【知识点】等差数列；等差数列的通项公式；等比数列；等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用 ①，结合的关系式，再利用分类讨论的方法得出当时，②，再利用①－②得出，再结合
，得出，再利用等差数列的定义判断出数列是以2为首项，2为公差的等差数列，再结合等差数列的通项公式得出，进而得出，再利用等比数列的定义判断出数列是首项为－2，公比为2的等比数列，再利用等比数列前n项和公式得出，再利用等差中项公式证出，，成等差数列。
（2）利用数列和数列的通项公式结合，进而得出数列的通项公式，再结合分类讨论的方法和分组求和的方法，进而得出数列的前n项和。
30．（2022·山西二模）已知数列的前n项和为，若，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）从下面两个条件中选一个，求数列的前n项的和．
①；
②．
【答案】（1）证明：因为，所以，
则，
两式相减得，
所以，
以上两式相减得，
所以数列是等差数列
（2）解：中令 得，又，
所以等差数列的公差，
所以，，
若选①：
若，，则
；
若，
，
所以；
若选②：
【知识点】等差数列；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用 结合的关系式，再利用分类讨论的方法和等差数列的定义，进而证出数列是等差数列。
（2） 利用结合赋值法得出数列的首项的值，再利用结合等差数列的定义，进而得出公差的值，再利用等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式得出，，
若选①：再利用已知条件和，再利用绝对值的定义结合分类讨论的方法，再利用分组求和的方法和等差数列前n项和公式，从而得出数列的前n项的和；
若选②：利用已知条件结合并项求和的方法和等差数列前n项和公式得出数列的前n项的和。
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