初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册 5.3 简单的轴对称图形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·渠县期末）木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质
2．（2022七下·周村期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．（2022七下·济南期末）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC的垂直平分线交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（2022七下·莲池期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·祥符期末）在中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；作直线MN，交BC于点D；连接AD.若的周长为12，，则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
6．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
7．（2022七下·萍乡期末）如图，在中，DM垂直平分AB交AB于点D，交BC于点M，EN垂直平分AC交AC于点E．交BC于点N，且点M在点N的左侧，连AM，AN，若，则的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
8．（2022七下·太原期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE
C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B
9．（2022七下·雅安期末）如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2022七下·源城期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022七下·亭湖期末）等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为 .
12．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
13．（2022七下·辽阳期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交，于点，，连接．若，，则的周长为 ．
14．（2022七下·亭湖期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=76°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为 .
15．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
16．（2022七下·包头期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若射线恰好经过点，则 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022七下·新城期末）如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，．
（1）求的度数；
（2）若上存在点，连接，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
18．（2022七下·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．
19．（2021七下·祥符期末）尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形.在下面的 中，请你也按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹）并填空.
（ 1 ）作出 的平分线交 边于点 ；
（ 2 ）作出 边上的垂直平分线 交 于点 ；
（ 3 ）连接 ，若 ，则 的度数为▲ .
20．（2021七下·祥符期末）已知 是 的平分线，点 是射线 上点，点 ， 分别在射线 ， 上，连接 ， .
（1）发现问题：如图1，当 ， 时，则 与 的数量关系是 .
（2）探究问题：如图2，点 ， 在射线 ， 上滑动，且 ，当 时， 与 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由.（温馨提示：过 作 于 ， 于 ）
21．（2022七下·包头期末）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，且点，在所在直线的同一侧，连接，，与相交于点，与相交于点．
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求的度数．
22．（2022七下·龙口期末）数学理解
（1）如图1，在等边内，作，且，E是内一点，且，，求的度数；
（2）如图2，在中，，，E是内一点，且，，连接DE，求的度数．
23．（2022七下·深圳期末）如图，直线l与a、b相交于点A、B，且．
（1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若，求的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为 cm．
24．（2021七下·于洪期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图②）．
（1）在图①中用尺规作出折痕所在的直线l，保留作图痕迹（不用写作法）；
（2）直线l是线段AC的 线；
（3）设直线l与AB、AC分别相交于点M、N，连接CM，若△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，求BC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若的角是顶角，则底角是，
若的角是底角，则底角是．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可。
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD= BC+AB=10，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
4．【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】A. ∵是的角平分线，，，∴，A不符合题意；
B. ∵，，∴，，∴，B不符合题意；
C. ∵是的角平分线，，，∴，∴，C不符合题意；
D. ∵，，∴，，∴D符合题意.
故答案为：D
【分析】由垂直的定义及角平分线的性质可得∠DEB=∠C=90°，，∠EBD=∠CBD，，利用余角的性质可得，根据AAS证明，可得，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD=12，
∴AC+CD+DB=12，
即：AC+BC=12，
∵AB=6，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=12+6=18，
故答案为：C.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，由于△ADC的周长=AC+CD+AD=12，可得AC+CD+DB=12，从而求出AC+BC=12，根据△ABC的周长为AC+BC+AB即可求解.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DM垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∵EN垂直平分AC，
∴NA＝NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝12cm，
故答案为：B．
【分析】由线段垂直平分线的性质定理可知，三角形ANM的周长等于线段BC的长。
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项符合题意，
D选项则不一定符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，根据等腰三角形的性质，可得AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，据此逐一判断即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
符合选取条件的空白小等边三角形有4个.
故答案为：C.
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称图形的定义，可得到符合选取条件的空白小等边三角形的个数.
10．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解．
（1）x+x=9，
∴x=6，
∵三角形的周长为9+15=24cm，
∴三边长分别为6，6，12
∵6+6=12，不符合三角形的三边关系，故舍去；
（2）x+x=15
∴x=10
∵三角形的周长为24cm
∴三边长分别为10，10，4．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故答案为：B．
【分析】设三角形的腰为x，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解，（1）x+x=9，（2）x+x=15，分别解出x的值，即可得出答案。
11．【答案】27
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，
∵5+5=10＜11，
∴不能组成三角形；
②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，此时能组成三角形，
周长为：5+11+11=27，
综上所述，三角形的周长为27.
故答案为：27.
【分析】分两种情况讨论，即①5是腰长时，②5是底边时；先根据三角形的三边关系判断其是否能够构成三角形，再计算三角形的周长即可.
12．【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
13．【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋AE＋CE＝BC＋AC＝13．
故答案为：13．
【分析】根据线段的垂直平分线先求出AE＝BE，再求三角形的周长即可。
14．【答案】152°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵OA平分∠BAC，∠BAC=76°，
∴∠BAO=∠BAC=×76°=38°，
∵AB=AC，∠BAC=76°，
∴∠ABC= (180° ∠BAC)= ×(180° 76°)=52°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=38°，
∴∠OBC=∠ABC ∠OBA=52° 38°=14°，
由等腰三角形三线合一可知，AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCE=∠OBC=14°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠OEC=180° 2×14°=152°.
故答案为：152°.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO的度数，根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出OA=OB，由根据等边对等角求出∠OBA，则可求出∠OBC的度数，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，求出∠OCE，根据折叠的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
16．【答案】32
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分线段AB，BD平分∠ABC，
∴，
∴，
在△ABC中，，
∴，即，
∴；
故答案为32．
【分析】由作图知：MN垂直平分线段AB，BD平分∠ABC，从而得出，由等边对等角可得∠A=∠ABD，即得，利用三角形内角和定理可求出，据此即可求解.
17．【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=35°，
∴，
∵，
∴，
在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：BF=CE，理由如下，
解：∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴BF=CE．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；邻补角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得∠B=∠C=35°，∠EAC=∠C=35°，AD⊥BC，则∠ADC=90°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）根据邻补角的性质结合已知条件可得∠AFB=∠AEC，证明△ABF≌△ACE，据此可得结论.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝95°．∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，∴∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝10°．
（2）解：由（1）可知DA=DB，FA=FC，∴△DAF的周长＝DA＋DF＋FA＝DB＋DF＋FC＝BC＝50．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得DA＝DB，FA＝FC，再利用等边对等角的性质可得∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，然后利用角的运算可得∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝10°；
（2）利用三角形的周长公式和等量代换可得答案。
19．【答案】解：（1）AD即为所求，
（2）直线 即为所求直线，
（3）115°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（3）∵ ，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=65°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAG= ∠BAC，
∵直线 垂直平分AC，
∴AG=CG，
∴∠ACG=∠CAG，
∴ =180°-65°=115°，
故答案为：115°.
【分析】（1）以点A为圆心，取任意长度为半径画弧与边AB、AC边得到两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离为半径画弧相交于一点，连接点A与这点的射线即是 的平分线.
20．【答案】（1）PC=PD
（2）解：成立
理由：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC=PD.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）PC=PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线， ，
∴PC=PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线性质可知PC=PD；（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE=∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD.
21．【答案】（1）解：△ABD≌△CBE，理由如下：
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠AGB=∠CGF，
∴∠ABC=∠AFC=60°．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）△ABD≌△CBE，理由：由等边三角形的性质，可得∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD， 从而推出∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE ；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BCE，由对顶角相等可得∠AGB=∠CGF，根据三角形内角和可得∠ABC=∠AFC=60°．
22．【答案】（1）解：如图，连接AD．
∵，，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∴AD平分．
∵为等边三角形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴在和中， ，
∴，
∴．
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）解：如图，作等边三角形ABC，连接AD．
由（1）解答知，，，
∴在和中， ，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）作等边三角形ABC，连接AD，先利用“ASA”证明可得BD=BE，再利用角的运算可得。
23．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵，∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC＝24°，∴∠ADB=∠CBD＝24°．
（3）3
【知识点】角的运算；平行线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的的角平分线，如图所示：
（3）解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示：
根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，∵点D到直线b的距离为3cm，∴DE＝3cm，∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l，∴DE＝DF，∴DF＝3cm，∴DP的最小值为3cm．故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）结合角平分线和平行线的性质求解即可；
（3）过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，再根据角平分线的性质求解即可。
24．【答案】（1）解：如图①，
（2）中垂
（3）解：∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AM=CM，
∵△CMB的周长是21cm，AB=14cm，
∴21=CM+BM+BC=AM+BM+CB=AB+BC=14+BC，
∴BC=7cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AN=NC，∠ANM=∠CNM=90°，
∴直线l是线段AC的中垂线，
故答案为：中垂；
【分析】（1）根据垂直平分线的作图即可得到答案；
（2）由折叠的性质可得AM=CM，即可求出BC的长。
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册 5.3 简单的轴对称图形）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·渠县期末）木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．角平分线定理 B．等腰三角形的三线合一
C．线段垂直平分线定理 D．两直线垂直的性质
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知，三角尺是等腰的，等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合，若重锤的线经过三角尺底边的中点刻度，说明重锤与三角形底边上的高是重合的，而重锤是和水平面互相垂直的，所以说明此时的横梁是水平的，如果重锤的线没有经过三角尺底边的中点刻度，则说明横梁不是水平的， 因此能解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质进行解答.
2．（2022七下·周村期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：若的角是顶角，则底角是，
若的角是底角，则底角是．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可。
3．（2022七下·济南期末）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝4，AC的垂直平分线交AB，AC于点D和E，则△BCD的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD= BC+AB=10，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得AD=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
4．（2022七下·莲池期末）如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】A. ∵是的角平分线，，，∴，A不符合题意；
B. ∵，，∴，，∴，B不符合题意；
C. ∵是的角平分线，，，∴，∴，C不符合题意；
D. ∵，，∴，，∴D符合题意.
故答案为：D
【分析】由垂直的定义及角平分线的性质可得∠DEB=∠C=90°，，∠EBD=∠CBD，，利用余角的性质可得，根据AAS证明，可得，据此逐一判断即可.
5．（2022七下·祥符期末）在中，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；作直线MN，交BC于点D；连接AD.若的周长为12，，则的周长为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意得：MN是线段AB的垂直平分线，
则AD=BD，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD=12，
∴AC+CD+DB=12，
即：AC+BC=12，
∵AB=6，
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=12+6=18，
故答案为：C.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，由于△ADC的周长=AC+CD+AD=12，可得AC+CD+DB=12，从而求出AC+BC=12，根据△ABC的周长为AC+BC+AB即可求解.
6．（2021七下·丽水期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=100°，点M是射线AB上的一个动点，过点M作MN∥BC交射线AC于点N，连结BN。若△BMN中有两个角相等，则∠MNB的度数不可能是（ ）
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN=BM，
则∠MNB=∠MBN。
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC=50°，
∴∠MNB=25°.
如图2中，
当BM=BN时，∠BNM=∠BMN=50°，
当MB=MN时，∠BNM= （180°-50°）=65°，
当NB=MN时，∠BNM=80°，
综上所述，选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】分两种情形：如图1中，当点N在线段AC上时，如果MN= BM，如图2中，当BM= BN时，∠BNM=∠BMN=50°，当MB= MN时，∠BNM= ( 180°-50°) =65°，当NB=MN时，∠BNM=80°，由此即可判断.
7．（2022七下·萍乡期末）如图，在中，DM垂直平分AB交AB于点D，交BC于点M，EN垂直平分AC交AC于点E．交BC于点N，且点M在点N的左侧，连AM，AN，若，则的周长是（ ）
A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DM垂直平分AB，
∴MA＝MB，
∵EN垂直平分AC，
∴NA＝NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝BM+MN+NC＝BC＝12cm，
故答案为：B．
【分析】由线段垂直平分线的性质定理可知，三角形ANM的周长等于线段BC的长。
8．（2022七下·太原期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，按如下步骤作图：以点A为圆心、适当长度为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；分别以点M、N为圆心、大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点F，连接AF并延长，交BC于点E．下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE
C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，即可知A、B、C选项符合题意，
D选项则不一定符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据作图可知AF是∠BAC的角平分线，根据等腰三角形的性质，可得AE⊥BC，BE=EC，∠ABC=∠ACB，据此逐一判断即可.
9．（2022七下·雅安期末）如图，由边长为1的小等边三角形构成的网格图中，有3个小等边三角形已涂上阴影．在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影等边三角形组成一个轴对称图形，符合选取条件的空白小等边三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：如图，
符合选取条件的空白小等边三角形有4个.
故答案为：C.
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称图形的定义，可得到符合选取条件的空白小等边三角形的个数.
10．（2022七下·源城期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设三角形的腰为x，如图：
△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解．
（1）x+x=9，
∴x=6，
∵三角形的周长为9+15=24cm，
∴三边长分别为6，6，12
∵6+6=12，不符合三角形的三边关系，故舍去；
（2）x+x=15
∴x=10
∵三角形的周长为24cm
∴三边长分别为10，10，4．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故答案为：B．
【分析】设三角形的腰为x，△ABC是等腰三角形，AB=AC，BD是AC边上的中线，则有AB+AD=9或AB+AD=15，分下面两种情况解，（1）x+x=9，（2）x+x=15，分别解出x的值，即可得出答案。
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2022七下·亭湖期末）等腰三角形的两边长分别为5和11，则这个三角形的周长为 .
【答案】27
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、11，
∵5+5=10＜11，
∴不能组成三角形；
②5是底边时，三角形的三边分别为5、11、11，此时能组成三角形，
周长为：5+11+11=27，
综上所述，三角形的周长为27.
故答案为：27.
【分析】分两种情况讨论，即①5是腰长时，②5是底边时；先根据三角形的三边关系判断其是否能够构成三角形，再计算三角形的周长即可.
12．（2022七下·祥符期末）如图，BO平分于点D，点E为射线BA上一动点，若，则OE的最小值为 .
【答案】5
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
.
故答案为：5.
【分析】根据垂线段最短，可知当时，最小，由角平分线的性质可得.
13．（2022七下·辽阳期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线，分别交，于点，，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋AE＋CE＝BC＋AC＝13．
故答案为：13．
【分析】根据线段的垂直平分线先求出AE＝BE，再求三角形的周长即可。
14．（2022七下·亭湖期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=76°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数为 .
【答案】152°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：连接OB、OC，如图所示：
∵OA平分∠BAC，∠BAC=76°，
∴∠BAO=∠BAC=×76°=38°，
∵AB=AC，∠BAC=76°，
∴∠ABC= (180° ∠BAC)= ×(180° 76°)=52°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=38°，
∴∠OBC=∠ABC ∠OBA=52° 38°=14°，
由等腰三角形三线合一可知，AO垂直平分BC，
∴OB=OC，
∴∠OCE=∠OBC=14°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠OEC=180° 2×14°=152°.
故答案为：152°.
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO的度数，根据等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质得出OA=OB，由根据等边对等角求出∠OBA，则可求出∠OBC的度数，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，求出∠OCE，根据折叠的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出结果.
15．（2022七下·成都期末）如图，在锐角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝3，△ABC的面积为8，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+PP3的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接BP1，BP3，BP，
∵ P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，
∴BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，
∴∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，
∵∠ABC＝30°，
∴∠P1BP2＝60°，
∴△BP1P2是等边三角形，
∴BP＝P1P2，
∴2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP，
∴当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，
∵AC＝3，△ABC的面积为8，
∴AC OB＝8，
∴×3 OB＝8
∴OB＝，
∴2P1P2＋PP3的最小值是.
故答案为：.
【分析】连接BP1，BP3，BP，利用轴对称的性质可证得BP1＝BP＝BP2，OP＝OP3，PP3⊥AC，PP1⊥AB，PP2⊥BC，利用等腰三角形的性质可推出∠PBA＝∠ABP1，∠CBP＝∠CBP2，结合已知条件求出∠P1BP2的度数，可证得△BP1P2是等边三角形，利用等边三角形的性质去证明2P1P2＋PP3＝2BP＋2OP；可得到当B，P，O三点共线时，2P1P2＋PP3有最小值，其最小值是△ABC中AC边上的高OB，利用三角形的面积公式求出OB的长，然后求出2P1P2＋PP3的最小值.
16．（2022七下·包头期末）如图，在中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，（点在上方），作直线交边于点；在和上分别截取，，使，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，若射线恰好经过点，则 ．
【答案】32
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分线段AB，BD平分∠ABC，
∴，
∴，
在△ABC中，，
∴，即，
∴；
故答案为32．
【分析】由作图知：MN垂直平分线段AB，BD平分∠ABC，从而得出，由等边对等角可得∠A=∠ABD，即得，利用三角形内角和定理可求出，据此即可求解.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022七下·新城期末）如图，等腰中，，，是边上一点且，是边上的中点，连接，．
（1）求的度数；
（2）若上存在点，连接，且，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵AB=AC，∠B=35°，
∴，
∵，
∴，
在等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：BF=CE，理由如下，
解：∵，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴BF=CE．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（AAS）；邻补角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得∠B=∠C=35°，∠EAC=∠C=35°，AD⊥BC，则∠ADC=90°，然后根据内角和定理进行计算；
（2）根据邻补角的性质结合已知条件可得∠AFB=∠AEC，证明△ABF≌△ACE，据此可得结论.
18．（2022七下·槐荫期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC的长为50，求△DAF的周长．
【答案】（1）解：∵∠ABC＝20°，∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝95°．∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，∴∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝10°．
（2）解：由（1）可知DA=DB，FA=FC，∴△DAF的周长＝DA＋DF＋FA＝DB＋DF＋FC＝BC＝50．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得DA＝DB，FA＝FC，再利用等边对等角的性质可得∠DAB＝∠ABC＝20°，∠FAC＝∠ACB＝65°，然后利用角的运算可得∠DAF＝∠BAC－∠DAB－∠FAC＝10°；
（2）利用三角形的周长公式和等量代换可得答案。
19．（2021七下·祥符期末）尺规作图是理论上接近完美的作图方式，乐乐很喜欢用尺规画出要求的图形.在下面的 中，请你也按要求用尺规作出下列图形（不写作法，但要保留作图痕迹）并填空.
（ 1 ）作出 的平分线交 边于点 ；
（ 2 ）作出 边上的垂直平分线 交 于点 ；
（ 3 ）连接 ，若 ，则 的度数为▲ .
【答案】解：（1）AD即为所求，
（2）直线 即为所求直线，
（3）115°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】（3）∵ ，
∴∠BAC=180°-∠B-∠BCA=65°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAG= ∠BAC，
∵直线 垂直平分AC，
∴AG=CG，
∴∠ACG=∠CAG，
∴ =180°-65°=115°，
故答案为：115°.
【分析】（1）以点A为圆心，取任意长度为半径画弧与边AB、AC边得到两个交点，分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离为半径画弧相交于一点，连接点A与这点的射线即是 的平分线.
20．（2021七下·祥符期末）已知 是 的平分线，点 是射线 上点，点 ， 分别在射线 ， 上，连接 ， .
（1）发现问题：如图1，当 ， 时，则 与 的数量关系是 .
（2）探究问题：如图2，点 ， 在射线 ， 上滑动，且 ，当 时， 与 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由.（温馨提示：过 作 于 ， 于 ）
【答案】（1）PC=PD
（2）解：成立
理由：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∴∠PEC=∠PFD=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°，
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°=180°，
而∠PDO+∠PDF=180°，
∴∠PCE=∠PDF，
在△PCE和△PDF中
∴△PCE≌△PDF（AAS），
∴PC=PD.
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（1）PC=PD，
理由：∵OM是∠AOB的平分线， ，
∴PC=PD（角平分线上点到角两边的距离相等），
故答案为：PC=PD；
【分析】（1）根据角平分线性质可知PC=PD；（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE=∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD.
21．（2022七下·包头期末）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，且点，在所在直线的同一侧，连接，，与相交于点，与相交于点．
（1）与全等吗？请说明理由；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：△ABD≌△CBE，理由如下：
∵△ABC和△BDE是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠AGB=∠CGF，
∴∠ABC=∠AFC=60°．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）△ABD≌△CBE，理由：由等边三角形的性质，可得∠ABC=∠DBE=60°，AB=BC，BE=BD， 从而推出∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE ；
（2）由全等三角形的性质可得∠BAD=∠BCE，由对顶角相等可得∠AGB=∠CGF，根据三角形内角和可得∠ABC=∠AFC=60°．
22．（2022七下·龙口期末）数学理解
（1）如图1，在等边内，作，且，E是内一点，且，，求的度数；
（2）如图2，在中，，，E是内一点，且，，连接DE，求的度数．
【答案】（1）解：如图，连接AD．
∵，，
∴直线AD是线段BC的垂直平分线．
∴AD平分．
∵为等边三角形，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∴在和中， ，
∴，
∴．
联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）
（2）解：如图，作等边三角形ABC，连接AD．
由（1）解答知，，，
∴在和中， ，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得；
（2）作等边三角形ABC，连接AD，先利用“ASA”证明可得BD=BE，再利用角的运算可得。
23．（2022七下·深圳期末）如图，直线l与a、b相交于点A、B，且．
（1）尺规作图：过点B作的角平分线交直线a于点D（保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
（2）若，求的度数；
（3）P为直线l上任意一点，若点D到直线b的距离为，则DP的最小值为 cm．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵，∴∠1＝∠ABC＝48°，∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD=∠ABC＝24°，∴∠ADB=∠CBD＝24°．
（3）3
【知识点】角的运算；平行线的性质；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：（1）以点B为圆心，任意长为半径画弧，与BA、BC分别交于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接B与这个点，交直线a于点D，则BD即为所求作的的角平分线，如图所示：
（3）解：过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，如图所示：
根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，∵点D到直线b的距离为3cm，∴DE＝3cm，∵BD平分∠ABC，DE⊥b，DF⊥l，∴DE＝DF，∴DF＝3cm，∴DP的最小值为3cm．故答案为：3．
【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可；
（2）结合角平分线和平行线的性质求解即可；
（3）过点D作DE⊥b于点E，DF⊥l于点F，根据“垂线段最短”可知，当P，F两点重合时，DP有最小值，再根据角平分线的性质求解即可。
24．（2021七下·于洪期末）如图，△ABC中∠ACB＝90°，将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合（如图②）．
（1）在图①中用尺规作出折痕所在的直线l，保留作图痕迹（不用写作法）；
（2）直线l是线段AC的 线；
（3）设直线l与AB、AC分别相交于点M、N，连接CM，若△CMB的周长是21cm，AB＝14cm，求BC的长．
【答案】（1）解：如图①，
（2）中垂
（3）解：∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AM=CM，
∵△CMB的周长是21cm，AB=14cm，
∴21=CM+BM+BC=AM+BM+CB=AB+BC=14+BC，
∴BC=7cm．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：（2）∵将△ABC沿着一条直线折叠后，使点A与点C重合，
∴AN=NC，∠ANM=∠CNM=90°，
∴直线l是线段AC的中垂线，
故答案为：中垂；
【分析】（1）根据垂直平分线的作图即可得到答案；
（2）由折叠的性质可得AM=CM，即可求出BC的长。
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