【精品解析】压轴题05 三角函数、解三角形（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题05 三角函数、解三角形（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·宣城模拟）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
2．（2023·白山模拟）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
3．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
4．（2023·厦门模拟）的内角的对边分别为，已知．
（1）求B；
（2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和．
5．（2022·吉林模拟）已知的三个角，，的对边分别为，，，且.
（1）求边；
（2）若是锐角三角形，且________，求的面积的取值范围.
要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
6．（2023·合肥模拟）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．
（1）若，求A的大小；
（2）当取得最大值时，试判断的形状．
7．（2023·南通模拟）在中，的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.
8．（2023·浙江模拟）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
9．（2022·延庆模拟）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：边上的中线；
条件③：的周长为．
10．（2022·朝阳模拟）已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
11．（2022·湖南模拟）在 中， 为 上一点， ．
（1）若D为 的中点，求 的面积的最大值；
（2）若 ，求 的面积的最小值．
12．（2022·广安模拟）已知向量，，设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且_________，求的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
13．（2021高三上·上虞期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点M为AC的中点，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积．
14．（2021高三上·济南期末）在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
15．（2022高三上·罗湖期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
16．（2022·岳阳模拟）D为边上一点，满足，，记，．
（1）当时，且，求CD的值；
（2）若，求面积的最大值．
17．（2021高三上·济宁期末）如图，扇形区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形区域的圆心角，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与相切于点S（异于点P，Q），设（弧度），将公路的长度记为（单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．
（1）将y表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）求y的最小值，并求此时的值．
18．（2022·普陀模拟）如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
19．（2022·普陀模拟）设函数，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数.
（1）求和的值；
（2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
20．（2022高三上·金山模拟）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.
（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.
21．（2022高三上·浦东模拟）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.
（1）求岸线上点与点之间的直线距离；
（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）
22．（2021高三上·烟台期中）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足________.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 的中点为 ，求 的最小值.
23．（2021·义乌模拟）已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 ， 且 ，求函数 在区间 上的取值范围.
24．（2021·肥城模拟）已知锐角 的外接圆半径为 ，内角 的对边分别为 ， 的面积为 且 ．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
25．（2021·贵阳模拟）如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， ， ， ， .
（1）求BD的长；
（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；
②求四边形ABCD的周长的取值范围；
③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.
26．（2021·福田模拟）设函数 ．
（1）当 时，若函数 的最大值为 ，求函数 的最小正周期；
（2）若函数 在区间 内不存在零点，求正实数 的取值范围．
27．（2021·丹东模拟）设 ，函数 在 上是减函数．
（1）求 ；
（2）比较 ， ， 的大小．
28．（2021·南昌模拟）如图，在梯形 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为4，求 的长．
29．（2021·惠州模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 满足 与 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值.
30．（2021·奉贤模拟）设函数 ，
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）设 ，解关于 的不等式 .
31．（2021高一下·浙江期中）已知函数，
（1）求的对称轴；
（2）在中，内角的对边分别为，若，，是边上一点，且，求的最大面积.
32．（2021高一下·浙江期中）已知向量．令函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
33．（2021·西城模拟）已知函数 ，且 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定 的解析式；
（2）若 图象的对称轴只有一条落在区间 上，求a的取值范围．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 图象的一个对称中心为 ；
条件③； 的图象经过点 ．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
（2）解：由（1）知，，
由正弦定理，有
当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式、三角形中角的取值范围、诱导公式、三角形内角和为180度的性质，进而得出角之间的关系式，再结合钝角三角形判断方法，进而判断出三角形的形状。
（2） 由（1）知，，由正弦定理结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值 。
2．【答案】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【分析】（1））利用已知条件结合两角和与差的余弦公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用 得出，，所以，再利用为锐角三角形和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用三角形中角的取值范围，进而结合交集的运算法则得出角B的取值范围，再利用正弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，令，，根据对勾函数的性质结合单调函数的定义可知函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出，，，再结合函数的单调性得出函数的值域，进而得，再结合不等式的基本性质得出的取值范围，从而得出的取值范围。
3．【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
4．【答案】（1）解：由余弦定理可得，，整理可得，
则，且，所以
（2）解：
因为分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心，
则
，
又因为，，
在中，由余弦定理可得，
，
则，
过点，分别做的垂线，垂足为，
在中，，
可得，即
在直角三角形中，
则
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心，再利用三角形内角和为180度的性质和，结合余弦定理得出AC的长，过点，分别做的垂线，垂足为，再利用三角形的面积公式得出三角形内切圆的半径长，从而得出的长，在直角三角形中结合角平分线的性质得出，的值，再结合中点的性质，进而得出BD的长。
5．【答案】（1）解：解法一：因为，
由余弦定理，得；
解法二：因为，
由正弦定理，得，
∴，
∴，即.
（2）解：选择①：因为
所以，，
所以
因为是锐角三角形，
所以，又，所以，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
选择②：因为，则，
因为是锐角三角形，所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以
，
由二次函数的性质可得，
当时，函数取最大值，当时，，又，
所以，即，所以，
所以.
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 解法一：利用结合余弦定理得出边a的值；
解法二：利用结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，进而得出边a的值。
（2） 选择①：利用已知条件结合正弦定理得出，，再利用三角形面积公式和两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式，进而得出，再利用三角形是锐角三角形结合锐角三角形中角B，C的取值范围和三角形内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法得出三角形 的面积的取值范围。
选择②：利用，则，再利用三角形是锐角三角形结合余弦定理得出实数b的取值范围，再利用余弦定理和同角三角函数基本关系式以及二次函数的图象求最值的方法得出三角形 的面积的取值范围。
6．【答案】（1）解：∵，即，则，可得，
故，则，
∴，
当时，则，
又∵，∴．
（2）解：由（1）知，，∴，
，
当且仅当，即当，时，等号成立，
∴的最大值为，
又∵，则的最大值为，此时，
∴．
∴为直角三角形．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和同角三角函数基本关系式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值。
（2） 由（1）知，，所以，再结合两角差的正切公式和均值不等式求最值的方法得出的最大值，再利用，从而得出的最大值，进而得出此时角A的值，再结合三角形的内角和为180度的性质，进而得出角B的值，从而结合直角三角形的定义，进而判断出三角形为直角三角形 。
7．【答案】（1）解：已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
， 即，
.
（2）解：由（1）知，由，则.
设，，
，，
.
【知识点】函数的值域；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角B的余弦值。
（2） 由（1）知，由，进而得出c的值，设，再利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式得出，，再结合余弦型函数的图象求值域的方法得出AD的长度的取值范围。
8．【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）解：设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
【知识点】函数的值域；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 连接，在中，，结合余弦函数的定义得出的值，在中结合余弦函数的定义得出AD的长，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
（2） 设，易知，在中结合两点距离公式得出①，再利用结合不等式的基本性质以及正切型函数的图象求值域的方法和代入法得出的取值范围。
9．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得．
所以，或．
因为，所以不满足题意舍去，
所以，所以．
所以
（2）解：选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解；
选条件②：因为边上的中线
由（1）可知，，．所以
由余弦定理可得 ．
解得．
所以．
选条件③：的周长为．
由（1）可知，，． 所以 ，
，
所以.
解得.
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用 ，，由正弦定理可得角C与角A的关系式，再利用结合分类讨论的方法，进而得出满足要求的角A的值。
（2） 选条件①：，由（1），，再利用反证法得出，矛盾，三角形无解；
选条件②：利用边上的中线，由（1）可知，，，所以，再利用余弦定理得出a，b的值，再结合三角形的面积公式，进而得出的值；
选条件③：利用三角形的周长为结合（1）可知，，， 所以 ，再利用已知条件得出，再结合三角形的周长公式得出a，b的值，再利用三角形的面积公式得出 的值。
10．【答案】（1）解：由题可知，
．
选择①②：
因为，所以．
又因为，所以．
所以．
当，，即，时，.
所以函数的最小值为-1．
选择①③：
因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以．
所以．
当，，即，时，
，
所以函数的最小值为．
选择②③：
因为，所以，
因为函数的最大值为，所以
的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去.
（2）解：选择①②：
令，
则，，
所以，．
当时，函数的零点为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
选择①③：
令，
则，，或，，
所以，，或，．
当时，函数的零点分别为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)先根据已知化简f (x)的解析式，求出f (x)的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得f(x)的解析式；
(2)由正弦函数的图象与性质可得关于t的不等式，即可求解出 t的取值范围．
11．【答案】（1）解：因为D为 的中点，
所以 ，
∴ ．
记角 的对边分别为 ，
因为 ．所以 ，
则 ，
所以 （当且仅当 时取得最大值）．
所以 .
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ．
同理可得 ．
由 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
设 ．则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 面积的最小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用D为 的中点，再结合平行四边形法则和中点的性质，得出 ，再利用数量积求向量的模的公式得出，记角 的对边分别为 ，再利用 结合同角三角函数基本关系式得出的值 ，再利用均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积的最大值。
（2） 利用 结合同角三角函数基本关系式得出的值 ，再利用两角差的正弦公式得出 的值 ，设 ，在 中，由正弦定理可得 ，同理可得 ，由 ，所以 ，再利用三角形面积公式得出 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值， 从而得出三角形 面积的最小值。
12．【答案】（1）解：因为，，
所以
由，得，
即函数的单调递增区间.
（2）解：若选①，
由正弦定理可得，
即，即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选③，，成等比数列，即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，得，
即的取值范围是.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式以及二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数f(x)的单调递增区间。
（2） 若选①，由正弦定理结合三角形内角和为180度的性质和两角和的正弦公式，再结合三角形中角C的取值范围，得出 ，再结合同角三角函数基本关系式得出角A的正切值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用三角形内角和为180度的性质得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围；若选②，由正弦定理结合三角形中角C的取值范围，进而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用三角形内角和为180度的性质得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围；若选③， ， 成等比数列结合等比中项公式和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，进而得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围。
13．【答案】（1）解：在中，因为，
由正弦定理得：.
因为，所以，
所以可化为.
因为，所以，消去得：.
当时，不成立，所以，所以，所以.
因为，所以.
（2）解：因为M为AC的中点，所以，所以，
即.
因为，，代入得：，解得：（舍去）.
所以的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 在中，利用结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式和两角和的正弦公式得出，再利用三角形中角C的取值范围，得出，从而得出，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式和三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值。
（2）利用 M为AC的中点，再结合平行四边形法则结合中点的性质，得出，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，得出，再利用，，代入得：，进而得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积。
14．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以
（2）解：因为，所以；
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而结合三角形中角B的取值范围，从而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
（2）利用 ，所以，再利用三角形面积公式和三角形面积的关系式得出，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，从而求出bc的最大值，进而求出三角形面积的最大值。
15．【答案】（1）解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，
（2）解：因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出， 再利用同角三角函数基本关系式得出角B的正切值，再结合三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式，得出，由余弦定理，得出， 从而求出角C的余弦值。
16．【答案】（1）解：设CD长为x，当时，，，则，
因为，所以，即
所以，得，所以，所以为
（2）解：在中，，则，
由正弦定理得，又，
所以，，
则的面积，
又，
所以
因为，所以，
所以当，即时，S有最大值
又的面积等于，故的面积的最大值为
【知识点】二倍角的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设CD长为x，当时，，，再结合正切函数的定义得出，，再利用结合正切函数的图象得出，再利用二倍角的正切公式得出，从而得出x的值，进而求出CD的长。
（2） 在中，，再结合三角形内角和为180度的性质，从而求出的值，由正弦定理结合，所以，，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用，再结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，所以，再利用结合构造法得出，再利用正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出S的最大值，再利用三角形的面积等于，从而求出三角形的面积的最大值。
17．【答案】（1）解：因为MN与相切于点S，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
所以，
（）
（2）解：因为，所以，
令（），则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此，又，所以．
所以公路MN长度的最小值为，此时的值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）利用 MN与相切于点S，所以，在中，利用，，再结合正切函数的定义，所以，在中，利用，，再结合正切函数的定义，所以，再利用两角差的正切公式，进而得出，（）。
（2）利用 ，再利用正切型函数的图象求值域的方法，所以，令（），则，再结合均值不等式求最值的方法，得出公路MN长度的最小值，进而求出此时的值。
18．【答案】（1）如图建立平面直角坐标系，
则，
设抛物线的方程为，则，
∴，即，
∴弯道段所确定的函数；
（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∴，
令则，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴当时，最大，即最大，
∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】 （1）利用已知条件，建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，设抛物线的方程为，再利用代入法得出p的值，进而求出抛物线的标准方程，从而得出弯道段所确定的函数。
（2） 设，过P作PQ⊥CD于Q，再利用正切函数的定义，得出，再利用两角和的正切公式，进而得出∴，再利用换元法，令则，再利用均值不等式求最值的方法，进而得出当时，最大，即最大，从而得出点处监测段的张角最大时的点P的坐标。
19．【答案】（1）∵函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，
∴，解得，
又为偶函数，
∴，又，
∴.
（2）∵，
∴，
即，
又，∴，
∴又，
∴，
由（1）知，
∴
，
又，所以，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】函数的值域；偶函数；简单的三角恒等变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理
【解析】【分析】（1） 利用函数图象上相邻两个最高点之间的距离为结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再利用函数为偶函数，再结合偶函数的定义和，进而求出的值。
（2） 利用结合正弦定理的变形，得出，
再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，得出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值，从而得出A+C的值，由（1）知，再利用代入法和二倍角的余弦公式以及A，C的关系式，再结合两角差的余弦公式和辅助角公式得出，再利用结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而求出的取值范围。
20．【答案】（1）由题设，米，米，在中，由余弦定理得
，于是 米.
游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为分钟，
游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为分钟，
所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟.
（2），设则 ，
在中，.由正弦定理得 ，
得.
所以面积，
当时，面积的最大值为平方米.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而得出该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快的分钟数。
（2）利用，设则 ，在中，，由正弦定理得出，再利用三角形的面积得出三角形面积，再利用正弦型函数求最值的方法，进而求出当时，三角形面积的最大值为平方米。
21．【答案】（1），
岸线上点与点之间的直线距离为米.
（2）△中，，
，，（），
设两段网箱获得的经济总收益为元，则
，
当，即时，
（元）
所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出岸线上点与点之间的直线距离。
（2）在三角形 △中结合正弦定理，得出，，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，再利用已知条件结合两角差的公式以及辅助角公式，再结合反三角函数值求解方法，进而得出，再利用正弦型函数求最值的方法，进而求出函数的最大值，进而得出两段网箱获得的经济最高总收益。
22．【答案】（1）解：选① ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
② ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，
又因为 ，解得 ，
因为 ，所以 .
③ ，
由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 （舍），
即 ，即 ，解得 .
（2）解： ，
解得 ，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当 时，即 取等号，
所以 的最小值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选① ，再利用正弦定理结合三角形中角B的取值范围，可得 ，再利用三角形内角和为180度的性质和二倍角的正弦公式，得出角C的值。
选② ，由正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再利用两角和的正弦公式，整理可得 ，再利用三角形中角A和角C的取值范围，进而求出角C的值。
选③ ，由正弦定理结合两角和和两角差的正弦公式，可得 ，进而得出 或 （舍），即 ，再结合三角形内角和为180度的性质，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，得出ab的值，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值。
23．【答案】（1）由题意可得 ，
所以，
，
，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
（2）由题意及（1）可知 ，
因为 ， ，
又 ，且 ，所以 ， ，则 ，
则 ， ，
所以 ，所以 ，
则 ，即 在区间 上的取值范围为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)首先由诱导公式、二倍角正余弦函数整理化简原式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)根据题意由(1) 的结论即可得出函数g(x)的解析式，再由同角三角函数的基本关系式整理得出
和，结合二倍角的正弦公式以及诱导公式即可得出，从而得到，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：由
得：
∴ 即：
∵ ，∴
又
（2）解： 的外接圆半径为1
，即
又 ，
，
又因为 是锐角三角形
，即 ，
， ， ，
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 由 ，得 ，再利用余弦定理结合三角形的面积公式，从而得出 ，再利用 结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。
（2）因为三角形 的外接圆半径为1，从而结合正弦定理的性质，从而求出 ，再利用正弦定理得出 ， ，再利用角A和角B的关系式和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式，所以 ，又因为 是锐角三角形，从而求出角A的取值范围，再利用正切函数的图象，得出 ， 所以 ，从而求出 的取值范围。
25．【答案】（1）在 中， ， ， ，
，
（2）由（1）知 ， ，令 ，由 ，
，则 ， .
若选①：
， ，
由 ，可知四边形 的面积的取值范围是 .
若选②：
，
， ，
，
四边形 的周长的取值范围是 .
若选③：
令 ， ， ，则
，
又 ，
，
，
，
，
四边形 的对角线AC的长的取值范围是 .
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而求出BD的长。
（2） 由（1）知 ，再利用勾股定理求出 ，令 ，由 ，所以求出角的取值范围，再利用三角函数的定义得出 ， 。
若选①：利用三角形的面积公式结合求和法和二倍角的正弦公式，得出 ， ，利用正弦型函数的图象得出 ，从而可知四边形 的面积的取值范围。
若选②：利用四边形的周长公式结合辅助角公式化简为正弦型函数，即 ，再利用角的取值范围，从而结合正弦型函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出四边形 的周长的取值范围。
若选③：利用余弦定理结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简为正弦型函数，即 ，再利用角的取值范围，再结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而求出四边形 的对角线AC的长的取值范围。
26．【答案】（1）由题意，函数
，
因为函数 的最大值为 ，可得 ，
即 ，解得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以函数 ，故函数 的最小正周期为 .
（2）由于函数 ，
因为函数 在区间 内不存在零点，则 ，
即 ，则 ，
由于 ，所以 且 ，
又因为 ，所以 或 ，
所以正实数 的取值范围 ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；
(2)利用函数的单调性的应用求出结果.
27．【答案】（1）因为 ， ，所以 ．
由题设可得 ， ．
于是
解得 且 ．
因为 ，所以
可得 且 ，所以 ．
于是 ．
（2）由（1）可知 图像关于 对称，所以 ．
由（1）可得 最小正周期为 ，所以 ．
．
因为 ， ， ， ， 在 上是减函数．
所以 ，从而 ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，所以 ，由题设可得 ， ，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出k的值，进而求出的值。
（2） 由（1）可知 图像关于 对称，所以 ，由（1）可得 最小正周期为 ，所以 ，进而求出函数值的关系为 ，因为 ， ， ， ， 又因为 在 上是减函数，从而比较出 ， ， 的大小。
28．【答案】（1）解：在 中，由正弦定理知， ，
所以 ，
因为 ，
即
（2）解：在 中， ，则 为锐角
因为 ，所以 ，
在梯形 中， ,则
所以 ，
显然 为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据同角三角函数的关系及两角差的正弦公式，结合三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
29．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
（2）解：因为 ，
所以 ，即 ，
，
因为 ，所以 的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积直接求解即可；
（2）根据向量的数量积，结合余弦定理和基本不等式求解即可.
30．【答案】（1）解：由对数的性质，得 ，
∴ ，即 ，故定义域关于原点对称，
⒈偶函数，则有 ，即 ，可得 ，
∴整理得：要使 对一切 恒成立，在 中有 .
⒉奇函数，则定义域内，任意 有 ，如 ，
∴ ，而 ， ，
∴ ，显然在 上不成立，
综上，当 时为偶函数；当 时既不是奇函数又不是偶函数.
（2）解：由 ，代入得 ，
∴ ，化简为 ，展开整理得： ，
∵ ，即 ，
∴可得
∴解集为 ， .
【知识点】函数的奇偶性；两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 由对数的性质，得 ，所以 ，即 ，故定义域关于原点对称，再利用分类讨论的方法结合奇函数和偶函数的定义，从而讨论出函数 的奇偶性。
（2） 由 ，代入得 ，因为 ，即 ， 再利用余弦型函数的图象结合已知条件，从而求出关于 的不等式 的解集。
31．【答案】（1）解：
令，，得对称轴为，.
（2）解：由（1）知，，
因为，所以.
又因为，所以，
①当时，，，
解法1：由余弦定理可知，，得，
所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
解法2：设外接圆半径为，则由正弦定理可知，
圆上弦长一定，动点在圆弧上运动，当时，底边上的高最大，此时面积最大值为，所以的最大面积为.
②当时，，，
方法如①，，
即的最大面积为，当且仅当时取等号.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先结合降次公式以及辅助角公式将函数解析式化简整理，然后整体代入法直接求对称轴即可；
（2）根据已知条件求出角A，方法一：结合余弦定理以及基本不等式即可直接求出最值；方法二：结合平面几何性质确定M的位置即可求出最大值.
32．【答案】（1）解：，
，
则的最小正周期为，
令，解得，
故的单调递增区间为；
（2）解：由恰好为函数的最大值可得，
即，，则可解得，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
则可得，，
则，
，
，
当且仅当等号成立，故的最小值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；正弦定理
【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，及二倍角公式，辅助角公式可得 ，
由周期公式，及即可求解；
（2）由（1）可知 ， 在在中 ，由正弦定理可得 ，在 中 ，由正弦定理可得 ， 从而得到 ，再由 ，，
可得 ，， 从而得到 ，再利用基本不等式即可求最小值。
33．【答案】（1）解：由于函数 图象上两相邻对称轴之间的距离为 ，
所以 的最小正周期 ， ．此时 ．
选条件①②；因为 ，所以 ．
因为 图象的一个对称中心为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，此时 ，所以 ；
选条件①③：因为 ，所以 ．
因为函数 的图象过点 ，则 ，即 ， ，
因为 ，即 ， ，所以， ，解得 .
所以 ；
选条件②③：因为函数 的一个对称中心为 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，此时 ，所以 ．
因为函数 的图象过点 ，所以 ，即 ， ，即 ，所以 ．
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 图象的对称轴只有一条落在区间 上，所以 ，得 ，
所以 的取值范围为 ．
【知识点】函数的周期性；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据题意由函数f(x)的图象即可得出周期的值，再由周期的公式代入数值计算出的值，由此得出函数的解析式选条件①②，首先求出A的值，再由函数的图象把点的再把代入函数的解析式计算出，由此得到函数的解析式。 选条件①③，把点的再把代入函数的解析式计算出 进而得出函数的解析式。 选条件②③，把点的坐标代入到函数的解析式求出A的值，再把点代入到函数的解析式求出即可。
(2)根据题意由函数的图象的性质结合正弦函数的单调性即可得出，由此得出a的取值范围。
1 / 1压轴题05 三角函数、解三角形（解答题）-【考前冲刺】2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）
一、解答题
1．（2023·宣城模拟）设的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：为钝角三角形，
证明如下：
由，
则有，所以，
因为，所以，则为锐角．
所以，所以或，
则或，
由题意知，所以，
所以，所以，故为钝角三角形．
（2）解：由（1）知，，
由正弦定理，有
当且仅当时等号成立，由为锐角，
则，所以当时取最小值．
【知识点】运用诱导公式化简求值；正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式、两角和的正弦公式、三角形中角的取值范围、诱导公式、三角形内角和为180度的性质，进而得出角之间的关系式，再结合钝角三角形判断方法，进而判断出三角形的形状。
（2） 由（1）知，，由正弦定理结合诱导公式、二倍角的余弦公式以及均值不等式求最值的方法得出的最小值 。
2．（2023·白山模拟）已知的内角、、所对的边分别为、、，.
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
可得，
则，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，
所以，因为，
所以.
（2）解：因为，即，
所以，，
所以，
因为为锐角三角形且，所以，所以，
即，
令，，
根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以，即，所以，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理
【解析】【分析】（1））利用已知条件结合两角和与差的余弦公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式和三角形中角的取值范围，进而得出角A的值。
（2）利用 得出，，所以，再利用为锐角三角形和三角形内角和为180度的性质，所以，再利用三角形中角的取值范围，进而结合交集的运算法则得出角B的取值范围，再利用正弦函数的图象求值域的方法得出的取值范围，令，，根据对勾函数的性质结合单调函数的定义可知函数在上和在上的单调性，再利用代入法得出，，，再结合函数的单调性得出函数的值域，进而得，再结合不等式的基本性质得出的取值范围，从而得出的取值范围。
3．（2023·江门模拟）在锐角中，角的对边分别为，且，，依次组成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由条件得： ，
所以，
由正弦定理得：，所以.
（2）解：及，则，角一定为锐角，又为锐角三角形，所以
由余弦定理得：，所以，
即，解得：，
又，所以.
又 ，
令，则，
，
所以在上递增，又，，
所以的取值范围是.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；等差数列的性质；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合同角三角函数基本关系式和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而得出，再由正弦定理得出的值。
（2）利用 及，再利用大边对应大角的方法，则，角一定为锐角，再利用三角形为锐角三角形，再结合余弦函数的图象，所以，由余弦定理和一元二次不等式求解方法以及，进而得出的取值范围，再利用 ，令，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围。
4．（2023·厦门模拟）的内角的对边分别为，已知．
（1）求B；
（2）A的角平分线与C的角平分线相交于点D，，，求和．
【答案】（1）解：由余弦定理可得，，整理可得，
则，且，所以
（2）解：
因为分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心，
则
，
又因为，，
在中，由余弦定理可得，
，
则，
过点，分别做的垂线，垂足为，
在中，，
可得，即
在直角三角形中，
则
【知识点】余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和三角形中角的取值范围，进而得出角B的值。
（2）利用分别是的角平分线，连接，则为的角平分线，即点为三角形的内心，再利用三角形内角和为180度的性质和，结合余弦定理得出AC的长，过点，分别做的垂线，垂足为，再利用三角形的面积公式得出三角形内切圆的半径长，从而得出的长，在直角三角形中结合角平分线的性质得出，的值，再结合中点的性质，进而得出BD的长。
5．（2022·吉林模拟）已知的三个角，，的对边分别为，，，且.
（1）求边；
（2）若是锐角三角形，且________，求的面积的取值范围.
要求：从①，②从这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：解法一：因为，
由余弦定理，得；
解法二：因为，
由正弦定理，得，
∴，
∴，即.
（2）解：选择①：因为
所以，，
所以
因为是锐角三角形，
所以，又，所以，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
选择②：因为，则，
因为是锐角三角形，所以，
即，
所以，
因为，
所以，
所以
，
由二次函数的性质可得，
当时，函数取最大值，当时，，又，
所以，即，所以，
所以.
【知识点】函数的值域；二次函数在闭区间上的最值；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 解法一：利用结合余弦定理得出边a的值；
解法二：利用结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质以及诱导公式，进而得出边a的值。
（2） 选择①：利用已知条件结合正弦定理得出，，再利用三角形面积公式和两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式，进而得出，再利用三角形是锐角三角形结合锐角三角形中角B，C的取值范围和三角形内角和为180度的性质，进而得出角B的取值范围，再利用不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法得出三角形 的面积的取值范围。
选择②：利用，则，再利用三角形是锐角三角形结合余弦定理得出实数b的取值范围，再利用余弦定理和同角三角函数基本关系式以及二次函数的图象求最值的方法得出三角形 的面积的取值范围。
6．（2023·合肥模拟）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且．
（1）若，求A的大小；
（2）当取得最大值时，试判断的形状．
【答案】（1）解：∵，即，则，可得，
故，则，
∴，
当时，则，
又∵，∴．
（2）解：由（1）知，，∴，
，
当且仅当，即当，时，等号成立，
∴的最大值为，
又∵，则的最大值为，此时，
∴．
∴为直角三角形．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理和同角三角函数基本关系式以及三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值。
（2） 由（1）知，，所以，再结合两角差的正切公式和均值不等式求最值的方法得出的最大值，再利用，从而得出的最大值，进而得出此时角A的值，再结合三角形的内角和为180度的性质，进而得出角B的值，从而结合直角三角形的定义，进而判断出三角形为直角三角形 。
7．（2023·南通模拟）在中，的对边分别为.
（1）若，求的值；
（2）若的平分线交于点，求长度的取值范围.
【答案】（1）解：已知，
由正弦定理可得，
，
，
，
， 即，
.
（2）解：由（1）知，由，则.
设，，
，，
.
【知识点】函数的值域；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角B的余弦值。
（2） 由（1）知，由，进而得出c的值，设，再利用三角形的面积公式和二倍角的正弦公式得出，，再结合余弦型函数的图象求值域的方法得出AD的长度的取值范围。
8．（2023·浙江模拟）已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
【答案】（1）解：如图，连接，
在中，，，，则，
在中，，
所以.
（2）解：设，易知，
在中，①，
因为，所以，则，
代入①式可得的取值范围为.
【知识点】函数的值域；平面内两点间距离公式的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 连接，在中，，结合余弦函数的定义得出的值，在中结合余弦函数的定义得出AD的长，再利用三角形的面积公式得出三角形 的面积。
（2） 设，易知，在中结合两点距离公式得出①，再利用结合不等式的基本性质以及正切型函数的图象求值域的方法和代入法得出的取值范围。
9．（2022·延庆模拟）在中，，．
（1）求；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；
条件②：边上的中线；
条件③：的周长为．
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理可得．
所以，或．
因为，所以不满足题意舍去，
所以，所以．
所以
（2）解：选条件①：，由（1），，但，矛盾，三角形无解；
选条件②：因为边上的中线
由（1）可知，，．所以
由余弦定理可得 ．
解得．
所以．
选条件③：的周长为．
由（1）可知，，． 所以 ，
，
所以.
解得.
所以
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用 ，，由正弦定理可得角C与角A的关系式，再利用结合分类讨论的方法，进而得出满足要求的角A的值。
（2） 选条件①：，由（1），，再利用反证法得出，矛盾，三角形无解；
选条件②：利用边上的中线，由（1）可知，，，所以，再利用余弦定理得出a，b的值，再结合三角形的面积公式，进而得出的值；
选条件③：利用三角形的周长为结合（1）可知，，， 所以 ，再利用已知条件得出，再结合三角形的周长公式得出a，b的值，再利用三角形的面积公式得出 的值。
10．（2022·朝阳模拟）已知函数．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知．
（1）求的解析式及最小值；
（2）若函数在区间上有且仅有1个零点，求t的取值范围．
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
【答案】（1）解：由题可知，
．
选择①②：
因为，所以．
又因为，所以．
所以．
当，，即，时，.
所以函数的最小值为-1．
选择①③：
因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以．
所以．
当，，即，时，
，
所以函数的最小值为．
选择②③：
因为，所以，
因为函数的最大值为，所以
的取值不可能有两个，无法求出解析式，舍去.
（2）解：选择①②：
令，
则，，
所以，．
当时，函数的零点为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
选择①③：
令，
则，，或，，
所以，，或，．
当时，函数的零点分别为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)先根据已知化简f (x)的解析式，求出f (x)的最小正周期，即可求解，再根据所选条件，利用正弦函数的性质求解A和φ的值，从而可得f(x)的解析式；
(2)由正弦函数的图象与性质可得关于t的不等式，即可求解出 t的取值范围．
11．（2022·湖南模拟）在 中， 为 上一点， ．
（1）若D为 的中点，求 的面积的最大值；
（2）若 ，求 的面积的最小值．
【答案】（1）解：因为D为 的中点，
所以 ，
∴ ．
记角 的对边分别为 ，
因为 ．所以 ，
则 ，
所以 （当且仅当 时取得最大值）．
所以 .
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ．
同理可得 ．
由 ，
所以 ，
所以 ．
所以 ．
设 ．则 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 面积的最小值为 ．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用D为 的中点，再结合平行四边形法则和中点的性质，得出 ，再利用数量积求向量的模的公式得出，记角 的对边分别为 ，再利用 结合同角三角函数基本关系式得出的值 ，再利用均值不等式求最值的方法得出bc的最大值，再结合三角形的面积公式得出三角形 的面积的最大值。
（2） 利用 结合同角三角函数基本关系式得出的值 ，再利用两角差的正弦公式得出 的值 ，设 ，在 中，由正弦定理可得 ，同理可得 ，由 ，所以 ，再利用三角形面积公式得出 ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值， 从而得出三角形 面积的最小值。
12．（2022·广安模拟）已知向量，，设函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且_________，求的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．
①；②；③，，成等比数列．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．
【答案】（1）解：因为，，
所以
由，得，
即函数的单调递增区间.
（2）解：若选①，
由正弦定理可得，
即，即，
由于，所以，解得，
由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选②，
由正弦定理可得，即，
由于，所以，由于，得，所以，
所以，得，
即的取值范围是.
若选③，，成等比数列，即，
由余弦定理可得，
所以，
所以，得，
即的取值范围是.
【知识点】正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合数量积的坐标表示和二倍角的正弦公式以及二倍角的余弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数的单调性，进而求出正弦型函数f(x)的单调递增区间。
（2） 若选①，由正弦定理结合三角形内角和为180度的性质和两角和的正弦公式，再结合三角形中角C的取值范围，得出 ，再结合同角三角函数基本关系式得出角A的正切值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用三角形内角和为180度的性质得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围；若选②，由正弦定理结合三角形中角C的取值范围，进而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角A的值，再利用三角形内角和为180度的性质得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围；若选③， ， 成等比数列结合等比中项公式和余弦定理以及均值不等式求最值的方法，进而得出角B的取值范围，再利用角B的取值范围结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出 的取值范围。
13．（2021高三上·上虞期末）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，点M为AC的中点，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：在中，因为，
由正弦定理得：.
因为，所以，
所以可化为.
因为，所以，消去得：.
当时，不成立，所以，所以，所以.
因为，所以.
（2）解：因为M为AC的中点，所以，所以，
即.
因为，，代入得：，解得：（舍去）.
所以的面积为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 在中，利用结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式和两角和的正弦公式得出，再利用三角形中角C的取值范围，得出，从而得出，再利用分类讨论的方法结合同角三角函数基本关系式和三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值。
（2）利用 M为AC的中点，再结合平行四边形法则结合中点的性质，得出，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算法则，得出，再利用，，代入得：，进而得出c的值，再结合三角形的面积公式得出三角形的面积。
14．（2021高三上·济南期末）在.中，角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
因为，所以，因为，所以
（2）解：因为，所以；
所以，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和两角和的正弦公式，再结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，进而结合三角形中角B的取值范围，从而求出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范围，进而求出角A的值。
（2）利用 ，所以，再利用三角形面积公式和三角形面积的关系式得出，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，从而求出bc的最大值，进而求出三角形面积的最大值。
15．（2022高三上·罗湖期末）设的内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求．
【答案】（1）解：由余弦定理，得， 所以，，
所以，，
又因为，所以，，则，
，因此，
（2）解：因为的面积，则，
由余弦定理，得，
所以，， 所以，
【知识点】余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理得出， 再利用同角三角函数基本关系式得出角B的正切值，再结合三角形中角B的取值范围，进而求出角B的值。
（2）利用已知条件结合三角形的面积公式，得出，由余弦定理，得出， 从而求出角C的余弦值。
16．（2022·岳阳模拟）D为边上一点，满足，，记，．
（1）当时，且，求CD的值；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）解：设CD长为x，当时，，，则，
因为，所以，即
所以，得，所以，所以为
（2）解：在中，，则，
由正弦定理得，又，
所以，，
则的面积，
又，
所以
因为，所以，
所以当，即时，S有最大值
又的面积等于，故的面积的最大值为
【知识点】二倍角的正切公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 设CD长为x，当时，，，再结合正切函数的定义得出，，再利用结合正切函数的图象得出，再利用二倍角的正切公式得出，从而得出x的值，进而求出CD的长。
（2） 在中，，再结合三角形内角和为180度的性质，从而求出的值，由正弦定理结合，所以，，再利用三角形的面积公式得出三角形的面积，再利用，再结合两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式，再利用辅助角公式化简函数为正弦型函数，所以，再利用结合构造法得出，再利用正弦型函数的图象求最值的方法，从而得出S的最大值，再利用三角形的面积等于，从而求出三角形的面积的最大值。
17．（2021高三上·济宁期末）如图，扇形区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形区域的圆心角，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形区域外修建一条公路，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与相切于点S（异于点P，Q），设（弧度），将公路的长度记为（单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．
（1）将y表示为的函数，并写出的取值范围；
（2）求y的最小值，并求此时的值．
【答案】（1）解：因为MN与相切于点S，所以，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
所以，
（）
（2）解：因为，所以，
令（），则，
所以，
当且仅当，即时取等号，此，又，所以．
所以公路MN长度的最小值为，此时的值为．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【分析】（1）利用 MN与相切于点S，所以，在中，利用，，再结合正切函数的定义，所以，在中，利用，，再结合正切函数的定义，所以，再利用两角差的正切公式，进而得出，（）。
（2）利用 ，再利用正切型函数的图象求值域的方法，所以，令（），则，再结合均值不等式求最值的方法，得出公路MN长度的最小值，进而求出此时的值。
18．（2022·普陀模拟）如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环线是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与平行，端点是该抛物线的顶点且为的中点，端点在上，且长为（百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
（1）求弯道段所确定的函数的表达式；
（2）绿地管理部门欲在弯道段上选取一点安装监控设备，使得点处监测段的张角最大，求点的坐标.
【答案】（1）如图建立平面直角坐标系，
则，
设抛物线的方程为，则，
∴，即，
∴弯道段所确定的函数；
（2）设，过P作PQ⊥CD于Q，
则，
∴，
令则，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴当时，最大，即最大，
∴点的坐标为时，点处监测段的张角最大.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】 （1）利用已知条件，建立平面直角坐标系，从而求出点的坐标，设抛物线的方程为，再利用代入法得出p的值，进而求出抛物线的标准方程，从而得出弯道段所确定的函数。
（2） 设，过P作PQ⊥CD于Q，再利用正切函数的定义，得出，再利用两角和的正切公式，进而得出∴，再利用换元法，令则，再利用均值不等式求最值的方法，进而得出当时，最大，即最大，从而得出点处监测段的张角最大时的点P的坐标。
19．（2022·普陀模拟）设函数，该函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，且为偶函数.
（1）求和的值；
（2）在中，角的对边分别为，若，求的取值范围.
【答案】（1）∵函数图象上相邻两个最高点之间的距离为，
∴，解得，
又为偶函数，
∴，又，
∴.
（2）∵，
∴，
即，
又，∴，
∴又，
∴，
由（1）知，
∴
，
又，所以，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】函数的值域；偶函数；简单的三角恒等变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦定理
【解析】【分析】（1） 利用函数图象上相邻两个最高点之间的距离为结合正弦型函数的最小正周期公式，进而求出的值，再利用函数为偶函数，再结合偶函数的定义和，进而求出的值。
（2） 利用结合正弦定理的变形，得出，
再利用两角和的正弦公式结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，得出角B的余弦值，再利用三角形中角B的取值范围，进而得出角B的值，从而得出A+C的值，由（1）知，再利用代入法和二倍角的余弦公式以及A，C的关系式，再结合两角差的余弦公式和辅助角公式得出，再利用结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而求出的取值范围。
20．（2022高三上·金山模拟）落户上海的某休闲度假区预计于2022年开工建设.如图，拟在该度假园区入口处修建平面图呈直角三角形的迎宾区，，迎宾区的入口设置在点A处，出口在点B处，游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，其中米，米，也可以沿便捷通道A-P-B到达出口（P为△ABC内一点）.
（1）若△PBC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，某游客的步行速度为每分钟50米，则该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快几分钟？（结果精确到1分钟）
（2）园区计划将△PBC区域修建成室外游乐场，若，该如何设计使室外游乐场的面积最大，请说明理由.
【答案】（1）由题设，米，米，在中，由余弦定理得
，于是 米.
游客可从入口沿着观景通道A-C-B到达出口，所需时间为分钟，
游客沿便捷通道A-P-B到达出口所需时间为分钟，
所以该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快分钟.
（2），设则 ，
在中，.由正弦定理得 ，
得.
所以面积，
当时，面积的最大值为平方米.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而得出该游客从入口步行至出口，走便捷通道比走观景通道可以快的分钟数。
（2）利用，设则 ，在中，，由正弦定理得出，再利用三角形的面积得出三角形面积，再利用正弦型函数求最值的方法，进而求出当时，三角形面积的最大值为平方米。
21．（2022高三上·浦东模拟）某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图，、为直线岸线，米，米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知.
（1）求岸线上点与点之间的直线距离；
（2）如果线段上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段上的网箱每米可获得30元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）
【答案】（1），
岸线上点与点之间的直线距离为米.
（2）△中，，
，，（），
设两段网箱获得的经济总收益为元，则
，
当，即时，
（元）
所以两段网箱获得的经济总收益最高约为55076元.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，进而求出岸线上点与点之间的直线距离。
（2）在三角形 △中结合正弦定理，得出，，（），设两段网箱获得的经济总收益为元，再利用已知条件结合两角差的公式以及辅助角公式，再结合反三角函数值求解方法，进而得出，再利用正弦型函数求最值的方法，进而求出函数的最大值，进而得出两段网箱获得的经济最高总收益。
22．（2021高三上·烟台期中）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足________.
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 的中点为 ，求 的最小值.
【答案】（1）解：选① ，
由正弦定理可得 ，
又因为 ，可得 ，
即 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
② ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，
又因为 ，解得 ，
因为 ，所以 .
③ ，
由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
即 ，
即 ，
所以 或 （舍），
即 ，即 ，解得 .
（2）解： ，
解得 ，
由余弦定理可得
，
所以 ，当且仅当 时，即 取等号，
所以 的最小值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1） 选① ，再利用正弦定理结合三角形中角B的取值范围，可得 ，再利用三角形内角和为180度的性质和二倍角的正弦公式，得出角C的值。
选② ，由正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再利用两角和的正弦公式，整理可得 ，再利用三角形中角A和角C的取值范围，进而求出角C的值。
选③ ，由正弦定理结合两角和和两角差的正弦公式，可得 ，进而得出 或 （舍），即 ，再结合三角形内角和为180度的性质，进而求出角C的值。
（2）利用已知条件结合三角形面积公式，得出ab的值，再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法，进而求出 的最小值。
23．（2021·义乌模拟）已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 ， 且 ，求函数 在区间 上的取值范围.
【答案】（1）由题意可得 ，
所以，
，
，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
（2）由题意及（1）可知 ，
因为 ， ，
又 ，且 ，所以 ， ，则 ，
则 ， ，
所以 ，所以 ，
则 ，即 在区间 上的取值范围为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)首先由诱导公式、二倍角正余弦函数整理化简原式，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间。
(2)根据题意由(1) 的结论即可得出函数g(x)的解析式，再由同角三角函数的基本关系式整理得出
和，结合二倍角的正弦公式以及诱导公式即可得出，从而得到，即可得出答案。
24．（2021·肥城模拟）已知锐角 的外接圆半径为 ，内角 的对边分别为 ， 的面积为 且 ．
（1）求 ；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）解：由
得：
∴ 即：
∵ ，∴
又
（2）解： 的外接圆半径为1
，即
又 ，
，
又因为 是锐角三角形
，即 ，
， ， ，
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1） 由 ，得 ，再利用余弦定理结合三角形的面积公式，从而得出 ，再利用 结合同角三角函数基本关系式，从而求出的值，再利用三角形中角C的取值范围，从而求出角C的值。
（2）因为三角形 的外接圆半径为1，从而结合正弦定理的性质，从而求出 ，再利用正弦定理得出 ， ，再利用角A和角B的关系式和两角和的正弦公式以及同角三角函数基本关系式，所以 ，又因为 是锐角三角形，从而求出角A的取值范围，再利用正切函数的图象，得出 ， 所以 ，从而求出 的取值范围。
25．（2021·贵阳模拟）如图所示，在平面四边形ABCD（A，C在线段BD异侧）中， ， ， ， .
（1）求BD的长；
（2）请从下面的三个问题中任选一个作答：（作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂）
①求四边形ABCD的面积的取值范围；
②求四边形ABCD的周长的取值范围；
③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.
【答案】（1）在 中， ， ， ，
，
（2）由（1）知 ， ，令 ，由 ，
，则 ， .
若选①：
， ，
由 ，可知四边形 的面积的取值范围是 .
若选②：
，
， ，
，
四边形 的周长的取值范围是 .
若选③：
令 ， ， ，则
，
又 ，
，
，
，
，
四边形 的对角线AC的长的取值范围是 .
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合余弦定理，从而求出BD的长。
（2） 由（1）知 ，再利用勾股定理求出 ，令 ，由 ，所以求出角的取值范围，再利用三角函数的定义得出 ， 。
若选①：利用三角形的面积公式结合求和法和二倍角的正弦公式，得出 ， ，利用正弦型函数的图象得出 ，从而可知四边形 的面积的取值范围。
若选②：利用四边形的周长公式结合辅助角公式化简为正弦型函数，即 ，再利用角的取值范围，从而结合正弦型函数的图象求出正弦型函数的值域，进而求出四边形 的周长的取值范围。
若选③：利用余弦定理结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简为正弦型函数，即 ，再利用角的取值范围，再结合正弦型函数的图象求值域的方法，进而求出四边形 的对角线AC的长的取值范围。
26．（2021·福田模拟）设函数 ．
（1）当 时，若函数 的最大值为 ，求函数 的最小正周期；
（2）若函数 在区间 内不存在零点，求正实数 的取值范围．
【答案】（1）由题意，函数
，
因为函数 的最大值为 ，可得 ，
即 ，解得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
所以函数 ，故函数 的最小正周期为 .
（2）由于函数 ，
因为函数 在区间 内不存在零点，则 ，
即 ，则 ，
由于 ，所以 且 ，
又因为 ，所以 或 ，
所以正实数 的取值范围 ．
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质
【解析】【分析】 (1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数性质的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；
(2)利用函数的单调性的应用求出结果.
27．（2021·丹东模拟）设 ，函数 在 上是减函数．
（1）求 ；
（2）比较 ， ， 的大小．
【答案】（1）因为 ， ，所以 ．
由题设可得 ， ．
于是
解得 且 ．
因为 ，所以
可得 且 ，所以 ．
于是 ．
（2）由（1）可知 图像关于 对称，所以 ．
由（1）可得 最小正周期为 ，所以 ．
．
因为 ， ， ， ， 在 上是减函数．
所以 ，从而 ．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；含三角函数的复合函数的周期
【解析】【分析】（1） 因为 ， ，所以 ，由题设可得 ， ，再利用集合间的包含关系结合分类讨论的方法，从而借助数轴求出k的值，进而求出的值。
（2） 由（1）可知 图像关于 对称，所以 ，由（1）可得 最小正周期为 ，所以 ，进而求出函数值的关系为 ，因为 ， ， ， ， 又因为 在 上是减函数，从而比较出 ， ， 的大小。
28．（2021·南昌模拟）如图，在梯形 中， ．
（1）求 的值；
（2）若 的面积为4，求 的长．
【答案】（1）解：在 中，由正弦定理知， ，
所以 ，
因为 ，
即
（2）解：在 中， ，则 为锐角
因为 ，所以 ，
在梯形 中， ,则
所以 ，
显然 为锐角，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可；
（2）根据同角三角函数的关系及两角差的正弦公式，结合三角形的面积公式及余弦定理求解即可.
29．（2021·惠州模拟）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，点 满足 与 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的最大值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
（2）解：因为 ，
所以 ，即 ，
，
因为 ，所以 的最大值为 .
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的数量积运算；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）根据向量的数量积直接求解即可；
（2）根据向量的数量积，结合余弦定理和基本不等式求解即可.
30．（2021·奉贤模拟）设函数 ，
（1）讨论函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）设 ，解关于 的不等式 .
【答案】（1）解：由对数的性质，得 ，
∴ ，即 ，故定义域关于原点对称，
⒈偶函数，则有 ，即 ，可得 ，
∴整理得：要使 对一切 恒成立，在 中有 .
⒉奇函数，则定义域内，任意 有 ，如 ，
∴ ，而 ， ，
∴ ，显然在 上不成立，
综上，当 时为偶函数；当 时既不是奇函数又不是偶函数.
（2）解：由 ，代入得 ，
∴ ，化简为 ，展开整理得： ，
∵ ，即 ，
∴可得
∴解集为 ， .
【知识点】函数的奇偶性；两角和与差的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1） 由对数的性质，得 ，所以 ，即 ，故定义域关于原点对称，再利用分类讨论的方法结合奇函数和偶函数的定义，从而讨论出函数 的奇偶性。
（2） 由 ，代入得 ，因为 ，即 ， 再利用余弦型函数的图象结合已知条件，从而求出关于 的不等式 的解集。
31．（2021高一下·浙江期中）已知函数，
（1）求的对称轴；
（2）在中，内角的对边分别为，若，，是边上一点，且，求的最大面积.
【答案】（1）解：
令，，得对称轴为，.
（2）解：由（1）知，，
因为，所以.
又因为，所以，
①当时，，，
解法1：由余弦定理可知，，得，
所以，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
解法2：设外接圆半径为，则由正弦定理可知，
圆上弦长一定，动点在圆弧上运动，当时，底边上的高最大，此时面积最大值为，所以的最大面积为.
②当时，，，
方法如①，，
即的最大面积为，当且仅当时取等号.
【知识点】二倍角的余弦公式；正弦函数的性质；余弦函数的性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先结合降次公式以及辅助角公式将函数解析式化简整理，然后整体代入法直接求对称轴即可；
（2）根据已知条件求出角A，方法一：结合余弦定理以及基本不等式即可直接求出最值；方法二：结合平面几何性质确定M的位置即可求出最大值.
32．（2021高一下·浙江期中）已知向量．令函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的角平分线交于D．其中，函数恰好为函数的最大值，且此时，求的最小值．
【答案】（1）解：，
，
则的最小正周期为，
令，解得，
故的单调递增区间为；
（2）解：由恰好为函数的最大值可得，
即，，则可解得，则，
在中，由，可得，
在中，由，可得，
，
在中，，
则可得，，
则，
，
，
当且仅当等号成立，故的最小值为.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；正弦定理
【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标表示，及二倍角公式，辅助角公式可得 ，
由周期公式，及即可求解；
（2）由（1）可知 ， 在在中 ，由正弦定理可得 ，在 中 ，由正弦定理可得 ， 从而得到 ，再由 ，，
可得 ，， 从而得到 ，再利用基本不等式即可求最小值。
33．（2021·西城模拟）已知函数 ，且 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
（1）确定 的解析式；
（2）若 图象的对称轴只有一条落在区间 上，求a的取值范围．
条件①： 的最小值为 ；
条件②： 图象的一个对称中心为 ；
条件③； 的图象经过点 ．
【答案】（1）解：由于函数 图象上两相邻对称轴之间的距离为 ，
所以 的最小正周期 ， ．此时 ．
选条件①②；因为 ，所以 ．
因为 图象的一个对称中心为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，此时 ，所以 ；
选条件①③：因为 ，所以 ．
因为函数 的图象过点 ，则 ，即 ， ，
因为 ，即 ， ，所以， ，解得 .
所以 ；
选条件②③：因为函数 的一个对称中心为 ，
所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，此时 ，所以 ．
因为函数 的图象过点 ，所以 ，即 ， ，即 ，所以 ．
所以 ；
（2）解：因为 ，所以 ，
因为 图象的对称轴只有一条落在区间 上，所以 ，得 ，
所以 的取值范围为 ．
【知识点】函数的周期性；正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【分析】(1)根据题意由函数f(x)的图象即可得出周期的值，再由周期的公式代入数值计算出的值，由此得出函数的解析式选条件①②，首先求出A的值，再由函数的图象把点的再把代入函数的解析式计算出，由此得到函数的解析式。 选条件①③，把点的再把代入函数的解析式计算出 进而得出函数的解析式。 选条件②③，把点的坐标代入到函数的解析式求出A的值，再把点代入到函数的解析式求出即可。
(2)根据题意由函数的图象的性质结合正弦函数的单调性即可得出，由此得出a的取值范围。
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