【精品解析】压轴题04 解三角形（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题04 解三角形（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·蚌埠模拟）在中，为上一点，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·赣州模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·呼和浩特模拟）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
4．（2022·南阳模拟）锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（　　）
A．2 B． C． D．1
5．（2023·汕头模拟）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（　　）
A．6 B．12 C． D．
6．（2022·齐齐哈尔模拟）在中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为，且为钝角，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022·成都模拟）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·南昌模拟）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021高二上·靖远期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
10．（2021·南充模拟）在 中，设 ， ， 分别为角 ， ， 对应的边，记 的面积为 ，且 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2021·南昌模拟）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C．4 D．
12．（2021·安徽模拟）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
13．（2021·安徽模拟）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
14．（2020·苏州模拟）在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2020·武汉模拟）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
16．（2023·广州模拟）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（　　）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
17．（2023·合肥模拟）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（　　）
A．三角形面积的最大值为
B．三棱锥体积的最大值
C．四面体外接球表面积的最小值为11
D．直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为
18．（2021高一下·绍兴期末）在 中， ， 分别是 ， 的中点，且 ， ，则（　　）
A． 面积最大值是12 B．
C． 不可能是5 D．
三、填空题
19．（2023·广东模拟）在中，，，，是所在平面内任意一点，则的最小值是　 　.
20．（2023·黄浦模拟）已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为　 　.
21．（2022·广西模拟）已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为　 　.
22．（2022·郑州模拟）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，则△面积的最小值是　 　．
23．（2022·济南模拟）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为　 　千米．
24．（2022·湖南模拟）如图，在 中， ， ， ，点 是边 （端点除外）上的一动点.若将 沿直线 翻折，能使点 在平面 内的射影 落在 的内部（不包含边界），且 .设 ，则t的取值范围是　 　.
25．（2022·淮南二模）中，为边上的中线，，则的取值范围是　 　．
26．（2022高三上·怀仁期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积的最大值为　 　.
27．（2022·西南名校模拟）已知中，点，点，内角的对边分别为，面积为，且，则满足条件的点的轨迹长度为　 　．
28．（2021高二上·河南期中）在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， ， 的外接圆面积为 ，则 面积的最大值是　 　.
29．（2021·蚌埠模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 外接圆周长与 周长之比的最小值为　 　．
30．（2020·秦淮模拟）在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B＝4sin2C，则 的最小值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；相似三角形的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】法一、相似转化边的关系
如图所示，在和中，有，
故，设，则，，所以
设则根据相似比：得
又，由余弦定理可得：
则，，故
法二、正弦定理边化角.
设，则，
在和中，有，由正弦定理有：，
两式相除得：
由三角恒等变换公式得：
由弦化切，构造齐次式得：，
即，解之得：或
在中，则，故
故答案为：D
【分析】法一、利用相似转化边的关系求解：
在和中，有，再利用两三角形相似判定定理，故，设，则，再利用两三角形相似的性质定理，所以，所以，设则根据对应边成比例得出，再利用和余弦定理可得的值，再结合余弦定理和同角三角函数基本关系式得出 的值；
法二、利用正弦定理边化角求解：
设，则，在和中，有，由正弦定理得：，由三角恒等变换公式得：，由弦化切，构造齐次式得的值，在中，进而得出角B的取值范围，再结合正切函数的定义得出的值。
2．【答案】C
【知识点】等差数列的性质；余弦定理
【解析】【解答】由，得，
由成等差数列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
故答案为：C.
【分析】由结合三角形内角和为180度的性质，进而得出角C的值，由成等差数列结合等差中项公式和余弦定理以及得出，再由变形得出的值。
3．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，则，，
在中，由余弦定理得，
所以是钝角三角形，
故答案为：C
【分析】 分别在△ABD和△ACD中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到BC ，然后在△ABC中，由余弦定理判断可得答案.
4．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，所以，所以.
又，所以，
故答案为：C
【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理及和差角公式进行化解可求cosA，进而可求A ，然后结合正弦定理表示出a， b，c，然后求解即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】椭圆的定义；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于椭圆有，
设，
则根据椭圆的定义得，
又，
解得，
.
故答案为：D.
【分析】 利用已知条件结合椭圆的标准方程得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再利用椭圆的定义和余弦定理以及三角形的面积公式得出三角形的面积。
6．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，
所以，即，
因为为钝角，即 是锐角，所以，，
由正弦定理知，
因为为钝角，所以，即，
所以，所以，
即的取值范围是。
故答案为：A．
【分析】利用三角形的面积公式和已知条件以及同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正切值，再利用为钝角，即 是锐角，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值和余弦值，由正弦定理和同角三角函数基本关系式知，再利用为钝角和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用诱导公式结合正切函数的图象的单调性，进而得出的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴由正弦定理得： ，
即 ，
，则 ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
的最小值为 .
∵，∴，
∴的最大值为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出 ，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出角A的余弦值的最小值，再利用同角三角函数基本关系式和余弦函数的图象求最小值的方法，进而得出角A的正弦值得最大值，再结合角A的正弦值得最大值和角A的余弦值的最小值和同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正切值的最大值。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ，
因为
，
，所以
，
由余弦定理得：
，因为
，所以
，
所以
，
记
，
则
，
所以令
，解得：
；令
，解得：
；
所以
。
故答案为：D
【分析】设 ，再利用代入法得出 ，其中 ，再利用 ， 结合两点距离公式得出A，B两点的距离，再结合两点距离公式得出AP，PB，由余弦定理和m的取值范围得出 ，再结合同角三角函数基本关系式得出 ，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出实数m的取值范围，进而得出 的最大值 。
9．【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在中，由，得，而，，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面积。
故答案为：D
【分析】利用已知条件，得，再利用，，由余弦定理得ac的值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。
10．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 在 递增， ， 递减，
所以 ，
所以 的最大值为 ，当且仅当 时，取等号。
故答案为：A
【分析】利用 结合正弦定理，可得 ，再利用余弦定理得出 ，再利用三角形的面积公式得出 ，令 ，则 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而求出 的最大值。
11．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，又由 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，又因为C为三角形内角，故 ，
所以三角形 的面积为 。
故答案为：B.
【分析】由 ，再利用同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式以及三角形的内角和为180度的性质，再结合诱导公式，可得 ，再利用正弦定理得出 ，又由 ，再利用余弦定理结合一元二次方程求解方法得出c的值，所以 ，又因为角C为三角形内角，再利用同角三角函数基本关系式得出角C的正弦值，再结合三角形面积公式求出三角形 的面积。
12．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图，
则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积
。
故答案为：A
【分析】在△ABD中结合勾股定理，则 ， ，而四边形ABCD是圆内接四边形，则 ，再利用诱导公式得出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出 ，在 中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，再利用三角形面积公式结合求和法，从而求出四边形ABCD的面积。
13．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；正弦定理
【解析】【解答】在 中，由 及正弦定理得： ，
，
即 ，
两边除以 可得 ，
，即 ，当且仅当 等号成立，
则 ，
则当 时， 取得最大值为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再结合三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，进而得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，进而求出的最小值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再利用两角和的正切公式结合的最小值，从而求出 的最大值。
14．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理知：在 中，
有
，
在 中，
有
，
则 ，
由四边形 的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，
故
，
在三角形中，易知 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
此时 ，
故 ，
故答案为：A.
【分析】由余弦定理知，在 中，得出 ，在 中，得出 ，则 ，由四边形 的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，从而利用三角形的面积公式结合求和法得出 ，在三角形中，易知 ，所以 ，再利用余弦型函数的图象求最值的方法，从而求出 ，再利用 ，从而求出四边形ABCD面积的最大值 。
15．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
【分析】根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到 ，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有 ，再用基本不等式求解.
16．【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A不符合题意；
对于B，，则，
显然，因此，B符合题意；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C符合题意；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】设点，依题意结合两点距离公式得出，再利用放缩法和一元二次不等式求解方法得出点的横坐标的取值范围；再利用，则，显然，再利用两点距离公式得出的取值范围；利用三角形的面积公式和正弦函数的值域，进而得出三角形的面积的最大值，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由得出交点坐标，进而得出三角形面积的最大值；利用点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，从而结合两点距离公式得出的值，从而找出结论正确的选项。
17．【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，A不符合题意；
B，，当面时，，B符合题意；
C，设的外接圆半径为，底面圆，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，则点经过线段的中垂线时，最大，的外接圆半径最小，此时，，，即四面体外接球表面积的最小值为，C不符合题意；
D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线SP与平面所成角的余弦值最小，最小值为，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由母线长为，高为，再利用勾股定理得出底面半径，设是底面圆的一条直径，再利用余弦定理和三角函数值在各象限的符号得出是钝角，再利用三角形的面积公式和正弦型函数的图象求最值的方法得出三角形面积的最大值；利用已知条件结合三角形的面积公式和几何法以及三棱锥的体积公式得出三棱锥体积的最大值；设的外接圆半径为，再利用底面圆，所以四面体外接球半径满足勾股定理，即，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，再利用，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理和几何法以及勾股定理和球的表面积公式得出四面体外接球表面积的最小值；设点到平面的距离为，再利用正弦函数的定义得出直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，得出此时直线SP与平面所成角的余弦值的最小值，进而找出结论正确的选项。
18．【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的性质；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，以D为圆心，BC为x轴建立直角坐标系，则点A在圆x2 +y2=4(x≠土2)上，
设∠ADB=α，A(x，y)，则
因为BC= 6，所以BD=DC=3.
选项A，
因为sina的最大值为1，所以三角形面积的最大值为6，故选项A错误；
选项B，设AB=x，则x2=4+9-12cosα
则，cosα∈(-1，)
∵
当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，
则
解得，故C错误；
选项D，
则
∵x∈(-2，2)
∴
故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的面积公式结合正弦函数的值域可判断A，根据余弦定理结合基本不等式可判断B，根据向量的求模公式可判断C，根据向量的数量积可判断D
19．【答案】-4
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得：，
，即.
以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：
则，，，设，
，，，
，
，，，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】由余弦定理结合勾股定理得出，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和，，进而结合不等式的基本性质得出的最小值。
20．【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，
所以最大角为，
由余弦定理得：，又，故角为钝角，
所以，
又函数在上递增，此时，在上递增，此时，
所以三个内角的正切值最大为，
由余弦定理得：，则，
所以.
故答案为：.
【分析】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，所以最大角为，由余弦定理得出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围判断出角为钝角，所以，再利用函数在上和在上的单调性，从而得出三个内角的正切值最大值，再由余弦定理和同角三角函数基本关系式得出角B的正切值。
21．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
因为 ，所以 ，
两式相加，可得 ，可得 ，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合正弦定理进而两角差的正弦公式得出 ，在 中和在 中，由余弦定理，可得 和 ，再利用 ，所以 ，两式相加，可得 ，再利用均值不等式求最值的方法和令 ，可得 ，再结合一元二次不等式求解方法和 ，进而得出t的取值范围，进而得出 ，从而得出 的最大值。
22．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由正弦定理得
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
又∵，∴，
由可知，，
，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，
，则，即，当且仅当时取等号，
则。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形中角C的取值范围，再利用两角和的正弦公式得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值，由可知，由正弦定理得出，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出ac的最小值，再利用三角形的面积公式得出三角形 △面积的最小值。
23．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【解答】∵在四边形中，，，，
∴，
在△中，由余弦定理得，
即，
，
，当且仅当时取等号，
，，
即，。
故答案为：。
【分析】在四边形中，，，，再结合四边形内角和为360度的性质，进而得出的值，在△中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，进而利用求和法得出 的取值范围，从而得出 的最大值 。
24．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】如图，
平面 ，过 作 ，连接 ，可得 ，
即 在过 与 的垂线 上，又 ，则 在以 为圆心，以 为半径的圆弧上，且在 内部．
分析极端情况：
①当 在 上时， ， ，可得 ，设为 ，
在 △ 中， ，且 ，可得 ， ．
设 ， ，则 ， ，
则 ， ，
，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
得 ；
当 在 上时，有 ，此时 ，
在 的内部（不包含边界）， 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用 平面 ，过 作 ，连接 结合线面垂直的定义证出线线垂直，可得 ，即 在过 与 的垂线 上，再利用 ，则 在以 为圆心，以 为半径的圆弧上，且在 内部，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式、正弦定理、余弦函数的定义，进而得出实数t的取值范围。
25．【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的性质；余弦定理
【解析】【解答】设，为正数，
依题意：中，为边上的中线，，
，两边平方得，
，①，
设，代入①得，
整理得②，此方程至少有1个正根，
首先，解得③，
在三角形中，由余弦定理得恒成立，
即恒成立，整理得恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，结合③可得.
对于方程②：
若对称轴，方程②变为，符合题意.
若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，
若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.
综上所述，也即的取值范围是.
故答案为：
【分析】设，为正数，由平方可得①，设，代入①，化简可得②，由题意此方程至少有1个正根，由判别式可得③，再由余弦定理得恒成立，得到恒成立，由基本不等式得到
，结合③可得.再通过讨论；；；即可解决问题。
26．【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由，得，
由正弦定理可知，，即，
所以，
由余弦定理得，，
所以，所以，
的面积为，
所以当时，的面积取得最大值为。
故答案为：。
【分析】由，得出，由正弦定理结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180度的性质，再利用诱导公式得出，再由余弦定理得出角C的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角C的正弦值，再利用三角形的面积公式得出三角形
的面积为，再利用换元法结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出三角形的面积的最大值。
27．【答案】
【知识点】轨迹方程；余弦定理
【解析】【解答】如图，，，
，，，又因为，
外接圆半径为，，所以点的轨迹长度为。
故答案为：。
【分析】利用结合余弦定理和三角形的面积公式，从而结合同角三角函数基本关系式得出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值，再利用，从而结合正弦定理的性质，得出三角形外接圆半径，从而求出点的轨迹长度。
28．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
利用正弦定理化边为角可得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，故 .
因为 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
设 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，
由余弦定理 ，得 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的面积 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合正弦定理和三角形内角的取值范围，得出 ，由 结合二倍角的正弦公式，从而得出的值 ，再利用 ，得出 ，从而求出角A的值，再利用三角形 的外接圆面积为 ， 从而结合圆的面积公式，进而得出三角形 的外接圆半径，由正弦定理得出a的值，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 的最大值，再结合三角形面积公式得出三角形 的面积的最大值。
29．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【解答】 ，
，
，
又 ， ， ，
，
， ，
化简为： ， ，
又 ，
外接圆周长与 周长之比为： ，
，
设 ，要是 最小，则 取最大，
， ，
当 时， 取最大值 ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，再利用三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值，再利用正弦定理求出 外接圆周长与 周长之比为： ，因为 ，设 ，要是 最小，则 取最大，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式合两角和的正弦公式，再利用辅助角公式化简为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的最大值，进而求出函数f(x)的最小值，从而求出三角形 外接圆周长与 周长之比的最小值 。
30．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义；正弦定理
【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得 ,
设 边上的高为 , , , ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,可得 ,
又 ,即 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 ,
故答案为:
【分析】由正弦定理可得 ,设 边上的高为 , , , ,则 ,可解得 ,再利用三角函数定义可得 ,进而消去x，再根据基本不等式求解即可.
1 / 1压轴题04 解三角形（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·蚌埠模拟）在中，为上一点，且，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；相似三角形的性质；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】法一、相似转化边的关系
如图所示，在和中，有，
故，设，则，，所以
设则根据相似比：得
又，由余弦定理可得：
则，，故
法二、正弦定理边化角.
设，则，
在和中，有，由正弦定理有：，
两式相除得：
由三角恒等变换公式得：
由弦化切，构造齐次式得：，
即，解之得：或
在中，则，故
故答案为：D
【分析】法一、利用相似转化边的关系求解：
在和中，有，再利用两三角形相似判定定理，故，设，则，再利用两三角形相似的性质定理，所以，所以，设则根据对应边成比例得出，再利用和余弦定理可得的值，再结合余弦定理和同角三角函数基本关系式得出 的值；
法二、利用正弦定理边化角求解：
设，则，在和中，有，由正弦定理得：，由三角恒等变换公式得：，由弦化切，构造齐次式得的值，在中，进而得出角B的取值范围，再结合正切函数的定义得出的值。
2．（2023·赣州模拟）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等差数列的性质；余弦定理
【解析】【解答】由，得，
由成等差数列，得，
由余弦定理，得，
即，
整理，得，由得，
由得.
故答案为：C.
【分析】由结合三角形内角和为180度的性质，进而得出角C的值，由成等差数列结合等差中项公式和余弦定理以及得出，再由变形得出的值。
3．（2023·呼和浩特模拟）在中，D是BC边的中点，且，，，则的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
两式相加得，则，，
在中，由余弦定理得，
所以是钝角三角形，
故答案为：C
【分析】 分别在△ABD和△ACD中，利用余弦定理得到两个等式，然后两式相加，得到BC ，然后在△ABC中，由余弦定理判断可得答案.
4．（2022·南阳模拟）锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（　　）
A．2 B． C． D．1
【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】由，
得，
由余弦定理，可得，
又由正弦定理，可得，
所以，
得，又，所以，所以.
又，所以，
故答案为：C
【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理及和差角公式进行化解可求cosA，进而可求A ，然后结合正弦定理表示出a， b，c，然后求解即可得答案.
5．（2023·汕头模拟）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（　　）
A．6 B．12 C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的定义；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】对于椭圆有，
设，
则根据椭圆的定义得，
又，
解得，
.
故答案为：D.
【分析】 利用已知条件结合椭圆的标准方程得出a，b的值，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式，进而得出c的值，再利用椭圆的定义和余弦定理以及三角形的面积公式得出三角形的面积。
6．（2022·齐齐哈尔模拟）在中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为，且为钝角，的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为，
所以，即，
因为为钝角，即 是锐角，所以，，
由正弦定理知，
因为为钝角，所以，即，
所以，所以，
即的取值范围是。
故答案为：A．
【分析】利用三角形的面积公式和已知条件以及同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正切值，再利用为钝角，即 是锐角，再结合同角三角函数基本关系式，进而得出角B的正弦值和余弦值，由正弦定理和同角三角函数基本关系式知，再利用为钝角和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用诱导公式结合正切函数的图象的单调性，进而得出的取值范围。
7．（2022·成都模拟）已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，
∴由正弦定理得： ，
即 ，
，则 ，
（当且仅当 ，即 时取等号），
的最小值为 .
∵，∴，
∴的最大值为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出 ，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出角A的余弦值的最小值，再利用同角三角函数基本关系式和余弦函数的图象求最小值的方法，进而得出角A的正弦值得最大值，再结合角A的正弦值得最大值和角A的余弦值的最小值和同角三角函数基本关系式，进而得出角A的正切值的最大值。
8．（2022·南昌模拟）已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】设 ，则 ，其中 ，
因为
，
，所以
，
由余弦定理得：
，因为
，所以
，
所以
，
记
，
则
，
所以令
，解得：
；令
，解得：
；
所以
。
故答案为：D
【分析】设 ，再利用代入法得出 ，其中 ，再利用 ， 结合两点距离公式得出A，B两点的距离，再结合两点距离公式得出AP，PB，由余弦定理和m的取值范围得出 ，再结合同角三角函数基本关系式得出 ，记 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出实数m的取值范围，进而得出 的最大值 。
9．（2021高二上·靖远期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】在中，由，得，而，，由余弦定理得：，
即，解得，
所以的面积。
故答案为：D
【分析】利用已知条件，得，再利用，，由余弦定理得ac的值，再利用三角形的面积公式，进而得出三角形的面积。
10．（2021·南充模拟）在 中，设 ， ， 分别为角 ， ， 对应的边，记 的面积为 ，且 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，可得 ，
所以 在 递增， ， 递减，
所以 ，
所以 的最大值为 ，当且仅当 时，取等号。
故答案为：A
【分析】利用 结合正弦定理，可得 ，再利用余弦定理得出 ，再利用三角形的面积公式得出 ，令 ，则 ，令 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而求出 的最大值。
11．（2021·南昌模拟）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 的面积为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ，又由 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，又因为C为三角形内角，故 ，
所以三角形 的面积为 。
故答案为：B.
【分析】由 ，再利用同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式以及三角形的内角和为180度的性质，再结合诱导公式，可得 ，再利用正弦定理得出 ，又由 ，再利用余弦定理结合一元二次方程求解方法得出c的值，所以 ，又因为角C为三角形内角，再利用同角三角函数基本关系式得出角C的正弦值，再结合三角形面积公式求出三角形 的面积。
12．（2021·安徽模拟）已知四边形ABCD是圆内接四边形， ，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】△ABD中，因AB2+BD2=25=AD2，则 ， ，
而四边形ABCD是圆内接四边形，如图，
则 ， ， ，
在 中，由余弦定理 得 ，
，即 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，四边形ABCD的面积
。
故答案为：A
【分析】在△ABD中结合勾股定理，则 ， ，而四边形ABCD是圆内接四边形，则 ，再利用诱导公式得出 的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出 ，在 中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 ，当且仅当 时取“＝”，而 ，所以 时，四边形ABCD的周长取最大值，再利用三角形面积公式结合求和法，从而求出四边形ABCD的面积。
13．（2021·安徽模拟）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=csinB，则tanA的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；正弦定理
【解析】【解答】在 中，由 及正弦定理得： ，
，
即 ，
两边除以 可得 ，
，即 ，当且仅当 等号成立，
则 ，
则当 时， 取得最大值为 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，再结合三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再利用两角和的正弦公式和同角三角函数基本关系式，进而得出，再利用均值不等式求最值的方法得出，进而求出的最小值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，再利用两角和的正切公式结合的最小值，从而求出 的最大值。
14．（2020·苏州模拟）在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由余弦定理知：在 中，
有
，
在 中，
有
，
则 ，
由四边形 的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，
故
，
在三角形中，易知 ， ，
，当且仅当 时等号成立，
此时 ，
故 ，
故答案为：A.
【分析】由余弦定理知，在 中，得出 ，在 中，得出 ，则 ，由四边形 的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积，从而利用三角形的面积公式结合求和法得出 ，在三角形中，易知 ，所以 ，再利用余弦型函数的图象求最值的方法，从而求出 ，再利用 ，从而求出四边形ABCD面积的最大值 。
15．（2020·武汉模拟）已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②
由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
【分析】根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到 ，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有 ，再用基本不等式求解.
二、多选题
16．（2023·广州模拟）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（　　）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】函数的最大（小）值；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A不符合题意；
对于B，，则，
显然，因此，B符合题意；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C符合题意；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】设点，依题意结合两点距离公式得出，再利用放缩法和一元二次不等式求解方法得出点的横坐标的取值范围；再利用，则，显然，再利用两点距离公式得出的取值范围；利用三角形的面积公式和正弦函数的值域，进而得出三角形的面积的最大值，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由得出交点坐标，进而得出三角形面积的最大值；利用点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，从而结合两点距离公式得出的值，从而找出结论正确的选项。
17．（2023·合肥模拟）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为，高为．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（　　）
A．三角形面积的最大值为
B．三棱锥体积的最大值
C．四面体外接球表面积的最小值为11
D．直线SP与平面所成角的余弦值的最小值为
【答案】B,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角；三角形中的几何计算
【解析】【解答】A，由母线长为，高为，可得底面半径为，设是底面圆的一条直径，则，即是钝角，又，则存在点，当时，，三角形面积的最大值为，A不符合题意；
B，，当面时，，B符合题意；
C，设的外接圆半径为，底面圆，四面体外接球半径满足，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，又，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理，则点经过线段的中垂线时，最大，的外接圆半径最小，此时，，，即四面体外接球表面积的最小值为，C不符合题意；
D，设点到平面的距离为，直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，，此时直线SP与平面所成角的余弦值最小，最小值为，D符合题意；
故答案为：BD
【分析】由母线长为，高为，再利用勾股定理得出底面半径，设是底面圆的一条直径，再利用余弦定理和三角函数值在各象限的符号得出是钝角，再利用三角形的面积公式和正弦型函数的图象求最值的方法得出三角形面积的最大值；利用已知条件结合三角形的面积公式和几何法以及三棱锥的体积公式得出三棱锥体积的最大值；设的外接圆半径为，再利用底面圆，所以四面体外接球半径满足勾股定理，即，若外接球表面积的最小，即外接球的半径最小，再利用，即在底面圆中，的外接圆半径最小，由正弦定理和几何法以及勾股定理和球的表面积公式得出四面体外接球表面积的最小值；设点到平面的距离为，再利用正弦函数的定义得出直线SP与平面所成角的正弦值为，则当面时，得出此时直线SP与平面所成角的余弦值的最小值，进而找出结论正确的选项。
18．（2021高一下·绍兴期末）在 中， ， 分别是 ， 的中点，且 ， ，则（　　）
A． 面积最大值是12 B．
C． 不可能是5 D．
【答案】B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；正弦函数的性质；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：如图所示，以D为圆心，BC为x轴建立直角坐标系，则点A在圆x2 +y2=4(x≠土2)上，
设∠ADB=α，A(x，y)，则
因为BC= 6，所以BD=DC=3.
选项A，
因为sina的最大值为1，所以三角形面积的最大值为6，故选项A错误；
选项B，设AB=x，则x2=4+9-12cosα
则，cosα∈(-1，)
∵
当且仅当时等号成立，故B正确；
选项C，
则
解得，故C错误；
选项D，
则
∵x∈(-2，2)
∴
故D正确.
故答案为：BD
【分析】根据三角形的面积公式结合正弦函数的值域可判断A，根据余弦定理结合基本不等式可判断B，根据向量的求模公式可判断C，根据向量的数量积可判断D
三、填空题
19．（2023·广东模拟）在中，，，，是所在平面内任意一点，则的最小值是　 　.
【答案】-4
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得：，
，即.
以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系：
则，，，设，
，，，
，
，，，
即的最小值为.
故答案为：.
【分析】由余弦定理结合勾股定理得出，以为坐标原点可建立平面直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和，，进而结合不等式的基本性质得出的最小值。
20．（2023·黄浦模拟）已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为　 　.
【答案】
【知识点】正切函数的图象与性质；同角三角函数间的基本关系；余弦定理
【解析】【解答】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，
所以最大角为，
由余弦定理得：，又，故角为钝角，
所以，
又函数在上递增，此时，在上递增，此时，
所以三个内角的正切值最大为，
由余弦定理得：，则，
所以.
故答案为：.
【分析】不妨设的三边长分别为，则由大边对大角可得，所以最大角为，由余弦定理得出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围判断出角为钝角，所以，再利用函数在上和在上的单调性，从而得出三个内角的正切值最大值，再由余弦定理和同角三角函数基本关系式得出角B的正切值。
21．（2022·广西模拟）已知在中，角，，的对边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
因为 ，所以 ，
两式相加，可得 ，可得 ，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合正弦定理进而两角差的正弦公式得出 ，在 中和在 中，由余弦定理，可得 和 ，再利用 ，所以 ，两式相加，可得 ，再利用均值不等式求最值的方法和令 ，可得 ，再结合一元二次不等式求解方法和 ，进而得出t的取值范围，进而得出 ，从而得出 的最大值。
22．（2022·郑州模拟）在△中，角，，所对的边分别为，，．若，，则△面积的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由正弦定理得
∴，
∵，∴，
∴，
∴，∴，
又∵，∴，
由可知，，
，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，即，
，则，即，当且仅当时取等号，
则。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合正弦定理和三角形中角C的取值范围，再利用两角和的正弦公式得出角B的余弦值，再结合三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值，由可知，由正弦定理得出，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法得出ac的最小值，再利用三角形的面积公式得出三角形 △面积的最小值。
23．（2022·济南模拟）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中，千米．现需要在，OB，上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若，，则的最大值为　 　千米．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理
【解析】【解答】∵在四边形中，，，，
∴，
在△中，由余弦定理得，
即，
，
，当且仅当时取等号，
，，
即，。
故答案为：。
【分析】在四边形中，，，，再结合四边形内角和为360度的性质，进而得出的值，在△中，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，进而利用求和法得出 的取值范围，从而得出 的最大值 。
24．（2022·湖南模拟）如图，在 中， ， ， ，点 是边 （端点除外）上的一动点.若将 沿直线 翻折，能使点 在平面 内的射影 落在 的内部（不包含边界），且 .设 ，则t的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【解答】如图，
平面 ，过 作 ，连接 ，可得 ，
即 在过 与 的垂线 上，又 ，则 在以 为圆心，以 为半径的圆弧上，且在 内部．
分析极端情况：
①当 在 上时， ， ，可得 ，设为 ，
在 △ 中， ，且 ，可得 ， ．
设 ， ，则 ， ，
则 ， ，
，
在 中，由正弦定理可得： ，即 ，
得 ；
当 在 上时，有 ，此时 ，
在 的内部（不包含边界）， 的取值范围是 。
故答案为： 。
【分析】利用 平面 ，过 作 ，连接 结合线面垂直的定义证出线线垂直，可得 ，即 在过 与 的垂线 上，再利用 ，则 在以 为圆心，以 为半径的圆弧上，且在 内部，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式、两角和的正弦公式、正弦定理、余弦函数的定义，进而得出实数t的取值范围。
25．（2022·淮南二模）中，为边上的中线，，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量数量积的性质；余弦定理
【解析】【解答】设，为正数，
依题意：中，为边上的中线，，
，两边平方得，
，①，
设，代入①得，
整理得②，此方程至少有1个正根，
首先，解得③，
在三角形中，由余弦定理得恒成立，
即恒成立，整理得恒成立，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，结合③可得.
对于方程②：
若对称轴，方程②变为，符合题意.
若对称轴，则方程②至少有一个正根，符合题意，
若对称轴，要使方程②至少有一个正根，则需，解得.
综上所述，也即的取值范围是.
故答案为：
【分析】设，为正数，由平方可得①，设，代入①，化简可得②，由题意此方程至少有1个正根，由判别式可得③，再由余弦定理得恒成立，得到恒成立，由基本不等式得到
，结合③可得.再通过讨论；；；即可解决问题。
26．（2022高三上·怀仁期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】由，得，
由正弦定理可知，，即，
所以，
由余弦定理得，，
所以，所以，
的面积为，
所以当时，的面积取得最大值为。
故答案为：。
【分析】由，得出，由正弦定理结合两角和的正弦公式和三角形内角和为180度的性质，再利用诱导公式得出，再由余弦定理得出角C的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出角C的正弦值，再利用三角形的面积公式得出三角形
的面积为，再利用换元法结合二次函数的图象求最值的方法，进而求出三角形的面积的最大值。
27．（2022·西南名校模拟）已知中，点，点，内角的对边分别为，面积为，且，则满足条件的点的轨迹长度为　 　．
【答案】
【知识点】轨迹方程；余弦定理
【解析】【解答】如图，，，
，，，又因为，
外接圆半径为，，所以点的轨迹长度为。
故答案为：。
【分析】利用结合余弦定理和三角形的面积公式，从而结合同角三角函数基本关系式得出角C的正切值，再利用三角形中角C的取值范围，进而求出角C的值，再利用，从而结合正弦定理的性质，得出三角形外接圆半径，从而求出点的轨迹长度。
28．（2021高二上·河南期中）在 中，角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ， ， 的外接圆面积为 ，则 面积的最大值是　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】因为 ，
利用正弦定理化边为角可得 ，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，故 .
因为 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，
设 的外接圆半径为 ，则 ，解得 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，
由余弦定理 ，得 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的面积 。
故答案为： 。
【分析】利用 结合正弦定理和三角形内角的取值范围，得出 ，由 结合二倍角的正弦公式，从而得出的值 ，再利用 ，得出 ，从而求出角A的值，再利用三角形 的外接圆面积为 ， 从而结合圆的面积公式，进而得出三角形 的外接圆半径，由正弦定理得出a的值，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，得出 的最大值，再结合三角形面积公式得出三角形 的面积的最大值。
29．（2021·蚌埠模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 外接圆周长与 周长之比的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【解答】 ，
，
，
又 ， ， ，
，
， ，
化简为： ， ，
又 ，
外接圆周长与 周长之比为： ，
，
设 ，要是 最小，则 取最大，
， ，
当 时， 取最大值 ，
。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合正弦定理，再利用三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式结合两角和的正弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值，再利用正弦定理求出 外接圆周长与 周长之比为： ，因为 ，设 ，要是 最小，则 取最大，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式合两角和的正弦公式，再利用辅助角公式化简为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的最大值，进而求出函数f(x)的最小值，从而求出三角形 外接圆周长与 周长之比的最小值 。
30．（2020·秦淮模拟）在锐角三角形ABC中，已知4sin2A+sin2B＝4sin2C，则 的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角三角函数的定义；正弦定理
【解析】【解答】由题,根据正弦定理可得 ,
设 边上的高为 , , , ,则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,可得 ,
又 ,即 ,所以 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,
所以 的最小值为 ,
故答案为:
【分析】由正弦定理可得 ,设 边上的高为 , , , ,则 ,可解得 ,再利用三角函数定义可得 ,进而消去x，再根据基本不等式求解即可.
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