初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册 第五章 生活中的轴对称 全章测试卷）
一、单选题
1．（2022七下·历下期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022七下·偃师期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022七下·偃师期末）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
4．（2022七下·历下期末）如图，将沿AC所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，点在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·莱芜期末）如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若，则（ ）
A．28° B．36° C．42° D．46°
6．（2022七下·商河期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
7．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022七下·历下期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与重合，折痕为BD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022七下·张家港期末）如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在ABC所在平面内的点处．若，则的度数为（ ）
A．62.5° B．70° C．65° D．72.5°
10．（2022七下·上虞期末）如图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022七下·章丘期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为 ．
12．（2022七下·文登期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是 ．
13．（2022七下·普宁期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 ．
14．（2022七下·北海期末）如图，在 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
15．（2022七下·西安期末）如图，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，△CDE的顶点E在△ABF的边BF上，点C在BF的延长线上，∠C＝∠B，且CD＝CE，若∠A＝36°，则∠D的度数为 ．
16．（2022七下·长清期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC面积为12，则BM＋MD长度的最小值为 ．
17．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC= ．
18．（2022七下·宁阳期末）如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ．
三、解答题
19．（2022七下·顺德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图法作∠CAB的平分线，交BC于点D（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，求DE的最小值．
20．（2022七下·法库期末）如图，在中，，，，，点D在边上，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点处．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
21．（2022七下·济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝ 度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝ 度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝ 度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
22．（2022七下·绿园期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= ▲ °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数．
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 ．
23．（2022七下·杭州期末）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点.
（1）若，求的度数.
（2）设，.
①请用含的代数式表示.
②当恰好平分时，求的度数.
24．（2022七下·盱眙期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，．
（1）若，则的度数为 °；
（2）设，，
①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围；
②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是 ▲ ；
（3）过点D作//交CE于点F，当时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D选项正确，
不一定成立，故B选项错误，
所以，不一定正确的是B.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质可得AC=A′C′，AA′⊥MN，BO=B′O，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，
由题意得或，
解得或．
，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm.
故答案为：A.
【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由于没有明确的说明那一部分是12cm，所以需要分两种情况列方程组，求出x、y的值，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得底边长.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用翻折的性质可得，，求出，再利用角的运算求出即可。
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图可知，MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝46°，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 46° 46°＝88°，
∴∠CAD＝∠BAC ∠DAB＝88° 46°＝42°，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再利用等边对等角的性质可得∠DAB＝∠B＝46°，∠C＝∠B＝46°，再利用三角的内角和及角的运算求出∠CAD的度数即可。
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为10cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16（cm），
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵DE⊥AB，
∴DE=6cm，
∵∠1=∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=6cm，
∵BC=16cm，
∴BD=10cm．
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD=6cm，再利用线段的和差可得BD=10cm。
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴．
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到。
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠ADE=，∠AED=，
∵，
∴∠ADE+=180°+30°=210°，
∴∠ADE=，
∵，
∴∠AED=180°-105°-20°=55°，
∴=55°，
∴=180°-55°-55°=70°，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，根据角的和差关系求出∠ADE的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AED的度数，即可求出∠CEA'的度数.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形ABCD为长方形，
，
，
由翻折的性质可知：图（2）中，，，
图（3）中，.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=α，由翻折的性质可知∠EFC=180°-α，∠BFC=180°-2α，然后根据∠CFE=∠BFC-∠BFE进行计算.
11．【答案】25
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，，所以不能构成三角形；
当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：25．
【分析】分两种情况：当腰为5时，当腰为10时，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
12．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】当高线在三角形内部时，
根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，
故底角为；
当高线在三角形外部时，
根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，
故底角为；
故答案为：或．
【分析】当高线在三角形内部时，根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，当高线在三角形外部时，根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，分别求解即可。
13．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PQ⊥OM于Q，如图
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA=3，
∴P到OM的距离为3．
故答案为：3．
【分析】作PQ⊥OM于Q，根据角平分线的性质可得PQ=PA=3。
14．【答案】7
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有：①图中1；②图中2；③图中3；④图中4；⑤图中5；⑥图中6；⑦图中7．
如图：
选择的位置共有7处.
故答案为：7.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此找出可以选择的位置.
15．【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∠B=180°-∠A-∠AFB
=180°-36°-90°
=54°，
∴∠C=∠B=54°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∴.
故答案为：63°.
【分析】先根据三角形内角和定理求∠B的度数，则可得出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠D度数即可.
16．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，．
，D为BC的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
17．【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DF，EM分别垂直平分边AB，AC，
∴BF=AF，AM=CM，
∵△AFM的周长为9，
∴AF+FM+AM=9，
∴BF+FM+CM=9，
∴BC=9，
故答案为：9．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BF=AF，AM=CM，再结合AF+FM+AM=9，可得BF+FM+CM=9，最后求出BC的长即可。
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=，
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质，找出规律求出OAn=AnBn= AnAn+1=，再求解即可。
19．【答案】（1）解：如图，AD为所作；
（2）解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
，
又
（AAS）
∴DH＝DC＝2，
∵点E是AB边上的一个动点，
∴DE的最小值为DH的长，即DE的最小值为2．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可。
20．【答案】（1）解：由折叠可得，，
的周长
的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵∴
∴∴∴
∵∴．
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形的周长公式及等量代换可得 的周长，再结合AB=10，可得答案；
（2）先利用三角形的内角和及角的运算求出，再利用可得。
21．【答案】（1）20
（2）35
（3）60
（4）解：，理由如下：如图1，
∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=20°．
故答案为：20．
（2）∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=35°．
故答案为：35．
（3）∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=60°．
故答案为：60．
【分析】由于等腰三角形两个底角相等，可先求出∠B的度数，而∠NMB恰好与∠B互余，则可表示出∠A与∠NMB的数量关系。
22．【答案】（1）①120；
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α．
（2）4
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°．
故答案为：120°．
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4．
故答案为：4．
【分析】（1）①先求出∠AOC=∠AOP，再求出∠BOD=∠BOP，最后计算求解即可；
②先求出 ∠AOC=∠AOP，再求出∠BOD=∠BOP， 最后计算求解即可；
（2）利用轴对称的性质和三角形的周长公式计算求解即可。
23．【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：①由（1）得：，
又，
.
②恰好平分，
.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A′EC=∠B′NC，∠A′MD=∠A′EC，据此解答；
（2）①由（1）得∠A′MD=∠B′NC=α，由折叠及平角的概念可得2∠A′MN+∠A′MD=180°，据此解答；②根据角平分线的概念以及折叠的性质可得∠A′MD=∠A′MN=×180°，据此计算.
24．【答案】（1）125
（2）解：①根据（1）中所求，∠CBA=35°，
∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x°
∵∠BAD=∠BAC
∴∠DAE=180°-2∠BAC
∴y=180-2（145-x）=2x-110
∵点D在CE左侧
∴
∴
即：
解得：
所以，y=2x-110，
②（）
（3）解：①当点D在CE左侧时
∵
∴
∵∠DAE=2∠C-110°，
∴
∴
∴
②当点D在CE右侧时
∵
∴∠C=∠DFC
∵∠DAE=110°-2∠C，∠EFD=180°-∠DFC
∴180°-∠C=3（110°-2∠C）
∴∠C=30°
∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115°
所以，的度数为79°或115°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC沿AB翻折得△ABD
∴∠DBA=∠CBA
∵
∴∠CBA=
∵
∴∠BAC=90°-35°=55°
∴
故答案为：125；
（2）②当点D在CE右侧时，
∵∠BAC=145°-x°
∴
∵点D在CE右侧
∴
∴90°<145°-x°<180°
解得：
∵∠C是三角形的一个内角
∴
∴
所以， （）
【分析】（1）根据翻折图形的性质，求出∠D=∠C-90°，则可求出∠BAC的度数，然后根据邻补角的性质即可解答 ；
（2）①先把∠BAC的度数用含x的代数式表示出来，根据∠DAE=180-2∠BAC，列出表达式即可得y与x的数量关系，当点D在CE左侧，根据 ， 可求出x的取值范围；
②当点D在CE右侧，求出，列出表达式即可得y与x的数量关系，根据90°<∠BAC<180°，将∠BAC的表达式代入即可求出x的范围；
（3）根据（2）中两种情况分别进行讨论，利用平行线的性质定理，结合条件 ∠EFD=3∠DAE列出等式，先求出∠DAE和∠C，从而可以求出∠BAD.
1 / 1初中数学同步训练必刷题（北师大版七年级下册 第五章 生活中的轴对称 全章测试卷）
一、单选题
1．（2022七下·历下期末）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，全面普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2022七下·偃师期末）如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，，BO=B′O，故A、C、D选项正确，
不一定成立，故B选项错误，
所以，不一定正确的是B.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质可得AC=A′C′，AA′⊥MN，BO=B′O，据此判断.
3．（2022七下·偃师期末）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的底边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，
由题意得或，
解得或．
，不能构成三角形，
故等腰三角形的底边长为2cm.
故答案为：A.
【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由于没有明确的说明那一部分是12cm，所以需要分两种情况列方程组，求出x、y的值，然后根据三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得底边长.
4．（2022七下·历下期末）如图，将沿AC所在的直线翻折得到，再将沿所在的直线翻折得到，点在同一条直线上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由翻折的性质可知：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】利用翻折的性质可得，，求出，再利用角的运算求出即可。
5．（2022七下·莱芜期末）如图，在中，，分别以点A、点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN分别交BC、AB于点D和点E，若，则（ ）
A．28° B．36° C．42° D．46°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据作图可知，MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝46°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝46°，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 46° 46°＝88°，
∴∠CAD＝∠BAC ∠DAB＝88° 46°＝42°，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再利用等边对等角的性质可得∠DAB＝∠B＝46°，∠C＝∠B＝46°，再利用三角的内角和及角的运算求出∠CAD的度数即可。
6．（2022七下·商河期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=6cm，且△ABD的周长为10cm，则△ABC的周长为（ ）
A．6cm B．10cm C．13cm D．16cm
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∵△ABD的周长为10cm，
∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=10cm，
∵AC=6cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=10+6=16（cm），
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD=DC，再利用三角形的周长公式及等量代换可得答案。
7．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=16cm，点D到AB的距离为6cm，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵DE⊥AB，
∴DE=6cm，
∵∠1=∠2，
∴AD是∠CAB的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=6cm，
∵BC=16cm，
∴BD=10cm．
故答案为：D．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD=6cm，再利用线段的和差可得BD=10cm。
8．（2022七下·历下期末）如图所示，将一张长方形纸片斜折过去，使顶点A落在处，BC为折痕，然后再把BE折过去，使之与重合，折痕为BD，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴．
故答案为：D
【分析】根据折叠的性质可得，再利用角的运算求出，即可得到。
9．（2022七下·张家港期末）如图，在三角形纸片ABC中，．将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在ABC所在平面内的点处．若，则的度数为（ ）
A．62.5° B．70° C．65° D．72.5°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得∠ADE=，∠AED=，
∵，
∴∠ADE+=180°+30°=210°，
∴∠ADE=，
∵，
∴∠AED=180°-105°-20°=55°，
∴=55°，
∴=180°-55°-55°=70°，
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，根据角的和差关系求出∠ADE的度数，再根据三角形内角和定理求出∠AED的度数，即可求出∠CEA'的度数.
10．（2022七下·上虞期末）如图（1）是一段长方形纸带，，将纸带沿折叠成图（2），再沿折叠成图（3），则图（3）中的的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形ABCD为长方形，
，
，
由翻折的性质可知：图（2）中，，，
图（3）中，.
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质可得∠BFE=∠DEF=α，由翻折的性质可知∠EFC=180°-α，∠BFC=180°-2α，然后根据∠CFE=∠BFC-∠BFE进行计算.
二、填空题
11．（2022七下·章丘期末）等腰三角形的一边长为，另一边长为，则该等腰三角形的周长为 ．
【答案】25
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为5时，，所以不能构成三角形；
当腰为10时，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：25．
【分析】分两种情况：当腰为5时，当腰为10时，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
12．（2022七下·文登期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】当高线在三角形内部时，
根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，
故底角为；
当高线在三角形外部时，
根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，
故底角为；
故答案为：或．
【分析】当高线在三角形内部时，根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，当高线在三角形外部时，根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，分别求解即可。
13．（2022七下·普宁期末）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则点P到射线OM的距离是 ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：作PQ⊥OM于Q，如图
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ=PA=3，
∴P到OM的距离为3．
故答案为：3．
【分析】作PQ⊥OM于Q，根据角平分线的性质可得PQ=PA=3。
14．（2022七下·北海期末）如图，在 的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有 处．
【答案】7
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有：①图中1；②图中2；③图中3；④图中4；⑤图中5；⑥图中6；⑦图中7．
如图：
选择的位置共有7处.
故答案为：7.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此找出可以选择的位置.
15．（2022七下·西安期末）如图，在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，△CDE的顶点E在△ABF的边BF上，点C在BF的延长线上，∠C＝∠B，且CD＝CE，若∠A＝36°，则∠D的度数为 ．
【答案】63
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∠B=180°-∠A-∠AFB
=180°-36°-90°
=54°，
∴∠C=∠B=54°，
∵CD=CE，
∴∠D=∠CED，
∴.
故答案为：63°.
【分析】先根据三角形内角和定理求∠B的度数，则可得出∠C的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠D度数即可.
16．（2022七下·长清期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC面积为12，则BM＋MD长度的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，．
，D为BC的中点，
根据等腰三角形三线合一的性质，
，
，
，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
17．（2022七下·东港期末）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC= ．
【答案】9
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DF，EM分别垂直平分边AB，AC，
∴BF=AF，AM=CM，
∵△AFM的周长为9，
∴AF+FM+AM=9，
∴BF+FM+CM=9，
∴BC=9，
故答案为：9．
【分析】根据垂直平分线的性质可得BF=AF，AM=CM，再结合AF+FM+AM=9，可得BF+FM+CM=9，最后求出BC的长即可。
18．（2022七下·宁阳期末）如图，已知∠MON=30点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=1，则△A2021B2021A2022的边长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠A1B1A2=60°，A1B1= A1A2，
∵∠MON=30°，
∴∠A1B1O=30°，
∴△OA1B1为等腰三角形，
∴A1B1= OA1，
∴A1B1= A1A2= OA1，
∵OA1=1 ，
同理可知△OA2B2为等腰三角形，
∴OA2 =A2B2= A2A3=2，
同理可知△OA3B3为等腰三角形，
∴OA3 =A3B3= A3A4=，
同理可知△OA4B4为等腰三角形，
∴OA4 =A4B4= A4A5=，
依次类推：OAn=AnBn= AnAn+1=，
∴△A2021B2021A2022的边长为：=，
故答案为：．
【分析】利用等边三角形的性质，找出规律求出OAn=AnBn= AnAn+1=，再求解即可。
三、解答题
19．（2022七下·顺德期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）用尺规作图法作∠CAB的平分线，交BC于点D（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）在（1）的条件下，若CD＝2，点E是AB边上的一个动点，连接DE，求DE的最小值．
【答案】（1）解：如图，AD为所作；
（2）解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
，
又
（AAS）
∴DH＝DC＝2，
∵点E是AB边上的一个动点，
∴DE的最小值为DH的长，即DE的最小值为2．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质求解即可。
20．（2022七下·法库期末）如图，在中，，，，，点D在边上，将沿折叠，使点A恰好落在边上的点处．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：由折叠可得，，
的周长
的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵∴
∴∴∴
∵∴．
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形的周长公式及等量代换可得 的周长，再结合AB=10，可得答案；
（2）先利用三角形的内角和及角的运算求出，再利用可得。
21．（2022七下·济南期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AB边的垂直平分线交直线BC于M，交AB于点N．
（1）如图（1），若∠A＝40°，则∠NMB＝ 度；
（2）如图（2），若∠A＝70°，则∠NMB＝ 度；
（3）如图（3），若∠A＝120°，则∠NMB＝ 度；
（4）由（1）（2）（3）问，你能发现∠NMB与∠A有什么关系？写出猜想，并证明．
【答案】（1）20
（2）35
（3）60
（4）解：，理由如下：如图1，
∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=20°．
故答案为：20．
（2）∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=35°．
故答案为：35．
（3）∵AB＝AC，
∴，
又∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=180°-∠BNM-∠B=60°．
故答案为：60．
【分析】由于等腰三角形两个底角相等，可先求出∠B的度数，而∠NMB恰好与∠B互余，则可表示出∠A与∠NMB的数量关系。
22．（2022七下·绿园期末）如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．
（1）①若∠AOB=60°，则∠COD= ▲ °；
②若∠AOB=α，求∠COD的度数．
（2）若CD=4，则△PMN的周长为 ．
【答案】（1）①120；
②∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2α．
（2）4
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】（1）①∵点C和点P关于OA对称，
∴∠AOC=∠AOP．
∵点P关于OB对称点是D，
∴∠BOD=∠BOP，
∴∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=2×60°=120°．
故答案为：120°．
（2）根据轴对称的性质，可知CM=PM，DN=PN，
所以△PMN的周长为：PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD=4．
故答案为：4．
【分析】（1）①先求出∠AOC=∠AOP，再求出∠BOD=∠BOP，最后计算求解即可；
②先求出 ∠AOC=∠AOP，再求出∠BOD=∠BOP， 最后计算求解即可；
（2）利用轴对称的性质和三角形的周长公式计算求解即可。
23．（2022七下·杭州期末）如图1，将长方形纸片沿折叠得到图2，点，的对应点分别为点，，折叠后与相交于点.
（1）若，求的度数.
（2）设，.
①请用含的代数式表示.
②当恰好平分时，求的度数.
【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：①由（1）得：，
又，
.
②恰好平分，
.
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠A′EC=∠B′NC，∠A′MD=∠A′EC，据此解答；
（2）①由（1）得∠A′MD=∠B′NC=α，由折叠及平角的概念可得2∠A′MN+∠A′MD=180°，据此解答；②根据角平分线的概念以及折叠的性质可得∠A′MD=∠A′MN=×180°，据此计算.
24．（2022七下·盱眙期末）已知，点A在射线CE上，把沿AB翻折得，．
（1）若，则的度数为 °；
（2）设，，
①如图1，当点D在直线CE左侧时，求y与x的数量关系，并写出x的取值范围；
②如图2，当点D在直线CE右侧时出y与x的数量关系是 ▲ ；
（3）过点D作//交CE于点F，当时，求的度数．
【答案】（1）125
（2）解：①根据（1）中所求，∠CBA=35°，
∴∠BAC=180°-35°-x°=145°-x°
∵∠BAD=∠BAC
∴∠DAE=180°-2∠BAC
∴y=180-2（145-x）=2x-110
∵点D在CE左侧
∴
∴
即：
解得：
所以，y=2x-110，
②（）
（3）解：①当点D在CE左侧时
∵
∴
∵∠DAE=2∠C-110°，
∴
∴
∴
②当点D在CE右侧时
∵
∴∠C=∠DFC
∵∠DAE=110°-2∠C，∠EFD=180°-∠DFC
∴180°-∠C=3（110°-2∠C）
∴∠C=30°
∴∠BAD=∠BAC=145°-30°=115°
所以，的度数为79°或115°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC沿AB翻折得△ABD
∴∠DBA=∠CBA
∵
∴∠CBA=
∵
∴∠BAC=90°-35°=55°
∴
故答案为：125；
（2）②当点D在CE右侧时，
∵∠BAC=145°-x°
∴
∵点D在CE右侧
∴
∴90°<145°-x°<180°
解得：
∵∠C是三角形的一个内角
∴
∴
所以， （）
【分析】（1）根据翻折图形的性质，求出∠D=∠C-90°，则可求出∠BAC的度数，然后根据邻补角的性质即可解答 ；
（2）①先把∠BAC的度数用含x的代数式表示出来，根据∠DAE=180-2∠BAC，列出表达式即可得y与x的数量关系，当点D在CE左侧，根据 ， 可求出x的取值范围；
②当点D在CE右侧，求出，列出表达式即可得y与x的数量关系，根据90°<∠BAC<180°，将∠BAC的表达式代入即可求出x的范围；
（3）根据（2）中两种情况分别进行讨论，利用平行线的性质定理，结合条件 ∠EFD=3∠DAE列出等式，先求出∠DAE和∠C，从而可以求出∠BAD.
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