压轴题08 解析几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

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压轴题08 解析几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·赣州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，．椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意得，
又由椭圆定义得，
记，
则，，
则，
所以，
故，
则，
则，即（负值已舍）．
故答案为：B．
【分析】由题意和焦距的定义得出，又由椭圆定义得，记，则，，则，所以，再利用两三角形相似的判定定理，故，再结合两三角形相似的性质，则，进而得出，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率的值。
2．（2023·赣州模拟）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值可以为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.
设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.
因为为，所以，即为等边三角形，
所以，即或，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点，设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为，再利用为，所以，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，所以，所以或，从而解方程得出m的值。
3．（2023·漳州模拟）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（　　）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，
为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，再利用O为中点，所以四边形为平行四边形，所以，，设，，再利用双曲线的定义得出，由结合数量积的定义得出mn的值，在中结合余弦定理和双曲线中a，b，c三者的关系式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值，再结合双曲线的离心率公式得出当取得最小值时的双曲线的离心率的值。
4．（2023·武威模拟）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.
故答案为：A.
【分析】利用双曲线结合双曲线的离心率公式和已知条件可知m的值，所以，分别为的左、右焦点，再结合双曲线的定义得出，设到直线的距离为，到直线的距离为，且，再结合几何法得出 到直线的距离与到点的距离之和的最小值。
5．（2023·武威模拟）已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以．如图，设，
，则．因为，，
所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．
故答案为：D
【分析】利用，所以，再利用平面向量基本定理和，，则，再结合，，所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，进而得出点到直线的距离的最大值。
6．（2023·广州模拟）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故答案为：A
【分析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出p的值，从而结合抛物线的焦点坐标求解方法得出抛物线：的焦点F的坐标，再利用中点坐标公式得出弦的中点的纵坐标，从而得出点M的坐标，显然直线的斜率最大，必有，再利用两点求斜率公式和均值不等式求最值的 方法得出直线的斜率的最大值。
7．（2022·广东模拟）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接、，分别与直线交于M、N两点，若，则（　　）
A．21 B．9 C．21或 D．21或9
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，双曲线，可得，
设直线和直线的方程分别为和，
则，
因为，所以，即，
设方程为，
联立方程组，整理得，
设，则
所以，
即，
所以，即，解得或．
故答案为：C.
【分析】由题意可得可得，设直线和直线的方程分别为和，则，由，可得，设方程为，联立双曲线方程，设，结合韦达定理可得，进而得到即可求解。
8．（2022·昆明模拟）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与交于A，两点，且，设直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线，，
设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
故，
解得，
当时，则，解得或4，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
当时，则，解得或1，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设直线的方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式可得即可得，（1）当时，求得两交点坐标，即可求解；（2）当时，同样求得两交点坐标，即可求解。
9．（2022·浙江模拟）已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可得如图椭圆，
是直角三角形，，
不妨设，则，
因为，
所以，
，
所以离心率．
故答案为：A．
【分析】由题意设，则，结合椭圆定义得，所以，结合勾股定理解得的值，从而求得 该椭圆离心率 .
10．（2022·海淀模拟）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；
所以，解得.
故数列是等差数列.
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标以及准线的方程，再结合抛物线的定义整理化简，集合等差数列的定义就得出答案。
11．（2022·延庆模拟）已知曲线的方程为，直线的方程为．当直线与曲线有两个交点时，实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】曲线如图所示，
显然直线的经过点A、B时，有两个交点，此时把或代入，解得：a=1；
直线的经过点E、D时，有两个交点，此时把或代入，解得：a=-1；
如图示，直线l1，l2与曲线C相切时，有三个交点，所以要使直线与曲线有两个交点，只需直线l夹在l1，l2之间.
当直线l1与曲线C相切时，即为直线l1与曲线C在第一象限部分相切，
所以消去y，整理化简得：.
由，解得：，此时符合题意；
同理可求：当直线l2与曲线C相切时，即为直线l2与曲线C在第一象限部分相切，求出
，此时符合题意；
所以直线l夹在l1，l2之间时，.
综上所述：即直线与曲线有两个交点，实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，进而将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象结合直线与曲线有两个交点，从而联立直线与曲线的方程，再结合判别式法和直线与曲线相切位置关系判断方法，进而求出实数的取值范围。
12．（2022·通州模拟）已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆C的半径为1，所以，即正方形的边长为1，对角线为，即，
设点C到直线l的距离为d，
存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使，
所以，
即，解得：。
故答案为：C
【分析】利用圆C的半径为1，得出正方形的边长，再结合勾股定理得出对角线，进而得出A，C两点的距离，设点C到直线l的距离为d，存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使，所以，再利用点到直线的距离公式得出实数m的取值范围。
13．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据角平分线定理 ，
结合 及离心率 有 ，
化简得 ．
设
又 ，
，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
所以 。
故答案为：C.
【分析】根据角平分线定理得出 ，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式得出，设 再利用零点存在性定理和导数判断单调性的方法，进而得出椭圆的离心率的取值范围。
14．（2022·湖北二模）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】轨迹方程；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，
因为，所以，
所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
则点的轨迹为圆弧，
连接，则，
因为，，
所以，
则弧的长度，
所以。
故答案为：C.
【分析】利用平面，所以即为直线与平面所成的角，进而得出的值，再利用，得出AM的长，再利用圆的定义判断出点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，进而得出点的轨迹为圆弧，连接，进而得出AF的长，再利用，，得出的值，再结合弧长公式得出弧的长度，再结合正切函数的定义求出的值。
15．（2022·许昌模拟）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设线段的中点为D，
圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以，D点的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设D点的轨迹为圆D，
圆D上的点到直线的最短距离为，
所以。
故答案为：A
【分析】设线段的中点为D，再利用圆的一般方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出CD的长，再利用两点距离公式得出点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设D点的轨迹为圆D，再利用点到直线的距离公式得出圆D上的点到直线的最短距离，再结合平行四边形法则和中点的性质以及几何法，进而得出 的最小值 。
16．（2022·聊城二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．8
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由，则，又，
的最小值转化为：
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，
与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：。
故答案为：D.
【分析】由，则，再利用，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，再利用导数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出与平行的直线的斜率，再利用已知条件得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点到直线的距离公式得出切点到直线之间的距离的平方，进而得出的最小值。
17．（2022·新疆模拟）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故答案为：D
【分析】设在右支上，由双曲线的第二定义即可得，，再代入进行化简，再结合P在双曲线上，坐标满足双曲线方程，即可得，即可求解。
18．（2022·来宾模拟）平面直角坐标系中有两点和，以为圆心，正整数i为半径的圆记为，以O2为圆心，正整数j为半径的圆记为.对于正整数（），点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限，则这5个点都在同一（　　）
A．直线上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的共同特征；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意，圆的方程为，即，
圆的方程为，即，
联立可得，即，
解得，
代入的方程得，即，
解得，
又由，
所以，
即，所以这5个点都在同一个双曲线上.
故答案为：D.
【分析】首先联立圆的方程求解出点的坐标，再由圆的几何意义以及双曲线的定义整理化简即可得出答案。
19．（2022·石家庄模拟）已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F，P，M三点共线时，最小为。
故答案为：A
【分析】由抛物线可知焦点坐标和准线方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，再利用抛物线的定义得出，当F，P，M三点共线时，得出的最小为，再结合勾股定理得出 的最小值 。
20．（2022·广安模拟）已知双曲线的一条渐近线为直线，的右顶点坐标为．若点是双曲线右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，则 ，所以 ，
双曲线方程为 ， 得 ， ，因此 在双曲线外部（不含焦点的部分），
又 ，所以 ， ，即双曲线的右准线是 ，记双曲线的右焦点为 ，则 ，
，所以当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，而 ，所以 的最小值是 。
故答案为：C．
【分析】设双曲线方程为 ，再利用双曲线 的一条渐近线为直线 ， 的右顶点坐标为 ，从而结合右顶点与a的关系以及双曲线的渐近线方程，得出a，b的方程组，再解方程组求出a，b的值，进而得出双曲线的标准方程，再利用点 是双曲线 右支上的动点，点 的坐标为 结合代入法得出点 在双曲线外部（不含焦点的部分），再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率进而得出双曲线的右准线的方程，记双曲线的右焦点为 ，再利用两点距离公式和几何法得出当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，再结合两点距离公式得出 的最小值。
21．（2022·济南模拟）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，
而 ，即直线 与直线 垂直，当P与N不重合时， ， ，
当P与N重合时， ，令点 ，则 ， ，
于是得 ，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图，
观察图形知，射线AP绕点A旋转 ，当旋转到与圆O： 相切时， 最大， 最大，
因 ， 为切线，点 为切点， ， ，则 ，
所以 最大值为 ， 。
故答案为：B
【分析】将直线转化为点斜式得出直线 恒过的定点M的坐标和直线 恒过额定点N的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，得出直线 与直线 垂直，当P与N不重合时， ，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，得出 ，令点 ，再结合当P与N重合时和向量的坐标表示得出 ，显然点P与M不重合，再结合圆的定义，得出点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），观察圆的图形知射线AP绕点A旋转 ，当旋转到与圆O： 相切时， 最大， 最大，再利用 ， 为切线，点 为切点， ， ，得出 的值，进而得出 的最大值，再结合正切函数的定义得出 的最大值 。
二、多选题
22．（2023·台州模拟）设抛物线：焦点为，点为抛物线准线上的点，经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，其中坐标原点为，则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，与抛物线联立可得：
则
=
当时，，当且仅当时，，A不符合题意；
当时，，即与夹角小于直角，B符合题意；
又
当时，，即与夹角大于直角，C符合题意；
而
显然当，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用数量积的坐标表示和韦达定理得出，再利用分类讨论的方法，当时，，当且仅当时结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；当时，，再结合数量积求向量夹角公式得出与夹角小于直角；再利用数量积的坐标表示和韦达定理得出，当时，，再结合数量积求向量夹角公式得出与夹角大于直角；再利用数量积的坐标表示和韦达定理以及代入法得出，显然当结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，进而找出正确的选项。
23．（2023·安庆模拟）已知、为抛物线上两点，以，为切点的抛物线的两条切线交于点，设以，为切点的抛物线的切线斜率为，，过，的直线斜率为，则以下结论正确的有（　　）
A．，，成等差数列；
B．若点的横坐标为，则；
C．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形；
D．若点在直线上，则直线恒过定点；
【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，，由，得，
故，，
所以切线的方程为，即，
同理，切线的方程为，
设点坐标为，所以，，
从而为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A符合题意；
若，则，B不正确；
若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，
则为直角三角形，C不正确；
若点在直线上，则，
直线的方程为，即，
由于，故直线的方程为，即，
从而过定点，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】设，，由结合导数的几何意义得出直线的斜率，再利用点斜式得出切线的方程和切线的方程，设点坐标为，所以，，从而为方程的两根，再利用韦达定理，故，，再结合两点求斜率公式得出，再利用等差中项公式得出，，成等差数列；若结合两点求斜率公式得出直线AB的斜率；若点在抛物线的准线上结合代入法，则，再结合韦达定理得出，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，故两切线垂直，则为直角三角形；若点在直线上结合代入法，则，再利用点斜式方程得出直线的方程，由于，故直线的方程为，从而得出直线过定点，进而找出结论正确的选项。
24．（2023·宣城模拟）已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与圆相交所得的弦长为4
B．的最大值为
C．的面积的最大值为2
D．当最大时，的面积为1
【答案】A,B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆.
对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，A项正确；
对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，D项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用圆C：得出圆心坐标和半径长。再利用直线MN的方程为过圆心，进而得出直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4；利用已知条件结合几何法得出，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立；设点P到直线MN的距离为d，再结合三角形的面积公式和直线MN过圆心，进而得出当时的的最大值；当MP与圆C相切时，最大，不妨设，再结合三角形的面积公式得出此时三角形 的面积，从而找出结论正确的选项。
25．（2023·白山模拟）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（　　）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故答案为：AC
【分析】设为的中点，根据重心性质可得，再利用，再结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的取值范围，当直线斜率不存在时，的中点在轴上故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，再利用在双曲线上和代入法，所以，两式相减可得，再结合中点坐标公式和两点求斜率公式和不共线，所以，即，再结合双曲线的离心率公式得出，综上得出双曲线的离心率的取值范围，再利用两点求斜率公式和双曲线的离心率公式以及二次函数的图象求值域的方法得出直线 斜率的取值范围。
26．（2023高三下·浙江月考）设椭圆，，为椭圆C上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（　　）
A．的最大值为
B．直线的斜率乘积为定值
C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D．直线过定点
【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，在椭圆上，，，
，
由题意知：，的对称轴为，
若，即时，，；
当，即时，，；
综上所述：A不符合题意；
对于B，关于轴对称，，，，
，B符合题意；
对于C，假设存在点，使得，，则∽，；
直线，直线，，，
，即或，C符合题意；
对于D，，，，
直线，即，
直线过定点，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】利用在椭圆上结合代入法得出，再利用两点距离公式得出，由题意知：，再结合二次函数的图象得出函数的对称轴为，再利用分类讨论的方法和放缩法得出；利用关于轴对称，进而得出点B的坐标，再结合两点求斜率公式得出；假设存在点，使得，，则∽，再利用两三角形相似对应边成比例，所以，再利用直线，直线得出，，再结合两点距离公式得出点P的坐标；利用，结合两点求斜率公式得出直线AN的斜率，再利用点斜式得出直线AN的方程，从而转化为直线的斜截式方程，进而得出直线过定点，从而找出正确的选项。
27．（2023·广州模拟）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（　　）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】B,C
【知识点】函数的最值及其几何意义；两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A不符合题意；
对于B，，则，
显然，因此，B符合题意；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C符合题意；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】设点，依题意结合两点距离公式得出，再利用放缩法和一元二次不等式求解方法得出点的横坐标的取值范围；再利用，则，显然，再利用两点距离公式得出的取值范围；利用三角形的面积公式和正弦函数的值域，进而得出三角形的面积的最大值，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由得出交点坐标，进而得出三角形面积的最大值；利用点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，从而结合两点距离公式得出的值，从而找出结论正确的选项。
28．（2023·菏泽模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（　　）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，A不符合题意；
B：
设，
，，
，
，
又 ，
，B符合题意；
C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，C符合题意；
D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】设，代入双曲线方程，结合“平方差”法，求得，可判定A不符合题意；设，求得，得到，可判定B符合题意；设，求得，分别求得，和，可判定C符合题意；根据双曲线的定义，得到，根据题意得到直线的方程，求得 ，得到，结合点点和到直线的距离，得到，结合对称，可判定D符合题意.
29．（2022·吉林模拟）如图，正四棱柱中，，动点P满足，且.则下列说法正确的是（　　）
A．当时，直线平面
B．当时，的最小值为
C．若直线与所成角为，则动点P的轨迹长为
D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
【答案】A,B,C
【知识点】两点间距离公式的应用；轨迹方程；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A，取相交于点，的中点为，如下图所示：
当时，即，，由平面向量线性运算法则可知，
点在线段上，由正四棱柱可得，且平面，又平面，所以，
又，且平面，所以平面；
又因为平面与平面是同一平面，所以平面，即A符合题意；
对于B，当时，由利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上；
由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以；
取平面进行平面距离分析，如下图所示：
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
此时点为线段的中点，即的最小值为，B符合题意；
对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内，
若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为；
则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图中细虚线所示：
所以动点P的轨迹长为，C符合题意；
对于D，当时，取的中点为，即；
由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示：
易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为，；
作于点，设，易知，
由相似比可得，
设外接球半径为，则，解得；
所以，
易知当时，半径最小为；当时，半径最大为；
又，所以半径的取值范围是，即D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】取相交于点，的中点为，当时结合平面向量基本定理得出，，由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，由正四棱柱可得，且平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面；再利用平面与平面是同一平面，所以平面；当时，由结合共线定理可得三点共线，即点在线段上，由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以，再结合几何法和三点共线的判断方法，进而得出的最小值；由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内，若直线与所成角为，在线段上取点，使，进而得出直线与所成角；再结合圆的定义判断出点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，再结合弧长公式得出动点P的轨迹长；当时，取的中点为，即，再利用平面向量基本定理和三点共线的判断方法，所以点在线段上，易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为，，作于点，设，易知，由相似比可得，设外接球半径为，再利用勾股定理和二次函数的图象求最值的方以及，从而得出半径的取值范围，进而找出说法正确的选项。
30．（2023·深圳模拟）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（　　）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，A不符合题意；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，B符合题意；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，C符合题意；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】将直线代入抛物线方程，得到，进而得到和
，求得，则，得到点到准线的距离和弦长，当时，得到，可判定A不符合题意；当时，求得，可判定B符合题意；当时，求得，结合基本不等式，可判定C符合题意；当时，求得，令，得到，结合对勾函数的性质，可判定D不符合题意．
31．（2023·南通模拟）已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，
所以，即，
同理，
，即，也即，B符合题意；
不一定为A不符合题意；
正确；
正确，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出切线的方程，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系、再结合数量积的坐标表示、韦达定理、两点距离公式，进而找出正确的选项。
三、填空题
32．（2023·闵行模拟）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
故答案为：
【分析】利用圆：得出圆心坐标和半径长，设点和抛物线代入法得出，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，再利用两点距离公式得出t的取值范围，从而得出点P的横坐标的取值范围。
33．（2023·广东模拟）过点作直线与圆相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意可知，最长弦为圆的直径：
在圆内部且圆心到的距离为
最短弦长为：
弦长为整数的直线的条数有：条
其中长度不超过的条数有：条
所求概率：
本题正确结果：
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出弦长长度不超过14的概率。
34．（2023·黄浦模拟）已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为　 　.
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设、分别为A、B点的起点，、分别为A、B点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积.如图所示，
则，，设，，
∵曲线方程：，
曲线方程：，
，即：，
，即：，
记为圆的面积，为圆的面积，为与、围成的面积，为与、围成的面积，为上半圆环的面积，为线段AB扫过的面积.
则，
因为，，，所以，所以，所以，
所以，
又因为，，，所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设、分别为A、B点的起点，、分别为A、B点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积，从而得出点，的坐标，设，，再利用曲线方程：，曲线方程：，再联立方程求出交点，的坐标，记为圆的面积，为圆的面积，为与、围成的面积，为与、围成的面积，为上半圆环的面积，为线段AB扫过的面积，再结合圆的面积公式得出，再利用已知条件结合勾股定理得出，所以，再结合三角形的面积公式得出，再利用已知条件和勾股定理得出，所以，再结合三角形的面积公式和作差法得出，再利用作差法得出线段AB所扫过的区域的面积。
35．（2023·合肥模拟）已知AB为圆C：的一条弦，M为线段AB的中点．若（O为坐标原点），则实数m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设，因为圆C的圆心为，
所以，
所以
又因为，则
所以，即
即，
当时，表示点，圆，
因为M为线段AB的中点，所以在圆内，即，满足题意；
当时，表示点，圆，
则，满足题意；
当时，在以为圆心，为半径的圆上，
且，
所以圆的圆心在圆的内部，且圆的半径，即小于圆的半径，故圆与圆必相交，满足在圆内，故，
所以实数m的取值范围是
故答案为：
【分析】设，再利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标，再结合勾股定理和，所以，再结合得出实数m的取值范围，再结合分类讨论的方法和点与圆的位置关系以及已知条件得出实数m的取值范围。
36．（2023·合肥模拟）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据题意可得，设，则直线的方程为，再联立两直线方程得出交点Q的坐标，由得出两直线斜率相等可得，再利用P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即，可得，即，再结合一元二次不等式求解方法得出双曲线E的离心率的取值范围。
37．（2023·浙江模拟）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性：，
于是四边形为平行四边形，由，故，记，
根据椭圆定义，，在中，根据余弦定理：，
即，对两边平方，，故，
显然，根据三角形的面积公式：，由，
即，不等式两边同时除以，整理得到，
结合椭圆离心率范围解得；
另一方面，由余弦定理结合基本不等式：，解得.
于是，.
故答案为：
【分析】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性得出，于是四边形为平行四边形，由，故，记，根据椭圆定义和余弦定理得出，显然，根据三角形的面积公式和四边形的面积公式和，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式以及一元二次不等式求解方法得出椭圆离心率范围，再由余弦定理结合基本不等式求最值的方法以及交集的运算法则得出椭圆的离心率的取值范围。
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压轴题08 解析几何（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·赣州模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为，．椭圆在第一象限存在点，使得，直线与轴交于点，且是的角平分线，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·赣州模拟）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值可以为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
3．（2023·漳州模拟）已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线交于两点，且，，则当取得最小值时，双曲线的离心率为（　　）
A．3 B． C．2 D．
4．（2023·武威模拟）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·武威模拟）已知正三角形的边长为6， ，，且，则点到直线距离的最大值为（　　）
A． B．3 C． D．
6．（2023·广州模拟）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
7．（2022·广东模拟）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接、，分别与直线交于M、N两点，若，则（　　）
A．21 B．9 C．21或 D．21或9
8．（2022·昆明模拟）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与交于A，两点，且，设直线的斜率为，则（　　）
A． B． C． D．2
9．（2022·浙江模拟）已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（　　）
A． B． C． D．
10．（2022·海淀模拟）已知为抛物线的焦点，点在抛物线上.若，则（　　）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．是等差数列 D．是等比数列
11．（2022·延庆模拟）已知曲线的方程为，直线的方程为．当直线与曲线有两个交点时，实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022·通州模拟）已知直线l：和圆C：，若存在三点A，B，D，其中点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·湖南模拟）中心在坐标原点O的椭圆的上顶点为A，左顶点为B，左焦点为F．已知 ，记该椭圆的离心率为e，则（　　）
A． B． C． D．
14．（2022·湖北二模）在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（　　）
A． B．1 C． D．2
15．（2022·许昌模拟）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
16．（2022·聊城二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（　　）
A．0 B． C． D．8
17．（2022·新疆模拟）已知点是双曲线上的动点，，分别为其左，右焦点，为坐标原点.则的最大值是（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
18．（2022·来宾模拟）平面直角坐标系中有两点和，以为圆心，正整数i为半径的圆记为，以O2为圆心，正整数j为半径的圆记为.对于正整数（），点是圆与圆的交点，且，，，，都位于第二象限，则这5个点都在同一（　　）
A．直线上 B．椭圆上 C．抛物线上 D．双曲线上
19．（2022·石家庄模拟）已知，点P是抛物线上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
20．（2022·广安模拟）已知双曲线的一条渐近线为直线，的右顶点坐标为．若点是双曲线右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022·济南模拟）已知直线与直线相交于点P，点，O为坐标原点，则的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．
二、多选题
22．（2023·台州模拟）设抛物线：焦点为，点为抛物线准线上的点，经过点的动直线与抛物线交于不同的两点，其中坐标原点为，则（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
23．（2023·安庆模拟）已知、为抛物线上两点，以，为切点的抛物线的两条切线交于点，设以，为切点的抛物线的切线斜率为，，过，的直线斜率为，则以下结论正确的有（　　）
A．，，成等差数列；
B．若点的横坐标为，则；
C．若点在抛物线的准线上，则不是直角三角形；
D．若点在直线上，则直线恒过定点；
24．（2023·宣城模拟）已知点，，且点在圆上，为圆心，则下列结论正确的是（　　）
A．直线与圆相交所得的弦长为4
B．的最大值为
C．的面积的最大值为2
D．当最大时，的面积为1
25．（2023·白山模拟）设双曲线的右焦点为，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则（　　）
A．的离心率的取值范围为
B．的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
26．（2023高三下·浙江月考）设椭圆，，为椭圆C上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（　　）
A．的最大值为
B．直线的斜率乘积为定值
C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或
D．直线过定点
27．（2023·广州模拟）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，则下列结论正确的是（　　）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的取值范围是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
28．（2023·菏泽模拟）已知双曲线的左 右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左 右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（　　）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
29．（2022·吉林模拟）如图，正四棱柱中，，动点P满足，且.则下列说法正确的是（　　）
A．当时，直线平面
B．当时，的最小值为
C．若直线与所成角为，则动点P的轨迹长为
D．当时，三棱锥外接球半径的取值范围是
30．（2023·深圳模拟）已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（　　）
A．当时，以AB为直径的圆与相交
B．当时，以AB为直径的圆经过原点O
C．当时，点M到的距离的最小值为2
D．当时，点M到的距离无最小值
31．（2023·南通模拟）已知抛物线的焦点为，以该抛物线上三点为切点的切线分别是，直线相交于点与分别相交于点.记的横坐标分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
32．（2023·闵行模拟）已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是　 　．
33．（2023·广东模拟）过点作直线与圆相交，则在弦长为整数的所有直线中，等可能的任取一条直线，则弦长长度不超过14的概率为　 　.
34．（2023·黄浦模拟）已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为　 　.
35．（2023·合肥模拟）已知AB为圆C：的一条弦，M为线段AB的中点．若（O为坐标原点），则实数m的取值范围是　 　．
36．（2023·合肥模拟）已知双曲线E：的左右焦点分别为，，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与轴交于Q点．若，则双曲线E的离心率的取值范围为　 　．
37．（2023·浙江模拟）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【解析】【解答】由题意得，
又由椭圆定义得，
记，
则，，
则，
所以，
故，
则，
则，即（负值已舍）．
故答案为：B．
【分析】由题意和焦距的定义得出，又由椭圆定义得，记，则，，则，所以，再利用两三角形相似的判定定理，故，再结合两三角形相似的性质，则，进而得出，再利用椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率的值。
2．【答案】C
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.
设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.
因为为，所以，即为等边三角形，
所以，即或，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点，设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为，再利用为，所以，再结合等边三角形的定义判断出三角形为等边三角形，所以，所以或，从而解方程得出m的值。
3．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，
为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线的离心率.
故答案为：D.
【分析】不妨设位于第一象限，双曲线的右焦点为，连接，，再利用O为中点，所以四边形为平行四边形，所以，，设，，再利用双曲线的定义得出，由结合数量积的定义得出mn的值，在中结合余弦定理和双曲线中a，b，c三者的关系式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值，再结合双曲线的离心率公式得出当取得最小值时的双曲线的离心率的值。
4．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】已知双曲线，可知，则，
所以，分别为的左、右焦点，则，即，
设到直线的距离为，到直线的距离为，且，则.
故答案为：A.
【分析】利用双曲线结合双曲线的离心率公式和已知条件可知m的值，所以，分别为的左、右焦点，再结合双曲线的定义得出，设到直线的距离为，到直线的距离为，且，再结合几何法得出 到直线的距离与到点的距离之和的最小值。
5．【答案】D
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；点到直线的距离公式
【解析】【解答】因为，所以，
所以．如图，设，
，则．因为，，
所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，点到直线的距离取得最大值．
故答案为：D
【分析】利用，所以，再利用平面向量基本定理和，，则，再结合，，所以点在线段上运动，显然，当点与点重合时，进而得出点到直线的距离的最大值。
6．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故答案为：A
【分析】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设抛物线的方程为：，显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，由结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示得出p的值，从而结合抛物线的焦点坐标求解方法得出抛物线：的焦点F的坐标，再利用中点坐标公式得出弦的中点的纵坐标，从而得出点M的坐标，显然直线的斜率最大，必有，再利用两点求斜率公式和均值不等式求最值的 方法得出直线的斜率的最大值。
7．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，双曲线，可得，
设直线和直线的方程分别为和，
则，
因为，所以，即，
设方程为，
联立方程组，整理得，
设，则
所以，
即，
所以，即，解得或．
故答案为：C.
【分析】由题意可得可得，设直线和直线的方程分别为和，则，由，可得，设方程为，联立双曲线方程，设，结合韦达定理可得，进而得到即可求解。
8．【答案】A
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：抛物线的焦点为，准线，，
设直线的方程为，，
联立，消得，
则，
故，
解得，
当时，则，解得或4，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
当时，则，解得或1，
故两交点坐标为，
点与交点所在直线得斜率为，
点与交点所在直线得斜率为，
所以.
故答案为：A.
【分析】设直线的方程为，，联立椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式可得即可得，（1）当时，求得两交点坐标，即可求解；（2）当时，同样求得两交点坐标，即可求解。
9．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意可得如图椭圆，
是直角三角形，，
不妨设，则，
因为，
所以，
，
所以离心率．
故答案为：A．
【分析】由题意设，则，结合椭圆定义得，所以，结合勾股定理解得的值，从而求得 该椭圆离心率 .
10．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题可知，抛物线的焦点为，准线为，
点在抛物线上，由抛物线的定义可知，
点到焦点的距离，即为点到准线的距离，故，同理；
所以，解得.
故数列是等差数列.
故答案为：A.
【分析】首先由抛物线的简单性质求出焦点的坐标以及准线的方程，再结合抛物线的定义整理化简，集合等差数列的定义就得出答案。
11．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】曲线如图所示，
显然直线的经过点A、B时，有两个交点，此时把或代入，解得：a=1；
直线的经过点E、D时，有两个交点，此时把或代入，解得：a=-1；
如图示，直线l1，l2与曲线C相切时，有三个交点，所以要使直线与曲线有两个交点，只需直线l夹在l1，l2之间.
当直线l1与曲线C相切时，即为直线l1与曲线C在第一象限部分相切，
所以消去y，整理化简得：.
由，解得：，此时符合题意；
同理可求：当直线l2与曲线C相切时，即为直线l2与曲线C在第一象限部分相切，求出
，此时符合题意；
所以直线l夹在l1，l2之间时，.
综上所述：即直线与曲线有两个交点，实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合绝对值的定义，进而将函数转化为分段函数，再利用分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分段函数的图象结合直线与曲线有两个交点，从而联立直线与曲线的方程，再结合判别式法和直线与曲线相切位置关系判断方法，进而求出实数的取值范围。
12．【答案】C
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】因为圆C的半径为1，所以，即正方形的边长为1，对角线为，即，
设点C到直线l的距离为d，
存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使，
所以，
即，解得：。
故答案为：C
【分析】利用圆C的半径为1，得出正方形的边长，再结合勾股定理得出对角线，进而得出A，C两点的距离，设点C到直线l的距离为d，存在点A在直线l上，点B和D在圆C上，使得四边形ABCD是正方形，相当于存在点A使，所以，再利用点到直线的距离公式得出实数m的取值范围。
13．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；椭圆的简单性质
【解析】【解答】根据角平分线定理 ，
结合 及离心率 有 ，
化简得 ．
设
又 ，
，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递减，
所以 。
故答案为：C.
【分析】根据角平分线定理得出 ，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式得出，设 再利用零点存在性定理和导数判断单调性的方法，进而得出椭圆的离心率的取值范围。
14．【答案】C
【知识点】轨迹方程；直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，
因为，所以，
所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
则点的轨迹为圆弧，
连接，则，
因为，，
所以，
则弧的长度，
所以。
故答案为：C.
【分析】利用平面，所以即为直线与平面所成的角，进而得出的值，再利用，得出AM的长，再利用圆的定义判断出点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，进而得出点的轨迹为圆弧，连接，进而得出AF的长，再利用，，得出的值，再结合弧长公式得出弧的长度，再结合正切函数的定义求出的值。
15．【答案】A
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】设线段的中点为D，
圆的圆心为，半径为，
到直线的距离为，
所以，D点的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设D点的轨迹为圆D，
圆D上的点到直线的最短距离为，
所以。
故答案为：A
【分析】设线段的中点为D，再利用圆的一般方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，进而得出CD的长，再利用两点距离公式得出点D的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设D点的轨迹为圆D，再利用点到直线的距离公式得出圆D上的点到直线的最短距离，再结合平行四边形法则和中点的性质以及几何法，进而得出 的最小值 。
16．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；直线的一般式方程与直线的平行关系；点到直线的距离公式
【解析】【解答】由，则，又，
的最小值转化为：
上的点与上的点的距离的平方的最小值，
由，得：，
与平行的直线的斜率为1，
∴，解得或（舍，可得切点为，
切点到直线之间的距离的平方，即为的最小值，
的最小值为：。
故答案为：D.
【分析】由，则，再利用，的最小值转化为：上的点与上的点的距离的平方的最小值，由，再利用导数的几何意义和两直线平行斜率相等的判断方法，进而得出与平行的直线的斜率，再利用已知条件得出切点的横坐标，再结合代入法得出切点的纵坐标，进而得出切点的坐标，再利用点到直线的距离公式得出切点到直线之间的距离的平方，进而得出的最小值。
17．【答案】D
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线的对称性，假设在右支上，即，
由到的距离为，而，
所以，
综上，，同理，则，
对于双曲线，有且，
所以，而，即.
故答案为：D
【分析】设在右支上，由双曲线的第二定义即可得，，再代入进行化简，再结合P在双曲线上，坐标满足双曲线方程，即可得，即可求解。
18．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的共同特征；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由题意，圆的方程为，即，
圆的方程为，即，
联立可得，即，
解得，
代入的方程得，即，
解得，
又由，
所以，
即，所以这5个点都在同一个双曲线上.
故答案为：D.
【分析】首先联立圆的方程求解出点的坐标，再由圆的几何意义以及双曲线的定义整理化简即可得出答案。
19．【答案】A
【知识点】两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F，P，M三点共线时，最小为。
故答案为：A
【分析】由抛物线可知焦点坐标和准线方程，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，再利用抛物线的定义得出，当F，P，M三点共线时，得出的最小为，再结合勾股定理得出 的最小值 。
20．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设双曲线方程为 ，则 ，所以 ，
双曲线方程为 ， 得 ， ，因此 在双曲线外部（不含焦点的部分），
又 ，所以 ， ，即双曲线的右准线是 ，记双曲线的右焦点为 ，则 ，
，所以当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，而 ，所以 的最小值是 。
故答案为：C．
【分析】设双曲线方程为 ，再利用双曲线 的一条渐近线为直线 ， 的右顶点坐标为 ，从而结合右顶点与a的关系以及双曲线的渐近线方程，得出a，b的方程组，再解方程组求出a，b的值，进而得出双曲线的标准方程，再利用点 是双曲线 右支上的动点，点 的坐标为 结合代入法得出点 在双曲线外部（不含焦点的部分），再利用双曲线中a，b，c三者的关系式得出c的值，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率进而得出双曲线的右准线的方程，记双曲线的右焦点为 ，再利用两点距离公式和几何法得出当 是线段 与双曲线的交点时， 取得最小值，再结合两点距离公式得出 的最小值。
21．【答案】B
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】直线 恒过定点 ，直线 恒过定点 ，
而 ，即直线 与直线 垂直，当P与N不重合时， ， ，
当P与N重合时， ，令点 ，则 ， ，
于是得 ，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图，
观察图形知，射线AP绕点A旋转 ，当旋转到与圆O： 相切时， 最大， 最大，
因 ， 为切线，点 为切点， ， ，则 ，
所以 最大值为 ， 。
故答案为：B
【分析】将直线转化为点斜式得出直线 恒过的定点M的坐标和直线 恒过额定点N的坐标，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，得出直线 与直线 垂直，当P与N不重合时， ，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，得出 ，令点 ，再结合当P与N重合时和向量的坐标表示得出 ，显然点P与M不重合，再结合圆的定义，得出点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），观察圆的图形知射线AP绕点A旋转 ，当旋转到与圆O： 相切时， 最大， 最大，再利用 ， 为切线，点 为切点， ， ，得出 的值，进而得出 的最大值，再结合正切函数的定义得出 的最大值 。
22．【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】设，与抛物线联立可得：
则
=
当时，，当且仅当时，，A不符合题意；
当时，，即与夹角小于直角，B符合题意；
又
当时，，即与夹角大于直角，C符合题意；
而
显然当，，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理得出，再利用数量积的坐标表示和韦达定理得出，再利用分类讨论的方法，当时，，当且仅当时结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以；当时，，再结合数量积求向量夹角公式得出与夹角小于直角；再利用数量积的坐标表示和韦达定理得出，当时，，再结合数量积求向量夹角公式得出与夹角大于直角；再利用数量积的坐标表示和韦达定理以及代入法得出，显然当结合数量积为0两向量垂直的等价关系，所以，进而找出正确的选项。
23．【答案】A,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，，由，得，
故，，
所以切线的方程为，即，
同理，切线的方程为，
设点坐标为，所以，，
从而为方程的两根，故，，，故，，成等差数列，A符合题意；
若，则，B不正确；
若点在抛物线的准线上，则，，故两切线垂直，
则为直角三角形，C不正确；
若点在直线上，则，
直线的方程为，即，
由于，故直线的方程为，即，
从而过定点，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】设，，由结合导数的几何意义得出直线的斜率，再利用点斜式得出切线的方程和切线的方程，设点坐标为，所以，，从而为方程的两根，再利用韦达定理，故，，再结合两点求斜率公式得出，再利用等差中项公式得出，，成等差数列；若结合两点求斜率公式得出直线AB的斜率；若点在抛物线的准线上结合代入法，则，再结合韦达定理得出，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，故两切线垂直，则为直角三角形；若点在直线上结合代入法，则，再利用点斜式方程得出直线的方程，由于，故直线的方程为，从而得出直线过定点，进而找出结论正确的选项。
24．【答案】A,B,D
【知识点】直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】圆C：，即，所以圆C是以为圆心，以2为半径的圆.
对于A，直线MN的方程为，过圆心，所以直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4，A项正确；
对于B，，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立，B项正确；
对于C，设点P到直线MN的距离为d，则，因为直线MN过圆心，所以当时，最大为 ，C项错误；
对于D，当MP与圆C相切时，最大，不妨设，此时，D项正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用圆C：得出圆心坐标和半径长。再利用直线MN的方程为过圆心，进而得出直线MN与圆C相交所得的弦长为直径4；利用已知条件结合几何法得出，当点P为MN的延长线与圆的交点时，等号成立；设点P到直线MN的距离为d，再结合三角形的面积公式和直线MN过圆心，进而得出当时的的最大值；当MP与圆C相切时，最大，不妨设，再结合三角形的面积公式得出此时三角形 的面积，从而找出结论正确的选项。
25．【答案】A,C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故答案为：AC
【分析】设为的中点，根据重心性质可得，再利用，再结合向量共线的坐标表示得出，再利用直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，故有，再结合双曲线中a，b，c三者的关系式和双曲线的离心率公式得出双曲线的离心率的取值范围，当直线斜率不存在时，的中点在轴上故三点不共线，不符合题意舍，设直线斜率为，设，再利用在双曲线上和代入法，所以，两式相减可得，再结合中点坐标公式和两点求斜率公式和不共线，所以，即，再结合双曲线的离心率公式得出，综上得出双曲线的离心率的取值范围，再利用两点求斜率公式和双曲线的离心率公式以及二次函数的图象求值域的方法得出直线 斜率的取值范围。
26．【答案】B,C,D
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】对于A，在椭圆上，，，
，
由题意知：，的对称轴为，
若，即时，，；
当，即时，，；
综上所述：A不符合题意；
对于B，关于轴对称，，，，
，B符合题意；
对于C，假设存在点，使得，，则∽，；
直线，直线，，，
，即或，C符合题意；
对于D，，，，
直线，即，
直线过定点，D符合题意.
故答案为：BCD．
【分析】利用在椭圆上结合代入法得出，再利用两点距离公式得出，由题意知：，再结合二次函数的图象得出函数的对称轴为，再利用分类讨论的方法和放缩法得出；利用关于轴对称，进而得出点B的坐标，再结合两点求斜率公式得出；假设存在点，使得，，则∽，再利用两三角形相似对应边成比例，所以，再利用直线，直线得出，，再结合两点距离公式得出点P的坐标；利用，结合两点求斜率公式得出直线AN的斜率，再利用点斜式得出直线AN的方程，从而转化为直线的斜截式方程，进而得出直线过定点，从而找出正确的选项。
27．【答案】B,C
【知识点】函数的最值及其几何意义；两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A不符合题意；
对于B，，则，
显然，因此，B符合题意；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C符合题意；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】设点，依题意结合两点距离公式得出，再利用放缩法和一元二次不等式求解方法得出点的横坐标的取值范围；再利用，则，显然，再利用两点距离公式得出的取值范围；利用三角形的面积公式和正弦函数的值域，进而得出三角形的面积的最大值，当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由得出交点坐标，进而得出三角形面积的最大值；利用点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，从而结合两点距离公式得出的值，从而找出结论正确的选项。
28．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，A不符合题意；
B：
设，
，，
，
，
又 ，
，B符合题意；
C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，C符合题意；
D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，
，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，D符合题意；
故答案为：BCD．
【分析】设，代入双曲线方程，结合“平方差”法，求得，可判定A不符合题意；设，求得，得到，可判定B符合题意；设，求得，分别求得，和，可判定C符合题意；根据双曲线的定义，得到，根据题意得到直线的方程，求得 ，得到，结合点点和到直线的距离，得到，结合对称，可判定D符合题意.
29．【答案】A,B,C
【知识点】两点间距离公式的应用；轨迹方程；球内接多面体；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】对于A，取相交于点，的中点为，如下图所示：
当时，即，，由平面向量线性运算法则可知，
点在线段上，由正四棱柱可得，且平面，又平面，所以，
又，且平面，所以平面；
又因为平面与平面是同一平面，所以平面，即A符合题意；
对于B，当时，由利用共线定理可得，三点共线，即点在线段上；
由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以；
取平面进行平面距离分析，如下图所示：
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
此时点为线段的中点，即的最小值为，B符合题意；
对于C，由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内，
若直线与所成角为，在线段上取点，使，则直线与所成角为；
则点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，如下图中细虚线所示：
所以动点P的轨迹长为，C符合题意；
对于D，当时，取的中点为，即；
由可知，三点共线，即点在线段上，如下图所示：
易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为，；
作于点，设，易知，
由相似比可得，
设外接球半径为，则，解得；
所以，
易知当时，半径最小为；当时，半径最大为；
又，所以半径的取值范围是，即D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】取相交于点，的中点为，当时结合平面向量基本定理得出，，由平面向量线性运算法则可知，点在线段上，由正四棱柱可得，且平面，再结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面；再利用平面与平面是同一平面，所以平面；当时，由结合共线定理可得三点共线，即点在线段上，由对称性可知，线段上的点到两点之间的距离相等，所以，再结合几何法和三点共线的判断方法，进而得出的最小值；由图可知，与所成角都为，由可知，点在平面内，若直线与所成角为，在线段上取点，使，进而得出直线与所成角；再结合圆的定义判断出点的轨迹是以为圆心，半径为，且在平面内的半圆弧，再结合弧长公式得出动点P的轨迹长；当时，取的中点为，即，再利用平面向量基本定理和三点共线的判断方法，所以点在线段上，易知三棱锥外接球球心在直线上，设球心为，，作于点，设，易知，由相似比可得，设外接球半径为，再利用勾股定理和二次函数的图象求最值的方以及，从而得出半径的取值范围，进而找出说法正确的选项。
30．【答案】B,C
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】抛物线，准线方程是，
直线代入，可得，，
设，则，
，
，
设，则，
点到准线的距离，
，
当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，A不符合题意；
当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，B符合题意；
当时，即，得，
则，当且仅当时等号成立，C符合题意；
当时，即，得，
所以，令，
则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增，
故当时，取最小值，D不符合题意．
故答案为：BC．
【分析】将直线代入抛物线方程，得到，进而得到和
，求得，则，得到点到准线的距离和弦长，当时，得到，可判定A不符合题意；当时，求得，可判定B符合题意；当时，求得，结合基本不等式，可判定C符合题意；当时，求得，令，得到，结合对勾函数的性质，可判定D不符合题意．
31．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设，
所以，即，
同理，
，即，也即，B符合题意；
不一定为A不符合题意；
正确；
正确，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出切线的方程，再结合数量积为0两向量垂直的等价关系、再结合数量积的坐标表示、韦达定理、两点距离公式，进而找出正确的选项。
32．【答案】
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】圆：的圆心，半径，设点，有，
依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，
即有，于是，
即，整理得，解得，
所以点P的横坐标的取值范围是.
故答案为：
【分析】利用圆：得出圆心坐标和半径长，设点和抛物线代入法得出，依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，即有，再利用两点距离公式得出t的取值范围，从而得出点P的横坐标的取值范围。
33．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意可知，最长弦为圆的直径：
在圆内部且圆心到的距离为
最短弦长为：
弦长为整数的直线的条数有：条
其中长度不超过的条数有：条
所求概率：
本题正确结果：
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出弦长长度不超过14的概率。
34．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设、分别为A、B点的起点，、分别为A、B点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积.如图所示，
则，，设，，
∵曲线方程：，
曲线方程：，
，即：，
，即：，
记为圆的面积，为圆的面积，为与、围成的面积，为与、围成的面积，为上半圆环的面积，为线段AB扫过的面积.
则，
因为，，，所以，所以，所以，
所以，
又因为，，，所以，所以，
所以，
所以.
故答案为：.
【分析】设、分别为A、B点的起点，、分别为A、B点运动的终点，则图中阴影部分即为线段AB扫过的面积，从而得出点，的坐标，设，，再利用曲线方程：，曲线方程：，再联立方程求出交点，的坐标，记为圆的面积，为圆的面积，为与、围成的面积，为与、围成的面积，为上半圆环的面积，为线段AB扫过的面积，再结合圆的面积公式得出，再利用已知条件结合勾股定理得出，所以，再结合三角形的面积公式得出，再利用已知条件和勾股定理得出，所以，再结合三角形的面积公式和作差法得出，再利用作差法得出线段AB所扫过的区域的面积。
35．【答案】
【知识点】圆方程的综合应用
【解析】【解答】设，因为圆C的圆心为，
所以，
所以
又因为，则
所以，即
即，
当时，表示点，圆，
因为M为线段AB的中点，所以在圆内，即，满足题意；
当时，表示点，圆，
则，满足题意；
当时，在以为圆心，为半径的圆上，
且，
所以圆的圆心在圆的内部，且圆的半径，即小于圆的半径，故圆与圆必相交，满足在圆内，故，
所以实数m的取值范围是
故答案为：
【分析】设，再利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标，再结合勾股定理和，所以，再结合得出实数m的取值范围，再结合分类讨论的方法和点与圆的位置关系以及已知条件得出实数m的取值范围。
36．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】如下图所示，根据题意可得，
设，则直线的方程为，
所以直线与轴的交点，
由可得，即，
整理得，即；
又因为P为双曲线右支上一点，所以，
当时，共线与题意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即双曲线E的离心率的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据题意可得，设，则直线的方程为，再联立两直线方程得出交点Q的坐标，由得出两直线斜率相等可得，再利用P为双曲线右支上一点，所以，当时，共线与题意不符，即，可得，即，再结合一元二次不等式求解方法得出双曲线E的离心率的取值范围。
37．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性：，
于是四边形为平行四边形，由，故，记，
根据椭圆定义，，在中，根据余弦定理：，
即，对两边平方，，故，
显然，根据三角形的面积公式：，由，
即，不等式两边同时除以，整理得到，
结合椭圆离心率范围解得；
另一方面，由余弦定理结合基本不等式：，解得.
于是，.
故答案为：
【分析】取椭圆的左焦点，连接，根据椭圆的对称性得出，于是四边形为平行四边形，由，故，记，根据椭圆定义和余弦定理得出，显然，根据三角形的面积公式和四边形的面积公式和，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式以及一元二次不等式求解方法得出椭圆离心率范围，再由余弦定理结合基本不等式求最值的方法以及交集的运算法则得出椭圆的离心率的取值范围。
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