压轴题13 导数及其应用（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题13 导数及其应用（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·绍兴模拟）设函数.
（1）证明：当时，；
（2）记，若有且仅有2个零点，求的值.
【答案】（1）证明：当时，有，单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，则可知；
（2）解：依题意，函数的定义域是，
当时，，即，而，
时，，时，，有两个零点，符合题意；
①当时，若，有，且，有，
又，由（1）可知又，则
所以在有1个零点：
若，有，若，
有，
可知在有1个零点，符合题意：
若，有在单调递增，，
（i）若，则当，有，
（ii）若，又，则可知，使得；
由（i）、（ii），则可知有在单调递减，所以，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
若，有在单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递增，则有，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
②当时，由，
记，
由①可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意.
综上可知，实数a的值为，0，1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 当时结合导数的运算法则和增函数的定义，所以单调递增，再利用零点存在性定理，则，使得，从而判断出在和在上的单调性，再利用，从而证出当时，成立。
（2） 依题意，函数的定义域是，再利用分类讨论的方法和函数的单调性以及零点存在性定理，进而结合已知条件得出实数a的值。
2．（2023·台州模拟）已知，，设函数，其中为自然对数的底，.
（1）当时，证明：函数在上单调递增；
（2）若对任意正实数，函数均有三个零点，其中.求实数的取值范围，并证明.
【答案】（1）证明：当时，，
设，所以，
当单调递減，
当单调递增，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
（2）证明：由题意方程有三个解，
记函数，
当单调递增，
当单调递减，
当单调递增，
又，
所以当时，方程有三个解，且，
设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，
因为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
因为，由方程，得.
即方程有两个解，
即，且，设，
则，即，
解得，所以，
要证，即证，
即证，
设，
，
所以在上单调递增，所以，
即得证，
所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a和k的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出函数在上单调递增。
（2） 由题意方程有三个解，记函数再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出当时，方程有三个解，且，设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合恒成立问题求解方法得出实数的取值范围，再结合，由方程，得，即方程有两个解，即，且，设，则，解得，所以，要证，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出，进而证出不等式成立。
3．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
4．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
5．（2023·浦东模拟）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，． 证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
【答案】（1）解：设，则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）证明：设，，
则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设，则当时，，故在区间上严格增．
因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．
（3）解：，
对任意，曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若，因为，解得有两个驻点．
由或时得严格增；而当时，得严格减．
故在时取得极大值，在时取得极小值．
又因为，，
所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上，的全体2度点构成的集合为或．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 设，再利用导数的方法得出曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当，即，再结合度点的定义，故原点是函数的一个1度点，该切线过点，再结合代入法得出，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极小值，再结合比较法得出函数的最小值，且，故无解，所以点不是函数的一个1度点。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，即 ，对任意，曲线在点处的切线方程为，故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．再利用分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的极值，再结合方程的根与函数的零点的等价关系和零点存在性定理，进而得出的全体2度点构成的集合。
6．（2023·宜宾模拟）已知，函数，．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
【答案】（1）解：，令，，
令，解得
在上单调递减，单调递增，
，
，
命题得证.
（2）解：存在，使得对于成立，
等价于存在，使得对于成立，
由于，原题意的必要条件是，对都成立
设，使得，即，
在是减函数，在是增函数，其中，即，
，
显然，
由上图知，，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性，当时，存在，使得恒成立，
，由上证明知存在大于0的正的最小值，
故存在大于0的，使得恒成立，
当时，设，
故对不恒成立，
存在，使得对于任意的成立，最大的整数的值是2.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，得，讨论单调性，证明最小值大于0即可；
（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.
7．（2023·广安模拟）已知函数有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数，可得，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以时，函数取得极大值，极大值为，
又因为时，；时，，且时，，
所以方程有两个不同的实数根时，可得，
即函数有两个极值点时，的取值范围是.
（2）解：由（1）知，函数的两个极值点是方程的两根，
且，则有，
两式相除，可得，可得，
又由，可得，
所以，令，
令，则需要恒成立，
则，
令，则，
令，
则在上单调递增，
又由，则存在，使得，
当时，，则即为单调递减；
当时，，则即为单调递增，
又，所以存在，使得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以当时，，所以，
故实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根， 设，可得， ，求得函数的单调性和极大值，进而求得的取值范围；
（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得， 令，则，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解.
8．（2023·崇明模拟）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
【答案】（1）解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，
所以.
（2）证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设，，
因为函数是周期为2，取一个周期，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成在上 恒成立问题，再利用函数的单调性即可求出结果；
（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再分，进行分类讨论，即可得出结论.
9．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
10．（2023·蚌埠模拟）已知函数，，.
（1）若，求证：；
（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，
记，
则，
记，
因为，所以在上单调递增
又
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增
所以当时，取得最小值，即
所以当时
（2）解：设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以l的方程可表示为或
则有...①，...②
由①可得，代入②可得：
即
记，，则
记，
因为，所以单调递减
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
因为，
由图可知a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当时，不等式成立。
（2） 设函数与函数的公切线分别相切于点和点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线l的方程，则有...①，...②，联立①②可得，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，再利用， 再利用两函数的图象得出实数a的取值范围。
11．（2023·安庆模拟）已知函数，，..
（1）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
（2）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）解：由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值。
（2） 由结合，因此，令且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，从而画出函数的大致图象，由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，再结合函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，即函数恰有两个零点，从而得出实数的取值范围。
12．（2023·宣城模拟）已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．
【答案】（1）解：令，则可化为.
令，，则
若，则，此时在内单调递增，
，所以时，，不符合题意；
若，则由得．
当，单调递增；当，，单调递减．
因为，所以当或者时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
故，解得．
（2）证明：要证，，只需证，
由（1）可知，．
记，则当时，
因此在内单调递减，又，所以即，
故，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1） 令，则可化为，令，，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出，进而解方程得出a的值。
（2）利用已知条件结合分析法，则要证，，只需证，，由（1）可知，，记，再利用放缩法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式 成立。
13．（2023·广东模拟）已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：求导得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）解：方法一：由题知不等式在上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，
则，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
即当时，，此时；当时，，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，
所以，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，
所以；
②当时，
因为存在，使得，而，
此时不满足，
所以无解.
综上所述，.
方法二：由题知不等式在上恒成立，
原问题等价于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
记，则，当单调递减，单调递增，
因为即，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，令，显然单调递增，且，
故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；
（2）原问题转化为 在上恒成立， 方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明，进而求出.
14．（2023·赣州模拟）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）函数，，记的极小值为，求函数的值域.
【答案】（1）解：法一：由得，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴，
①当时，，函数无零点
②当时，，函数有一个零点
③当时，，又，
故当时，函数有两个零点
法二：方程等于解方程，
记，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴.
①当时，函数，即无零点，
②当时，函数即有一个零点，
③当时，由，，
故当时，函数，即有两个零点；
（2）解：法一：由，
得：，
由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），
同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同
∴在，上单调递增，在上单调递减，
∴的极小值为，
又满足，即，
代入上式得，
又，∴，
对于二次函数，开口向下，对称轴为，
在上，.
法二：由，记，结合
显然函数在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，且当时，；当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故存在两个零点（不妨设），
下同法一
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 （1）法一：由结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围；
法二：方程等于解方程，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围。
（2） 法一：由结合求导的方法判断函数的单调性和由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
法二：由，记，再结合和求导的方法判断函数的单调性，显然函数在上单调递增，且，，再利用零点存在性定理，故存在唯一，使得，且当时，；当时，，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断出存在两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
15．（2023·南通模拟）设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．
【答案】（1）解：定义域为，的导函数
当时，，故在单调递减；
当时，得：；由得：；
于是在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）解：是上的几何上凸函数，证明如下：
由（1）可知，当时，在单调递减，在单调递增．
故，故为连续正值函数
由于，
要证是上的几何上凸函数．
需证，
即证，
而
，
则，
需证
由，
故只需证
下面给出证明：设，则，
即在上，递减，
所以，
即．
综上，成立，
故，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1） 的导函数 ，分和两种情况讨论的单调性即可；
（2）将代入，根据新定义利用分析法即可证明.
16．（2023·鞍山模拟）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
【答案】（1）解：该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为．
（2）解：对任意的，都有成立，只需任意的，，
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，
在上是增函数，所以只需即可，
而，从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 对任意的，都有成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只需任意的，，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围。
17．（2023·邯郸模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）解：设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设．
因为，，所以在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在处的切线方程。
（2） 设，再利用导数的运算法则得出
，再结合，所以至少满足，进而得出实数a的取值范围，设，再利用x的取值范围和函数的单调性，进而得出函数的最小值，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
18．（2023·唐山模拟）已知，证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明：令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）证明：显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得 时，即，即可得到证明.
19．（2023·邵阳模拟）已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
【答案】（1）解：，对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（2）证明：由可得，
令，则．
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减．
因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
故，即．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由已知可得出对任意的恒成立 ，验证对任意的恒成立；在时，利用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解；
（2）令，利用导数得出函数在上单调递减 ，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结和的单调性，即可证得结论成立.
20．（2023·株洲模拟）已知函数有两个极值点，．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）解：依题意知，，
因为函数有两个极值点，，
所以，，，
则有有两个根，等价于有两个根，
令，则，
令，解得，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以时，取得最大值，
又趋向于无穷大时，趋向于0，
所以且.
若，即，
由，解得：或（舍去），
所以若，a的值为：.
（2）解：由（1）知，，
，，
整理可得，令，
所以，易得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，令，
则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
即，所以a的取值范围为：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）依题意知，再利用函数有两个极值点，结合函数求极值点的方法得出方程有两个根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合趋向于无穷大时，趋向于0，所以且，若结合得出a的值。
（2） 由（1）知，，再利用代入法得出，令，所以，易得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
21．（2023·张家界模拟）已知函数，.
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可得，定义域为.
设，由，得，由，得.
则在上单调递增，在上单调减，
，
故在上的最大值是，无最小值.
（2）解：由题意可得，
，
的定义域是.
①当，即时，时，时，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，
则，解得，故；
②当，即时，由，解得，
因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意；
③当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或
，
若，解得，不符合题意，
若，设，则化为，
时，，，
所以，无解，
即无解，故不符合题意；
④当，即时，恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意；
⑤当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或.
若，解得，不符合题意，
若.
设，则化为，
由（1）知在上单调递减，所以，无解，
即无解，故不符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 的最值。
（2） 由题意可得，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理、不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
22．（2023·汕头模拟）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，在处取得极值，则，
所以，此时，
令，，则，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：依题意即在上有两个根，
整理为，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需在上有两个根，
令，，则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值即最大值，，
且当时，当时，
要想在上有两个根，只需，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和求导的方法求出函数的极值点的方法，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 依题意，在上有两个根，整理为，设函数，则上式为，再利用恒成立结合求导的方法判断函数的单调性，所以单调递增，所以，所以只需在上有两个根，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，从而结合函数求极限的方法得出要想在上有两个根，只需，从而得出实数的取值范围。
23．（2023·临高模拟）已知函数．
（1）当时，是的一个极值点且，求及的值；
（2）已知，设，若，，且，求的最小值．
【答案】（1）解：因为，其中，则，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为是的一个极值点且，则，
消去可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，，故，
此时，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在处取得极小值，合乎题意.
综上所述，.
（2）解：因为，
因为，即，即，
即，其中，，则，
当时，，故函数在上单调递增，
由可得，所以，，其中，
构造函数，其中，则，由可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故，即的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由已知可得出， 消去可得， 令，其中，则，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出，进而可求得的值；
（2）由已知可得，即为，利用导数分析函数在 的单调性，可得出，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.
24．（2023·江门模拟）已知函数，其中.
（1）若的图象在处的切线过点，求a的值；
（2）证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.
【答案】（1）证明：由条件得：∴，
又∴在处的切线为：，
∵的图象在处的切线过点，
∴∴.
（2）证明：
令，，则，
令，，
∴在递减 ，
∴，即
∴在递减，
∴，即， ；
（3）解：的定义域为：，，
时，由得：，，
时，；时，；时，，
∴在，上单调递增，在递减 ，
∴至多有三个零点.
∵，∴，∴，
又，在递减，
∴，又由（2）知，所以，
结合零点存在定理知：使得，
又∴，，
∴，又， ，
∴恰有三个零点：，1，，
∴时，的所有零点之积为（定值）.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，再结合切线的方程和代入法得出实数a的值。
（2）利用函数的解析式和代入法得出 ，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出， 成立。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合零点存在性定理，进而证出当时，函数有3个零点，且3个零点之积为定值。
25．（2023·山西模拟）已知函数，，.
（1）判断的单调性；
（2）若有唯一零点，求的取值范围.
【答案】（1）解：定义域为 ，
记，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，
∴在上单调递增．
（2）解：定义域为R，，
①当时，有唯一零点，符合题意；
②当时，，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，
故，
若，则无零点，不符题意；
若，有唯一零点，符合题意；
若，则，又，
时，，，∴ ，
故在内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；
③当时，当时，
当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
时，令，令，
即在单调递增，故，
故在单调递增，则，
所以，故，则，
故此时在上有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可确定函数单调性；
（2）求出函数的导数，对a分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数，综合即可求得答案.
26．（2023·安康模拟）已知函数，（e为自然对数的底数）
（1）当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
（2）若，方程有两个根，（），求证：．
【答案】（1）解：当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.
又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则
；
（2）证明：当时，，
则由题可得有两个根，
令，则可得方程有两个根，
则.令，，则，
.注意到，
则构造函数，.
因，则在上单调递增，得
.
故命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可求得过原点的直线与相切的直线方程为，再利用直线与的切点为在图象上也在切线上，可求得切点的横坐标， 又切线斜率为1， 可求得；
（2） 由题可得有两个根，令，则可得方程有两个根，则.令，，可将证明转化为，构造函数 ，，通过求导研究函数的单调性，即可得证.
27．（2023·商洛模拟）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求在上的值域；
（2）函数，证明：有且仅有两个零点．
【答案】（1）解：因为，所以．
当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故．
因为，所以．
故在上的值域为．
（2）证明：因为，则，
设，则，故在上单调递增．
因为，，所以存在唯一，使得．
故当时，；当时，．
即在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
又因为，则，
所以，
，
由零点存在定理可知，函数在、上各存在一个零点，
综上所述，有且仅有两个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 求得，得出函数的单调性和，再由，即可求得函数在上的值域；
（2） 由，求得，设，求得，得到在上单调递增，结合，，得到存在唯一，使得，得到在上单调递减，在上单调递增，再由，和，结合零点的存在定理，即可求解.
28．（2023·咸阳模拟）已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）对于任意的，恒有，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，得，
令，则，
，即，所以在上单调递增，
注意到，故有唯一的零点0.
（2）解：
注意到，只要即可，，，
令，则，
当时，，有，即，符合题意；
当时，，
若，即时，，此时，即，符合题意；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，
∴，不合题意，
综上.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 当时，求得，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，求得在上单调递增，结合，即可求解；
（2） 根据题意转化为，求得，令，求得，当时，成立，符合题意；当时，，分和两种情况讨论，得到函数的单调性和最小值，即可求解.
29．（2023·安丘模拟）已知函数.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若有两个极值点，且，证明：.
【答案】（1）解：，则，
显然不是的零点，
令，则，
在单调递减，在（0，1）单调递减，在单调递增.
当时，，当时，，且
时，只有一个实数根，所以此时有1个极值点，
时，没有实数根，故有0个极值点，
当时，，有一个实数根，但不是极值点，故此时没有极值点，
时，有两个不相等的实数根，故有2个极值点.
（2）解：由（1）知，，且在（0，1）单调递减，在单调递增，
先证：，即证：，即证：.
即证：.
令，
即证：，
令则
令，则，则在单调递减
，
，即在单调递减，
，证毕.
再证：，
，且
.
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
.
即证：，
又，
即证：.
令，
.
令，
，
令
，
令
令，
，
在单调递减，在单调递增.
，
，当时，单调递增；当时，单调递减.
，
在单调递减，在单调递增.
，
在单调递增，在单调递减.
，
，
，
在单调递增，
，
所以原命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）分类讨论导函数的实数根即可求解极值点；
（2）构造函数和，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.
30．（2023·模拟）已知函数，
（1）若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；
（2）当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：①；
②.
【答案】（1）解：由已知，该函数的定义域为，
所以，
当时，，
令，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，其中，
所以为函数的极小值点， 极小值为，
函数没有极大值点；
由已知，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以为函数的极小值点，极小值为，
函数没有极大值点，
（2）证明：①由(1)可得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，，且，
又，
所以函数有且仅有两个零点，不妨设，
则，，
当时，，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
，，
所以函数有两个零点，不妨设，
则，
因为为的零点，所以，
令，则，
所以，
所以，所以为函数的零点，
又，所以，同理可得，
所以，
要证明，只需证明，
只需证明，
而，，所以，
所以；
②同①可得函数有且仅有两个零点，设其较小零点为，
因为，
因为，故，所以
，，
则，，
函数有两个零点，设其较小零点为，则，
要证明，只需证明，
只需证明，设，则，
只需证明，
只需证明，
设，，
则，
设，则，
所以函数，即函数在上单调递增，
所以，，
所以
所以在上单调递增，
所以当时，，
又，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导，，再求，的解，分区间研究函数和 的单调性和极值；
(2)①不妨设，，根据函数的单调性结合零点存在性定理确定得范围，再证明，要证明 ，只需证明，即可完成证明；
②同①可以证明， 要证明，只需证明， 设， 设 ，再利用导数证明求其最大值，并证明最大值小于 即可.
31．（2023·平谷模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意恒有，求a的最大值．
【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：的定义域为，.
当时，，即函数在上单调递增.
当时，，即函数在上单调递增.
当时，.
令，解得
若时，；
若时，；
即函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由（2）可知，当时，在上单调递增，恒有；
当时，由（2）可知，在上单调递减，
存在，使得，故不合题意；
综上，，即a的最大值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程；
（2）分类讨论的值，利用导数得出单调性；
（3）当，由单调性得出恒有，当，存在，使得，从而得出的最大值.
32．（2023·大兴模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)
【答案】（1）解：当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由题意，，
因为在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，
所以在上最小值为，
所以.
（3）解：当时，方程根的个数为2.
证明如下：
当时，，构造函数，
则，显然在上单调递增，
因为，，所以存在唯一零点，设为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，所以在上存在唯一零点
又因为，所以在上存在唯一零点，
故函数有2个零点，即方程根的个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，则，所以，， 结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；
（2）， 因为在区间上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立， 构造函数，求出 在上最小值为， 即可得解；
（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.
33．（2023·模拟）已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）解：若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)证明不等式成立，即证明， 令 ， 所以 ，由导数的符号判断函数的单调性，求出最值即可判断；
(2)对a 的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值，当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
34．（2023·厦门模拟）已知函数（a∈R）．
（1）讨论的单调性：
（2）证明：对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0．
【答案】（1）解：，
当，则，则函数在上单调递减，
若，令，得，当，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，当，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：由（1）可知，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，
因为，
设，
，
所以在上单调递减，所以，即，
由零点存在性定理知，使得，
取，则，且.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 利用（1）讨论出函数的单调性，再结合 ，所以，再利用，设，再结合求导的方法判断函数的单调性，所以，即，再由零点存在性定理证出对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0 。
35．（2023·广州模拟）已知，函数.
（1）若，证明：当时，：
（2）若函数存在极小值点，证明：
【答案】（1）证明：若，则，设，
，设，
，则在上单调递增，，即，
于是在上单调递增，，即，
所以当时，.
（2）证明：函数，其定义域为，
，
由（1）知在上单调递增，，
当时，，当时，，
则由，解得或，其中且，即且，
否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在上单调递减，因此是的极小值点，，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在单调递减，因此是的极小值点，
，又，于是，
综上所述，函数存在极小值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 若，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式成立。
（2） 利用函数，其定义域为，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以当时，，当时，，则由得出x的值，其中且，即且，否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值点，所以，再利用，于是，从而证出函数存在极小值点。
36．（2023·丰台模拟）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个不相等的零点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）解：因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值.
（2）解：（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有1个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有1个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，.
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，则，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在R上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由(1)有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 因为，所以， 利用导数研究函数的单调性和极值；
(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，不妨设，构造函数，则， 即，利用导数研究函数的单调性进行证明即可.
37．（2023·漳州模拟）已知函数.
（1）证明：当时，函数在区间上不是单调函数；
（2）证明：当时，对任意的恒成立.
【答案】（1）证明：当时，，则，
令，则，在上单调递减，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在区间上不是单调函数.
（2）证明：当时，要证对任意的恒成立，
即证当时，对任意的恒成立，
即证对任意的恒成立；
令，则，
，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
综上所述：当时，；
在上单调递增，，
当时，对任意的恒成立，
即当时，对任意的恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出当时，在区间上不是单调函数。
（2） 利用已知条件结合分析法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法证出当时，对任意的恒成立。
38．（2023·安徽模拟）已知函数.
（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
【答案】（1）解：由题意得的定义域为
.
若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；
若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.
综上所述：在定义域上单调递增，且.
（2）证明：方法一：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
当时，原不等式即证，
由（1）知在上单调递增，
，
又，则，
原不等式成立.
方法二：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，
令，
则.
在上单调递增，，
原不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数求导，分两种情况讨论， 若在定义域上单调递增，则 恒成立，即在上恒成立； 若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式可得解；
（2）要证原不等式成立， 只需证，只需证，只需证，当时， ，则原不等式即证，结合的单调性即可得证.
39．（2023·曲靖模拟）已知函数的图像与直线l：相切于点．
（1）求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
（2）求c与a的函数关系；
（3）当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．
【答案】（1）解：，，，．
函数的图像在点处的切线方程是：.
令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．
（2）解：，，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，
两端乘以b变作：①．
又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．
直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：
（3）解：函数的零点为a＝1，a＝1时．
对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．
①当x＝0时，对恒成立，此时．
②当0＜x≤2时，恒成立．
设，求得．
0＜x≤2时，由得，由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，，此时．
③当时，恒成立．
与②同，设，．
令，则，在上单调递增．
所以，时，得，在上单调递减．
所以，时，取得最大值，此时．
整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得到，，求得切线方程，得出切线在x轴上的截距；
（2）求得函数的图像在x＝1处的切线方程，结合函数的图像在点处的切线方程是：，根据两直线重合，进而求得 ；
（3）根据题意转化为，不等式恒成立，①当x＝0时，恒成立，得到；②当0＜x≤2时，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，结合，求得；③当时，得到恒成立，设，求得，令，求得函数的单调性和最大值，求得，进而求得实数k的最值．
40．（2023·红河模拟）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求a的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为．
，因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即．解得：或，
由已知条件，故可求得实数
（2）解：，不等式，
即．设，，则恒成立．
，令，．
①若，则，在上单调递增，，不符合题意；
②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；
③若，则，
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
此时，，不符合题意；
综上所述，m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结导数的几何意义和两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值。
（2）利用 ，所以不等式，即，设，，则恒成立，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
41．（2023·大理模拟）已知函数在点处的切线l与直线垂直.
（1）求切线l的方程；
（2）判断在上零点的个数，并说明理由.
【答案】（1）解：，
所以切线的斜率，由题意，解得.
所以，
所以，
所以切线l的方程为，即
（2）解：由（1）知，所以，
由，可得，
令，
所以，
①当时，，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上无零点，
②当时，令，
所以，即在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以在上且只有一个零点，
综上所述：在上有且只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的几何意义和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再利用导入法得出切点的坐标，再结合点斜式得出切线l的方程，再转化为切线l的一般式方程。
（2）利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法和零点存在性定理，进而判断出函数在上零点的个数。
1 / 1压轴题13 导数及其应用（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·绍兴模拟）设函数.
（1）证明：当时，；
（2）记，若有且仅有2个零点，求的值.
2．（2023·台州模拟）已知，，设函数，其中为自然对数的底，.
（1）当时，证明：函数在上单调递增；
（2）若对任意正实数，函数均有三个零点，其中.求实数的取值范围，并证明.
3．（2023·静安模拟）已知函数.（其中为常数）
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由.
4．（2023·闵行模拟）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．
（1）当时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
5．（2023·浦东模拟）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像． 若过点恰能作曲线的条切线（），则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，． 证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
6．（2023·宜宾模拟）已知，函数，．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）若存在，使得对于任意的成立，求最大的整数的值．
7．（2023·广安模拟）已知函数有两个极值点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
8．（2023·崇明模拟）已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
9．（2023·深圳模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围.
10．（2023·蚌埠模拟）已知函数，，.
（1）若，求证：；
（2）若函数与函数存在两条公切线，求实数的取值范围.
11．（2023·安庆模拟）已知函数，，..
（1）若曲线在点处的切线方程是，求和的值；
（2）若，且的导函数恰有两个零点，求的取值范围.
12．（2023·宣城模拟）已知函数．
（1）若，求．
（2）证明：，．
13．（2023·广东模拟）已知函数.
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围.
14．（2023·赣州模拟）已知函数（，e为自然对数的底数）.
（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；
（2）函数，，记的极小值为，求函数的值域.
15．（2023·南通模拟）设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．
16．（2023·鞍山模拟）已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，都有成立，求a的取值范围．
17．（2023·邯郸模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）对任意的，都有，求a的取值范围．
18．（2023·唐山模拟）已知，证明：
（1）；
（2）．
19．（2023·邵阳模拟）已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
20．（2023·株洲模拟）已知函数有两个极值点，．
（1）若，求a的值；
（2）若，求a的取值范围．
21．（2023·张家界模拟）已知函数，.
（1），求的最值；
（2）若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围.
22．（2023·汕头模拟）已知函数．
（1）若函数在处取得极值，求的值及函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
23．（2023·临高模拟）已知函数．
（1）当时，是的一个极值点且，求及的值；
（2）已知，设，若，，且，求的最小值．
24．（2023·江门模拟）已知函数，其中.
（1）若的图象在处的切线过点，求a的值；
（2）证明：，，其中e的值约为2.718，它是自然对数的底数；
（3）当时，求证：有3个零点，且3个零点之积为定值.
25．（2023·山西模拟）已知函数，，.
（1）判断的单调性；
（2）若有唯一零点，求的取值范围.
26．（2023·安康模拟）已知函数，（e为自然对数的底数）
（1）当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值；
（2）若，方程有两个根，（），求证：．
27．（2023·商洛模拟）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）求在上的值域；
（2）函数，证明：有且仅有两个零点．
28．（2023·咸阳模拟）已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）对于任意的，恒有，求实数的取值范围.
29．（2023·安丘模拟）已知函数.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若有两个极值点，且，证明：.
30．（2023·模拟）已知函数，
（1）若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；
（2）当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：①；
②.
31．（2023·平谷模拟）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若对任意恒有，求a的最大值．
32．（2023·大兴模拟）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)
33．（2023·模拟）已知函数.
（1）若，证明：；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围.
34．（2023·厦门模拟）已知函数（a∈R）．
（1）讨论的单调性：
（2）证明：对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0．
35．（2023·广州模拟）已知，函数.
（1）若，证明：当时，：
（2）若函数存在极小值点，证明：
36．（2023·丰台模拟）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个不相等的零点，．
（i）求a的取值范围；
（ii）证明：．
37．（2023·漳州模拟）已知函数.
（1）证明：当时，函数在区间上不是单调函数；
（2）证明：当时，对任意的恒成立.
38．（2023·安徽模拟）已知函数.
（1）若在定义域上具有唯一单调性，求的取值范围；
（2）当时，证明：.
39．（2023·曲靖模拟）已知函数的图像与直线l：相切于点．
（1）求函数的图像在点处的切线在x轴上的截距；
（2）求c与a的函数关系；
（3）当a为函数g（a）的零点时，若对任意，不等式恒成立．求实数k的最值．
40．（2023·红河模拟）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求a的值；
（2）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
41．（2023·大理模拟）已知函数在点处的切线l与直线垂直.
（1）求切线l的方程；
（2）判断在上零点的个数，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：当时，有，单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递减，在单调递增，
又，则可知；
（2）解：依题意，函数的定义域是，
当时，，即，而，
时，，时，，有两个零点，符合题意；
①当时，若，有，且，有，
又，由（1）可知又，则
所以在有1个零点：
若，有，若，
有，
可知在有1个零点，符合题意：
若，有在单调递增，，
（i）若，则当，有，
（ii）若，又，则可知，使得；
由（i）、（ii），则可知有在单调递减，所以，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
若，有在单调递增，
又，则可知，使得，
所以在单调递增，则有，
又有，所以在至少有1个零点，
则可知在至少有2个零点，不符合题意；
②当时，由，
记，
由①可知，有且仅有满足题意，即时，满足题意.
综上可知，实数a的值为，0，1.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 当时结合导数的运算法则和增函数的定义，所以单调递增，再利用零点存在性定理，则，使得，从而判断出在和在上的单调性，再利用，从而证出当时，成立。
（2） 依题意，函数的定义域是，再利用分类讨论的方法和函数的单调性以及零点存在性定理，进而结合已知条件得出实数a的值。
2．【答案】（1）证明：当时，，
设，所以，
当单调递減，
当单调递增，
所以，
即，所以函数在上单调递增.
（2）证明：由题意方程有三个解，
记函数，
当单调递增，
当单调递减，
当单调递增，
又，
所以当时，方程有三个解，且，
设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，
因为，所以在单调递增，在单调递减，
所以，
所以实数的取值范围为.
因为，由方程，得.
即方程有两个解，
即，且，设，
则，即，
解得，所以，
要证，即证，
即证，
设，
，
所以在上单调递增，所以，
即得证，
所以得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a和k的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出函数在上单调递增。
（2） 由题意方程有三个解，记函数再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法得出当时，方程有三个解，且，设，若对任意正实数，函数均有三个零点，所以，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，从而结合恒成立问题求解方法得出实数的取值范围，再结合，由方程，得，即方程有两个解，即，且，设，则，解得，所以，要证，即证，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出，进而证出不等式成立。
3．【答案】（1）解：当时，可得，
可得，所以且，
所以切线方程为，即，
即曲线所以曲线在点处的切线方程为.
（2）解：由函数，可得函数的定义域为，
又由，令，解得，，
当时，与在区间的情况如下表：
极小值 ↗
所以函数的极小值为，也是函数的最小值，
所以当时，函数的最小值为
（3）解：当时，，令，解得（舍去）
所以函数在上有一个零点；
当 时，与在区间的情况如下表：
0 0
↗ 极大值 极小值 ↗
所以函数在单调递增，在上单调递减，
此时函数的极大值为，
所以函数在上没有零点；
又由且函数在上单调递增，
且当时，，
所以函数在上只有一个零点，
综上可得，当时，在上有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1） 利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法和函数的解析式得出切点的坐标，再利用点斜式得出曲线在点处的切线方程 。
（2） 利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最小值，从而得出当时的函数的最小值。
（3） 当时，得出函数的解析式，再利用函数的零点的求解方法得出函数在上有一个零点；当 时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合零点存在性定理判断出函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，，再结合零点存在性定理判断出函数在上只有一个零点，综上可得当时的函数在上的零点个数。.
4．【答案】（1）解：由题设，函数定义域为，且，
由，则；
（2）解：当时，，则，
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线；
（3）解：，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，，且，
趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或时，都有
当时，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以
因为，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，
又，即 ，解得，
因为，，
所以．
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合代入法得出实数a的值。
（2） 当时结合导数的运算法则和代入法得出，再结合导数的几何意义得出直线的斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，再解一元二次方程得出x的值，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出 ，令，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，设曲线的另一条切线的斜率为，再利用分类讨论的方法和两直线垂直的判断方法、函数求极限的方法、零点存在性定理，均值不等式求最值的方法得出对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围。
5．【答案】（1）解：设，则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点，
该切线过点，故，
令，则，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极小值，也时最小值，且，
故无解，点不是函数的一个1度点
（2）证明：设，，
则曲线在点处的切线方程为．
则该切线过点当且仅当（*）．
设，则当时，，故在区间上严格增．
因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点．
（3）解：，
对任意，曲线在点处的切线方程为．
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解．
设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求．
若，因为，解得有两个驻点．
由或时得严格增；而当时，得严格减．
故在时取得极大值，在时取得极小值．
又因为，，
所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求．
故两个不同的零点当且仅当或．
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或．
综上，的全体2度点构成的集合为或．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 设，再利用导数的方法得出曲线在点处的切线方程为．则该切线过点当且仅当，即，再结合度点的定义，故原点是函数的一个1度点，该切线过点，再结合代入法得出，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而得出函数的极小值，再结合比较法得出函数的最小值，且，故无解，所以点不是函数的一个1度点。
（3）利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，即 ，对任意，曲线在点处的切线方程为，故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点．再利用分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的极值，再结合方程的根与函数的零点的等价关系和零点存在性定理，进而得出的全体2度点构成的集合。
6．【答案】（1）解：，令，，
令，解得
在上单调递减，单调递增，
，
，
命题得证.
（2）解：存在，使得对于成立，
等价于存在，使得对于成立，
由于，原题意的必要条件是，对都成立
设，使得，即，
在是减函数，在是增函数，其中，即，
，
显然，
由上图知，，
对都成立的最大整数是2，
以下证明充分性，当时，存在，使得恒成立，
，由上证明知存在大于0的正的最小值，
故存在大于0的，使得恒成立，
当时，设，
故对不恒成立，
存在，使得对于任意的成立，最大的整数的值是2.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）对函数求导，得，讨论单调性，证明最小值大于0即可；
（2）将不等式转化为两个函数的图象交点问题，分别讨论两个函数的单调性，利用存在性定理判断根的范围即可求解.
7．【答案】（1）解：因为函数，可得，
因为函数有两个极值点，
所以方程有两个不同的实数根，即方程有两个不同的实数根，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以时，函数取得极大值，极大值为，
又因为时，；时，，且时，，
所以方程有两个不同的实数根时，可得，
即函数有两个极值点时，的取值范围是.
（2）解：由（1）知，函数的两个极值点是方程的两根，
且，则有，
两式相除，可得，可得，
又由，可得，
所以，令，
令，则需要恒成立，
则，
令，则，
令，
则在上单调递增，
又由，则存在，使得，
当时，，则即为单调递减；
当时，，则即为单调递增，
又，所以存在，使得
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，
又，所以当时，，则，单调递减；
当时，，则，单调递增，
所以当时，，所以，
故实数的取值范围是
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）根据题意转化为方程有两个不同的实根， 设，可得， ，求得函数的单调性和极大值，进而求得的取值范围；
（2）由（1）得到，得出，令，得到，求得， 令，则，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解.
8．【答案】（1）解：因为，，所以，
由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，
所以，即在上恒成立，
令，易知，在上，函数和均单调递增，
所以.
（2）证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设，，
因为函数是周期为2，取一个周期，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
【知识点】函数的周期性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成在上 恒成立问题，再利用函数的单调性即可求出结果；
（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；
（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再分，进行分类讨论，即可得出结论.
9．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，
切线斜率为，
所以切线方程为：，
即：..
（2）解：∵，定义域为，
∴，
又∵有两个极值点，
∴有两个零点，即：（）有两个不同的根.
即：（）有两个不同的根.
令，则与在上有两个不同的交点.
∵，
则，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
又∵，，
当时，；当时，，
∴的图象如图所示，
所以，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）运用导数几何意义求得切线斜率，进而求得切线方程；
（2）将问题转化为 （）有两个不同的根，运用分离参数研究函数与在上有两个不同的交点， 运用导数研究函数的图象观察即可.
10．【答案】（1）解：当时，
记，
则，
记，
因为，所以在上单调递增
又
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增
所以当时，取得最小值，即
所以当时
（2）解：设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以l的方程可表示为或
则有...①，...②
由①可得，代入②可得：
即
记，，则
记，
因为，所以单调递减
又，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
因为，
由图可知a的取值范围为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而证出当时，不等式成立。
（2） 设函数与函数的公切线分别相切于点和点，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线l的方程，则有...①，...②，联立①②可得，记，，再利用求导的方法判断函数的单调性，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，再利用， 再利用两函数的图象得出实数a的取值范围。
11．【答案】（1）解：因为，所以，
因为曲线在点处的切线方程是，
所以即
解得
（2）解：由得，.显然
因此.
令且，则，
解方程得，，
因此函数在和内单增，在和内单减，且极大值为，极小值为.的大致图象如下：
由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，即函数恰有两个零点.
故的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在切点处的切线方程，进而得出a，b的值。
（2） 由结合，因此，令且，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，从而画出函数的大致图象，由图象可知，当或时，直线与曲线分别有两个交点，再结合函数的零点与直线与曲线的交点的横坐标的等价关系，即函数恰有两个零点，从而得出实数的取值范围。
12．【答案】（1）解：令，则可化为.
令，，则
若，则，此时在内单调递增，
，所以时，，不符合题意；
若，则由得．
当，单调递增；当，，单调递减．
因为，所以当或者时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
故，解得．
（2）证明：要证，，只需证，
由（1）可知，．
记，则当时，
因此在内单调递减，又，所以即，
故，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；分析法的思考过程、特点及应用
【解析】【分析】（1） 令，则可化为，令，，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出，进而解方程得出a的值。
（2）利用已知条件结合分析法，则要证，，只需证，，由（1）可知，，记，再利用放缩法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式 成立。
13．【答案】（1）解：求导得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）解：方法一：由题知不等式在上恒成立，
则原问题等价于不等式在上恒成立，
记，
则，
记，则恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以存在，使得，
即当时，，此时；当时，，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，得，
即，
所以，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，
所以；
②当时，
因为存在，使得，而，
此时不满足，
所以无解.
综上所述，.
方法二：由题知不等式在上恒成立，
原问题等价于不等式在上恒成立，
即在上恒成立.
记，则，当单调递减，单调递增，
因为即，
①当时，
因为，所以不等式恒成立，所以；
②当时，令，显然单调递增，且，
故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）先求导数，利用导数判断单调性，根据单调性得出极值；
（2）原问题转化为 在上恒成立， 方法一通过研究函数单调性求得的最小值为，从而求出；方法二通过同构构造函数并研究其单调性最值，从而说明，进而求出.
14．【答案】（1）解：法一：由得，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴，
①当时，，函数无零点
②当时，，函数有一个零点
③当时，，又，
故当时，函数有两个零点
法二：方程等于解方程，
记，
故当时，；当时，.
故函数在区间上单调递减，在上单调递增
∴.
①当时，函数，即无零点，
②当时，函数即有一个零点，
③当时，由，，
故当时，函数，即有两个零点；
（2）解：法一：由，
得：，
由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），
同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同
∴在，上单调递增，在上单调递减，
∴的极小值为，
又满足，即，
代入上式得，
又，∴，
对于二次函数，开口向下，对称轴为，
在上，.
法二：由，记，结合
显然函数在上单调递增，且，，
故存在唯一，使得，且当时，；当时，，
故在上单调递减，在单调递增，
又，，，
故存在两个零点（不妨设），
下同法一
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理
【解析】【分析】 （1）法一：由结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围；
法二：方程等于解方程，记，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合函数的最值和函数零点存在性定理，进而得出函数有两个零点时的实数a的取值范围。
（2） 法一：由结合求导的方法判断函数的单调性和由（1）知：当时，有两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
法二：由，记，再结合和求导的方法判断函数的单调性，显然函数在上单调递增，且，，再利用零点存在性定理，故存在唯一，使得，且当时，；当时，，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合函数零点存在性定理判断出存在两个零点（不妨设），同时也是的两个零点，且函数与单调性完全相同，从而结合函数的单调性得出函数的极小值，再利用满足，即，代入上式得，再利用，进而得出的取值范围，对于二次函数，开口向下，对称轴为，再结合二次函数的图象求值域的方法得出在上的函数的值域。
15．【答案】（1）解：定义域为，的导函数
当时，，故在单调递减；
当时，得：；由得：；
于是在单调递减，在单调递增，
综上，当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增．
（2）解：是上的几何上凸函数，证明如下：
由（1）可知，当时，在单调递减，在单调递增．
故，故为连续正值函数
由于，
要证是上的几何上凸函数．
需证，
即证，
而
，
则，
需证
由，
故只需证
下面给出证明：设，则，
即在上，递减，
所以，
即．
综上，成立，
故，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1） 的导函数 ，分和两种情况讨论的单调性即可；
（2）将代入，根据新定义利用分析法即可证明.
16．【答案】（1）解：该函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，函数的递增区间为；
②当时，令，解得或，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为．
（2）解：对任意的，都有成立，只需任意的，，
①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；
②当时，，在上是增函数，
所以只需，而，所以满足题意；
③当时，，在上是减函数，
在上是增函数，所以只需即可，
而，从而不满足题意；
综上①②③可得：实数a的取值范围为．
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和分类讨论的方法，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 对任意的，都有成立，再利用不等式恒成立问题求解方法，只需任意的，，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）解：当时，，则．
所以，，
故所求切线方程为，即．
（2）解：设，
则．
因为，所以至少满足，即．
设．
因为，，所以在上单调递增，
所以．
设，
则．
因为，所以，，
则在上恒成立，即在上单调递增，
所以，即对任意，都有．
a的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】 （1）利用a的值得出函数的解析式，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合函数的解析式代入法得出切点坐标，再利用点斜式得出曲线在处的切线方程。
（2） 设，再利用导数的运算法则得出
，再结合，所以至少满足，进而得出实数a的取值范围，设，再利用x的取值范围和函数的单调性，进而得出函数的最小值，所以，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围。
18．【答案】（1）证明：令，则，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，等号仅当时成立，即，
从而，所以．
综上，．
（2）证明：显然时，，即成立．
令，，则，，
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，等号仅当时成立，
从而可得，，所以在和上单调递减．
由（1）知，时，；时，，
所以，即．
又当且时，，所以．
故时，．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用导数研究函数的单调性可得，即证，进而，即证，原不等式即可证明；
（2）易知时不等式成立；当时，利用二阶导数研究函数的单调性可得 时，即，即可得到证明.
19．【答案】（1）解：，对任意的，恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，则有对任意的恒成立；
当时，，则，令，其中，
，
且不恒为零，
故函数在上单调递增，则，故．
综上所述，．
（2）证明：由可得，
令，则．
因为，则，
所以，，所以，函数在上单调递减．
因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
故，即．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由已知可得出对任意的恒成立 ，验证对任意的恒成立；在时，利用参变分离法可得出，利用导数求出函数在上的最大值即可求解；
（2）令，利用导数得出函数在上单调递减 ，利用零点存在性定理可知，求得，证明出，结和的单调性，即可证得结论成立.
20．【答案】（1）解：依题意知，，
因为函数有两个极值点，，
所以，，，
则有有两个根，等价于有两个根，
令，则，
令，解得，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以时，取得最大值，
又趋向于无穷大时，趋向于0，
所以且.
若，即，
由，解得：或（舍去），
所以若，a的值为：.
（2）解：由（1）知，，
，，
整理可得，令，
所以，易得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以在上单调递减，所以，即，
所以，令，
则恒成立，
所以在上单调递增，
所以，
即，所以a的取值范围为：.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算
【解析】【分析】（1）依题意知，再利用函数有两个极值点，结合函数求极值点的方法得出方程有两个根，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最大值，再结合趋向于无穷大时，趋向于0，所以且，若结合得出a的值。
（2） 由（1）知，，再利用代入法得出，令，所以，易得，令，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
21．【答案】（1）解：由题意可得，定义域为.
设，由，得，由，得.
则在上单调递增，在上单调减，
，
故在上的最大值是，无最小值.
（2）解：由题意可得，
，
的定义域是.
①当，即时，时，时，
则在上单调递减，在上单调递增.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，
则，解得，故；
②当，即时，由，解得，
因为，所以，则有且仅有1个零点，故不符合题意；
③当，即时，由，得或，
由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或
，
若，解得，不符合题意，
若，设，则化为，
时，，，
所以，无解，
即无解，故不符合题意；
④当，即时，恒成立，则在上单调递增，从而最多有1个零点，则不符合题意；
⑤当，即时，由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
因为时，，时，，
所以要有两个零点，则或.
若，解得，不符合题意，
若.
设，则化为，
由（1）知在上单调递减，所以，无解，
即无解，故不符合题意.
综上，的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数 的最值。
（2） 由题意可得，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再结合函数求极限的方法和零点存在性定理、不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：函数定义域为，，在处取得极值，则，
所以，此时，
令，，则，
所以在上单调递增，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）解：依题意即在上有两个根，
整理为，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
所以只需在上有两个根，
令，，则，
当时，，当时，，
故在处取得极大值即最大值，，
且当时，当时，
要想在上有两个根，只需，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；极限及其运算；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的定义域和求导的方法求出函数的极值点的方法，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的单调区间。
（2） 依题意，在上有两个根，整理为，设函数，则上式为，再利用恒成立结合求导的方法判断函数的单调性，所以单调递增，所以，所以只需在上有两个根，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合比较法得出函数的最值，从而结合函数求极限的方法得出要想在上有两个根，只需，从而得出实数的取值范围。
23．【答案】（1）解：因为，其中，则，
令，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为是的一个极值点且，则，
消去可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，，故，
此时，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故函数在处取得极小值，合乎题意.
综上所述，.
（2）解：因为，
因为，即，即，
即，其中，，则，
当时，，故函数在上单调递增，
由可得，所以，，其中，
构造函数，其中，则，由可得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
故，即的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）由已知可得出， 消去可得， 令，其中，则，利用导数分析函数的单调性与极值，可得出，进而可求得的值；
（2）由已知可得，即为，利用导数分析函数在 的单调性，可得出，可得出，利用导数求出函数在上的最小值，即为所求.
24．【答案】（1）证明：由条件得：∴，
又∴在处的切线为：，
∵的图象在处的切线过点，
∴∴.
（2）证明：
令，，则，
令，，
∴在递减 ，
∴，即
∴在递减，
∴，即， ；
（3）解：的定义域为：，，
时，由得：，，
时，；时，；时，，
∴在，上单调递增，在递减 ，
∴至多有三个零点.
∵，∴，∴，
又，在递减，
∴，又由（2）知，所以，
结合零点存在定理知：使得，
又∴，，
∴，又， ，
∴恰有三个零点：，1，，
∴时，的所有零点之积为（定值）.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合导数的几何意义得出切线的斜率，再结合点斜式得出切线方程，再结合切线的方程和代入法得出实数a的值。
（2）利用函数的解析式和代入法得出 ，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而证出， 成立。
（3）利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，再结合零点存在性定理，进而证出当时，函数有3个零点，且3个零点之积为定值。
25．【答案】（1）解：定义域为 ，
记，
当时，；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
故，
∴在上单调递增．
（2）解：定义域为R，，
①当时，有唯一零点，符合题意；
②当时，，当时，在单调递减；
当时，在单调递增，
故，
若，则无零点，不符题意；
若，有唯一零点，符合题意；
若，则，又，
时，，，∴ ，
故在内各有一个零点，函数有两个零点，不符题意；
③当时，当时，
当时，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，
时，令，令，
即在单调递增，故，
故在单调递增，则，
所以，故，则，
故此时在上有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，即可确定函数单调性；
（2）求出函数的导数，对a分类讨论，判断函数单调性，结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数，综合即可求得答案.
26．【答案】（1）解：当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为.
又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则
；
（2）证明：当时，，
则由题可得有两个根，
令，则可得方程有两个根，
则.令，，则，
.注意到，
则构造函数，.
因，则在上单调递增，得
.
故命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由题意可求得过原点的直线与相切的直线方程为，再利用直线与的切点为在图象上也在切线上，可求得切点的横坐标， 又切线斜率为1， 可求得；
（2） 由题可得有两个根，令，则可得方程有两个根，则.令，，可将证明转化为，构造函数 ，，通过求导研究函数的单调性，即可得证.
27．【答案】（1）解：因为，所以．
当时，，当时，，
从而在上单调递减，在上单调递增，故．
因为，所以．
故在上的值域为．
（2）证明：因为，则，
设，则，故在上单调递增．
因为，，所以存在唯一，使得．
故当时，；当时，．
即在上单调递减，在上单调递增．
因为，，
又因为，则，
所以，
，
由零点存在定理可知，函数在、上各存在一个零点，
综上所述，有且仅有两个零点．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 求得，得出函数的单调性和，再由，即可求得函数在上的值域；
（2） 由，求得，设，求得，得到在上单调递增，结合，，得到存在唯一，使得，得到在上单调递减，在上单调递增，再由，和，结合零点的存在定理，即可求解.
28．【答案】（1）解：当时，，得，
令，则，
，即，所以在上单调递增，
注意到，故有唯一的零点0.
（2）解：
注意到，只要即可，，，
令，则，
当时，，有，即，符合题意；
当时，，
若，即时，，此时，即，符合题意；
若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，
∴，不合题意，
综上.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1） 当时，求得，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，求得在上单调递增，结合，即可求解；
（2） 根据题意转化为，求得，令，求得，当时，成立，符合题意；当时，，分和两种情况讨论，得到函数的单调性和最小值，即可求解.
29．【答案】（1）解：，则，
显然不是的零点，
令，则，
在单调递减，在（0，1）单调递减，在单调递增.
当时，，当时，，且
时，只有一个实数根，所以此时有1个极值点，
时，没有实数根，故有0个极值点，
当时，，有一个实数根，但不是极值点，故此时没有极值点，
时，有两个不相等的实数根，故有2个极值点.
（2）解：由（1）知，，且在（0，1）单调递减，在单调递增，
先证：，即证：，即证：.
即证：.
令，
即证：，
令则
令，则，则在单调递减
，
，即在单调递减，
，证毕.
再证：，
，且
.
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
.
即证：，
又，
即证：.
令，
.
令，
，
令
，
令
令，
，
在单调递减，在单调递增.
，
，当时，单调递增；当时，单调递减.
，
在单调递减，在单调递增.
，
在单调递增，在单调递减.
，
，
，
在单调递增，
，
所以原命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）分类讨论导函数的实数根即可求解极值点；
（2）构造函数和，通过判断函数的单调性，求解最值，当导数正负不好确定的时候，需要构造新的函数，不断的通过求导判断单调性.
30．【答案】（1）解：由已知，该函数的定义域为，
所以，
当时，，
令，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，其中，
所以为函数的极小值点， 极小值为，
函数没有极大值点；
由已知，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，
所以为函数的极小值点，极小值为，
函数没有极大值点，
（2）证明：①由(1)可得，函数在上单调递减，
函数在上单调递增，，且，
又，
所以函数有且仅有两个零点，不妨设，
则，，
当时，，该函数的定义域为，
所以，
设，则，
所以函数在单调递增，
又，，
所以存在，，使得，
当时，，当时，，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
，，
，，
所以函数有两个零点，不妨设，
则，
因为为的零点，所以，
令，则，
所以，
所以，所以为函数的零点，
又，所以，同理可得，
所以，
要证明，只需证明，
只需证明，
而，，所以，
所以；
②同①可得函数有且仅有两个零点，设其较小零点为，
因为，
因为，故，所以
，，
则，，
函数有两个零点，设其较小零点为，则，
要证明，只需证明，
只需证明，设，则，
只需证明，
只需证明，
设，，
则，
设，则，
所以函数，即函数在上单调递增，
所以，，
所以
所以在上单调递增，
所以当时，，
又，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
所以
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)对函数求导，，再求，的解，分区间研究函数和 的单调性和极值；
(2)①不妨设，，根据函数的单调性结合零点存在性定理确定得范围，再证明，要证明 ，只需证明，即可完成证明；
②同①可以证明， 要证明，只需证明， 设， 设 ，再利用导数证明求其最大值，并证明最大值小于 即可.
31．【答案】（1）解：因为，所以，因为，所以.
故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：的定义域为，.
当时，，即函数在上单调递增.
当时，，即函数在上单调递增.
当时，.
令，解得
若时，；
若时，；
即函数在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，
当时，在上单调递增.
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解：由（2）可知，当时，在上单调递增，恒有；
当时，由（2）可知，在上单调递减，
存在，使得，故不合题意；
综上，，即a的最大值为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程；
（2）分类讨论的值，利用导数得出单调性；
（3）当，由单调性得出恒有，当，存在，使得，从而得出的最大值.
32．【答案】（1）解：当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）解：由题意，，
因为在区间上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，
令，，则，
所以时，，此时函数单调递减；时，，此时函数单调递增，
所以在上最小值为，
所以.
（3）解：当时，方程根的个数为2.
证明如下：
当时，，构造函数，
则，显然在上单调递增，
因为，，所以存在唯一零点，设为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，所以在上存在唯一零点
又因为，所以在上存在唯一零点，
故函数有2个零点，即方程根的个数为2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1） 当时，，则，所以，， 结合导数的几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；
（2）， 因为在区间上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立， 构造函数，求出 在上最小值为， 即可得解；
（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.
33．【答案】（1）证明：因为的定义域为，所以若，.
要证，即证，即证.
令，所以，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
（2）解：若对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
令.
若，则.
由（1）知，所以，又，所以，
又，所以，符合题意；
若，令，在上恒成立，
所以在上单调递增，又，，
所以存在唯一的，使得，且，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递减.
当时，，所以，
当时，在上单调递增，所以，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以，解得.
设，，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，即.
综上所述，a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)证明不等式成立，即证明， 令 ， 所以 ，由导数的符号判断函数的单调性，求出最值即可判断；
(2)对a 的正负分类讨论，当时，可以直接去绝对值，当时，转化为分段函数求导，求函数的最值即可解决.
34．【答案】（1）解：，
当，则，则函数在上单调递减，
若，令，得，当，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上可知，当，函数在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：由（1）可知，当时，，且在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，
因为，
设，
，
所以在上单调递减，所以，即，
由零点存在性定理知，使得，
取，则，且.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性。
（2） 利用（1）讨论出函数的单调性，再结合 ，所以，再利用，设，再结合求导的方法判断函数的单调性，所以，即，再由零点存在性定理证出对任意，存在正数b使得．且2lna+b＜0 。
35．【答案】（1）证明：若，则，设，
，设，
，则在上单调递增，，即，
于是在上单调递增，，即，
所以当时，.
（2）证明：函数，其定义域为，
，
由（1）知在上单调递增，，
当时，，当时，，
则由，解得或，其中且，即且，
否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在上单调递减，因此是的极小值点，，
若，即，当时，，
当时，，则在上单调递增，
在单调递减，因此是的极小值点，
，又，于是，
综上所述，函数存在极小值点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1） 若，则，设，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，即，从而证出当时，不等式成立。
（2） 利用函数，其定义域为，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以当时，，当时，，则由得出x的值，其中且，即且，否则恒有，则在上单调递增，函数无极值点，不符合题意，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极小值点，所以，再利用，于是，从而证出函数存在极小值点。
36．【答案】（1）解：因为，所以，因为，
由有：，由有：，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以函数无极大值，有极小值.
（2）解：（i）由(1)有：函数在单调递减，在单调递增，
若函数有两个不相等的零点，，则，解得，
所以，因为当时，，所以，
所以在上有1个零点，
当时，，又“指数爆炸”，所以，
所以在上有1个零点，
综上，当时，函数有两个不相等的零点，.
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，
不妨设，构造函数，则，
因为，所以，
因为，所以，当前仅当时取到等号，
所以，所以在R上单调递减，
又，所以，
即，即，又，
所以，又，所以，
由(1)有：函数在单调递减，所以，
即，结论得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 因为，所以， 利用导数研究函数的单调性和极值；
(2)（i）利用导数研究函数的单调性与极值，再结合图象与零点进行求解；
（ii）由（i）有：当时，函数有两个不相等的零点，，不妨设，构造函数，则， 即，利用导数研究函数的单调性进行证明即可.
37．【答案】（1）证明：当时，，则，
令，则，在上单调递减，
又，，
，使得，且当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在区间上不是单调函数.
（2）证明：当时，要证对任意的恒成立，
即证当时，对任意的恒成立，
即证对任意的恒成立；
令，则，
，；
①当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
综上所述：当时，；
在上单调递增，，
当时，对任意的恒成立，
即当时，对任意的恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合a的值得出函数的解析式，再结合求导的方法判断函数的单调性，进而证出当时，在区间上不是单调函数。
（2） 利用已知条件结合分析法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法证出当时，对任意的恒成立。
38．【答案】（1）解：由题意得的定义域为
.
若在定义域上单调递增，则恒成立，得，即在上恒成立，又，当且仅当时等号成立，；
若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的不存在.
综上所述：在定义域上单调递增，且.
（2）证明：方法一：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，只需证，
当时，原不等式即证，
由（1）知在上单调递增，
，
又，则，
原不等式成立.
方法二：要证成立，
只需证，只需证，
只需证，
令，
则.
在上单调递增，，
原不等式成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）对函数求导，分两种情况讨论， 若在定义域上单调递增，则 恒成立，即在上恒成立； 若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式可得解；
（2）要证原不等式成立， 只需证，只需证，只需证，当时， ，则原不等式即证，结合的单调性即可得证.
39．【答案】（1）解：，，，．
函数的图像在点处的切线方程是：.
令y＝0得，所以该切线在x轴上的截距等于．
（2）解：，，函数的图像在x＝1处的切线方程是：，即，
两端乘以b变作：①．
又已知函数的图像在点处的切线方程是：②．
直线①与直线②重合，则③，④，联立③④消去b得，所以c与a的函数关系为：
（3）解：函数的零点为a＝1，a＝1时．
对，恒成立，转化为对，不等式恒成立．
①当x＝0时，对恒成立，此时．
②当0＜x≤2时，恒成立．
设，求得．
0＜x≤2时，由得，由得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，取得极小值，，此时．
③当时，恒成立．
与②同，设，．
令，则，在上单调递增．
所以，时，得，在上单调递减．
所以，时，取得最大值，此时．
整合①②③三种情形，得，且等号都取得到．
所以，实数k的最大值为3，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）根据题意，求得，得到，，求得切线方程，得出切线在x轴上的截距；
（2）求得函数的图像在x＝1处的切线方程，结合函数的图像在点处的切线方程是：，根据两直线重合，进而求得 ；
（3）根据题意转化为，不等式恒成立，①当x＝0时，恒成立，得到；②当0＜x≤2时，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最小值，结合，求得；③当时，得到恒成立，设，求得，令，求得函数的单调性和最大值，求得，进而求得实数k的最值．
40．【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为．
，因为曲线在点处的切线与直线平行，
所以，即．解得：或，
由已知条件，故可求得实数
（2）解：，不等式，
即．设，，则恒成立．
，令，．
①若，则，在上单调递增，，不符合题意；
②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；
③若，则，
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，
此时，，不符合题意；
综上所述，m的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)利用已知条件结导数的几何意义和两直线平行斜率相等，进而得出实数a的值。
（2）利用 ，所以不等式，即，设，，则恒成立，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
41．【答案】（1）解：，
所以切线的斜率，由题意，解得.
所以，
所以，
所以切线l的方程为，即
（2）解：由（1）知，所以，
由，可得，
令，
所以，
①当时，，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上无零点，
②当时，令，
所以，即在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以在上且只有一个零点，
综上所述：在上有且只有一个零点.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合导数的几何意义和两直线垂直斜率之积等于-1，进而得出实数a的值，从而得出函数的解析式，再利用导入法得出切点的坐标，再结合点斜式得出切线l的方程，再转化为切线l的一般式方程。
（2）利用已知条件结合导数判断函数单调性的方法和零点存在性定理，进而判断出函数在上零点的个数。
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