压轴题07 立体几何（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·绍兴模拟）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
（1）若点是的重心，证明；点在平面内；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，
因为点G是的重心，
故G一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，
所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，
即点在平面内．
（2）解：解法1：
因为⊥平面，，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，，
所以，
因为为等边三角形，点是中点，
所以，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以就是所求二面角的平面角，
因为，
所以，
故二面角的正弦值为．
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，不妨取.则，
，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为．
【知识点】三角形五心；空间点、线、面的位置；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点N，连接，MN，再利用点G是的重心，故G一定在中线上，再利用点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，
所以，且，再利用结合平行的传递性，所以，
所以四边形是平行四边形，再利用点，平面，所以点平面，从而证出点在平面内。
（2） 解法1：利用⊥平面，，所以⊥平面， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，再结合等边三角形三线合一，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以就是所求二面角的平面角，再利用勾股定理和正弦函数的定义得出二面角的正弦值；
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
2．（2023·安庆模拟）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.
（1）求证：平面；
（2）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图①，在梯形中，作于点.
因为， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，，
在中，，，，所以，，
在四棱锥中，由，， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
平面；
（2）解：如图②，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，所以，
因为，所以，所以，
， ，
由，，可知，又由于（1）平面，
故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图③所示：
则，，，由，可得，
所以，.
设平面的一个法向量为，则，令 得，， ，
显然平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；
综上，平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 在梯形中，作于点，利用， °，，所以四边形是正方形，且，，再利用作差法得出EC的长，再结合勾股定理得出BC的长，在中，，，结合勾股定理得出，在四棱锥中，由，结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接交于点，连接，利用平面结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合两三角形相似的判定定理，所以，再结合两三角形相似的性质定理，所以，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，由，结合勾股定理，可知，由于（1）知平面，故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成二面角的余弦值。
3．（2023·赣州模拟）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
（1）证明：；
（2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）解：由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接，利用，为的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合和线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由为等边三角形，，得，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用为的中点结合向量共线定理得出向量 的坐标，再结合和向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
4．（2023·长安模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为平面，平面ABCD，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：过A作的垂线交于点M，
因为平面，平面，
所以，
以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系如图，
则，
因为E为的中点，所以，
因为F在上，设，则，
故，
因为，所以，
即，即，
即，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，故；
，设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用 平面结合线面垂直的定义得出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 过A作的垂线交于点M，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，再结合中点的性质得出点的坐标，再利用点F在上，再结合向量共线的坐标表示和向量的坐标表示得出，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出点F的坐标，再结合向量的坐标表示和平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐角，进而得出二面角的余弦值。
5．（2023·红河模拟）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．
（1）求证：CD⊥平面ADF；
（2）若，，求平面和平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为AF⊥平面，且平面，所以CD⊥AF，AD⊥AF．
因为AF∥CE，所以CE⊥平面，平面，所以CE⊥CD．
所以在和中，由勾股定理得
，．
又因为，所以，即CD⊥AD．
由，平面，所以CD⊥平面．
（2）解：由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面，故以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角标系．
则，，，，，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得．
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得．
则．
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用AF⊥平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以CD⊥AF，AD⊥AF，再利用AF∥CE，所以CE⊥平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以CE⊥CD，所以在和中，由勾股定理得出CD⊥AD，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面。
（2） 由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面，故以点A为坐标原点，建立空间直角标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面和平面的夹角的余弦值。
6．（2023·合肥模拟）如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求多面体的体积．
【答案】（1）证明：方法一：
∵，，∴．
∴，即点N为线段的中点．
过点N作于点E，则，且，
∴，且，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴．又∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．
方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，．
∵，，∴点N为的中点，则，
∴，
∴与，共面，且平面ABCD，
∴平面ABCD．
（2）解：方法一：
设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则
．
方法二：∵，，，，则，
∴，且，
∴四边形PQDM为平行四边形，且，．
∵，，
∴，∴，
∴．
设为平面DMPQ的法向量，则
令，则，，即，
∴点到平面的距离为，
∴四棱B-DMPQ的体积为．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 方法一：利用，，再利用两三角形全等的判断方法，所以，再利用两三角形全等的性质，所以，即点N为线段的中点，过点N作于点E，再结合中位线的性质，则，且，所以，且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面ABCD。
方法二：利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用中点的性质和平面向量基本定理，所以与，共面，且平面ABCD，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面ABCD。
（2） 方法一：设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，再利用多面体的体积与三棱锥的体积的关系式和三棱锥的体积公式，进而得出多面体的体积。
方法二：利用已知条件得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线定理得出，且，所以四边形PQDM为平行四边形，且，，再结合，和数量积求向量夹角公式和体积三角函数基本关系式以及平行四边形的面积公式得出平行四边形的面积的值，再利用平面的法向量求解方法得出平面DMPQ的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，再利用棱锥的体积公式得出多面体的体积。
7．（2023·浙江模拟）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，∵为中点，为中点，
∴，又面，面，
∴面，
在中，，，，
∴，即，
在中，，，∴，，
在中，，，，，
∴，，∴，
∵F为AB中点，∴，，
∴，又∵面，面，
∴面，又∵，CF，面，
∴平面平面；
（2）解法一：延长与交于，连，则面面，
在中，，，，所以，
又，，，面，
∴面，面，
∴面面，
在面内过作，则面，
∵面，∴，
过作，连，∵，面，面，
∴面，面，
∴，
∴即为面与面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，又，
∴，， ，
∴.
解法二：在中，，，，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
又∵，，
∴，
以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，，，
，令，则，∴，
设平面的法向量，，
令，则，，
∴，
所以，
∴平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 连接，利用为中点，为中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面，在中，，，结合余弦定理得出OC的长，在中，，，所以，，在中，，，结合正弦定理得出的值，所以，，进而得出的值，再利用F为AB中点，进而得出CF的长和的值，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面，再利用线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2） 解法一：延长与交于，连接，则面面，在中，，，，再结合勾股定理，所以，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以面，再利用线面垂直证出面面垂直，所以面面，在面内过作结合线线垂直证出线面垂直，则面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，过作，连接，再利用线线垂直证出线面垂直，所以面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以即为面与面所成二面角的平面角，再利用已知条件结合勾股定理和余弦函数的定义得出平面与平面所成夹角的余弦值。
解法二：在中，，，结合勾股定理，所以，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直证出面面垂直，所以平面平面，再利用，，所以，以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
8．（2022·凉山模拟）如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
【答案】（1）证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，
∴且，
又在直三棱柱中，E是的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，
∴，
又平面，，
∴平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面
（2）解：在中，，
，
以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
，
设平面的法向量为，则，
易得平面的法向量为，
，
.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连结， 先证，再由及证得 平面，平面，，即可证 平面平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设出，表示出平面和平面的法向量，由二面角的余弦值解出即可.
9．（2022·天津市模拟）如图，在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．
【答案】（1）证明：令中点为，连接，
点分别是，的中点， ，，
四边形为平行四边形.
，平面， 平面，
平面
（2）证明：在梯形中，过点作于，
在中，，
.
又在中，，
，
，
.
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面
（3）解：作于，作于，连结，
由于，
平面，
，
，
平面，
，
就是二面角的平面角
平面平面，且二面角为，
，，
设，
又，，则，，
故，
，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 令中点为，连接，，再利用点分别是，的中点，结合中点作中位线方法和中位线的性质，所以，所以，所以四边形为平行四边形.，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在梯形中，过点作于，在中，，得出的值，在中，，得出，的值，再结合三角形内角和为180度的性质得出的值，从而推出，再利用平面平面结合，再利用线面垂直的性质定理证出线线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（3） 作于，作于，连结，由于，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，进而得出就是二面角的平面角，再利用平面平面，且二面角为，得出的值，所以，设，再利用结合两三角形相似对应边成比例得出，则，，进而得出x的值， 从而得出的值，进而得出实数的值。
10．（2022·朝阳模拟）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系
由题得，
由题得，
设平面的法向量为，
所以.
所以，
因为平面，所以∥平面.
（2）证明：由题得，
所以，所以平面，
由题得，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系 求出平面的法向量，利用向量法可证得 ∥平面；
(2)利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值．
11．（2022·长兴模拟）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
（1）若时，求证：平面平面；
（2）若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明：因，，，则有，即有，
又，且，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面.
（2）解：在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，
则为二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，则，在中，，，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面，在平面内过B作，则平面，
以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量，则，令，得
而，设与平面所成的角为，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先由勾股定理计算出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)结合已知条件由线线垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由余弦定理代入数字计算出角的大小，结合线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABCD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABCD的法向量的坐标，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 与平面所成的角的正弦值。
12．（2022·德州模拟）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.
（1）若，求证：；
（2）若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，
∴，
由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，
又，BD，平面BDG，
∴平面BDG，因为平面BDG，
∴
已知，又，AC，平面ACE，
∴平面ACE，
因为平面BDG，∴
∵平面平面CFGD
平面平面，平面平面，
∴，则
（2）解：已知，，可求，
由，则
在直四棱柱中，底面ABCD，
所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则
在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则
设平面BCE的法向量为，
则
取，得，，得，
由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为
则，
所以锐二面角的余弦值为
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质以及菱形的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合等体积复数计算出边的大小，再由三角形中的几何计算关系代入计算出线线垂直，结合线面角的定义计算出边的大小，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BCE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCE的法向量的坐标，同理即可求出平面ACE的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值.
13．（2022·湖南模拟）如图，多面体 的底面 是平行四边形， 底面 ，平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求该多面体的体积．
【答案】（1）证明：因为底面 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以CD//平面 ．
因为平面 平面 ，所以 ，
所以 ．
（2）解：以A为坐标原点， 为y轴， 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ，根据对称性，不妨设 ，
，
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 即
不妨取x=1，则 ．
又因为 ，
与平面 夹角的正弦值等于上述向量 与 夹角的余弦值的绝对值，
所以 ，解得 或2或 ，经检验， 符合题意.
此时底面 是正方形，多面体的体积 ．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用底面 是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，所以CD//平面 ，再利用线面平行的性质证出线线平行，从而证出 ，再利用平行的传递性证出。
（2） 以A为坐标原点， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系 ， 设 ，则 ，根据对称性，不妨设 ， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线 与平面 所成的角，再结合直线 与平面 所成的角为 ，进而得出a，b的值，再结合此时底面 是正方形，从而利用三棱锥的体积公式和求和法，进而得出该多面体的体积。
14．（2022·许昌模拟）如图，D为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点．
（1）若平面，求；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
【答案】（1）解：，所以，解得，
由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，AE是圆的直径，
所以AE垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，则，
由于平面，所以，
由于，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
所以.
（2）解：由（1）得，设，，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线EP与平面PBC所成角为，
则，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，
即当时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 结合勾股定理得出DO的长，进而得出的长，由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，AE是圆的直径，所以AE垂直平分，进而得出的长，在三角形中，由正弦定理得出的长，由于平面结合线面垂直的定义证出线性垂直，所以，再利用勾股定理得出，所以三角形是等腰直角三角形，再结合等腰三角形的结构特征和勾股定理，进而得出PO的长。
（2） 由（1）得，设，再结合勾股定理得出OF的长，再利用圆锥的几何性质，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设， 再结合向量的坐标表示得出向量的坐标， 设直线EP与平面PBC所成角为， 再利用数量积求向量夹角公式得出 ， 再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，从而得出当时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大 。
15．（2022·河南模拟）如图，四边形为菱形，，，平面平面，，，，点在线段上（不包含端点）．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图，连接，
因为四边形为菱形，所以．
因为，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面．
又平面，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：连接，交于点，取的中点，连接．
在中，，分别是，的中点，所以．
由（1）知平面，又，平面，所以，，
又，所以，．
以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，所以，，
所以平面的一个法向量是．
设，则，
解得，，，
即，所以．
设，
所以．
设平面的一个法向量为，
则
令，解得，，所以．
所以，
解得或（舍）．
所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，再利用四边形为菱形，所以，再结合，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
(2) 连接，交于点，取的中点，连接，在中，，分别是，的中点，再结合中点作中位线的方法合中位线的性质，所以，由（1）知平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用，所以，，以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值，再结合二面角的余弦值为，进而求出的值。
16．（2022·湖北二模）如图在斜三棱柱中，，侧面底面，点M，N分别为的中点，点D为线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接交于G，连接．
因为M，N分别为的中点，所以点G为的重心，
所以，又，所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：在平面内作于点O．
因为，所以，
则点O为中点，所以．
因为侧面底面，而侧面底面，
侧面，所以底面，
所以两两垂直．
以O为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
因为M，N分别为的中点，所以．
设为平面的一个法向量，，
则即取得．
又为平面的一个法向量，所以，
所以，
故二面角的正弦值．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接交于G，连接，利用M，N分别为的中点，所以点G为的重心，再利用重心的性质，所以，再利用，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在平面内作于点O，利用，再结合余弦函数的定义得出AO的长，则点O为中点，所以，再利用侧面底面结合和面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以底面，所以两两垂直，以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
17．（2022·云南模拟）如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，，的中点，，G为线段上一动点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值的最大值.
【答案】（1）证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，
所以 ，
而，平面 ，
所以平面，
所以平面，平面，所以 ，
故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
故 ， G为线段上一动点.，
设，则，故 ，
所以 ，
故，
所以，即；
（2）解：由（1）可知： ，
设平面的法向量为 ，则 ，
即，令 ，则 ，则，
设平面的法向量为 ，则 ，
即，则 ，令 ，则 ，则，
故设二面角的平面角为 ，结合图形，为锐角，
故 ，
令 ，，
而函数在时单调递增，故时，取最小值，
即当 ，即 时，取得最大值为 .
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，侧面为正方形，所以 ，而 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合向量共线的坐标表示得出点G的坐标，再利用数量积的坐标表示得出 ， 再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出 ，从而证出 。
（2）利用（1）的结论和向量的坐标表示得出向量的坐标，设二面角的平面角为 结合图形得出为锐角，再利用数量积求向量夹角公式得出 ， 再结合二次函数的图象判断出其单调性，进而得出二次函数的最值，从而得出 的最大值，进而得出二面角的余弦值的最大值。
18．（2022·云南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：平面BDF；
（2）若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接AC，设，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴．
又∵平面BDF，平面BDF，
∴平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，
∴，．
∵ABCD是平行四边形，，，
∴
．
∵，，
∴，．
∵，平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
∴是平面的一个法向量．
分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，．
∴，，．
设平面BFP的一个法向量为，则．
取，得，．
∴是平面BFP的一个法向量．
∴．
设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为，则的取值范围为，
∴．
∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接AC，设，连接FM，再利用四边形ABCD是平行四边形，所以M是AC的中点，再利用F是PC的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，进而证出直线平面BDF。
（2） 设AD的中点为E，连接BE，PE，再利用E为AD的中点，结合等腰三角形三线合一得出，再利用勾股定理得出PE的长，再结合四边形ABCD是平行四边形，，，再利用余弦定理得出BE的长，再结合勾股定理得出，，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面PAD，所以是平面的一个法向量，分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面BFP与平面PAD所成二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式和二面角的平面角的取值范围，进而得出平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值。
19．（2022·泰安二模）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点，．
（1）求证：平面DMN⊥平面PAD；
（2）当取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为．
【答案】（1）证明：∵底面ABCD为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°
∴△DBC为正三角形
∵M为BC中点
∴DM⊥BC
又BC∥AD
∴DM⊥AD
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD
∴DM⊥PD
又，PD，平面PAD
∴DM⊥平面PAD
又平面DMN，∴平面DMN⊥平面PAD
（2）解：由（1）知，DA，DM，DP两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
设AD＝2a，，则，，，，，．
∴，
∵，∴
∴，
设为平面DNM的一个法向量
则，∴
取，则，∴
连接AC，，AC⊥平面DNB，
∴为平面DNB一个法向量．
∴，解得
∴当时，二面角B－DN－M的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）利用底面ABCD为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°，所以三角形△DBC为正三角形，再利用M为BC中点结合等边三角形三线合一，所以DM⊥BC，再利用BC∥AD，所以DM⊥AD，再结合PD⊥平面ABCD和线面垂直的定义证出线线垂直，所以DM⊥PD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以DM⊥平面PAD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面DMN⊥平面PAD。
（2）由（1）知，DA，DM，DP两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系D－xyz，设AD＝2a，再利用正弦函数的定义得出，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角B－DN－M的余弦值，再结合二面角B－DN－M的余弦值为，进而得出实数的值。
20．（2022·潍坊二模）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点．
（1）若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；
（2）若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值．
【答案】（1）解：直线平面PBC，
证明：当时，M是PB的中点，又因为N是PC的中点，
所以，又平面ABC，且平面ABC，
所以平面ABC，又平面AMN，且平面平面，
所以，又因为平面PBC，平面PBC，所以直线平面PBC．
（2）解：因为AC是圆O的直径，所以，
由勾股定理得，因为PA⊥平面ABC，平面ABC，
所以，又，，
所以BC⊥平面PBA，而平面PBA，故，
故∠PBA就是二面角的平面角，所以，
所以△PAB为等腰直角三角形，且，
以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为，
则，所以
令，则，得，
设，
所以点M到平面PAC的距，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用已知条件判断出直线平面PBC。证明如下：当时，M是PB的中点，再利用N是PC的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面ABC，再结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面PBC。
（2）利用 AC是圆O的直径，所以，由勾股定理得结合PA⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以BC⊥平面PBA，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故，故∠PBA就是二面角的平面角，进而得出，所以△PAB为等腰直角三角形，且，以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积求点到平面的距离的方法，进而结合已知条件得出实数的值。
21．（2022·枣庄一模）已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面．
（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；
（2）求与该截面所在平面所成角的正弦值．
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）
【答案】（1）解：设分别是棱的中点，顺次连接，则四边形即为所求的截面.
理由如下：因为点分别是棱的中点，故，又，所以，而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形.
因为点分别是棱的中点，故，又平面，平面，所以平面.
因为，所以，又不共线，所以，
又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：易知与该截面所在平面所成角的正弦值，即与平面所成角的正弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
故，设平面的一个法向量为，则，令，可得，
又，所以，故与平面所成角的正弦值为，
即与该截面所在平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 设分别是棱的中点，顺次连接，则四边形即为所求的截面。理由如下：利用点分别是棱的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，故，再利用结合平行的传递性，所以，而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形，再利用点分别是棱的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，故，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再利用三角形法则和向量相等的判断方法，所以，再利用不共线，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再结合线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2） 利用已知条件，易知与该截面所在平面所成角的正弦值，即与平面所成角的正弦值，从而建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与该截面所在平面所成角的正弦值。
22．（2022·汕头模拟）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．
（1）求t的值；
（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．
【答案】（1）解：易知面，，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
易知面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，
令，则，
可得，
解得或3，又点E在弦AD上，故.
（2）解：P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：
取靠近的三等分点即中点，中点，连接，
由为中点，易知，又面，面，
所以平面BEC，
又，面，面，所以平面BEC，
又，所以面平面BEC，
即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，
又面，故P的轨迹即为所在直线，
即过靠近的三等分点及中点的直线.
【知识点】轨迹方程；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用已知条件得出面，，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的纵坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的大小，再结合和向量共线的坐标表示，进而得出满足要求的实数t的值。
（2）利用已知条件得出点P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线。取靠近的三等分点即中点，中点，连接，由为中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，易知，再利用线线平行证出线面平行，所以平面BEC，再利用结合线线平行证出线面平行，所以平面BEC，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面BEC，即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，进而得出点P的轨迹即为所在直线，从而证出点P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线。
23．（2022·河南模拟）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：如图所示，设AC与BD的交点为O．
因为四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，
所以．
在中，，
即．又因为，所以，．
同理可得，．
因为，所以．
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．
所以平面PBD，
又因为平面PBD，
所以．
（2）解：取OB，AB的中点E，F，连接PE，EF．
由（1）知平面PBD，又平面PBD，所以，所以．
因为，所以，
平面平面ABD，平面平面，平面PBD，
所以平面ADB，
．
又因为E，F为OB，AB的中点，所以．
以E为坐标原点，EF，EB，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，，，，，
所以，，．
设平面PBC的一个法向量为，
则，取，所以．
设直线CA与平面PBC所成的角为θ，
则．
所以直线CA与平面PBC所成角的正弦值是．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；用空间向量研究直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】(1)首项由等腰梯形的几何性质结合已知条件计算出变的大小，结合三角形中的几何计算关系计算出，并代入到余弦定理依次计算出边的大小，结合勾股定理计算出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。
(2)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，然后由面面垂直以及线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PBC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PBC的法向量的坐标，结合线面角与向量夹角之间的关系，利用空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线CA与平面PBC所成角的正弦值。
24．（2022·河南模拟）如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心．
（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若四面体是正四面体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1，取的中点，的中点，连接，，，
根据棱柱的性质可得，，，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以平面．
因为与相交，
所以与相交．
（Ⅱ）连接，因为四面体是正四面体，是的中心，所以平面，
又平面，所以．
所以以为坐标原点，，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，如图2所示.
易得，，，，，，．
所以，，，
所以，，故是平面的法向量．
又是平面的法向量，且，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，的中点，连接，，，根据棱柱的性质可得，，，再利用平行的传递性，所以，所以四边形是平行四边形，再利用与相交，所以证出与相交。
（2）连接，利用四面体是正四面体，是的中心，所以平面，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以以为坐标原点，，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值 。
25．（2022·安阳模拟）如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明：在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，
而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.
（2）解：依题意不妨设，，则，又，则，．
在中，，所，则，．
由（1）得，，因，即，则．
设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为.
设直线BF与平面ACD所成角为，所以．
因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 在四面体ABCD中，，E为BD的中点，再利用等腰三角形三线合一，则，再利用线线垂直证出线面垂直，得出平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 依题意，不妨设，，进而得出的长，再利用，进而得出的长，从而得出的长，在中，结合余弦定理得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用三角形的面积公式得出的值，由（1）得结合三棱锥的体积公式得出的值，再利用勾股定理得出的值，再利用三角形的面积公式得出的值，设点B到平面ACD的距离为h，再利用三棱锥的体积公式得出h的值，进而结合点到平面的距离公式得出点B到平面ACD的距离，再利用正弦函数的定义求出直线BF与平面ACD所成角的正弦值为，再利用勾股定理得出的值，故当时，最短，进而得出此时的长，从而结合正弦函数的定义得出正弦值的最大值。
26．（2022·长安模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，F为AB的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
∵为等边三角形，
中点为，∴，又∵底面是菱形，
∴，又，∴平面，
又平面，∴.
（2）解：∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面，
即，再由（1）知，两两垂直，
建立如图所示的直角坐标系，
由题意，得，
则，
，
设平面的法向量为，则，
得，设直线与平面所成角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明，，从而可证得平面，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，求解平面的法向量，利用空间向量夹角的计算公式代入计算.
27．（2022·达州模拟）在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，.
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：取AM的中点N，连接DN，BN，
∵是等边三角形，
∴AM⊥DN，又，
∴AM⊥平面BDN，又平面BDN，
∴AM⊥BN，又N为AM的中点，
∴；
（2）解：∵，，是等边三角形，
∴，，
∴，又，
∴平面ADM，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面BMC的法向量为，则
，令，则，
∴，
设平面DMC的法向量为，则
，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AM的中点N，连接DN，BN，可得AM⊥DN ，进一步可证A M⊥平面BDN ，从而得到 AM⊥BN ，即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面法向量，代入夹角公式即可求解。
28．（2022·深州模拟）如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点在上底面上，连接，.
（1）证明：；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：因为半圆柱的轴截面为矩形，
所以 平面，
所以 ，
又因为是上底面圆的直径，
所以，
所以，
所以 且 ，
所以平面，
又 平面，
所以.
（2）解：过点作垂直于底面于点，以 点为坐标原点，以所在方向为轴，以所在方向为轴，以所在方向为轴，建立直角坐标系，
则，
同时，
所以 ，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，即
令，
得 ，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用半圆柱的轴截面为矩形，所以 平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用是上底面圆的直径，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 过点作垂直于底面于点，以 点为坐标原点，以所在方向为轴，以所在方向为轴，以所在方向为轴，建立空间直角坐标系， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值。
29．（2022·石家庄模拟）如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.
（1）证明：；
（2）若.当直线PB与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：取AB的中点E，连接，
∵∴，
∵四边形为矩形，∴，
∵为中点，∥，∴，
又∵，∴平面，
∴；
（2）解：如图，以F为坐标原点，以过F与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，h为P到平面ABCD的距离，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，∴，
又∵，∴(*)，
设直线与平面所成的角为，
，
解得，或，
当a＝0时，平面PCD法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，∴(舍)，∴，代入(*)可得，
∴
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点E，连接，再利用结合等腰三角形三线合一得出，再结合四边形为矩形，所以，再利用为中点，∥，所以，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 以F为坐标原点，以过F与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系， 设，h为P到平面ABCD的距离， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成的角的正弦值，再结合已知条件直线PB与平面所成的角为，进而得出a的值，再利用二面角的平面角为锐角得出满足要求的a的值，再结合得出h的值，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积。
30．（2022·滁州模拟）如图，多面体中，四边形是边长为4的菱形，，平面平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接．
因为是等腰三角形，所以，．
因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）解：连接交于，取中点，连接，
所以．
因为平面，所以平面，因为平面，
所以，，又因为四边形是菱形，
所以，所以两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
又平面的法向量为．
设二面角的大小为，则，．
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线结合中点以及三角形的几何的性质，即可得出线线垂直再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，结合平行的传递性即可得出线线平行从而得出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式即可得出 平面 与平面 所成锐二面角的正弦值。
31．（2022·九江模拟）在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点，，∠ABC=60°.
（1）证明：平面；
（2）求二面角D-AE-B的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接CF、、DF，
则且，且，
故四边形和四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，平面，
又，所以平面平面，
由平面，得平面；
（2）解：由(1)知平面，又，则平面，
因为平面，所以，
在直三棱柱中，，又，
得平面，由平面，
得，又D为BC的中点，则，
以D为原点，以DB、DA、DF分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，
设BC=2，则，
有，
设平面AEB、平面AED的一个法向量分别为、，
则，，
令，得，
故，
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 如图，取的中点F，连接CF、、DF，易判断四边形和四边形为平行四边形 ，进而可证 平面平面，即可解决问题。
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
32．（2022·连云模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
【答案】（1）证明：因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，
又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
（2）解：在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz，
则，
设，则，，
设平面AEG的法向量为，
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则，即，令，则，
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为，
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 AEBC， 再结合 平面ABC平面BCD ，即可证 AE平面BCD，再结合 BDCD， 即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系， 设 ，求得两平面的法向量，由向量夹角公式得到 ，即可求解。
33．（2022·湖北模拟）在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分别是线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接，交于点.
因为四边形是菱形，所以.
因为四棱柱是直四棱柱，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以；
（2）解：由（1）知，以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.
因为，所以，因为底面四边形为菱形，且，
所以，，又因为、分别是线段、的中点，
所以，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，则.
令，得.
易知为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，再结合 平面，可得 . 即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
34．（2022·广东模拟）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
（1）证明：平面DEF；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以且，
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ，
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE，
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
（2）解：由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设，，则，
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大，
下面求二面角的余弦值：
法一：
由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.
又因为，，所以平面BEF.
因为平面BEF，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则.
故，
所以二面角的余弦值为.
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.
设平面BDF的法向量为，由，，
得，即，即，
取，得.
设二面角的平面角为θ，
则，
由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图 连接AE ，易知，再结合，即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，代入夹角公式即可求解。
35．（2022·朝阳模拟）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，又，
∴平面；
（2）解：（i）由，可知为的平面角，
又平面平面，
∴，即，又，
∴平面，
如图建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，
又平面的一个法向量可取，
∴，
∴二面角的余弦值为；
（ii）由题设，又，
∴，
∴，又，
∴，又平面的一个法向量为，
由，可得，又，
∴，
∴直线与平面相交.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由已知条件易得，进而得证；
（2）结合（1）先证得 平面， 如图建立空间直角坐标系求出对应平面的法向量，及直线BN的方向向量，即可求解。
36．（2022·柳州模拟）已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：取三等分点，则，且，故且，
又，，即且，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，故平面.
（2）解：法一：由平面即平面，且，平面，
所以平面，则为所求二面角的平面角，
在等腰△中，，则，
又，，由，即，
所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.
法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，若，可得，
，若，可得，
所以，即二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取 取三等分点 ，易得，进一步可说明 四边形为平行四边形 ，从而解决问题；
（2）如图，建立空间直角坐标系，求出对应两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
1 / 1压轴题07 立体几何（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·绍兴模拟）如图，在多面体中，，平面，为等边三角形，，，，点是的中点．
（1）若点是的重心，证明；点在平面内；
（2）求二面角的正弦值．
2．（2023·安庆模拟）如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，侧面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，.
（1）求证：平面；
（2）若是棱上的一点，且平面.求平面与平面所成二面角的余弦值.
3．（2023·赣州模拟）如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且．
（1）证明：；
（2）若为等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2023·长安模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，，，E为的中点，F在上，满足.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
5．（2023·红河模拟）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，，，AF⊥平面ABCD，．
（1）求证：CD⊥平面ADF；
（2）若，，求平面和平面的夹角的余弦值．
6．（2023·合肥模拟）如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱，上的点，且，PQ交于点N．
（1）求证：平面ABCD；
（2）求多面体的体积．
7．（2023·浙江模拟）如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.
8．（2022·凉山模拟）如图，在直三棱柱中，，，E为线段的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的长.
9．（2022·天津市模拟）如图，在四棱锥中，侧面底面，，为中点，底面是直角梯形，，，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为．
10．（2022·朝阳模拟）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，E，F分别是的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）设H在棱上，且，N为的中点，求证：平面；并求直线与平面所成角的正弦值．
11．（2022·长兴模拟）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
（1）若时，求证：平面平面；
（2）若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
12．（2022·德州模拟）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何体如图所示.
（1）若，求证：；
（2）若，，三棱锥GACD的体积为，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角的余弦值.
13．（2022·湖南模拟）如图，多面体 的底面 是平行四边形， 底面 ，平面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求该多面体的体积．
14．（2022·许昌模拟）如图，D为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点．
（1）若平面，求；
（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？
15．（2022·河南模拟）如图，四边形为菱形，，，平面平面，，，，点在线段上（不包含端点）．
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．
16．（2022·湖北二模）如图在斜三棱柱中，，侧面底面，点M，N分别为的中点，点D为线段上一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
17．（2022·云南模拟）如图，已知直三棱柱中，侧面为正方形，，D，E，F分别为，，的中点，，G为线段上一动点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值的最大值.
18．（2022·云南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）证明：平面BDF；
（2）若，，，，求平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值．
19．（2022·泰安二模）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M为BC中点，．
（1）求证：平面DMN⊥平面PAD；
（2）当取何值时，二面角B－DN－M的余弦值为．
20．（2022·潍坊二模）如图，线段AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，，PA⊥底面ABC，M是PB上的动点，且，N是PC的中点．
（1）若时，记平面AMN与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PBC的位置关系，并加以证明；
（2）若平面PBC与平面ABC所成的角为，点M到平面PAC的距离是，求的值．
21．（2022·枣庄一模）已知正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过点作出正方体的截面，使得该截面平行于平面．
（1）作出该截面与正方体表面的交线，并说明理由；
（2）求与该截面所在平面所成角的正弦值．
（截面：用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形．）
22．（2022·汕头模拟）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD中点．是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角的大小为30°，且．
（1）求t的值；
（2）对于平面ACD内的动点P总有平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得平面BEC的理由．
23．（2022·河南模拟）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线CA与平面PBC所成角的正弦值．
24．（2022·河南模拟）如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心．
（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若四面体是正四面体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
25．（2022·安阳模拟）如图，在四面体ABCD中，，，E为BD的中点，F为AC上一点.
（1）求证：平面平面BDF；
（2）若，，，求直线BF与平面ACD所成角的正弦值的最大值.
26．（2022·长安模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，F为AB的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
27．（2022·达州模拟）在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，.
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的正弦值.
28．（2022·深州模拟）如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点在上底面上，连接，.
（1）证明：；
（2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.
29．（2022·石家庄模拟）如图，平行六面体的底面是矩形，P为棱上一点.且，F为的中点.
（1）证明：；
（2）若.当直线PB与平面所成的角为，且二面角的平面角为锐角时.求三棱锥的体积.
30．（2022·滁州模拟）如图，多面体中，四边形是边长为4的菱形，，平面平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
31．（2022·九江模拟）在直三棱柱中，，D，E分别为BC，的中点，，∠ABC=60°.
（1）证明：平面；
（2）求二面角D-AE-B的余弦值.
32．（2022·连云模拟）如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
33．（2022·湖北模拟）在直四棱柱中，底面是菱形，，，、分别是线段、的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
34．（2022·广东模拟）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.
（1）证明：平面DEF；
（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
35．（2022·朝阳模拟）如图1，在四边形中，，，，，，分别是，上的点，，，，.将沿折起到的位置，得到五棱锥，如图2.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）对线段上任意一点，求证：直线与平面相交.
36．（2022·柳州模拟）已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：取A中点N，连接，MN，如图所示，
因为点G是的重心，
故G一定在中线上，
因为点是的中点，点是的中点，
所以是梯形的中位线，
所以，且，
又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
因为点，平面，
所以点平面，
即点在平面内．
（2）解：解法1：
因为⊥平面，，
所以⊥平面，
又因为平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，
所以四边形是矩形，，
所以，
因为为等边三角形，点是中点，
所以，
所以，
又因为平面，平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
所以就是所求二面角的平面角，
因为，
所以，
故二面角的正弦值为．
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面与平面的法向量分别为，
则，不妨取.则，
，不妨取，
所以，
故二面角的正弦值为．
【知识点】三角形五心；空间点、线、面的位置；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 取中点N，连接，MN，再利用点G是的重心，故G一定在中线上，再利用点是的中点，点是的中点，所以是梯形的中位线，
所以，且，再利用结合平行的传递性，所以，
所以四边形是平行四边形，再利用点，平面，所以点平面，从而证出点在平面内。
（2） 解法1：利用⊥平面，，所以⊥平面， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，，所以，再结合等边三角形三线合一，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以就是所求二面角的平面角，再利用勾股定理和正弦函数的定义得出二面角的正弦值；
解法2：以为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面与平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式和同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
2．【答案】（1）证明：如图①，在梯形中，作于点.
因为， °，，所以四边形是正方形，且，，所以，，
在中，，，，所以，，
在四棱锥中，由，， 平面ABCD， 平面ABCD， ，
平面；
（2）解：如图②，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，所以，
因为，所以，所以，
， ，
由，，可知，又由于（1）平面，
故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图③所示：
则，，，由，可得，
所以，.
设平面的一个法向量为，则，令 得，， ，
显然平面的一个法向量为，设平面与平面所成二面角大小为，则，
故平面与平面所成二面角的余弦值为；
综上，平面与平面所成二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 在梯形中，作于点，利用， °，，所以四边形是正方形，且，，再利用作差法得出EC的长，再结合勾股定理得出BC的长，在中，，，结合勾股定理得出，在四棱锥中，由，结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 连接交于点，连接，利用平面结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用结合两三角形相似的判定定理，所以，再结合两三角形相似的性质定理，所以，再利用 结合两直线平行对应边成比例，所以 ，由，结合勾股定理，可知，由于（1）知平面，故、、两两垂直，故可以点为原点，以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成二面角的余弦值。
3．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，为的中点，∴，
又平面平面，平面平面，平面，故平面，
∵平面，∴，
又∵，且，，平面，∴平面，
又平面，∴．
（2）解：由为等边三角形，，得，
如图，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，得，取，得，则，
因为为的中点，所以 ，
又，所以，
则，
设直线与平面所成角为，则，
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 连接，利用，为的中点结合等腰三角形三线合一，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，故平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再结合和线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 由为等边三角形，，得，过作的平行线轴，结合（1）知轴，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量，再利用为的中点结合向量共线定理得出向量 的坐标，再结合和向量的坐标运算得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与平面所成角的正弦值。
4．【答案】（1）证明：因为平面，平面ABCD，所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：过A作的垂线交于点M，
因为平面，平面，
所以，
以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系如图，
则，
因为E为的中点，所以，
因为F在上，设，则，
故，
因为，所以，
即，即，
即，
所以，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，故；
，设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，故，
故，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用 平面结合线面垂直的定义得出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，从而证出平面。
（2） 过A作的垂线交于点M，利用平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，以A为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，再结合中点的性质得出点的坐标，再利用点F在上，再结合向量共线的坐标表示和向量的坐标表示得出，再利用结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出点F的坐标，再结合向量的坐标表示和平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角为锐角，进而得出二面角的余弦值。
5．【答案】（1）证明：因为AF⊥平面，且平面，所以CD⊥AF，AD⊥AF．
因为AF∥CE，所以CE⊥平面，平面，所以CE⊥CD．
所以在和中，由勾股定理得
，．
又因为，所以，即CD⊥AD．
由，平面，所以CD⊥平面．
（2）解：由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面，故以点A为坐标原点，建立如图所示空间直角标系．
则，，，，，，．
设平面的一个法向量为，
由，得，令，得．
设平面的一个法向量为，则
由，得，令，得．
则．
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用AF⊥平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以CD⊥AF，AD⊥AF，再利用AF∥CE，所以CE⊥平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以CE⊥CD，所以在和中，由勾股定理得出CD⊥AD，再结合线线垂直证出线面垂直，从而证出CD⊥平面。
（2） 由（1）得CD⊥AD，当时，点D在线段AC的垂直平分线上，D到直线AC的距离为1，由，AF⊥平面，故以点A为坐标原点，建立空间直角标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面和平面的夹角的余弦值。
6．【答案】（1）证明：方法一：
∵，，∴．
∴，即点N为线段的中点．
过点N作于点E，则，且，
∴，且，∴四边形AMNE为平行四边形，
∴．又∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面ABCD．
方法二：
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，
∴，．
∵，，∴点N为的中点，则，
∴，
∴与，共面，且平面ABCD，
∴平面ABCD．
（2）解：方法一：
设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，则
．
方法二：∵，，，，则，
∴，且，
∴四边形PQDM为平行四边形，且，．
∵，，
∴，∴，
∴．
设为平面DMPQ的法向量，则
令，则，，即，
∴点到平面的距离为，
∴四棱B-DMPQ的体积为．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1） 方法一：利用，，再利用两三角形全等的判断方法，所以，再利用两三角形全等的性质，所以，即点N为线段的中点，过点N作于点E，再结合中位线的性质，则，且，所以，且，所以四边形AMNE为平行四边形，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面ABCD。
方法二：利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用中点的性质和平面向量基本定理，所以与，共面，且平面ABCD，再结合线面平行的判定定理，从而证出平面ABCD。
（2） 方法一：设多面体BDMPQ的体积为V，连接DP，再利用多面体的体积与三棱锥的体积的关系式和三棱锥的体积公式，进而得出多面体的体积。
方法二：利用已知条件得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线定理得出，且，所以四边形PQDM为平行四边形，且，，再结合，和数量积求向量夹角公式和体积三角函数基本关系式以及平行四边形的面积公式得出平行四边形的面积的值，再利用平面的法向量求解方法得出平面DMPQ的法向量，再结合数量积求出点到平面的距离，再利用棱锥的体积公式得出多面体的体积。
7．【答案】（1）证明：连接，∵为中点，为中点，
∴，又面，面，
∴面，
在中，，，，
∴，即，
在中，，，∴，，
在中，，，，，
∴，，∴，
∵F为AB中点，∴，，
∴，又∵面，面，
∴面，又∵，CF，面，
∴平面平面；
（2）解法一：延长与交于，连，则面面，
在中，，，，所以，
又，，，面，
∴面，面，
∴面面，
在面内过作，则面，
∵面，∴，
过作，连，∵，面，面，
∴面，面，
∴，
∴即为面与面所成二面角的平面角，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，又，
∴，， ，
∴.
解法二：在中，，，，所以，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以平面平面，
又∵，，
∴，
以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量，，，
，令，则，∴，
设平面的法向量，，
令，则，，
∴，
所以，
∴平面与平面所成角的余弦值为.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；平面与平面平行的判定；用空间向量研究二面角；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 连接，利用为中点，为中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面，在中，，，结合余弦定理得出OC的长，在中，，，所以，，在中，，，结合正弦定理得出的值，所以，，进而得出的值，再利用F为AB中点，进而得出CF的长和的值，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以面，再利用线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2） 解法一：延长与交于，连接，则面面，在中，，，，再结合勾股定理，所以，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以面，再利用线面垂直证出面面垂直，所以面面，在面内过作结合线线垂直证出线面垂直，则面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，过作，连接，再利用线线垂直证出线面垂直，所以面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以即为面与面所成二面角的平面角，再利用已知条件结合勾股定理和余弦函数的定义得出平面与平面所成夹角的余弦值。
解法二：在中，，，结合勾股定理，所以，再利用，结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直证出面面垂直，所以平面平面，再利用，，所以，以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合平面的法向量求解方法得出平面的法向量和平面的法向量，再结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
8．【答案】（1）证明：取的中点，连结，
∵在中，、分别为、的中点，
∴且，
又在直三棱柱中，E是的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形BEFM为平行四边形，
∴，
∵在中，M为AC的中点，且，
∴，且，
∵平面，平面，
∴，
又平面，，
∴平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面
（2）解：在中，，
，
以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则
，
设平面的法向量为，则，
易得平面的法向量为，
，
.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，连结， 先证，再由及证得 平面，平面，，即可证 平面平面 ；
（2）建立空间直角坐标系，设出，表示出平面和平面的法向量，由二面角的余弦值解出即可.
9．【答案】（1）证明：令中点为，连接，
点分别是，的中点， ，，
四边形为平行四边形.
，平面， 平面，
平面
（2）证明：在梯形中，过点作于，
在中，，
.
又在中，，
，
，
.
平面平面，平面平面，，平面，
平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面
（3）解：作于，作于，连结，
由于，
平面，
，
，
平面，
，
就是二面角的平面角
平面平面，且二面角为，
，，
设，
又，，则，，
故，
，
.
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 令中点为，连接，，再利用点分别是，的中点，结合中点作中位线方法和中位线的性质，所以，所以，所以四边形为平行四边形.，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在梯形中，过点作于，在中，，得出的值，在中，，得出，的值，再结合三角形内角和为180度的性质得出的值，从而推出，再利用平面平面结合，再利用线面垂直的性质定理证出线线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（3） 作于，作于，连结，由于，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以
平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，进而得出就是二面角的平面角，再利用平面平面，且二面角为，得出的值，所以，设，再利用结合两三角形相似对应边成比例得出，则，，进而得出x的值， 从而得出的值，进而得出实数的值。
10．【答案】（1）证明：如图所示，以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系
由题得，
由题得，
设平面的法向量为，
所以.
所以，
因为平面，所以∥平面.
（2）证明：由题得，
所以，所以平面，
由题得，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为
【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1) 以点为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系 求出平面的法向量，利用向量法可证得 ∥平面；
(2)利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值．
11．【答案】（1）证明：因，，，则有，即有，
又，且，平面，
于是得平面，而平面，
所以平面平面.
（2）解：在平面内，过B作直线垂直于，交直线于E，有，，如图，
则为二面角的平面角，平面，，于是得，
中，，则，在中，，，，
由余弦定理得，则有，
显然平面平面，在平面内过B作，则平面，
以B为原点，分别以射线为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量，则，令，得
而，设与平面所成的角为，
所以与平面所成的角的正弦值为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先由勾股定理计算出线线垂直，然后由线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)结合已知条件由线线垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由余弦定理代入数字计算出角的大小，结合线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面ABCD法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面ABCD的法向量的坐标，然后由线面角和向量夹角之间的关系，结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 与平面所成的角的正弦值。
12．【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，
∴，
由直四棱柱得底面ABCD，又平面ABCD，∴，
又，BD，平面BDG，
∴平面BDG，因为平面BDG，
∴
已知，又，AC，平面ACE，
∴平面ACE，
因为平面BDG，∴
∵平面平面CFGD
平面平面，平面平面，
∴，则
（2）解：已知，，可求，
由，则
在直四棱柱中，底面ABCD，
所以为直线AF与底面ABCD所成角，，则
在平面ACF内作，可知底面ABCD，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则
设平面BCE的法向量为，
则
取，得，，得，
由（1）知平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为
则，
所以锐二面角的余弦值为
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线，由中点的性质以及菱形的几何性质即可得出线线垂直，然后由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。
(2)由已知条件结合等体积复数计算出边的大小，再由三角形中的几何计算关系代入计算出线线垂直，结合线面角的定义计算出边的大小，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面BCE法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面BCE的法向量的坐标，同理即可求出平面ACE的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到二面角的余弦值.
13．【答案】（1）证明：因为底面 是平行四边形，所以 ，
又因为 平面 平面 ，所以CD//平面 ．
因为平面 平面 ，所以 ，
所以 ．
（2）解：以A为坐标原点， 为y轴， 为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 ．
设 ，则 ，根据对称性，不妨设 ，
，
则 ．
设平面 的法向量为 ，则 即
不妨取x=1，则 ．
又因为 ，
与平面 夹角的正弦值等于上述向量 与 夹角的余弦值的绝对值，
所以 ，解得 或2或 ，经检验， 符合题意.
此时底面 是正方形，多面体的体积 ．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【分析】（1） 利用底面 是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，所以CD//平面 ，再利用线面平行的性质证出线线平行，从而证出 ，再利用平行的传递性证出。
（2） 以A为坐标原点， 为y轴， 为z轴建立空间直角坐标系 ， 设 ，则 ，根据对称性，不妨设 ， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线 与平面 所成的角，再结合直线 与平面 所成的角为 ，进而得出a，b的值，再结合此时底面 是正方形，从而利用三棱锥的体积公式和求和法，进而得出该多面体的体积。
14．【答案】（1）解：，所以，解得，
由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，AE是圆的直径，
所以AE垂直平分，，
在三角形中，由正弦定理得，则，
由于平面，所以，
由于，
所以三角形是等腰直角三角形，所以，
所以.
（2）解：由（1）得，设，，
结合圆锥的几何性质，建立如图所示空间直角坐标系，
，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线EP与平面PBC所成角为，
则，
由于，当且仅当时等号成立，
所以，
即当时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用 结合勾股定理得出DO的长，进而得出的长，由于三角形是等边三角形，圆是其外接圆，AE是圆的直径，所以AE垂直平分，进而得出的长，在三角形中，由正弦定理得出的长，由于平面结合线面垂直的定义证出线性垂直，所以，再利用勾股定理得出，所以三角形是等腰直角三角形，再结合等腰三角形的结构特征和勾股定理，进而得出PO的长。
（2） 由（1）得，设，再结合勾股定理得出OF的长，再利用圆锥的几何性质，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，设， 再结合向量的坐标表示得出向量的坐标， 设直线EP与平面PBC所成角为， 再利用数量积求向量夹角公式得出 ， 再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值，从而得出当时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大 。
15．【答案】（1）证明：如图，连接，
因为四边形为菱形，所以．
因为，所以，又平面平面，
平面平面，平面，所以平面．
又平面，所以．
又，，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）解：连接，交于点，取的中点，连接．
在中，，分别是，的中点，所以．
由（1）知平面，又，平面，所以，，
又，所以，．
以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，所以，，
所以平面的一个法向量是．
设，则，
解得，，，
即，所以．
设，
所以．
设平面的一个法向量为，
则
令，解得，，所以．
所以，
解得或（舍）．
所以存在点，使得二面角的余弦值为，此时．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，再利用四边形为菱形，所以，再结合，所以，再利用平面平面结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
(2) 连接，交于点，取的中点，连接，在中，，分别是，的中点，再结合中点作中位线的方法合中位线的性质，所以，由（1）知平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，，再利用，所以，，以为原点，以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值，再结合二面角的余弦值为，进而求出的值。
16．【答案】（1）证明：连接交于G，连接．
因为M，N分别为的中点，所以点G为的重心，
所以，又，所以，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：在平面内作于点O．
因为，所以，
则点O为中点，所以．
因为侧面底面，而侧面底面，
侧面，所以底面，
所以两两垂直．
以O为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
因为M，N分别为的中点，所以．
设为平面的一个法向量，，
则即取得．
又为平面的一个法向量，所以，
所以，
故二面角的正弦值．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接交于G，连接，利用M，N分别为的中点，所以点G为的重心，再利用重心的性质，所以，再利用，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出平面。
（2） 在平面内作于点O，利用，再结合余弦函数的定义得出AO的长，则点O为中点，所以，再利用侧面底面结合和面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以底面，所以两两垂直，以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式得出二面角的正弦值。
17．【答案】（1）证明：在直三棱柱中，侧面为正方形，
所以 ，
而，平面 ，
所以平面，
所以平面，平面，所以 ，
故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系，如图：
则，
故 ， G为线段上一动点.，
设，则，故 ，
所以 ，
故，
所以，即；
（2）解：由（1）可知： ，
设平面的法向量为 ，则 ，
即，令 ，则 ，则，
设平面的法向量为 ，则 ，
即，则 ，令 ，则 ，则，
故设二面角的平面角为 ，结合图形，为锐角，
故 ，
令 ，，
而函数在时单调递增，故时，取最小值，
即当 ，即 时，取得最大值为 .
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）在直三棱柱中，侧面为正方形，所以 ，而 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，故以B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用结合向量共线的坐标表示得出点G的坐标，再利用数量积的坐标表示得出 ， 再结合数量积为0两向量垂直的等价关系，进而证出 ，从而证出 。
（2）利用（1）的结论和向量的坐标表示得出向量的坐标，设二面角的平面角为 结合图形得出为锐角，再利用数量积求向量夹角公式得出 ， 再结合二次函数的图象判断出其单调性，进而得出二次函数的最值，从而得出 的最大值，进而得出二面角的余弦值的最大值。
18．【答案】（1）证明：连接AC，设，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴．
又∵平面BDF，平面BDF，
∴平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，
∴，．
∵ABCD是平行四边形，，，
∴
．
∵，，
∴，．
∵，平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD．
∴是平面的一个法向量．
分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，．
∴，，．
设平面BFP的一个法向量为，则．
取，得，．
∴是平面BFP的一个法向量．
∴．
设平面BFP与平面PAD所成二面角的大小为，则的取值范围为，
∴．
∴平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值为．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 连接AC，设，连接FM，再利用四边形ABCD是平行四边形，所以M是AC的中点，再利用F是PC的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，进而证出直线平面BDF。
（2） 设AD的中点为E，连接BE，PE，再利用E为AD的中点，结合等腰三角形三线合一得出，再利用勾股定理得出PE的长，再结合四边形ABCD是平行四边形，，，再利用余弦定理得出BE的长，再结合勾股定理得出，，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面PAD，所以是平面的一个法向量，分别以射线EA，EB，EP为x轴，y轴，z轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出平面BFP与平面PAD所成二面角的余弦值，再结合同角三角函数基本关系式和二面角的平面角的取值范围，进而得出平面BFP与平面PAD所成二面角的正弦值。
19．【答案】（1）证明：∵底面ABCD为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°
∴△DBC为正三角形
∵M为BC中点
∴DM⊥BC
又BC∥AD
∴DM⊥AD
∵PD⊥平面ABCD，平面ABCD
∴DM⊥PD
又，PD，平面PAD
∴DM⊥平面PAD
又平面DMN，∴平面DMN⊥平面PAD
（2）解：由（1）知，DA，DM，DP两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．
设AD＝2a，，则，，，，，．
∴，
∵，∴
∴，
设为平面DNM的一个法向量
则，∴
取，则，∴
连接AC，，AC⊥平面DNB，
∴为平面DNB一个法向量．
∴，解得
∴当时，二面角B－DN－M的余弦值为．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 （1）利用底面ABCD为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60°，所以三角形△DBC为正三角形，再利用M为BC中点结合等边三角形三线合一，所以DM⊥BC，再利用BC∥AD，所以DM⊥AD，再结合PD⊥平面ABCD和线面垂直的定义证出线线垂直，所以DM⊥PD，再利用线线垂直证出线面垂直，所以DM⊥平面PAD，再结合线面垂直证出面面垂直，从而证出平面DMN⊥平面PAD。
（2）由（1）知，DA，DM，DP两两垂直，以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系D－xyz，设AD＝2a，再利用正弦函数的定义得出，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角B－DN－M的余弦值，再结合二面角B－DN－M的余弦值为，进而得出实数的值。
20．【答案】（1）解：直线平面PBC，
证明：当时，M是PB的中点，又因为N是PC的中点，
所以，又平面ABC，且平面ABC，
所以平面ABC，又平面AMN，且平面平面，
所以，又因为平面PBC，平面PBC，所以直线平面PBC．
（2）解：因为AC是圆O的直径，所以，
由勾股定理得，因为PA⊥平面ABC，平面ABC，
所以，又，，
所以BC⊥平面PBA，而平面PBA，故，
故∠PBA就是二面角的平面角，所以，
所以△PAB为等腰直角三角形，且，
以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为，
则，所以
令，则，得，
设，
所以点M到平面PAC的距，所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用已知条件判断出直线平面PBC。证明如下：当时，M是PB的中点，再利用N是PC的中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面ABC，再结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线平面PBC。
（2）利用 AC是圆O的直径，所以，由勾股定理得结合PA⊥平面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以BC⊥平面PBA，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，故，故∠PBA就是二面角的平面角，进而得出，所以△PAB为等腰直角三角形，且，以点B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和数量积求点到平面的距离的方法，进而结合已知条件得出实数的值。
21．【答案】（1）解：设分别是棱的中点，顺次连接，则四边形即为所求的截面.
理由如下：因为点分别是棱的中点，故，又，所以，而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形.
因为点分别是棱的中点，故，又平面，平面，所以平面.
因为，所以，又不共线，所以，
又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：易知与该截面所在平面所成角的正弦值，即与平面所成角的正弦值.
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，
故，设平面的一个法向量为，则，令，可得，
又，所以，故与平面所成角的正弦值为，
即与该截面所在平面所成角的正弦值为.
【知识点】平面与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 设分别是棱的中点，顺次连接，则四边形即为所求的截面。理由如下：利用点分别是棱的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，故，再利用结合平行的传递性，所以，而两平行直线确定一个平面，所以四边形为平面图形，再利用点分别是棱的中点，再结合中点作中位线的方法和中位线的性质，故，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再利用三角形法则和向量相等的判断方法，所以，再利用不共线，所以，再利用线线平行证出线面平行，所以平面，再结合线面平行证出面面平行，从而证出平面平面。
（2） 利用已知条件，易知与该截面所在平面所成角的正弦值，即与平面所成角的正弦值，从而建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和诱导公式得出直线与该截面所在平面所成角的正弦值。
22．【答案】（1）解：易知面，，以所在直线为轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，
易知面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，
令，则，
可得，
解得或3，又点E在弦AD上，故.
（2）解：P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线，证明如下：
取靠近的三等分点即中点，中点，连接，
由为中点，易知，又面，面，
所以平面BEC，
又，面，面，所以平面BEC，
又，所以面平面BEC，
即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，
又面，故P的轨迹即为所在直线，
即过靠近的三等分点及中点的直线.
【知识点】轨迹方程；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用已知条件得出面，，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 从而得出点的坐标，再结合向量的纵坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角的大小，再结合和向量共线的坐标表示，进而得出满足要求的实数t的值。
（2）利用已知条件得出点P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线。取靠近的三等分点即中点，中点，连接，由为中点结合中点作中位线的方法和中位线的性质，易知，再利用线线平行证出线面平行，所以平面BEC，再利用结合线线平行证出线面平行，所以平面BEC，再利用线面平行证出面面平行，所以平面平面BEC，即和所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC，进而得出点P的轨迹即为所在直线，从而证出点P的轨迹为过靠近的三等分点及中点的直线。
23．【答案】（1）证明：如图所示，设AC与BD的交点为O．
因为四边形ABCD为等腰梯形，∥，，，
所以．
在中，，
即．又因为，所以，．
同理可得，．
因为，所以．
又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD．
所以平面PBD，
又因为平面PBD，
所以．
（2）解：取OB，AB的中点E，F，连接PE，EF．
由（1）知平面PBD，又平面PBD，所以，所以．
因为，所以，
平面平面ABD，平面平面，平面PBD，
所以平面ADB，
．
又因为E，F为OB，AB的中点，所以．
以E为坐标原点，EF，EB，EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：
所以，，，，，
所以，，．
设平面PBC的一个法向量为，
则，取，所以．
设直线CA与平面PBC所成的角为θ，
则．
所以直线CA与平面PBC所成角的正弦值是．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；用空间向量研究直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】(1)首项由等腰梯形的几何性质结合已知条件计算出变的大小，结合三角形中的几何计算关系计算出，并代入到余弦定理依次计算出边的大小，结合勾股定理计算出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。
(2)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线线垂直，然后由面面垂直以及线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面PBC法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面PBC的法向量的坐标，结合线面角与向量夹角之间的关系，利用空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到直线CA与平面PBC所成角的正弦值。
24．【答案】解：（Ⅰ）证明：如图1，取的中点，的中点，连接，，，
根据棱柱的性质可得，，，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以平面．
因为与相交，
所以与相交．
（Ⅱ）连接，因为四面体是正四面体，是的中心，所以平面，
又平面，所以．
所以以为坐标原点，，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，如图2所示.
易得，，，，，，．
所以，，，
所以，，故是平面的法向量．
又是平面的法向量，且，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取的中点，的中点，连接，，，根据棱柱的性质可得，，，再利用平行的传递性，所以，所以四边形是平行四边形，再利用与相交，所以证出与相交。
（2）连接，利用四面体是正四面体，是的中心，所以平面，
再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以，所以以为坐标原点，，方向分别为轴，轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系，进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而得出平面与平面所成锐二面角的余弦值 。
25．【答案】（1）证明：在四面体ABCD中，，E为BD的中点，则，
而，平面，于是得平面，又平面，所以平面平面.
（2）解：依题意不妨设，，则，又，则，．
在中，，所，则，．
由（1）得，，因，即，则．
设点B到平面ACD的距离为h，则，解得，所以点B到平面ACD的距离为.
设直线BF与平面ACD所成角为，所以．
因为，所以，故当时，最短，此时，正弦值最大为
【知识点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 在四面体ABCD中，，E为BD的中点，再利用等腰三角形三线合一，则，再利用线线垂直证出线面垂直，得出平面，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面平面。
（2） 依题意，不妨设，，进而得出的长，再利用，进而得出的长，从而得出的长，在中，结合余弦定理得出的值，再利用同角三角函数基本关系式，进而得出的值，再利用三角形的面积公式得出的值，由（1）得结合三棱锥的体积公式得出的值，再利用勾股定理得出的值，再利用三角形的面积公式得出的值，设点B到平面ACD的距离为h，再利用三棱锥的体积公式得出h的值，进而结合点到平面的距离公式得出点B到平面ACD的距离，再利用正弦函数的定义求出直线BF与平面ACD所成角的正弦值为，再利用勾股定理得出的值，故当时，最短，进而得出此时的长，从而结合正弦函数的定义得出正弦值的最大值。
26．【答案】（1）证明：取中点，连接，
∵为等边三角形，
中点为，∴，又∵底面是菱形，
∴，又，∴平面，
又平面，∴.
（2）解：∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面，
即，再由（1）知，两两垂直，
建立如图所示的直角坐标系，
由题意，得，
则，
，
设平面的法向量为，则，
得，设直线与平面所成角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明，，从而可证得平面，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，求解平面的法向量，利用空间向量夹角的计算公式代入计算.
27．【答案】（1）证明：取AM的中点N，连接DN，BN，
∵是等边三角形，
∴AM⊥DN，又，
∴AM⊥平面BDN，又平面BDN，
∴AM⊥BN，又N为AM的中点，
∴；
（2）解：∵，，是等边三角形，
∴，，
∴，又，
∴平面ADM，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
设平面BMC的法向量为，则
，令，则，
∴，
设平面DMC的法向量为，则
，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AM的中点N，连接DN，BN，可得AM⊥DN ，进一步可证A M⊥平面BDN ，从而得到 AM⊥BN ，即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面法向量，代入夹角公式即可求解。
28．【答案】（1）证明：因为半圆柱的轴截面为矩形，
所以 平面，
所以 ，
又因为是上底面圆的直径，
所以，
所以，
所以 且 ，
所以平面，
又 平面，
所以.
（2）解：过点作垂直于底面于点，以 点为坐标原点，以所在方向为轴，以所在方向为轴，以所在方向为轴，建立直角坐标系，
则，
同时，
所以 ，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
，即
令，
得 ，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1） 利用半圆柱的轴截面为矩形，所以 平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用是上底面圆的直径，所以，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 过点作垂直于底面于点，以 点为坐标原点，以所在方向为轴，以所在方向为轴，以所在方向为轴，建立空间直角坐标系， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成角的正弦值。
29．【答案】（1）证明：取AB的中点E，连接，
∵∴，
∵四边形为矩形，∴，
∵为中点，∥，∴，
又∵，∴平面，
∴；
（2）解：如图，以F为坐标原点，以过F与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，h为P到平面ABCD的距离，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，∴，
又∵，∴(*)，
设直线与平面所成的角为，
，
解得，或，
当a＝0时，平面PCD法向量为，则平面PCD与平面ABCD垂直，此时二面角的平面角为直角，∴(舍)，∴，代入(*)可得，
∴
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取AB的中点E，连接，再利用结合等腰三角形三线合一得出，再结合四边形为矩形，所以，再利用为中点，∥，所以，再结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出。
（2） 以F为坐标原点，以过F与平面垂直的直线向上的方向为为轴正方向，以的方向为轴正方向，的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系， 设，h为P到平面ABCD的距离， 进而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出直线与平面所成的角的正弦值，再结合已知条件直线PB与平面所成的角为，进而得出a的值，再利用二面角的平面角为锐角得出满足要求的a的值，再结合得出h的值，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥的体积。
30．【答案】（1）证明：取中点，连接．
因为是等腰三角形，所以，．
因为平面平面，平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）解：连接交于，取中点，连接，
所以．
因为平面，所以平面，因为平面，
所以，，又因为四边形是菱形，
所以，所以两两垂直．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则， ，，，，，，，．
设平面的法向量为，
则令，得，
又平面的法向量为．
设二面角的大小为，则，．
所以二面角的正弦值为．
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)由已知条件作出辅助线结合中点以及三角形的几何的性质，即可得出线线垂直再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线线垂直，结合平行的传递性即可得出线线平行从而得出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，由此题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面的法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式即可得出 平面 与平面 所成锐二面角的正弦值。
31．【答案】（1）证明：如图，取的中点F，连接CF、、DF，
则且，且，
故四边形和四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，平面，
又，所以平面平面，
由平面，得平面；
（2）解：由(1)知平面，又，则平面，
因为平面，所以，
在直三棱柱中，，又，
得平面，由平面，
得，又D为BC的中点，则，
以D为原点，以DB、DA、DF分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，
设BC=2，则，
有，
设平面AEB、平面AED的一个法向量分别为、，
则，，
令，得，
故，
所以，
又二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 如图，取的中点F，连接CF、、DF，易判断四边形和四边形为平行四边形 ，进而可证 平面平面，即可解决问题。
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
32．【答案】（1）证明：因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，
又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
（2）解：在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H，
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz，
则，
设，则，，
设平面AEG的法向量为，
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则，即，令，则，
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为，
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 AEBC， 再结合 平面ABC平面BCD ，即可证 AE平面BCD，再结合 BDCD， 即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系， 设 ，求得两平面的法向量，由向量夹角公式得到 ，即可求解。
33．【答案】（1）证明：连接，交于点.
因为四边形是菱形，所以.
因为四棱柱是直四棱柱，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以；
（2）解：由（1）知，以为坐标原点，，分别为，轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系.
因为，所以，因为底面四边形为菱形，且，
所以，，又因为、分别是线段、的中点，
所以，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，则.
令，得.
易知为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，再结合 平面，可得 . 即可求证；
（2）如图建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
34．【答案】（1）证明：如右图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.
因为AD，EF是圆柱的母线，所以且，
所以四边形AEFD是平行四边形.
所以 ，
所以.
因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE，
又因为平面ABE，
所以.
又因为，DF，平面DEF，
所以平面DEF.
（2）解：由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，
由（1）知，，所以，
即底面三角形DEF是直角三角形.
设，，则，
所以，
当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，
三棱锥的体积最大，
下面求二面角的余弦值：
法一：
由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.
又因为，，所以平面BEF.
因为平面BEF，所以，所以是二面角的平面角，
由（1）知为直角三角形，则.
故，
所以二面角的余弦值为.
法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，
如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则.
由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.
设平面BDF的法向量为，由，，
得，即，即，
取，得.
设二面角的平面角为θ，
则，
由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）如图 连接AE ，易知，再结合，即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，代入夹角公式即可求解。
35．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，又，
∴平面；
（2）解：（i）由，可知为的平面角，
又平面平面，
∴，即，又，
∴平面，
如图建立空间直角坐标系，则，
∴，
设平面的法向量为，则
，即，
令，则，
又平面的一个法向量可取，
∴，
∴二面角的余弦值为；
（ii）由题设，又，
∴，
∴，又，
∴，又平面的一个法向量为，
由，可得，又，
∴，
∴直线与平面相交.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由已知条件易得，进而得证；
（2）结合（1）先证得 平面， 如图建立空间直角坐标系求出对应平面的法向量，及直线BN的方向向量，即可求解。
36．【答案】（1）证明：取三等分点，则，且，故且，
又，，即且，
所以四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，故平面.
（2）解：法一：由平面即平面，且，平面，
所以平面，则为所求二面角的平面角，
在等腰△中，，则，
又，，由，即，
所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.
法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，若，可得，
，若，可得，
所以，即二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取 取三等分点 ，易得，进一步可说明 四边形为平行四边形 ，从而解决问题；
（2）如图，建立空间直角坐标系，求出对应两平面的法向量，代入夹角公式即可求解。
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