福建省泉州2022--2023学年九年级下学期期中教学质量监测数学试卷（含答案）

2023届初三数学学科期中教学质量监测
考试时间120分钟，满分150分。
（满分：150分；考试时间：120分）
学校________ 班级________ 姓名________ 准考证号________
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2023
2．如图，是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．平行四边形 D．正方形
4．某校举办“喜迎建党100周年”校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
中位数 众数 平均数 方差
9.3 9.4 9.2 9.5
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
5．如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．
6．在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问人数是多少？若设人数为人，则下列关于的方程符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，内接于，是的直径，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，点是的重心，，垂足为，若，则线段的长度为（ ）
A．4 B．3 C．6 D．
10．定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．计算：________．
12．正八边形的每一个内角的度数为________度．
13．在半径为6的圆中，的圆心角所对的弧长是________．
14．已知非零实数，满足，则的值等于________．
15．如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则的度数为________度．
16．如图，菱形顶点在函数的图象上，函数的图象关于直线对称，且经过点，两点，若，，则________．
三、解答题：本题共9小题，共86分。
（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）如图，四边形是平行四边形，、分别是边、上的点，．证明：．
19．（8分）先化简，再求值：，其中．
20．（8分）如图，中，．
（1）用直尺和圆规在的内部作射线，使（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中的射线交于点，，，求的长．
21．（8分）随着互联网的快速发展，人们的生活越来越离不开快递，某快递公司邮寄每件包裹的收费标准是：重量小于或等于1千克的收费10元；重量超过1千克的部分，每超过1千克（不足1千克按1千克计算）需再收费2元．下表是该公司某天9:00~10:00统计的收件情况：
试根据以上所提供的信息，解决下列问题：
重量（千克）
件数 145 120 110 75 500 0
（1）求包裹重量为的概率；
（2）小东打算在该公司邮寄一批每件3千克的包裹到不同地方，现有两种付费方式供他选择：①按该公司收费标准付费；②按上表中的平均费用付费，问：他选择哪种方式付费合算？说明理由．
22．（10分）某校为改善办学条件，计划购进，两种规格的书架，经市场调查发现有线下和线上两种购买方式，具体情况如下表：
规格 线下 线上
单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个）
300 0 260 20
360 0 300 30
（1）如果在线下购买，两种书架共20个，花费6300元，求，两种书架各购买了多少个；
（2）如果在线上购买，两种书架共20个，且购买种书架的数量不少于种书架的2倍，请设计出花费最少的购买方案，并计算按照这种方案购买线上比线下节约多少钱．
23．（10分）如图，是半圆的直径，为弦的中点，延长交弧于点，点为的延长线上一点且满足．
（1）求证：为的切线；
（2）若四边形是平行四边形，求的值．
24．（13分）如图，由绕点逆时针旋转得到，且点的对应点恰好落在的延长线上，，交于点．
（1）求的度数；
（2）点是延长线上的点，且．判断与的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，求证：．
25．（13分）抛物线过点，抛物线的顶点为点．
图1 图2
（1）若，求抛物线的顶点的坐标；
（2）在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，且轴上有点，轴上是否存在点使得，若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若，将抛物线平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点．求证：直线过定点，并求出定点坐标．
2023届初三数学学科期中教学质量监测卷参考答案及评分标准
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）
1．D 2．A 3．D 4．A 5．B 6．A 7．C 8．C 9．A 10．C
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）
11．1 12．135 13． 14．5 15．36 16．
三、（本大题有9小题，满分86分）
17．（8分）解不等式组：
解：解不等式①，得：， 3分
解不等式②，得：， 6分
则不等式组的解集为． 8分
18．（8分）
方法一
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴． 3分
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形． 7分
∴． 8分
方法二
证明：
∵四边形是平行四边形，
∴，，． 3分
∵，
∴，即． 5分
∴． 7分
∴． 8分
19．（8分）
解：
2分
3分
5分
． 6分
当时，原式 7分
． 8分
20．（8分）
解：（1）如图所示，射线即为所求； 3分
（2）∵，，
∴， 5分
∴，即，
∴． 8分
21．（8分）
解：（1） 3分
（2）法一：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹共有件，所需要的费用为元，依题意得：
方案①付费：． 4分
方案②付费：（元） 6分
∵ 7分
小东应选择方案②付费合算． 8分
法二：设小东打算邮寄的这批每件3千克的包裹，每件所需要的费用为元，依题意得：
方案①每件包裹需付费：（元/件）． 2分
方案②每件包裹需付费：（元/件）． 5分
∵（元/件），且小东邮寄的包裹数量固定， 7分
∴小东应选择方案②付费合算． 8分
22．（10分）
解：（1）设购买种书架个，则购买种书架个，根据题意，得
， 2分
解得：，， 3分
答：购买种书架15个，种书架5个． 4分
（2）设购买种书架个，所需总费用为元，根据题意，得
， 6分
又由，得，
∵，
∴的值随着值的增大而减小， 7分
又∵为整数，
∴，，
花费最少的购买方案是种规格书架6个，种规格书架14个． 8分
此时线上购买所需费用．
线下购买所需费用 9分
∵（元），
∴按照这种方案购买线上比线下节约540元． 10分
23．（1）连接，
∵，∴， 1分
∵，∴， 2分
∵为的中点，∴， 3分
∴，∴，
∴，∴为的切线； 5分
（2）过作于，
∵，．
∴， 6分
∵四边形是平行四边形，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴， 7分
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴， 8分
∴， 9分
∴． 10分
24．（13分）
（1）由旋转的性质得， 1分
∴是等边三角形
∴
∴
∴ 3分
（2），理由如下：
由旋转的性质得：，
∴是等边三角形
∴ 4分
∴
∵
又∵
∴ 6分
∴ 7分
（3）过点做交于点
（法1）∴ 8分
∵
∴
∴
∴ 9分
∴
又∵，
∴ 11分
∴
∵
∴
∴ 12分
∴ 13分
（法2）∵
又∵，
∴ 8分
∵
∴
又∵
∴ 9分
∴
∴
∴
∴
∴ 13分
25．（13分）
（1）解：当时，，
代入，得：，
解得或， 2分
∵，
当时，，
∴ 3分
（2）当时，
∴
∵
∴由勾股定理得 4分
当点在轴的负半轴时，如图（3）所示
∵，
∴ 5分
∴
∴
即
∴
∴
∴ 7分
由对称性可得 8分
综上所述，存在点，使得
（3）解：∵，且平移后的抛物线顶点在原点，
∴，
设的坐标为，
则直线可表示为：
， 9分
和抛物线联立得：
解得：或， 10分
设，
则的坐标为，
直线可表示为：
， 11分
和抛物线联立得：
，
解得：或，
则的坐标为 12分
∴直线可表示为：
，
当，，
∴直线过定点． 13分