压轴题12 导数及其应用（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

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压轴题12 导数及其应用（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·绍兴模拟）设，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高一下·平阳月考）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
3．（2023高二下·浙江期中）已知，，，其中，，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安庆模拟）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·邯郸模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·张家界模拟）已知，且，则的取值范围是（　　）
（注：选项中的为自然对数的底数）
A． B． C． D．
7．（2023·株洲模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·昭通模拟）已知函数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023高三下·浙江月考）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2023·安康模拟）已知恒成立，则λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2023·咸阳模拟）已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
12．（2023·武威模拟）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023·漳州模拟）已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为（　　）
A．2 B． C．-4 D．
14．（2023高二下·鹤壁期中）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
15．（2023高二下·鹤壁期中）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．（2023高二下·鹤壁期中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．，
17．（2023·河南模拟）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（　　）
A． B． C． D．
18．（2023·大理模拟）已知实数a、b、c满足，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
19．（2023·周至模拟）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023·曲靖模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
21．（2023·上饶模拟）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
22．（2023·深圳模拟）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
23．（2023高三下·新乡开学考）设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
24．（2023高三下·开学考）设函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
25．（2023高三下·开学考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
26．（2023高三上·嘉兴期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
27．（2023·南通模拟）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
28．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
29．（2023·江西模拟）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
二、多选题
30．（2023高二下·金华月考）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数的图象在点处的切线的斜率为
B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增
D．当时，有两个零点
31．（2023·唐山模拟）已知，函数，则（　　）
A．对任意，，存在唯一极值点
B．对任意，，曲线过原点的切线有两条
C．当时，存在零点
D．当时，的最小值为1
32．（2023·邵阳模拟）已知函数，是的导数，则（　　）
A．函数在上单调递增
B．函数有唯一极小值
C．函数在上有且只有一个零点，且
D．对于任意的，，恒成立
33．（2023高三下·浙江月考）已知函数，则（　　）
A．有一个零点 B．在上单调递减
C．有两个极值点 D．若，则
34．（2023·平湖模拟）已知函数，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．方程有唯一实根
35．（2023高三下·浙江月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
36．（2023·昭通模拟）若过轴上一点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（　　）
A．可以取到3
B．
C．当时，的取值范围是
D．当时，存在唯一的值
37．（2023·广州模拟）已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（　　）
A．若关于的方程在上无解，则
B．存在关于直线对称
C．若存在关于轴对称，则
D．若存在满足，则
38．（2023高二下·山西月考）已知函数，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是（　　）
A．e B．e C．3 D．4
三、填空题
39．（2023高二下·浙江期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为　 　.
40．（2023·江门模拟）已知，是方程（）的两根，且，则的最大值是　 　．
41．（2023·平湖模拟）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是　 　.
42．（2023·安康模拟）已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是　 　．
43．（2023·广州模拟）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为　 　.
44．（2023高二下·鹤壁期中）已知函数（是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则的取值范围为　 　.
45．（2023高二下·鹤壁期中）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为　 　．
46．（2022·吉林模拟）已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设函数，求导得：，
∴在上单调递减，所以，A不符合题意；
设函数，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，仅当时取等号，
即，则时，，即，
所以，D不符合题意；
由，
下面证明，
，即证，
令，即证：，即，
构造函数 ，即证，
由，所以在上单调递减，则，
即证，
令，，
即在上单调递减，故，即成立，
故成立，所以，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合构造函数的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较得出，从而选出正确的选项。
2．【答案】B
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；极限及其运算；余弦定理
【解析】【解答】因为，所以，
因为分别是的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
所以
所以，
因为当取得最小值时，比值最大，
所以当时，，此时达到最大值，为 ，
则若恒成立，的最小值为，
故答案为：B
【分析】利用，所以，再利用分别是的中点，所以，再由余弦定理得出，当取得最小值时，比值最大，所以当时，，此时达到最大值，进而得出最大值，再结合恒成立，从而得出实数的最小值。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】由，则，同理，，
令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
由图的对称性可知，.
故答案为：C
【分析】由，则，同理，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数的图象的对称性，进而比较出a，b，c的大小。
4．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意得，方程有三个不等的实数根.
而，
分别作出函数和的图象，
当时，
当时，，对其求导得，所以，
所以曲线在点的切线方程为，
如图，直线与曲线在点相切.
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，方程有三个不等的实数根，再利用函数f(x)的解析式得出分段函数的解析式，即，分别作出函数和的图象，当时，，当时，，再利用导数的方法得出曲线在点的切线方程，再结合两函数的图象得出直线与曲线在点相切，进而得出实数的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以．
设，则，故在上单调递增．
因为，所以，即．
设，则，当时，，则在上单调递减．
因为，所以，即．
综上所述：．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合构造法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较出a，b，c的大小。
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，故，故，
设，其中，则，且，
当时，，当时，，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
由知当时，，当时，，
又，，所以，.
故答案为：D.
【分析】由得出，设，其中，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，由知当时，，当时，，再利用，，进而得出a，b的取值范围。
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二项式定理
【解析】【解答】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】由，，则，令，再利用导数判断函数的单调性的方法，再结合函数的单调性和二项式定理以及比较法判断出a，b，c的大小。
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由，则是是的交点横坐标，如下图示，
由图易知：，且，，
构造，则，令，
当时，，则递减；当时，，则递增；
所以当时，，所以，即，
所以，即，则，故，
综上，，
因为，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
而，故.
故答案为：B
【分析】由，则是是的交点横坐标，由图易知：，且，，构造，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，则，所以，所以，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以在上递增，在上递减，则，再利用，进而比较出的大小。
9．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，，
设，则，
在上单调递增，，
即，；
，，
设，则，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故答案为：D.
【分析】设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b的大小，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而比较出b，c的大小，从而比较出a，b，c的大小。
10．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由已知，
∴，
∴，即．
构造函数，
∴．
∵，
∴单调递增．
∴．
∴，．
记，
∴，
∵，
所以在区间递减；
在区间递增.
∴．
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】由已知得，构造函数，利用函数的单调性及分离常数法，结合导数求得λ的取值范围.
11．【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
即，
即，
所以，
令，
易知在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，
解得.
故答案为：A
【分析】把不等式转化为，令，根据为增函数，得到，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，得到，即可求解.
12．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为，
所以，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以函数在上有两个不等实根，
则，解得，
因为，且，，
所以，且，
所以，．
令函数，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则，即的取值范围为．
故答案为：A
【分析】利用结合导数的运算法则得出导函数，即，令，再利用函数有两个极值点，，所以函数在上有两个不等实根，再结合根与系数的关系得出实数a的取值范围，再结合，且，，所以，且，所以，，令函数，，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出函数的取值范围。
13．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知：，，
联立两式可得：，
令，则；
令，则在上单调递增，
又，，
在上存在唯一零点，且，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
.
故答案为：C.
【分析】由题意知：，，联立两式可得：，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理和函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合，所以，从而得出的值。
14．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
可得．
因为，所以，所以，
所以在定义域上单调递增，
又因为，即，
又由，
所以，所以，所以不等式的解集为.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，进而求出不等式的解集。
15．【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，，
由，得，，故切线方程为，
把定点代入得：，即．
，
即直线的斜率为．
则使有三个不同的零点的的取值范围是．
故答案为：D
【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出函数的图象，再利用直线过定点，当时，设过的直线与的切点为，，由结合求导的方法得出切线方程，把定点代入得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，从而得出使有三个不同的零点的的取值范围。
16．【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法和代入法得出，再利用a，b为正实数，从而得出实数a，b的取值范围，再利用得出，令且，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性得出函数的值域，从而得出的取值范围。
17．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，，
令，
则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以当时，，又，所以在上恒成立，又，所以，即．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即．
令，则，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以在上恒成立．
令，则，所以．
综上所述，．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合构造法和求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性和不等式恒成立问题求解方法，进而比较出a，b，c的大小。
18．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设，则，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】设，利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，所以，所以，再利用，所以，从而比较出a，b，c的大小。
19．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，，
设切点为，则切线方程为，
切线过点，，整理得到，
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
极大值，极小值，函数与有三个交点，
则，的取值范围为.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法，再结合方程有三个不等根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以函数与有三个交点，从而得出实数的取值范围。
20．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，
则，，
∵，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
令，则，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
所以，即．
综上，．
故答案为：D．
【分析】令，求得，，又由，得出函数的单调性，得到，即，再令，利用导数求得函数为单调递增函数，求得，得到所以，即可求解.
21．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】若，则，，令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，
所以，即，
又，
所以，所以，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，即，.
又，所以，即，
所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b，c的大小。
22．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，
又，则公切线的斜率，则，所以，
则公切线方程为，即，
代入得：，则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，令得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：
所以，解得，故实数a的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，利用导数的几何意义，求得，得到公切线方程为，代入，整理得到，根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，根据导数求得函数单调单调区间，结合和时，；时，，作出函数的大致图象，结合图象列出不等式组，即可求解.
23．【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数的关系；分段函数的应用
【解析】【解答】因为，的定义域为所以为奇函数，，
令，，
因为对任意，都有，所以，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，即.
故答案为：B．
【分析】由，得到为奇函数，令且，又由，得到，求得在上单调递增，结合为偶函数，把不等式转化为，进而转化为，即可求解.
24．【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
25．【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为，则，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合对立事件求概率公式，进而预测出这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率。
26．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，可得由已知得，，，
比较和，构造函数，
当，，在上单调递增，故，即.
同理比较和，构造函数，
当，，所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合构造函数的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
27．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线过点的切线、韦达定理和判别式法、求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出 的取值范围。
28．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：
则的取值范围是，又两个零点为，所以令，则，，，
则令，
，，，因为的取值范围是，
所以在的范围内单调递增，，
所以在恒成立，即在上单调递增，
又，则的取值范围是.
故答案为：D
【分析】根据题意转化为在上有两个交点，作出两个函数的图象，求得，，，令，求得，求得，得到在上的单调性，结合，进而求得的取值范围.
29．【答案】D
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：设f(x)=eax，g(x)=2x+b，
若eax≥2x+b，对任意x∈R恒成立，则f(x)≥g(x)，对任意x∈R恒成立，
①当a<0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
②当a=0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
③当a>0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
由图可知，临界条件是直线g(x)=2x+b与曲线f(x)=eax的图象相切时，
由f(x)=eax，求导f'(x)=aeax，
设f'(x0)=aeax0=2，解得eax0=，且f(x0)=eax0，
∴当f(x)=eax的切线斜率为2时，切点坐标为（x0，eax0），
故eax0=2x0+b=，所以
即，
令，
求导得，
令h'(a)=0，得lna=ln2-，解得，
当，h'(a)>0，函数h(a)单调递增，
当，h'(a)<0，函数h(a)单调递减，
所以当，函数h(a)取到最大值，且，
故 的最大值为 .
故选：D
【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.
30．【答案】A,B,C
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题设且，
A：当时，则，故的图象在点处的切线的斜率为，正确；
B、C：时，则上，递减，上，递增，
所以，B符合题意；
在上递增，又在上递增，故在上单调递增，C符合题意；
D：时有，同上分析知：在上递减，上递增，
所以，故无零点，错误.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出函数的图象在切点处的斜率，再结合不等式恒成立问题求解方法、增函数的定义、零点存在性定理，进而找出说法正确的选项。
31．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】对于A，由已知，函数，可得，
令，
则即在R上单调递增，
令，则，
当时，作出函数的大致图象如图：
当时，作出函数的大致图象如图：
可知的图象总有一个交点，即总有一个根，
当时，；当时，，
此时存在唯一极小值点，A符合题意；
对于B，由于，故原点不在曲线上，且，
设切点为，则，
即，即，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
故在和上各有一个零点，即有两个解，
故对任意，，曲线过原点的切线有两条，B符合题意；
对于C，当时，，，
故，该函数为R上单调增函数，，
故，使得，即，
结合A的分析可知，的极小值也即最小值为，
令，则，且为增函数，
当时， ，当且仅当时取等号，
故当时，，则在上单调递增，
故，令，则，
此时的最小值为，无零点，C不符合题意；
对于D，当时，为偶函数，考虑视情况；
此时，，
结合A的分析可知在R上单调递增，，
故时，，则在上单调递增，
故在上单调递减，为偶函数，
故，D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B，设切点为，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于为偶函数，故先判断时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断的单调性，进而求得函数最值.
32．【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
，则，
设，
，
则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，正确；
又，所以，则存在，使得．在时，；时，；
所以函数在单调递减，在单调递增，
故有唯一极小值，正确；
令，，
则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
且，则有．
又，
因此存在，使得，
当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则．
又，
从而存在唯一，使得．
显然当时，，当时，．
又，令，
，
因此函数在上单调递减，，
有，，则，
即，从而函数在上有唯一零点，
函数在上有且只有一个零点，且，C不符合题意；
，，
，
设，，
则
由选项知，在上单调递增，而，则，
即有，因此函数在上单调递增，
，即有，
所以对任意的，，总满足，正确．
故答案为：ABD.
【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项A、B；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项C、D.
33．【答案】B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理
【解析】【解答】对A， B，C选项，
令，因为，
，，
所以在上单调递减，
所以，即
所以当时，，且为唯一解，
所以单调递减；单调递增，
所以，即在上无零点，
同时表明在上有唯一极值点，A，C不符合题意，B符合题意；
对D，若，设，则，
要证，即证，
因为在上单调递增，所以即证，
因为，所以即证，
令，
，其中在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以成立，即成立，D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合函数的零点与方程的解的等价关系、求导的方法判断函数的单调性、求导的方法求出函数的极值点、构造法结合函数的单调性求出函数的最值，进而由 得出，从而找出正确的选项。
34．【答案】A,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，故，A符合题意；
因为，所以，B不符合题意；
因为，C符合题意；
，即，作出与图象，如图
由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的导数的运算法则、方程的根与两函数的交点的等价关系，进而找出说法正确的选项。
35．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点
【解析】【解答】∵，∴
∴
令，因为，所以，
即，则
当时，；
当且时，令，
则
综上，，即B符合题意；
又因为，所以
令，
显然在上单调递增，）的零点y满足
∴，解得.
所以要证，即证
因为在上单调递增，所以即证
而
所以成立，即成立，C符合题意
因为，所以当时，，AD不符合题意.
故答案为：B、C．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、函数的单调性和函数求极限的方法，进而找出正确的选项。
36．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，，则，∴
令，易得在上单调递增，在上单调递减.
极大值为：，且，如下图所示，
显然当时，有三个解，即有三条切线，；
当时，有一个解，即仅有一条切线，；
当时，无解，即不存在切线，不符合题意；
当时，有两个解，即有两条切线，；
当时，有一个解，即有一条切线，；
所以A、B、D符合题意，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】设切点为，，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值，且，再利用方程的解的个数和函数的图象的切线的条数的关系，进而得出m和n的关系，从而找出正确的选项。
37．【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】函数，
对于A，方程在上有解，
显然函数在上单调递增，则有，解得，
因此关于的方程在上无解，则或，A不符合题意；
对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，
即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，
，即函数在上单调递增，，
而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，
因此函数的值域为，又，于是在有解，
所以存在关于直线对称，B符合题意；
对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，
即，令，，
即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C符合题意；
对于D，令，由得，
显然，且，，令，，
当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此，即有，，
而，当且仅当时取等号，所以，即，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用函数，再结合方程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，进而得出实数a的取值范围，因此关于的方程在上无解，从而得出实数a的取值范围；设点，依题意结合点与点关于直线对称的求解方法，所以点Q关于直线对称点在函数的图象上，再结合代入法得出有解，此时，令函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，所以函数的值域为，再利用，于是在有解，所以存在关于直线对称；设点，再利用点与点关于y轴对称求解方法，从而得出点P关于y轴对称点在函数的图象上，再利用代入法，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，进而得出，恒有，从而得出实数a的取值范围；令，由结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示合，且，所以，令，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，则，，再结合均值不等式求最值的方法得出，进而得出实数a的取值范围，从而找出真命题的选项。
38．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，
所以与在上有两个交点，
即有两个零点，整理得，
只需满足与有两个交点即可.
令，则有，
所以在时，，单调递减；
在时，，单调递增；
所以在处取得最小值，
所以只需即可满足题设要求，
故答案为：BD.
【分析】依题意，利用与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，所以与在上有两个交点，再利用两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，所以有两个零点，整理得，只需满足与有两个交点即可，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，从而得出满足要求的实数a可能的取值。
39．【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由于x为正实数，对不等式两边同时除以x变形可得：，
化简得：，即：，
令（），则对任意的，，
所以，
设，，
则，
所以，
所以在上单调递减，
又因为，
所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：，即：m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由于x为正实数，对不等式两边同时除以x变形可得，令（），则对任意的，，再结合不等式恒成立问题求解方法得出，设，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而得出实数m的取值范围。
40．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意是方程的两根，且，
则，，即，
所以，()，
令，()，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取最大值，
所以的最大值是．
故答案为：．
【分析】由题意是方程的两根，且，再利用方程求根的方法和指数与对数的互化公式得出和，再利用指数幂的运算法则得出，()，令，()，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，进而得出的最大值。
41．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，
若函数有两个极值点，
则和在上有2个交点，
，
时，即，递增，时，，递减，
故（1），而时，恒成立，时，恒成立，
所以，
故答案为：．
【分析】利用导数的运算法则得出，若函数有两个极值点，则和在上有2个交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
42．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的正实数根．
方程可变形为即．
令，则，，
即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点．
记，则，
记，则，
所以在上单调递增．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增．
所以，
∴．
故答案为：
【分析】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点，构造函数，则，记，则，利用导数研究函数的单调性，得，即可得解.
43．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合构造法，令函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
44．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为对任意的，存在，有，
所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，故；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，故；
当，即时，在上单调递增，
所以，即，故；
综上所述：，即.
故答案为：.
【分析】对任意的，存在，有，再结合不等式恒成立问题求解方法得出，再利用结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数f(x)的最值，再结合二次函数的开口方向和对称性，进而判断出函数的单调性，从而得出函数g(x)的最值，进而得出实数a的取值范围。
45．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，，
作出函数的大致图象，
设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，
不妨设，要使方程有3个不同的实数根，
则或，
①当时，，得；
②当时，设，则，得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则有两个不同的实数根，再结合韦达定理得出可知，与异号，不妨设，要使方程有3个不同的实数根，进而得出实数的取值范围，再结合分类讨论的方法和已知条件得出实数的取值范围。
46．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】当时，，则，
所以，函数在上为增函数；
当时，由可得，即，
作出函数的图象如下图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为，
所以，切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，且，
由，解得，所以，，
而函数的渐近线方程为，
设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，
则，
结合图形可知，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和导数判断单调性的方法，进而作出函数的图象，设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为，再利用点斜式得出切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，构造函数，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性和代入法得出k的值，而函数的渐近线方程为，设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，再结合两角差的正切公式和分段函数的图象得出 （为坐标原点）的取值范围。
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压轴题12 导数及其应用（选填题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、单选题
1．（2023·绍兴模拟）设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设函数，求导得：，
∴在上单调递减，所以，A不符合题意；
设函数，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，仅当时取等号，
即，则时，，即，
所以，D不符合题意；
由，
下面证明，
，即证，
令，即证：，即，
构造函数 ，即证，
由，所以在上单调递减，则，
即证，
令，，
即在上单调递减，故，即成立，
故成立，所以，
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合构造函数的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较得出，从而选出正确的选项。
2．（2023高一下·平阳月考）在中，分别是的中点，且，若恒成立，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题；极限及其运算；余弦定理
【解析】【解答】因为，所以，
因为分别是的中点，所以，
在中，由余弦定理得，
，
在中，由余弦定理得，
所以
所以，
因为当取得最小值时，比值最大，
所以当时，，此时达到最大值，为 ，
则若恒成立，的最小值为，
故答案为：B
【分析】利用，所以，再利用分别是的中点，所以，再由余弦定理得出，当取得最小值时，比值最大，所以当时，，此时达到最大值，进而得出最大值，再结合恒成立，从而得出实数的最小值。
3．（2023高二下·浙江期中）已知，，，其中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；图形的对称性
【解析】【解答】由，则，同理，，
令，则，当；当，∴在上单调递减，单调递增，所以，即可得，又，，
由图的对称性可知，.
故答案为：C
【分析】由，则，同理，，令，再利用求导的方法判断函数的单调性和函数的图象的对称性，进而比较出a，b，c的大小。
4．（2023·安庆模拟）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由题意得，方程有三个不等的实数根.
而，
分别作出函数和的图象，
当时，
当时，，对其求导得，所以，
所以曲线在点的切线方程为，
如图，直线与曲线在点相切.
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意得，方程有三个不等的实数根，再利用函数f(x)的解析式得出分段函数的解析式，即，分别作出函数和的图象，当时，，当时，，再利用导数的方法得出曲线在点的切线方程，再结合两函数的图象得出直线与曲线在点相切，进而得出实数的取值范围。
5．（2023·邯郸模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，所以．
设，则，故在上单调递增．
因为，所以，即．
设，则，当时，，则在上单调递减．
因为，所以，即．
综上所述：．
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合构造法，从而结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性比较出a，b，c的大小。
6．（2023·张家界模拟）已知，且，则的取值范围是（　　）
（注：选项中的为自然对数的底数）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】因为，故，故，
设，其中，则，且，
当时，，当时，，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
由知当时，，当时，，
又，，所以，.
故答案为：D.
【分析】由得出，设，其中，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，由知当时，，当时，，再利用，，进而得出a，b的取值范围。
7．（2023·株洲模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；二项式定理
【解析】【解答】由，，则，
令，，
当时，，则单调递增，即，
故，可得，即；
由，
且，则，即.
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】由，，则，令，再利用导数判断函数的单调性的方法，再结合函数的单调性和二项式定理以及比较法判断出a，b，c的大小。
8．（2023·昭通模拟）已知函数，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由，则是是的交点横坐标，如下图示，
由图易知：，且，，
构造，则，令，
当时，，则递减；当时，，则递增；
所以当时，，所以，即，
所以，即，则，故，
综上，，
因为，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
而，故.
故答案为：B
【分析】由，则是是的交点横坐标，由图易知：，且，，构造，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，则，所以，所以，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以在上递增，在上递减，则，再利用，进而比较出的大小。
9．（2023高三下·浙江月考）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，，
设，则，
在上单调递增，，
即，；
，，
设，则，
在上单调递减，，
即，，即；
综上所述：.
故答案为：D.
【分析】设，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b的大小，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而比较出b，c的大小，从而比较出a，b，c的大小。
10．（2023·安康模拟）已知恒成立，则λ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由已知，
∴，
∴，即．
构造函数，
∴．
∵，
∴单调递增．
∴．
∴，．
记，
∴，
∵，
所以在区间递减；
在区间递增.
∴．
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】由已知得，构造函数，利用函数的单调性及分离常数法，结合导数求得λ的取值范围.
11．（2023·咸阳模拟）已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
即，
即，
所以，
令，
易知在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
所以，
解得.
故答案为：A
【分析】把不等式转化为，令，根据为增函数，得到，进而得到，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，得到，即可求解.
12．（2023·武威模拟）若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为，
所以，
令，
因为函数有两个极值点，，
所以函数在上有两个不等实根，
则，解得，
因为，且，，
所以，且，
所以，．
令函数，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
则，即的取值范围为．
故答案为：A
【分析】利用结合导数的运算法则得出导函数，即，令，再利用函数有两个极值点，，所以函数在上有两个不等实根，再结合根与系数的关系得出实数a的取值范围，再结合，且，，所以，且，所以，，令函数，，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出函数的取值范围。
13．（2023·漳州模拟）已知函数和函数，具有相同的零点，则的值为（　　）
A．2 B． C．-4 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题意知：，，
联立两式可得：，
令，则；
令，则在上单调递增，
又，，
在上存在唯一零点，且，，；
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
又，，
.
故答案为：C.
【分析】由题意知：，，联立两式可得：，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合零点存在性定理和函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合，所以，从而得出的值。
14．（2023高二下·鹤壁期中）定义在R上的函数满足，且，是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，
可得．
因为，所以，所以，
所以在定义域上单调递增，
又因为，即，
又由，
所以，所以，所以不等式的解集为.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，进而求出不等式的解集。
15．（2023高二下·鹤壁期中）设有三个不同的零点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，
画出函数的图象，直线过定点，
当时，设过的直线与的切点为，，
由，得，，故切线方程为，
把定点代入得：，即．
，
即直线的斜率为．
则使有三个不同的零点的的取值范围是．
故答案为：D
【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，画出函数的图象，再利用直线过定点，当时，设过的直线与的切点为，，由结合求导的方法得出切线方程，把定点代入得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，从而得出使有三个不同的零点的的取值范围。
16．（2023高二下·鹤壁期中）已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．，
【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】函数的导数为，则，
∴切点为，代入，得，
、为正实数，即，
∴，令且，则，即为增函数，
．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法和代入法得出，再利用a，b为正实数，从而得出实数a，b的取值范围，再利用得出，令且，再结合求导的方法判断函数的单调性，再利用函数的单调性得出函数的值域，从而得出的取值范围。
17．（2023·河南模拟）已知，，，其中e为自然对数的底数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，，
令，
则，
当时，，则在上单调递增，
又，所以当时，，又，所以在上恒成立，又，所以，即．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即．
令，则，在上单调递减，
所以当时，，即，
所以在上恒成立．
令，则，所以．
综上所述，．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合构造法和求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性和不等式恒成立问题求解方法，进而比较出a，b，c的大小。
18．（2023·大理模拟）已知实数a、b、c满足，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设，则，
当时，，则函数在上单调递增，
当时，，则函数在上单调递减，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】设，利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，所以，所以，再利用，所以，从而比较出a，b，c的大小。
19．（2023·周至模拟）过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，，
设切点为，则切线方程为，
切线过点，，整理得到，
方程有三个不等根.
令，则，令，则或，
当或时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
极大值，极小值，函数与有三个交点，
则，的取值范围为.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合导数求切线方程的方法，再结合方程有三个不等根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合方程的根与两函数的交点的横坐标的等价关系，所以函数与有三个交点，从而得出实数的取值范围。
20．（2023·曲靖模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，
则，，
∵，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
令，则，
∴当时，，单调递增，
∴，即，
所以，即．
综上，．
故答案为：D．
【分析】令，求得，，又由，得出函数的单调性，得到，即，再令，利用导数求得函数为单调递增函数，求得，得到所以，即可求解.
21．（2023·上饶模拟）设，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】若，则，，令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，又，所以，
所以，即，
又，
所以，所以，
令，，则，所以在上单调递增，
所以，即，.
又，所以，即，
所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法，从而判断出函数的单调性，再结合函数的单调性比较出a，b，c的大小。
22．（2023·深圳模拟）已知函数，，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设函数上的切点坐标为，且，函数上的切点坐标为，且，
又，则公切线的斜率，则，所以，
则公切线方程为，即，
代入得：，则，整理得，
若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，
设，则，令得，
当时，，单调递增，时，，单调递减，
又可得，则时，；时，，则函数的大致图象如下：
所以，解得，故实数a的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，利用导数的几何意义，求得，得到公切线方程为，代入，整理得到，根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，根据导数求得函数单调单调区间，结合和时，；时，，作出函数的大致图象，结合图象列出不等式组，即可求解.
23．（2023高三下·新乡开学考）设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的单调性与导数的关系；分段函数的应用
【解析】【解答】因为，的定义域为所以为奇函数，，
令，，
因为对任意，都有，所以，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，即.
故答案为：B．
【分析】由，得到为奇函数，令且，又由，得到，求得在上单调递增，结合为偶函数，把不等式转化为，进而转化为，即可求解.
24．（2023高三下·开学考）设函数的值域为，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】设，则，，
，
令，得；令，得或，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，
设，则.令，得.
在同一平面直角坐标系中作出函数和的图象，如图所示，
联立消去得，
化简得.整理得，解得或或.
若数的值域为，由数形结合易知.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象求值域的方法，进而得出实数k的取值范围。
25．（2023高三下·开学考）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，以单次最大续航里程500公里为标准进行测试，且每辆汽车是否达到标准相互独立，设每辆新能源汽车达到标准的概率为p（），当100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率取最大值时，若预测该款新能源汽车的单次最大续航里程为X，且，则预测这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率为（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.6 D．0.8
【答案】A
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；互斥事件与对立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】设100辆汽车中恰有80辆达到标准时的概率为，则，则.当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减.所以在处取得最大值.所以.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合二项分布求概率公式和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合对立事件求概率公式，进而预测出这款汽车的单次最大续航里程不低于600公里的概率。
26．（2023高三上·嘉兴期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】，可得由已知得，，，
比较和，构造函数，
当，，在上单调递增，故，即.
同理比较和，构造函数，
当，，所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合构造函数的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
27．（2023·南通模拟）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点，
则切线方程为，
又切线过，则，
有两个不相等实根，
其中或，
令或，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
，，
当时，，当时，，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合求导的方法求出曲线过点的切线、韦达定理和判别式法、求导的方法判断函数的单调性和函数求极限的方法，进而得出 的取值范围。
28．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：
则的取值范围是，又两个零点为，所以令，则，，，
则令，
，，，因为的取值范围是，
所以在的范围内单调递增，，
所以在恒成立，即在上单调递增，
又，则的取值范围是.
故答案为：D
【分析】根据题意转化为在上有两个交点，作出两个函数的图象，求得，，，令，求得，求得，得到在上的单调性，结合，进而求得的取值范围.
29．（2023·江西模拟）已知关于的不等式对任意恒成立，则的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】解：设f(x)=eax，g(x)=2x+b，
若eax≥2x+b，对任意x∈R恒成立，则f(x)≥g(x)，对任意x∈R恒成立，
①当a<0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
②当a=0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
显然，由图可知，eax≥2x+b对任意x∈R不恒成立；
③当a>0时，在同一坐标系中作出函数f(x)，g(x)的图象，
由图可知，临界条件是直线g(x)=2x+b与曲线f(x)=eax的图象相切时，
由f(x)=eax，求导f'(x)=aeax，
设f'(x0)=aeax0=2，解得eax0=，且f(x0)=eax0，
∴当f(x)=eax的切线斜率为2时，切点坐标为（x0，eax0），
故eax0=2x0+b=，所以
即，
令，
求导得，
令h'(a)=0，得lna=ln2-，解得，
当，h'(a)>0，函数h(a)单调递增，
当，h'(a)<0，函数h(a)单调递减，
所以当，函数h(a)取到最大值，且，
故 的最大值为 .
故选：D
【分析】讨论a的取值范围，利用函数图象，结合导数求出，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而得解.
二、多选题
30．（2023高二下·金华月考）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数的图象在点处的切线的斜率为
B．当时，恒成立
C．当时，在上单调递增
D．当时，有两个零点
【答案】A,B,C
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【解答】由题设且，
A：当时，则，故的图象在点处的切线的斜率为，正确；
B、C：时，则上，递减，上，递增，
所以，B符合题意；
在上递增，又在上递增，故在上单调递增，C符合题意；
D：时有，同上分析知：在上递减，上递增，
所以，故无零点，错误.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合导数的几何意义得出函数的图象在切点处的斜率，再结合不等式恒成立问题求解方法、增函数的定义、零点存在性定理，进而找出说法正确的选项。
31．（2023·唐山模拟）已知，函数，则（　　）
A．对任意，，存在唯一极值点
B．对任意，，曲线过原点的切线有两条
C．当时，存在零点
D．当时，的最小值为1
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【解答】对于A，由已知，函数，可得，
令，
则即在R上单调递增，
令，则，
当时，作出函数的大致图象如图：
当时，作出函数的大致图象如图：
可知的图象总有一个交点，即总有一个根，
当时，；当时，，
此时存在唯一极小值点，A符合题意；
对于B，由于，故原点不在曲线上，且，
设切点为，则，
即，即，
令，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
当时，的值趋近于0，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
当时，的值趋近于正无穷大，趋近于无穷大，故趋近于正无穷大，
故在和上各有一个零点，即有两个解，
故对任意，，曲线过原点的切线有两条，B符合题意；
对于C，当时，，，
故，该函数为R上单调增函数，，
故，使得，即，
结合A的分析可知，的极小值也即最小值为，
令，则，且为增函数，
当时， ，当且仅当时取等号，
故当时，，则在上单调递增，
故，令，则，
此时的最小值为，无零点，C不符合题意；
对于D，当时，为偶函数，考虑视情况；
此时，，
结合A的分析可知在R上单调递增，，
故时，，则在上单调递增，
故在上单调递减，为偶函数，
故，D符合题意，
故答案为：ABD
【分析】对于A，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B，设切点为，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D，由于为偶函数，故先判断时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断的单调性，进而求得函数最值.
32．（2023·邵阳模拟）已知函数，是的导数，则（　　）
A．函数在上单调递增
B．函数有唯一极小值
C．函数在上有且只有一个零点，且
D．对于任意的，，恒成立
【答案】A,B,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】，
，则，
设，
，
则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，正确；
又，所以，则存在，使得．在时，；时，；
所以函数在单调递减，在单调递增，
故有唯一极小值，正确；
令，，
则，
所以函数在单调递减，在单调递增，
且，则有．
又，
因此存在，使得，
当时，，当时，，
于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则．
又，
从而存在唯一，使得．
显然当时，，当时，．
又，令，
，
因此函数在上单调递减，，
有，，则，
即，从而函数在上有唯一零点，
函数在上有且只有一个零点，且，C不符合题意；
，，
，
设，，
则
由选项知，在上单调递增，而，则，
即有，因此函数在上单调递增，
，即有，
所以对任意的，，总满足，正确．
故答案为：ABD.
【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项A、B；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项C、D.
33．（2023高三下·浙江月考）已知函数，则（　　）
A．有一个零点 B．在上单调递减
C．有两个极值点 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数零点的判定定理
【解析】【解答】对A， B，C选项，
令，因为，
，，
所以在上单调递减，
所以，即
所以当时，，且为唯一解，
所以单调递减；单调递增，
所以，即在上无零点，
同时表明在上有唯一极值点，A，C不符合题意，B符合题意；
对D，若，设，则，
要证，即证，
因为在上单调递增，所以即证，
因为，所以即证，
令，
，其中在上单调递增，
所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以成立，即成立，D符合题意.
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合函数的零点与方程的解的等价关系、求导的方法判断函数的单调性、求导的方法求出函数的极值点、构造法结合函数的单调性求出函数的最值，进而由 得出，从而找出正确的选项。
34．（2023·平湖模拟）已知函数，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．方程有唯一实根
【答案】A,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数的导数；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】，故，A符合题意；
因为，所以，B不符合题意；
因为，C符合题意；
，即，作出与图象，如图
由图象可知，与图象有两个不同的交点，故方程有两个实根，D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则和复合函数的导数的运算法则、方程的根与两函数的交点的等价关系，进而找出说法正确的选项。
35．（2023高三下·浙江月考）已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点
【解析】【解答】∵，∴
∴
令，因为，所以，
即，则
当时，；
当且时，令，
则
综上，，即B符合题意；
又因为，所以
令，
显然在上单调递增，）的零点y满足
∴，解得.
所以要证，即证
因为在上单调递增，所以即证
而
所以成立，即成立，C符合题意
因为，所以当时，，AD不符合题意.
故答案为：B、C．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法、函数的单调性和函数求极限的方法，进而找出正确的选项。
36．（2023·昭通模拟）若过轴上一点最多可作出条直线与函数的图象相切，则（　　）
A．可以取到3
B．
C．当时，的取值范围是
D．当时，存在唯一的值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】设切点为，，则，∴
令，易得在上单调递增，在上单调递减.
极大值为：，且，如下图所示，
显然当时，有三个解，即有三条切线，；
当时，有一个解，即仅有一条切线，；
当时，无解，即不存在切线，不符合题意；
当时，有两个解，即有两条切线，；
当时，有一个解，即有一条切线，；
所以A、B、D符合题意，C不符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】设切点为，，则，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值，且，再利用方程的解的个数和函数的图象的切线的条数的关系，进而得出m和n的关系，从而找出正确的选项。
37．（2023·广州模拟）已知函数，点分別在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（　　）
A．若关于的方程在上无解，则
B．存在关于直线对称
C．若存在关于轴对称，则
D．若存在满足，则
【答案】B,C,D
【知识点】命题的真假判断与应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；基本不等式在最值问题中的应用；图形的对称性
【解析】【解答】函数，
对于A，方程在上有解，
显然函数在上单调递增，则有，解得，
因此关于的方程在上无解，则或，A不符合题意；
对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上，
即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数，
，即函数在上单调递增，，
而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为，
因此函数的值域为，又，于是在有解，
所以存在关于直线对称，B符合题意；
对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上，
即，令，，
即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C符合题意；
对于D，令，由得，
显然，且，，令，，
当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
因此，即有，，
而，当且仅当时取等号，所以，即，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用函数，再结合方程在上有解，显然函数在上单调递增，则有，进而得出实数a的取值范围，因此关于的方程在上无解，从而得出实数a的取值范围；设点，依题意结合点与点关于直线对称的求解方法，所以点Q关于直线对称点在函数的图象上，再结合代入法得出有解，此时，令函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，所以函数的值域为，再利用，于是在有解，所以存在关于直线对称；设点，再利用点与点关于y轴对称求解方法，从而得出点P关于y轴对称点在函数的图象上，再利用代入法，即，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，进而得出，恒有，从而得出实数a的取值范围；令，由结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示合，且，所以，令，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，则，，再结合均值不等式求最值的方法得出，进而得出实数a的取值范围，从而找出真命题的选项。
38．（2023高二下·山西月考）已知函数，若与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，则的取值可能是（　　）
A．e B．e C．3 D．4
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】依题意，因为与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，
所以与在上有两个交点，
即有两个零点，整理得，
只需满足与有两个交点即可.
令，则有，
所以在时，，单调递减；
在时，，单调递增；
所以在处取得最小值，
所以只需即可满足题设要求，
故答案为：BD.
【分析】依题意，利用与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，所以与在上有两个交点，再利用两函数的交点的横坐标与函数的零点的等价关系，所以有两个零点，整理得，只需满足与有两个交点即可，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数恒成立问题求解方法得出实数a的取值范围，从而得出满足要求的实数a可能的取值。
三、填空题
39．（2023高二下·浙江期中）若对任意正实数x，y都有，则实数m的取值范围为　 　.
【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】由于x为正实数，对不等式两边同时除以x变形可得：，
化简得：，即：，
令（），则对任意的，，
所以，
设，，
则，
所以，
所以在上单调递减，
又因为，
所以，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，解得：，即：m的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由于x为正实数，对不等式两边同时除以x变形可得，令（），则对任意的，，再结合不等式恒成立问题求解方法得出，设，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而得出实数m的取值范围。
40．（2023·江门模拟）已知，是方程（）的两根，且，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由题意是方程的两根，且，
则，，即，
所以，()，
令，()，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取最大值，
所以的最大值是．
故答案为：．
【分析】由题意是方程的两根，且，再利用方程求根的方法和指数与对数的互化公式得出和，再利用指数幂的运算法则得出，()，令，()，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，进而得出的最大值。
41．（2023·平湖模拟）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】，
若函数有两个极值点，
则和在上有2个交点，
，
时，即，递增，时，，递减，
故（1），而时，恒成立，时，恒成立，
所以，
故答案为：．
【分析】利用导数的运算法则得出，若函数有两个极值点，则和在上有2个交点，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
42．（2023·安康模拟）已知定义在上的函数恒有两个不同的极值点，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即方程有两个不同的正实数根．
方程可变形为即．
令，则，，
即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点．
记，则，
记，则，
所以在上单调递增．
令，得．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增．
所以，
∴．
故答案为：
【分析】函数恒有两个不同的极值点就等价于恒有两个不同的变号零点，即直线与函数的图象在y轴右侧有两个不同的交点，构造函数，则，记，则，利用导数研究函数的单调性，得，即可得解.
43．（2023·广州模拟）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
【分析】利用已知条件结合构造法，令函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
44．（2023高二下·鹤壁期中）已知函数（是自然对数的底数），对任意的，存在，有，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】因为对任意的，存在，有，
所以，
因为，所以，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，故，
因为开口向下，对称轴为，
当，即时，在上单调递减，则，
所以，则，故；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，故；
当，即时，在上单调递增，
所以，即，故；
综上所述：，即.
故答案为：.
【分析】对任意的，存在，有，再结合不等式恒成立问题求解方法得出，再利用结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数f(x)的最值，再结合二次函数的开口方向和对称性，进而判断出函数的单调性，从而得出函数g(x)的最值，进而得出实数a的取值范围。
45．（2023高二下·鹤壁期中）已知函数，若关于的方程有3个不同的实数根，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】当，，则，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，，
作出函数的大致图象，
设，则有两个不同的实数根，由可知，与异号，
不妨设，要使方程有3个不同的实数根，
则或，
①当时，，得；
②当时，设，则，得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数单调性，进而作出函数的大致图象，设，则有两个不同的实数根，再结合韦达定理得出可知，与异号，不妨设，要使方程有3个不同的实数根，进而得出实数的取值范围，再结合分类讨论的方法和已知条件得出实数的取值范围。
46．（2022·吉林模拟）已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，则（为坐标原点）的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】当时，，则，
所以，函数在上为增函数；
当时，由可得，即，
作出函数的图象如下图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为，
所以，切线方程为，
将原点坐标代入切线方程可得，即，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，且，
由，解得，所以，，
而函数的渐近线方程为，
设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，
则，
结合图形可知，.
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和导数判断单调性的方法，进而作出函数的图象，设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，设切点为，再利用点斜式得出切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，构造函数，其中，再利用求导的方法判断函数的单调性和代入法得出k的值，而函数的渐近线方程为，设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为，再结合两角差的正切公式和分段函数的图象得出 （为坐标原点）的取值范围。
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