【精品解析】压轴题11 概率统计（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题11 概率统计（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·安庆模拟）为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.
（1）设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；
（2）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？
2．（2023·张家界模拟）2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：
其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．
（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．
（3）现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．
3．（2023·广州模拟）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
4．（2023·大理模拟）党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：
不了解 了解
女职工 30 70
男职工 20 80
附：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？
（2）为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
5．（2022·安丘模拟）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic
Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 和 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 ，其中 ．
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求p的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列．
6．（2022·济南模拟）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品．
（1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．
（2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．
7．（2022·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
8．（2022·湖南模拟）某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 ，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测 个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这 个电子元件进行逐一检测．
（1）记对电子元件总的检测次数为 ，求 的概率分布和数学期望；
（2）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装进电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有 个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．记当系统配置 个电子元件时，系统正常工作的概率为 ．我们认为当 时，增加两个电子元件提高了该系统的可靠性．
①若 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？
②对于 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？
9．（2022·龙岩三模）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛 竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.
10．（2022·潍坊二模）随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在三家网店订单“秒杀”成功的概率均为，三人是否抢购成功互不影响．记三人抢购到的订单总数为随机变量．
（1）求的分布列及；
（2）已知每个订单由件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值．
11．（2022·渭滨模拟）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0~25分贝，并规定测试值在区间内为非常优秀，测试值在区间内为优秀某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成如图所示的频率分布直方图．
（1）现从测试值在内的同学中随机抽取4人，记听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与均值；
（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4．测试前将音又随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，，记（其中，，，的值等于音叉的正确序号），可用Y描述两次排序的偏离程度，求的概率．
12．（2022·枣庄一模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．
（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．
（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
（i）；
（ii）的分布列及数学期望．
13．（2022·深圳模拟）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
14．（2022·石家庄模拟）北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；
（2）视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在的概率为，，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由.
15．（2022·山西模拟）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.
（1）求甲夺得冠军的概率；
（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
16．（2022·马鞍山模拟）某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．
（注：收益率）
等级 一等品 二等品 三等品
指标值
产品收益率
（1）求的值；
（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．
17．（2022·福建模拟）某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军，决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每盘比赛甲获胜的概率为，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛盘数为X．
（ⅰ）求，并求当取最大值时p的值；
（ⅱ）结合实际，谈谈（ⅰ）中结论的意义；
（2）当时，记总共进行的比赛盘数为Y，求．
18．（2022·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
19．（2022·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
20．（2021·江西模拟）某种疾病可分为 、 两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患 型病的人数占男性病人的 ，女性患 型病的人数占女性病人的 .
（1）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次接种花费 元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次花费 元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当 ， 时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附： ，
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
21．（2021·南通模拟）在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为 .
（1）若 ，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；
（2）混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与 的值是否有关？
(参考数据： ， )
22．（2021·南通模拟）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当 时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设 为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求 的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
23．（2021·永州模拟）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为 ， .
（1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若 ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.
24．（2021·桂林模拟）十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为 ， ．
（1）若 ， ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当 ，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
25．（2021·济南模拟）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 （例如： 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率 ．
（i）当 时，求控制系统中正常工作的元件个数 的分布列和期望；
（ii）计算 ．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件高端产品的利润是2元．请用 表示出设备升级后单位时间内的利润 （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
26．（2021·唐山模拟）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
参考数据： ， ， ， ， .
（1）若 ， ，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（ 且 ）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 ，为使混合检验需要的检验的总次数 的期望值比逐份检验的总次数 的期望值更少，求k的取值范围.
27．（2021·江西模拟）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场 流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲 乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为 ，乙在A点的命中率为 ，在B点的命中率为 ，且他们每次套圈互不影响.
（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为 ，乙的得分为 ，写出 和 的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的取值范围
28．（2021·南昌模拟）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红 小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
29．（2021·惠州模拟）运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 “归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将 中的任意一个整数替换 的值并输出 的值，反复按回车键执行以上操作直到输出 后终止操作.
（1）若输入的初始值 为3，记按回车键的次数为 ，求 的概率分布与数学期望；
（2）设输入的初始值为 ，求运行“归零”程序中输出 的概率.
30．（2021·江西模拟）已知正三角形 ，某同学从 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子 次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为： ， ， ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 ， ，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， ；
（2）记 ， ， ，其中 ， ，求 .
答案解析部分
1．【答案】（1）解：记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.
其分布列为
5 4 3 2
，
.
（2）解：设小A每天赢得的局数为，则，
于是.
根据条件得，
由①得，得，
同理由②得，所以，
又因为，所以，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望，再利用随机变量的数学期望求方差公式得出随机变量X的方差。
（2） 设小A每天赢得的局数为，则，再利用二项分布求概率公式得出，根据条件得，由①结合组合数公式得出实数k的取值范围，同理由②得出实数k的取值范围，再利用，进而得出k的值，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大。
2．【答案】（1）解：线上同学平均分分；
线下同学平均分分；
又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，
所以所有200名同学的平均分分.
（2）解：线上同学成绩良好人数为人，
线下同学成绩良好人数为人，
所以抽取数学成绩为良好，且，故线下的可能性大.
（3）解：由线下成绩中等同学人数为人，其它同学人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，
要使最大，则，即，
所以，则，故.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的意义；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这200名学生的数学平均分。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合比较法判断出线下的可能性大。
（3） 利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式得出线下成绩中等同学人数，进而得出其它同学人数，所以从线下学生中随机抽取10名同学，进而得出抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，要使最大，则，进而得出实数k的取值范围，从而得出满足要求的k的值。
3．【答案】（1）解：甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）解：①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出甲前3次答题得分之和为40分的概率。
（2） ①利用已知条件结合古典概型求概率公式、独立事件乘法求概率公式和数学期望公式以及数学期望的性质，进而得出与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，结合数学期望的性质，从而得出当时，，而，再利用等比数列的定义，因此数列以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出，显然数列是递增数列，再利用数列的单调性，进而得出正整数i的最小值。
4．【答案】（1）解：零假设为：对党史知识的了解情况与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分的理由说明不成立，则不能认为对党史知识的了解情况与性别有关
（2）解：设事件A为“第二支部从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则彼此互斥，且，
，
，
，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出不能认为对党史知识的了解情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率。
5．【答案】（1）解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵ ，∴ ，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
（2）解：
整理得 ，解得 或 ，
又∵ ，∴ ；
（3）解：由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为： ，
进入决赛的人数为 可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
6．【答案】（1）解：由题意知，X的取值为0，1，2．
，，．
所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为
X 0 1 5
P
（2）解：记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，
则，
由题意，，
所以，即，
设，则，
所以，则递减，
因为，，
所以当时，成立，故n的最小值为6．
【知识点】函数单调性的性质；离散型随机变量及其分布列；概率的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 由题意知随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（2） 记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，再利用二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出事件A的概率，由题意得出，所以，设，再利用减函数的定义判断出函数递减，再利用代入法得出，，进而得出当时，成立，从而得出n的最小值。
7．【答案】（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）解：①当 ， 时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为 ，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为 ，总共需要检验的次数为6次；所以 的分布列为：
1 6
P
所以 ．
②当采用混合检验的方案时 ，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，
即 ，化简得 ，
所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数．
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式得出5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率。
（2） ① 利用已知条件结合独立乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量 的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量的数学期望；
② 当采用混合检验的方案时，再结合随机变量的数学期望公式得出 ，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，化简得出实数p的取值范围，所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数。
8．【答案】（1）解：X可能的取值为 ，
，
所以， 的概率分布为
X 1
P
所以X的数学期望 ．
（2）解：① ，
所以 ，所以若 ， 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．
②由①知， ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．
当 时，
若前 个电子元件中恰有 个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作；
若前 个电子元件中恰有n个正常工作，此时后两个元件至少有1个正常工作；
若前 个电子元件中至少有 个正常工作，此时系统必定正常工作．
可以求得：
，
故
，
令 ，得 ．即 ，
所以对于 ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） ① 利用已知条件结合二项分布求概率公式和作差法得出 ，进而得出p的取值范围，再利用 ， 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性；
②由①知， ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性，当 时，再利用分类讨论的方法结合二项分布求概率公式和求和法，进而得出，再利用作差法得出 ，令 ，得出P的取值范围，进而得出对于 ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性。
9．【答案】（1）解：记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题.
；
（2）解：由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
又
当且仅当时，等号成立，
，，
，
令 则
开口向下，对称轴： 当时，
设要进行轮竞赛，则解得：
至少要进行11轮竞赛.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据获“优秀小组”的标准，分情况讨论甲、乙答对问题的情况，最后求出概率；
（2）根据（1）的方法列出概率表达式，然后从函数的角度利用换元法求其最值得出结论即可.
10．【答案】（1）解：由题意知：的所有可能取值为，则，
，，，，
的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：，．
令，则，，
则当时，；当时，；当时，；
取最小值时正整数的值为3或4
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）由题意知随机变量的所有可能取值，再利用已知条件得出， 再结合二项分布求概率公式得出随机变量Z的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Z的数学期望。
（2）利用 结合数学期望的性质得出，令，则，得出，则当时，；当时，；当时，；进而得出取最小值时的正整数的值。
11．【答案】（1）解：测试值在内的有（人）；
测试值在内的有（人）．
则X的所有可能取值为，
，，，，．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
（2）解：序号，，，的排列总数为．
而的奇偶性与同奇偶性，
而，故为偶数.
当时，，，，；
当时，则，，，的取值为：
，，，或，
，，，或，
，，，．
∴．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出测试值在内和测试值在内的人数，进而得出随机变量X的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用排列数公式得出序号，，，的排列总数，而的奇偶性与同奇偶性，而，故为偶数，再利用分类讨论的方法和古典概型求概率公式，进而得出 的概率。
12．【答案】（1）解：记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则由全概率公式：，所求概率为
（2）解：设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的.
则，，.
（i）；
（ii）随机变量的分布列为
0 2 5
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式得出在题答对的情况下，他知道单项选择题正确答案的概率。
（2） （i)设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的，再利用条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，进而得出 的值；
(ii)利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
13．【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
；
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）解：由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
4.5 3.6
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而结合 以及作差法，得出 ，进而得出业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式以及对立事件求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望与p的关系式，再结合 ，进而得出的取值范围。
14．【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数
（分），
设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，
，
所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.
（2）解：估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大，
由已知得X ~ B(20，0.35)，
，
令，
即，
即，解得，
由，，
所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图求平均数和中位数的方法，进而估计出被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数。
（2） 利用已知条件，估计出这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大，进而得出随机变量X服从二项分布，即X ~ B(20，0.35)，再结合二项分布求概率公式结合单调性求最值的方法，再利用k的取值范围，进而得出k的值，从而得出这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大。
15．【答案】（1）解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，
事件“甲在第i局比赛中未胜”.
显然，，.
记事件“甲夺得冠军”，
则.
（2）解：设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.
则，
故.
记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.
因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.
由题意知比赛前盒内有6颗新球.
比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，
此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，
故下次必取得新球.即.
于是
.
故X的分布列为
X 3 4 5
P
故X的数学期望.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出甲夺得冠军的概率。
（2） 设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知随机变量Y的可能的取值，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量Y的分布列，记 “第i局比赛后抽到新球”， “第i局比赛后抽到旧球”，再利用每个求最多使用两次，进而得出随机变量X的取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
16．【答案】（1）解：由题可得，
解得.
（2）解：①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
∴.
②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品的收益：，
产品的收益：，
∴，
因为，
所以，即，
故投资产品A的收益更大．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，从而求出a的值。
（2） ①由频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可知产品为一等品的概率、二等品概率和三等品概率，由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值，再利用已知条件得出随机变量X服从二项分布，再利用二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
②由题结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可得产品为一等品的概率、，二等品的概率和三等品的概率；产品为一等品的概率、二等品的概率和三等品的概率，再利用数学期望公式得出产品的收益：和产品的收益：，再利用作差法得出，再利用p的取值范围比较出的大小，从而得出投资产品A的收益更大。
17．【答案】（1）解：（i）X可能取值为2，3，
；
故
即，则当时，取得最大值.
（ii）结合实际，当时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多．
（2）解：当时，双方前两天的比分为或的概率均为
比分为或的概率均为
则或，
即获胜方两天均为获胜，
故；
即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，
故
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） （i） 利用已知条件求出随机变量X可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望与p的函数关系式，再利用二次函数的图象求最值的方法得出的最大值以及此时对应的p的值。
（ii）结合实际，当时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多 。
（2）当 时结合独立事件乘法求概率公式得出双方前两天的比分为或的概率均为，比分为或的概率均为，再利用，则或，当时获胜方两天均为获胜，再利用独立事件乘法求概率公式得出的值，当时获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，再利用独立事件乘法求概率公式得出的值，再结合互斥事件加法求概率公式得出 的值。
18．【答案】（1）解：由分布图：
则，在内为优品
则
（2）解：①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；频率分布直方图；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的公式得出样本平均数，再利用随机变量，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出取到的果实为优品的概率。
（2） ①利用已知条件结合组合数公式和对立事件求概率公式，从而用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p。
②利用已知条件结合随机变量满足二项分布，得出，且，再利用，且，由对勾函数知识可知：在上的单调性，进而得出当时，，从而得出p的取值范围，再利用 结合分类讨论的方法得出最大值在时取得，从而结合n的取值范围求出满足要求的n的值，进而得出函数的最大值。
19．【答案】（1）由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布表画出频率分布直方图，再利用频率分布直方图求平均数的方法，进而求出样本的平均数，再利用该产品的质量指标值k近似地服从正态分布， 再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合已知条件和求和法得出质量指标k在区间之外的概率，再利用随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式，进而求出X=1的概率，再利用二项分布的分布列求数学期望的方法，进而求出随机变量X的数学期望。
（2）利用已知条件结合平均数公式，进而求出每件产品的平均利润为二次函数，再利用二次函数的图象的对称性和开口方向，进而判断出函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而结合该生产线的年产量为100万个，从而得出该生产线的年盈利的最大值，再利用比较法得出该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资。
20．【答案】（1）设男性患者有 人，则女性患者有 人，列联表如下：
　 Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则 ，解得 ，
∵ ， ， 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人；
（2）设甲研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 、 ，
， ，
，
，
在 递减， ，
设乙研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 ，
， ，
，
设 ， ，
函数 在 递减， ， 恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件把数值代入到公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出答案。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值， 并把数值代入到期望值公式得到，结合二次函数的单调性即可得出，同理得出即恒成立由此得出结论。
21．【答案】（1）设每组检测的次数为 ，
则 的可能取值为1，11.
，
.
所以 的分布列为
X 1 11
P 0.9511 0.0489
所以 .
所以每组检测次数的期望值是1.489次.
（2）当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为 .
则 的可能取值为1，11.
， .
所以 的分布列为
1 11
所以 .
当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为 .
则 的可能取值为1，31.
； .
所以 的分布列为
1 11
所以 .
所以
.
解法一：设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以当 时， 有最小值为 ；
当 或1时， 有最大值为 ，
所以存在 ， ，满足 ， ，
且 ， ，使得 .
当 时， ，即 ，
此时，每组30人更优越；
当 时， ，即
此时，每组10人更优越.
所以，分组方法的优越性与 的值有关.
解法二：当 时，
，
即 ；
当 时，
，
即 .
所以，分组方法的优越性与 的值有关.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 设每组检测的次数为 ，再利用已知条件求出随机变量 的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
（2） 当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为 ，再利用已知条件求出随机变量 的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望，当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为Y， 再利用已知条件求出随机变量Y的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量Y的数学期望,所以 。再利用两种解法解出这两种分组方法的优越性与 的值是否有关。
解法一：设 ，则 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出当 时， 有最小值为 ，当 或t=1时， 有最大值为 ，再利用零点存在性定理，所以存在 ， ，满足 ， ，且 ， ，使得 ，当 时， ，此时，每组30人更优越；当 时， 此时，每组10人更优越，所以，分组方法的优越性与 的值有关。
解法二：当 时，
，即 ；当 时， ，即 ，所以，分组方法的优越性与 的值有关。
22．【答案】（1）解：当 时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为 ，设 为该电子产品需要维修的系统个数，则 ， ，
∴ ，
∴ 的分布列为：
0 500 1000 1500
P
∴ ．
（2）解：记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ．
个元件中有 个正常工作的概率为 ，
因此系统工常工作的概率 ．
在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少 个元件正常工作，概率为 ；
（b）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为 ；
（c）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为 ．
所以 ，
因此，
，
故当 时， 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，从而求出一个系统需要维修的概率，再利用该电子产品需要维修的系统个数对应的随机变量X服从二项分布，从而求出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
（2） 记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ，再利用二项分布求概率公式，从而求出
个元件中有 个正常工作的概率，再利用求和法得出系统工常工作的概率， 在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，再结合分类讨论的方法和单调性的定义，从而得出当 时， 单调增加，进而推出增加两个元件后，能提高系统的可靠性。
23．【答案】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率：
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为：
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
令 ，以 ，则 ，
当 时， ，
他们小组在 轮游戏中获“神投小组”次数 满足 ，
由 ，则 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.
此时 ， ， .
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）分三类 ①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.求概率： .
（2） 若 ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.通过计算得到 .
24．【答案】（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率 ；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以
利用基本不等式知 ，当且仅当 时，等号成立，
，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
他们小组在 竞赛中获“优秀小组”次数 满足
由 ，则 ，所以理论上至少要进行19轮比赛.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）由题意可知 获“优秀小组”的 情况分三种，分别求出概率即可。
（2）首先计算甲乙获得 “优秀小组”的 概率P，再根据 ， 利用基本不等式 的范围，将概率P转化为二次函数求最大值， 由 计算n的最小值。
25．【答案】（1）（i）因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 ；
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 ，即 ；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有 个元件正常工作，其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即 ，
所以当 时， ， 单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当 时， ，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为 ，
所以当 时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当 时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】(1) （i）根据题意对k赋值由此得出X的取值再由n次独立重复试验的概率公式，分别计算出所对应的X的概率值，由此即可得出分布列，再由已知的数据代入到期望公式计算出结果即可。
（ii） 根据题意由n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先求出分布列以及期望值，再由已知条件结合n次独立重复试验的概率公式，即可得出由此得证出 单调递增 ，结合单调性的定义即可求出最值即可。
26．【答案】（1）解：若n＝3，p＝ ，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3， )，
从而 ，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为
（2）解：由题意知ζ的所有可能取值为1， ，且 ， ，
∴ ，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴ ＜(1－p)k，
∵p＝1－ ，∴ ＜( )k，∴lnk＞ k．
设 ，则 ，所以 时， ， 时， ，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0，
f(4)＝ln4－ ＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－ ＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为 且k∈N*．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合随机变量服从二项分布求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的均值。
（2） 由题意知ζ的所有可能取值，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望，又因为E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，所以 ＜(1－p)k，
因为p＝1－ ，所以lnk＞ k，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0， 从而求出实数k的取值范围。
27．【答案】（1）解：设“甲至少命中2次”为事件 ，则 ，
故甲至少命中2次的概率为
（2）解：由题意知， ，
，
的分布列为
0 2 3 5
的分布列为
0 2 3 5
（3）解： ，
，即
的取值范围是
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率关系，结合n次独立重复试验的概率公式求解即可；
（2）利用独立事件的概率求法分别求出甲乙的概率，再写出甲乙的离散型随机变量的分布列与期望.
28．【答案】（1）解：设这个小球掉入5号球槽为事件 ，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以 ，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为
（2）解：小红的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
0 4 8 12
一次游戏付出的奖金 ，则小红的收益为 .
小明的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，
.
0 1 4 9
一次游戏付出的奖金 ，则小明的收益为 .
显然， ，所以小明的盈利多.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）根据n次独立重复试验中，事件发生的概率求法直接求解即可；
（2）根据互斥事件与二项分布的概率求法分别求得概率，再列出分布列，求出期望比较即可判断.
29．【答案】（1）解： ， ， ，
则 的概率分布如下表：
1 2 3
所以
（2）解：设运行“归零”程序中输出 的概率为 ，得出 ，
法一：则 ，
故 时， ，
以上两式作差得， ，则 ，
则 ， ，…， ，
则 ，
化简得 ，而 ，故 ，
又 时， 也成立，故 .
法二：同法一得 ，
则 ， ， ，…， ，
则 ，
化简得 ，而 ，故 ，
又 时， 也成立，故 .
法三：记 表示在出现 的条件下出现 的概率，
则 ， ，
，
依此类推， ，
所以 .
法四：记 表示在出现 的条件下出现 的概率，
则 ，
则 ，①
则 ，②
①－得 ，
则 ，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列与期望，结合独立事件的概率求法直接求解即可；
（2）法一：根据题意分别列出Pn，Pn+1，并作差即可求得 ，再求得 从而求解；
法二：根据题意分别列出Pn，Pn+1，并作差即可求得 ，利用代入法求得 从而求解；
法三：先列出Pn+1(n)，Pn+2(n)，Pn+3(n)，再根据类比法，求得Pk(n) 从而求解；
法四：先列出Pk(n)，kPk(n)，并作差即可求得 从而求解.
30．【答案】（1）解： ，
所以
所以
所以
（2）解：∵ ，即 ， ，
又 ，
∴ 时
又∵ ，可得
由
可得数列 是首项为 公比为 的等比数列
，即
又
故
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而求出棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， 的值。
（2） 记 ， ， ，其中 ， ， 再利用递推关系结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为 公比为 的等比数列，从而结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，从而求出数列 的通项公式，进而求出数列 的第八项的值。
1 / 1压轴题11 概率统计（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·安庆模拟）为了“锤炼党性修养，筑牢党性根基”，党员教师小A每天自觉登录“学习强国APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有30局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2、3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2、3、4名的得1分；后28局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小A每天在第1局四人赛中获得3分、2分、1分的概率分别为，，，在第2局四人赛中获得2分、1分的概率分别为，.
（1）设小A每天获得的得分为，求的分布列、数学期望和方差；
（2）若小A每天赛完30局，设小A在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的30局四人赛中，小A赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】（1）解：记事件表示第一局获得分，事件表示第二局获得分，这些事件相互独立，由条件知的可能值为5，4，3，2.
其分布列为
5 4 3 2
，
.
（2）解：设小A每天赢得的局数为，则，
于是.
根据条件得，
由①得，得，
同理由②得，所以，
又因为，所以，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大.
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出随机变量X的可能的取值，再结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望，再利用随机变量的数学期望求方差公式得出随机变量X的方差。
（2） 设小A每天赢得的局数为，则，再利用二项分布求概率公式得出，根据条件得，由①结合组合数公式得出实数k的取值范围，同理由②得出实数k的取值范围，再利用，进而得出k的值，因此在每天的30局四人赛中，小A赢得10局的比赛概率最大。
2．（2023·张家界模拟）2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：
其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．
（1）根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．
（3）现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．
【答案】（1）解：线上同学平均分分；
线下同学平均分分；
又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，
所以所有200名同学的平均分分.
（2）解：线上同学成绩良好人数为人，
线下同学成绩良好人数为人，
所以抽取数学成绩为良好，且，故线下的可能性大.
（3）解：由线下成绩中等同学人数为人，其它同学人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，
要使最大，则，即，
所以，则，故.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的意义；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数公式得出这200名学生的数学平均分。
（2）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合比较法判断出线下的可能性大。
（3） 利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式得出线下成绩中等同学人数，进而得出其它同学人数，所以从线下学生中随机抽取10名同学，进而得出抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，要使最大，则，进而得出实数k的取值范围，从而得出满足要求的k的值。
3．（2023·广州模拟）为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.
（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；
（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.
①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：
②若，求i的最小值.
【答案】（1）解：甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，
所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.
（2）解：①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，
甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，
则，显然，
，甲第次答题所得分数的数学期望为，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，
于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，
所以与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，，当时，，而，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，则有正整数，
所以i的最小值是5.
【知识点】数列的函数特性；等比数列概念与表示；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1） 利用已知条件结合二项分布求概率公式得出甲前3次答题得分之和为40分的概率。
（2） ①利用已知条件结合古典概型求概率公式、独立事件乘法求概率公式和数学期望公式以及数学期望的性质，进而得出与满足的等量关系式是：，，且；
②由①知，结合数学期望的性质，从而得出当时，，而，再利用等比数列的定义，因此数列以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式和，进而得出，显然数列是递增数列，再利用数列的单调性，进而得出正整数i的最小值。
4．（2023·大理模拟）党的二十大胜利召开后，某校为调查性别因素对党史知识的了解情况是否有影响，随机抽查了男女教职工各100名，得到如下数据：
不了解 了解
女职工 30 70
男职工 20 80
附：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为对党史知识的了解情况与性别有关？
（2）为了增进全体教职工对党史知识的了解，该校组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中，若第一支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第二支部答题，第二支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第二支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】（1）解：零假设为：对党史知识的了解情况与性别无关.
根据列联表中的数据，经计算得到
根据小概率值的独立性检验，没有充分的理由说明不成立，则不能认为对党史知识的了解情况与性别有关
（2）解：设事件A为“第二支部从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第一支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则彼此互斥，且，
，
，
，
所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
【知识点】独立性检验的应用；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立性检验的方法判断出不能认为对党史知识的了解情况与性别有关。
（2）利用已知条件结合互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，再结合条件概型求概率公式，进而得出第一支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率。
5．（2022·安丘模拟）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic
Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为 ；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为 和 ；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和 ，其中 ．
（1）甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为 ，求p的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为 ，求 的分布列．
【答案】（1）解：甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵ ，∴ ，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
（2）解：
整理得 ，解得 或 ，
又∵ ，∴ ；
（3）解：由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为： ，
进入决赛的人数为 可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
∴ 的分布列为
0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
6．（2022·济南模拟）数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品．
（1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列．
（2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值．
【答案】（1）解：由题意知，X的取值为0，1，2．
，，．
所以顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列为
X 0 1 5
P
（2）解：记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，
则，
由题意，，
所以，即，
设，则，
所以，则递减，
因为，，
所以当时，成立，故n的最小值为6．
【知识点】函数单调性的性质；离散型随机变量及其分布列；概率的应用；函数最值的应用
【解析】【分析】（1） 由题意知随机变量X的取值，再利用组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（2） 记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A，再利用二项分布求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出事件A的概率，由题意得出，所以，设，再利用减函数的定义判断出函数递减，再利用代入法得出，，进而得出当时，成立，从而得出n的最小值。
7．（2022·平江模拟）新冠疫情在西方国家大流行，国际卫生组织对某国家进行新型冠状病毒感染率抽样调查．在某地抽取n人，每人一份血样，共 份，为快速有效地检验出感染过新型冠状病毒者，下面给出两种方案：
方案甲：逐份检验，需要检验n次；
方案乙：混合检验，把受检验者的血样分组，假设某组有 份，分别从k份血样中取出一部分血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人全部为阴性，因而这k个人的血样只要检验这一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这k个人中究竟哪些人感染过新型冠状病毒，就要对这k个人的血样再逐份检验，因此这k个人的总检验次数就为 ．
假设在接受检验的人中，每个人血样检验结果是阳性还是阴性是相互独立的，且每个人血样的检验结果是阳性的概率为 ．
（1）若 ， ，用甲方案进行检验，求5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率；
（2）记 为用方案乙对k个人的血样总共需要检验的次数．
①当 ， 时，求 ；
②从统计学的角度分析，p在什么范围内取值，用方案乙能减少总检验次数？（参考数据： ）
【答案】（1）解：对5个人的血样进行检验，且每个人的血样是相互独立的，设事件A为“5个人的血样中恰有2个人的检验结果为阳性”，则
（2）解：①当 ， 时，5个人的血样分别取样再混合检验，结果为阴性的概率为 ，总共需要检验的次数为1次；结果为阳性的概率为 ，总共需要检验的次数为6次；所以 的分布列为：
1 6
P
所以 ．
②当采用混合检验的方案时 ，
根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，
即 ，化简得 ，
所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数．
【知识点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式得出5人中恰有2人感染过新型冠状病毒的概率。
（2） ① 利用已知条件结合独立乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量 的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量的数学期望；
② 当采用混合检验的方案时，再结合随机变量的数学期望公式得出 ，根据题意，要使混合检验的总次数减少，则必须满足 ，化简得出实数p的取值范围，所以当P满足 ，用混合检验的方案能减少检验次数。
8．（2022·湖南模拟）某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是 ，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测 个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这 个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这 个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，须再对这 个电子元件进行逐一检测．
（1）记对电子元件总的检测次数为 ，求 的概率分布和数学期望；
（2）若不对生产出的电子元件进行筛选检测，将它们随机组装进电子系统中，不考虑组装时带来的影响．已知该系统配置有 个电子元件，如果系统中有多于一半的电子元件正常工作，该系统就能正常工作．将系统正常工作的概率称为系统的可靠性，现为了改善该系统的性能，拟向系统中增加两个电子元件．记当系统配置 个电子元件时，系统正常工作的概率为 ．我们认为当 时，增加两个电子元件提高了该系统的可靠性．
①若 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？
②对于 满足什么条件时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性？
【答案】（1）解：X可能的取值为 ，
，
所以， 的概率分布为
X 1
P
所以X的数学期望 ．
（2）解：① ，
所以 ，所以若 ， 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．
②由①知， ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性．
当 时，
若前 个电子元件中恰有 个正常工作，此时后两个元件必须同时正常工作；
若前 个电子元件中恰有n个正常工作，此时后两个元件至少有1个正常工作；
若前 个电子元件中至少有 个正常工作，此时系统必定正常工作．
可以求得：
，
故
，
令 ，得 ．即 ，
所以对于 ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性
【知识点】概率的意义；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出随机变量X可能的取值，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） ① 利用已知条件结合二项分布求概率公式和作差法得出 ，进而得出p的取值范围，再利用 ， 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性；
②由①知， ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性，当 时，再利用分类讨论的方法结合二项分布求概率公式和求和法，进而得出，再利用作差法得出 ，令 ，得出P的取值范围，进而得出对于 ，当 时，增加两个电子元件能提高该系统的可靠性。
9．（2022·龙岩三模）《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.根据宪法制定的法律，某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛 竞赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别选答两题，若答对题数合计不少于3题，则称这个小组为“优秀小组”.已知甲乙两位同学组成一组，且甲、乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中获得“优秀小组”的次数为6次，请问至少要进行多少轮竞赛.
【答案】（1）解：记他们获得“优秀小组”的事件为事件，则事件包含三种情况：
①甲答对两题，乙答对一题；②甲答对一题，乙答对两题；③甲、乙都答对两题.
；
（2）解：由（1）知甲、乙小组每轮比赛获“优秀小组”的概率为：
又
当且仅当时，等号成立，
，，
，
令 则
开口向下，对称轴： 当时，
设要进行轮竞赛，则解得：
至少要进行11轮竞赛.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据获“优秀小组”的标准，分情况讨论甲、乙答对问题的情况，最后求出概率；
（2）根据（1）的方法列出概率表达式，然后从函数的角度利用换元法求其最值得出结论即可.
10．（2022·潍坊二模）随着互联网的快速发展和应用，越来越多的人开始选择网上购买产品和服务．某网购平台为提高2022年的销售额，组织网店开展“秒杀”抢购活动，甲，乙，丙三人计划在该购物平台分别参加三家网店各一个订单的“秒杀”抢购，已知三人在三家网店订单“秒杀”成功的概率均为，三人是否抢购成功互不影响．记三人抢购到的订单总数为随机变量．
（1）求的分布列及；
（2）已知每个订单由件商品构成，记三人抢购到的商品总数量为，假设，求取最小值时正整数的值．
【答案】（1）解：由题意知：的所有可能取值为，则，
，，，，
的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：，．
令，则，，
则当时，；当时，；当时，；
取最小值时正整数的值为3或4
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；函数最值的应用
【解析】【分析】（1）由题意知随机变量的所有可能取值，再利用已知条件得出， 再结合二项分布求概率公式得出随机变量Z的分布列，再结合随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量Z的数学期望。
（2）利用 结合数学期望的性质得出，令，则，得出，则当时，；当时，；当时，；进而得出取最小值时的正整数的值。
11．（2022·渭滨模拟）人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0~25分贝，并规定测试值在区间内为非常优秀，测试值在区间内为优秀某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成如图所示的频率分布直方图．
（1）现从测试值在内的同学中随机抽取4人，记听力非常优秀的同学人数为X，求X的分布列与均值；
（2）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发音情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4．测试前将音又随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号，，，，记（其中，，，的值等于音叉的正确序号），可用Y描述两次排序的偏离程度，求的概率．
【答案】（1）解：测试值在内的有（人）；
测试值在内的有（人）．
则X的所有可能取值为，
，，，，．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
（2）解：序号，，，的排列总数为．
而的奇偶性与同奇偶性，
而，故为偶数.
当时，，，，；
当时，则，，，的取值为：
，，，或，
，，，或，
，，，．
∴．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，进而得出测试值在内和测试值在内的人数，进而得出随机变量X的取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
（2） 利用排列数公式得出序号，，，的排列总数，而的奇偶性与同奇偶性，而，故为偶数，再利用分类讨论的方法和古典概型求概率公式，进而得出 的概率。
12．（2022·枣庄一模）已知有一道有四个选项的单项选择题和一道有四个选项的多项选择题，小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项．但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项．
（1）如果小明不知道单项选择题的正确答案，就作随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是，在他做完单项选择题后，从卷面上看，在题答对的情况下，求他知道单项选择题正确答案的概率．
（2）假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择．记表示小明做完该道多项选择题后所得的分数．求：
（i）；
（ii）的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记事件A为“题目答对了”，事件B为“知道正确答案”，则由全概率公式：，所求概率为
（2）解：设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的.
则，，.
（i）；
（ii）随机变量的分布列为
0 2 5
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合条件概型求概率公式得出在题答对的情况下，他知道单项选择题正确答案的概率。
（2） （i)设事件表示小明选择了个选项，，表示选到的选项都是正确的，再利用条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，进而得出 的值；
(ii)利用已知条件结合条件概型求概率公式和对立事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
13．（2022·深圳模拟）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
（1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
（2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
【答案】（1）解：第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
；
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）解：由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：
4.5 3.6
的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式以及对立事件求概率公式，进而结合 以及作差法，得出 ，进而得出业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛。
（2）利用已知条件求出随机变量X的取值，再结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式以及对立事件求概率公式，从而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列求数学期望公式得出随机变量X的数学期望与p的关系式，再结合 ，进而得出的取值范围。
14．（2022·石家庄模拟）北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；
（2）视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在的概率为，，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由.
【答案】（1）解：由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数
（分），
设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，
，
所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.
（2）解：估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大，
由已知得X ~ B(20，0.35)，
，
令，
即，
即，解得，
由，，
所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图求平均数和中位数的方法，进而估计出被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数。
（2） 利用已知条件，估计出这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大，进而得出随机变量X服从二项分布，即X ~ B(20，0.35)，再结合二项分布求概率公式结合单调性求最值的方法，再利用k的取值范围，进而得出k的值，从而得出这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大。
15．（2022·山西模拟）甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.
（1）求甲夺得冠军的概率；
（2）比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，
事件“甲在第i局比赛中未胜”.
显然，，.
记事件“甲夺得冠军”，
则.
（2）解：设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.
则，
故.
记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.
因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.
由题意知比赛前盒内有6颗新球.
比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，
此时，.
若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，
故下次必取得新球.即.
于是
.
故X的分布列为
X 3 4 5
P
故X的数学期望.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出甲夺得冠军的概率。
（2） 设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知随机变量Y的可能的取值，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量Y的分布列，记 “第i局比赛后抽到新球”， “第i局比赛后抽到旧球”，再利用每个求最多使用两次，进而得出随机变量X的取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。
16．（2022·马鞍山模拟）某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中．
（注：收益率）
等级 一等品 二等品 三等品
指标值
产品收益率
（1）求的值；
（2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．
【答案】（1）解：由题可得，
解得.
（2）解：①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是，
由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，，
，，
则的分布列为：
0 1 2 3
∴.
②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为，
产品的收益：，
产品的收益：，
∴，
因为，
所以，即，
故投资产品A的收益更大．
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，从而求出a的值。
（2） ①由频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可知产品为一等品的概率、二等品概率和三等品概率，由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值，再利用已知条件得出随机变量X服从二项分布，再利用二项分布求概率公式得出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
②由题结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率可得产品为一等品的概率、，二等品的概率和三等品的概率；产品为一等品的概率、二等品的概率和三等品的概率，再利用数学期望公式得出产品的收益：和产品的收益：，再利用作差法得出，再利用p的取值范围比较出的大小，从而得出投资产品A的收益更大。
17．（2022·福建模拟）某次围棋比赛的决赛，由甲乙两人争夺最后的冠军，决赛先进行两天，每天实行三盘两胜制，即先赢两盘者获得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲乙中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天双方各赢一天，则第三天只进行一盘附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每盘比赛甲获胜的概率为，每盘比赛的结果没有平局且结果互相独立．
（1）记第一天需要进行的比赛盘数为X．
（ⅰ）求，并求当取最大值时p的值；
（ⅱ）结合实际，谈谈（ⅰ）中结论的意义；
（2）当时，记总共进行的比赛盘数为Y，求．
【答案】（1）解：（i）X可能取值为2，3，
；
故
即，则当时，取得最大值.
（ii）结合实际，当时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多．
（2）解：当时，双方前两天的比分为或的概率均为
比分为或的概率均为
则或，
即获胜方两天均为获胜，
故；
即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，
故
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） （i） 利用已知条件求出随机变量X可能取值，再利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再结合随机变量X的分布列求数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望与p的函数关系式，再利用二次函数的图象求最值的方法得出的最大值以及此时对应的p的值。
（ii）结合实际，当时双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多 。
（2）当 时结合独立事件乘法求概率公式得出双方前两天的比分为或的概率均为，比分为或的概率均为，再利用，则或，当时获胜方两天均为获胜，再利用独立事件乘法求概率公式得出的值，当时获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，再利用独立事件乘法求概率公式得出的值，再结合互斥事件加法求概率公式得出 的值。
18．（2022·重庆模拟）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中为一级果，为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．
（1）由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）这批采摘的脐橙按2个特级果和n（，且）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为，求函数的最大值，及取最大值时n的值．
【答案】（1）解：由分布图：
则，在内为优品
则
（2）解：①
②，且，
因为，且，由对勾函数知识可知：在上单调递减，当时，，所以，
因为，且
当时，，当时，，当时，，
∴最大值在时取得，可求得或，因为，所以，
求得
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；频率分布直方图；正态密度曲线的特点；概率的应用
【解析】【分析】 （1）利用已知条件结合频率分布直方图求平均数的公式得出样本平均数，再利用随机变量，再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，从而求出取到的果实为优品的概率。
（2） ①利用已知条件结合组合数公式和对立事件求概率公式，从而用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p。
②利用已知条件结合随机变量满足二项分布，得出，且，再利用，且，由对勾函数知识可知：在上的单调性，进而得出当时，，从而得出p的取值范围，再利用 结合分类讨论的方法得出最大值在时取得，从而结合n的取值范围求出满足要求的n的值，进而得出函数的最大值。
19．（2022·西南名校模拟）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：
质量指标值
频数 16 30 40 10 4
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）
（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得，记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；
（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示
质量指标值k
利润y t
假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.
参考数据：若随机变量，则，.
【答案】（1）由题意知，样本的平均数为，
所以，
.
所以质量指标k在区间之外的概率为.
因为，
则，
所以.
（2）由题意知，每件产品的平均利润为，，
易知函数的对称轴为，且二次函数开口向下，
所以当时，取得最大值，且
因为该生产线的年产量为100万个，
所以该生产线的年盈利的最大值为万元，因为845500，
所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布表画出频率分布直方图，再利用频率分布直方图求平均数的方法，进而求出样本的平均数，再利用该产品的质量指标值k近似地服从正态分布， 再结合正态分布对应的函数的图象的对称性，再结合已知条件和求和法得出质量指标k在区间之外的概率，再利用随机变量X服从二项分布，再结合二项分布求概率公式，进而求出X=1的概率，再利用二项分布的分布列求数学期望的方法，进而求出随机变量X的数学期望。
（2）利用已知条件结合平均数公式，进而求出每件产品的平均利润为二次函数，再利用二次函数的图象的对称性和开口方向，进而判断出函数的单调性，从而求出函数的最大值，进而结合该生产线的年产量为100万个，从而得出该生产线的年盈利的最大值，再利用比较法得出该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资。
20．（2021·江西模拟）某种疾病可分为 、 两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患 型病的人数占男性病人的 ，女性患 型病的人数占女性病人的 .
（1）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排2个接种周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次接种花费 元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次花费 元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当 ， 时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附： ，
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）设男性患者有 人，则女性患者有 人，列联表如下：
　 Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则 ，解得 ，
∵ ， ， 的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人；
（2）设甲研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 、 ，
， ，
，
，
在 递减， ，
设乙研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 ，
， ，
，
设 ， ，
函数 在 递减， ， 恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)由已知条件把数值代入到公式计算出结果，再与标准值进行比较即可得出答案。
(2)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值， 并把数值代入到期望值公式得到，结合二次函数的单调性即可得出，同理得出即恒成立由此得出结论。
21．（2021·南通模拟）在医学上，为了加快对流行性病毒的检测速度，常采用“混检”的方法：随机的将若干人的核酸样本混在一起进行检测，若检测结果呈阴性，则认定该组每份样本均为阴性，无需再检测；若检测结果呈阳性，则还需对该组的每份样本逐个重新检测，以确定每份样本是否为阳性.设某流行性病毒的感染率为 .
（1）若 ，混检时每组10人，求每组检测次数的期望值；
（2）混检分组的方法有两种：每组10人或30人.试问这两种分组方法的优越性与 的值是否有关？
(参考数据： ， )
【答案】（1）设每组检测的次数为 ，
则 的可能取值为1，11.
，
.
所以 的分布列为
X 1 11
P 0.9511 0.0489
所以 .
所以每组检测次数的期望值是1.489次.
（2）当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为 .
则 的可能取值为1，11.
， .
所以 的分布列为
1 11
所以 .
当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为 .
则 的可能取值为1，31.
； .
所以 的分布列为
1 11
所以 .
所以
.
解法一：设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
所以当 时， 有最小值为 ；
当 或1时， 有最大值为 ，
所以存在 ， ，满足 ， ，
且 ， ，使得 .
当 时， ，即 ，
此时，每组30人更优越；
当 时， ，即
此时，每组10人更优越.
所以，分组方法的优越性与 的值有关.
解法二：当 时，
，
即 ；
当 时，
，
即 .
所以，分组方法的优越性与 的值有关.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1） 设每组检测的次数为 ，再利用已知条件求出随机变量 的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
（2） 当每组的人数为10人时，设每组检测的次数为 ，再利用已知条件求出随机变量 的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望，当每组的人数为30人时，设每组检测的次数为Y， 再利用已知条件求出随机变量Y的可能取值，再利用两点分布求概率公式结合独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而求出随机变量Y的分布列，再利用随机变量的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量Y的数学期望,所以 。再利用两种解法解出这两种分组方法的优越性与 的值是否有关。
解法一：设 ，则 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出当 时， 有最小值为 ，当 或t=1时， 有最大值为 ，再利用零点存在性定理，所以存在 ， ，满足 ， ，且 ， ，使得 ，当 时， ，此时，每组30人更优越；当 时， 此时，每组10人更优越，所以，分组方法的优越性与 的值有关。
解法二：当 时，
，即 ；当 时， ，即 ，所以，分组方法的优越性与 的值有关。
22．（2021·南通模拟）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．
（1）当 时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设 为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求 的分布列与数学期望；
（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？
【答案】（1）解：当 时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为 ，设 为该电子产品需要维修的系统个数，则 ， ，
∴ ，
∴ 的分布列为：
0 500 1000 1500
P
∴ ．
（2）解：记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ．
个元件中有 个正常工作的概率为 ，
因此系统工常工作的概率 ．
在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：
（a）原系统中至少 个元件正常工作，概率为 ；
（b）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，
概率为 ；
（c）原系统中恰有 个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，
概率为 ．
所以 ，
因此，
，
故当 时， 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；概率的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二项分布求概率公式，从而求出一个系统需要维修的概率，再利用该电子产品需要维修的系统个数对应的随机变量X服从二项分布，从而求出随机变量X的分布列，再结合随机变量的分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量X的数学期望。
（2） 记 个元件组成的系统正常工作的概率为 ，再利用二项分布求概率公式，从而求出
个元件中有 个正常工作的概率，再利用求和法得出系统工常工作的概率， 在 个元件组成的系统中增加两个元件得到 个元件组成的系统，再结合分类讨论的方法和单调性的定义，从而得出当 时， 单调增加，进而推出增加两个元件后，能提高系统的可靠性。
23．（2021·永州模拟）某篮球队为提高队员的训练积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成了一个小组.游戏规则：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”，已知甲乙两名队员投进篮球的概率为别为 ， .
（1）若 ， ，则在第一轮游戏他们获“神投小组”的概率；
（2）若 ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.
【答案】（1）由题可知，所以可能的情况有：①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.故所求概率：
.
（2）他们在一轮游戏中获“神投小组”的概率为：
，
因为 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
令 ，以 ，则 ，
当 时， ，
他们小组在 轮游戏中获“神投小组”次数 满足 ，
由 ，则 ，所以理论上至少要进行 轮游戏.
此时 ， ， .
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）分三类 ①甲投中1次，乙投中2次；②甲投中2次，乙投中1次；③甲投中2次，乙投中2次.求概率： .
（2） 若 ，则在游戏中，甲乙两名队员想要获得“神投小组”的称号16次，则理论上他们小组要进行多少轮游戏才行？并求此时 ， 的值.通过计算得到 .
24．（2021·桂林模拟）十三届全国人大常委会第二十次会议审议通过的《未成年人保护法》针对监护缺失、校园欺凌、烟酒损害、网络沉迷等问题，进一步压实监护人、学校、住宿经营者及网络服务提供者等主体责任，加大对未成年人的保护力度．某中学为宣传未成年人保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，比赛规则是：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对每道题的概率分为 ， ．
（1）若 ， ，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率；
（2）当 ，且每轮比赛互不影响，如果甲乙同学在此次竞赛活动中要想获得“优秀小组”的次数为9次，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
【答案】（1）由题可知，所以可能的情况有：
①甲答对1次，乙答对2次的概率
②甲答对2次，乙答对1次的概率 ；
③甲答对2次，乙答对2次的概率
故所求的概率
（2）他们在轮竞赛中获“优秀小组”的概率为：
因为 ， ， ，所以 ， ，
所以
利用基本不等式知 ，当且仅当 时，等号成立，
，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
他们小组在 竞赛中获“优秀小组”次数 满足
由 ，则 ，所以理论上至少要进行19轮比赛.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】（1）由题意可知 获“优秀小组”的 情况分三种，分别求出概率即可。
（2）首先计算甲乙获得 “优秀小组”的 概率P，再根据 ， 利用基本不等式 的范围，将概率P转化为二次函数求最大值， 由 计算n的最小值。
25．（2021·济南模拟）某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于 个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 （例如： 表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
（1）若每个元件正常工作的概率 ．
（i）当 时，求控制系统中正常工作的元件个数 的分布列和期望；
（ii）计算 ．
（2）已知设备升级前，单位时间的产量为 件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件高端产品的利润是2元．请用 表示出设备升级后单位时间内的利润 （单位：元），在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【答案】（1）（i）因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0，1，2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ；
（ii）由题意知：
；
（2）升级改造后单位时间内产量的分布列为
产量 0
设备运行概率
所以升级改造后单位时间内产量的期望为 ；
所以
产品类型 高端产品 一般产品
产量（单位：件）
利润（单位：元） 2 1
设备升级后单位时间内的利润为 ，即 ；
因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类：原系统中至少有 个元件正常工作，其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为
；
第三类：原系统中有 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为
；
所以
，
即 ，
所以当 时， ， 单调递增，
即增加元件个数设备正常工作的概率变大，
当 时， ，
即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，
又因为 ，
所以当 时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润；
当 时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润．
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【分析】(1) （i）根据题意对k赋值由此得出X的取值再由n次独立重复试验的概率公式，分别计算出所对应的X的概率值，由此即可得出分布列，再由已知的数据代入到期望公式计算出结果即可。
（ii） 根据题意由n次独立重复试验的概率公式代入数值计算出结果即可。
(2)首先求出分布列以及期望值，再由已知条件结合n次独立重复试验的概率公式，即可得出由此得证出 单调递增 ，结合单调性的定义即可求出最值即可。
26．（2021·唐山模拟）某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有n位密接者，每位密接者被感染的概率为p，
参考数据： ， ， ， ， .
（1）若 ， ，求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值：
（2）某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式：
①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；
②混合检验，即将k份（ 且 ）血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份血液样本全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了：如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这k份血液样本的检验次数为k+1次.
假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为 ，为使混合检验需要的检验的总次数 的期望值比逐份检验的总次数 的期望值更少，求k的取值范围.
【答案】（1）解：若n＝3，p＝ ，依题意可知X服从二项分布，即X～B(3， )，
从而 ，i＝0，1，2，3．
随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
随机变量X的均值为
（2）解：由题意知ζ的所有可能取值为1， ，且 ， ，
∴ ，
又∵E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，即：k＋1－k(1－p)k＜k，∴ ＜(1－p)k，
∵p＝1－ ，∴ ＜( )k，∴lnk＞ k．
设 ，则 ，所以 时， ， 时， ，
所以f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0，
f(4)＝ln4－ ＝0.0530＞0，f(5)＝ln5－ ＝－0.0573＜0，
故k的取值范围为 且k∈N*．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合随机变量服从二项分布求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的均值。
（2） 由题意知ζ的所有可能取值，进而求出随机变量的分布列，再利用随机变量分布列结合数学期望公式，从而求出随机变量的数学期望，又因为E(η)＝k，依题意E(ζ)＜E(η)，所以 ＜(1－p)k，
因为p＝1－ ，所以lnk＞ k，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，由于f(1)＝ ＜0，f(2)＝ln2－ ＞0， 从而求出实数k的取值范围。
27．（2021·江西模拟）2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场 流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济 小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲 乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A，B两点处进行套圈，已知甲在A，B两点的命中率均为 ，乙在A点的命中率为 ，在B点的命中率为 ，且他们每次套圈互不影响.
（1）若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；
（2）若甲和乙每人在A，B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为 ，乙的得分为 ，写出 和 的分布列和期望；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的取值范围
【答案】（1）解：设“甲至少命中2次”为事件 ，则 ，
故甲至少命中2次的概率为
（2）解：由题意知， ，
，
的分布列为
0 2 3 5
的分布列为
0 2 3 5
（3）解： ，
，即
的取值范围是
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）利用对立事件的概率关系，结合n次独立重复试验的概率公式求解即可；
（2）利用独立事件的概率求法分别求出甲乙的概率，再写出甲乙的离散型随机变量的分布列与期望.
28．（2021·南昌模拟）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；
（2）小红 小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为 元，其中 .小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 的概率向左， 的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为 元，其中 .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.
【答案】（1）解：设这个小球掉入5号球槽为事件 ，掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以 ，
所以这个小球掉入5号球槽的概率为
（2）解：小红的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，4，8，12.
，
，
，
.
0 4 8 12
一次游戏付出的奖金 ，则小红的收益为 .
小明的收益计算如下：每一次游戏中， 的可能取值为0，1，4，9.
，
，
，
.
0 1 4 9
一次游戏付出的奖金 ，则小明的收益为 .
显然， ，所以小明的盈利多.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布
【解析】【分析】（1）根据n次独立重复试验中，事件发生的概率求法直接求解即可；
（2）根据互斥事件与二项分布的概率求法分别求得概率，再列出分布列，求出期望比较即可判断.
29．（2021·惠州模拟）运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 “归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将 中的任意一个整数替换 的值并输出 的值，反复按回车键执行以上操作直到输出 后终止操作.
（1）若输入的初始值 为3，记按回车键的次数为 ，求 的概率分布与数学期望；
（2）设输入的初始值为 ，求运行“归零”程序中输出 的概率.
【答案】（1）解： ， ， ，
则 的概率分布如下表：
1 2 3
所以
（2）解：设运行“归零”程序中输出 的概率为 ，得出 ，
法一：则 ，
故 时， ，
以上两式作差得， ，则 ，
则 ， ，…， ，
则 ，
化简得 ，而 ，故 ，
又 时， 也成立，故 .
法二：同法一得 ，
则 ， ， ，…， ，
则 ，
化简得 ，而 ，故 ，
又 时， 也成立，故 .
法三：记 表示在出现 的条件下出现 的概率，
则 ， ，
，
依此类推， ，
所以 .
法四：记 表示在出现 的条件下出现 的概率，
则 ，
则 ，①
则 ，②
①－得 ，
则 ，
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列与期望，结合独立事件的概率求法直接求解即可；
（2）法一：根据题意分别列出Pn，Pn+1，并作差即可求得 ，再求得 从而求解；
法二：根据题意分别列出Pn，Pn+1，并作差即可求得 ，利用代入法求得 从而求解；
法三：先列出Pn+1(n)，Pn+2(n)，Pn+3(n)，再根据类比法，求得Pk(n) 从而求解；
法四：先列出Pk(n)，kPk(n)，并作差即可求得 从而求解.
30．（2021·江西模拟）已知正三角形 ，某同学从 点开始，用擦骰子的方法移动棋子，规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从三角形的一个顶点移动到另一个顶点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数大于3，则按逆时针方向移动：若掷出骰子的点数不大于3，则按顺时针方向移动.设掷骰子 次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为： ， ， ，例如：掷骰子一次时，棋子移动到 ， ， 处的概率分别为 ， ，
（1）掷骰子三次时，求棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， ；
（2）记 ， ， ，其中 ， ，求 .
【答案】（1）解： ，
所以
所以
所以
（2）解：∵ ，即 ， ，
又 ，
∴ 时
又∵ ，可得
由
可得数列 是首项为 公比为 的等比数列
，即
又
故
【知识点】等比数列的通项公式；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而求出棋子分别移动到 ， ， 处的概率 ， ， 的值。
（2） 记 ， ， ，其中 ， ， 再利用递推关系结合等比数列的定义，进而推出数列 是首项为 公比为 的等比数列，从而结合等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式，从而求出数列 的通项公式，进而求出数列 的第八项的值。
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