第一章《三角形的证明》检测题（1）
一、选择题
1.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设 ( )
A.a∥b B.a与b垂直
C.a与b不一定平行 D.a与b相交
2.有公路l2同侧、l1异侧的两个村庄 ( http: / / www.21cnjy.com )A,B,如图.高速公路管理处要建一处服务区,按照设计要求,服务区到两个村庄A,B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,符合条件的服务区C有 ( )
A.4处 B.3处 C.2处 D.1处
3.如图,D是线段AC,AB的垂直平分线的交点,若
∠ACD=30°,∠BAD=50°,则∠BCD的大小是 ( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
4.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于点D.若BC=a,则AD等于 ( )
A.a B.a C.a D.a
5.将一个有45°角的三角板的直角顶点放在 ( http: / / www.21cnjy.com )一张宽为3cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,如图,则三角板的最大边的长为 ( )
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A.3cm B.6cm C.3cm D.6cm
6.如图在直角三角形ABC中,∠BAC=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为( )
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A.16 B.15 C.14 D.13
7.如图,△ABC中,∠ABC,∠ACB外角的平分线相交于点F,连接AF,则下列结论正确的有 ( )
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A.AF平分BC B.AF平分∠BAC
C.AF⊥BC D.以上结论都正确
二、填空题
8.如图,已知AB∥CD,AB=AC,∠ABC=68°,则∠ACD= .
9.如图,一船上午9时从海岛A出发,以 ( http: / / www.21cnjy.com )20海里/时的速度向正北方向航行,11时到达B处,从A,B两处分别望灯塔C,测得∠NAC=32°,∠NBC=64°,从B处到灯塔C的距离是 .
10.如图所示,AB=DB,∠ABD=∠CBE,请你添加一个适当的条件 ,使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可)
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11.如图,△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线l与AC相交于点D,则△ABD的周长为
cm.
12.如图,已知△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,若△ABC与△EBC的周长分别是21cm、13cm,则AC= cm.
三、解答题
13.如图,已知△ABC中,AB=AC ( http: / / www.21cnjy.com ),D,E分别是AB和BC上的点,连接DE并延长与AC的延长线交于点F,若DE=EF,求证:BD=CF.
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14.已知:如图,AB=AC,BD=CD.求证:AD⊥BC.
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15. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD是高,AM是△ABC外角∠CAE的平分线.
(1)用尺规作图方法,作∠ADC的平分线DN.(保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)设DN与AM交于点F,判断△ADF的形状.(只写结果)
16.两个全等的含30°,6 ( http: / / www.21cnjy.com )0°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME,MC.试判断△EMC的形状,并说明理由.
( http: / / www.21cnjy.com )【学习内容】角平分线（2）
【学习目标】
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
一、前置准备：
三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？
二、自主学习P30例题，写出过程：
已知：
求证：
总结定理：
三角形的三条角平分线交于 点，并且这一点到三条边的距离 。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S= 。
Ⅱ、预习自测：
1、已知：△ABC中，BP、CP分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 。
2、到三角形三边距离相等的点是（ ）
A、三条中线的交点； B、三条高的交点；
C、三条角平分线的交点； D、不能确定
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
已知：CD=4cm,求AC长
求证：AB=AC+CD
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、到一个角的两边距离相等的点在 。
2、△ABC中，∠C=900, ∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:DC=4:3,则D到AB的距离为 .
3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC
于E，AB=8cm，则DE+DC= cm。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为 。
5 、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是 。
6、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD
求证：BE=BF
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置。
2.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上.
3. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使 CE ＝ CD．
求证：BD ＝ DE．
五、（本题11分）
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：【学习内容】线段的垂直平分线（2）
【学习目标】
1、能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；
2、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。
3、已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
Ⅱ、预习自测：
1、等腰三角形的顶点一定在 上。
2、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是 。
3、在△ABC中,AB=AC, ∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC= .
4已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。
A B
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
探究一：
（1）请你通过折叠的方法找出一个锐角三角形纸片每条边的垂直平分线。观察这三条垂直平分线,你发现了什么
（2）请你用利用尺规作出钝角三角形三条边的垂直平分线。再观察这三条垂直平分线,你又发现了什么
（3）请证明三角形三边的垂直平分线交于一点
证明：如图，在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP。
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
结论：
锐角三角形的三边垂直平分线的交点在 内；
直角三角形的三边垂直平分线的交点在 ；
钝角三角形的三边垂直平分线的交点在 外；
探究二：
1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？
2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
Ⅱ、自主展示（15′）
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
如图，有A、B、C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置（要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A、三角形三条角平分线的交点；
B、三角形三条垂直平分线的交点；
C、三角形三条中线的交点；
D、三角形三条高的交点。
2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（ ）
A、锐角三角形； B、直角三角形；
C、钝角三角形； D、不能确定
3、等腰 Rt△ABC中，AB=AC,B ( http: / / www.21cnjy.com )C=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是 。
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4、如图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，
则△_____≌△______(HL)；从而BD=DC，
则△_______≌△_______(SAS)；△ABC是__________三角形.
5、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠ADB=__________°.
6、如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知△BCE的周长为8，AC－BC=2，求AB与BC的长.
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
已知：如图，Rt△ABC中，∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB=900, ∠BAC=600,DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段。
如图，已知：在，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD。求证：AF=FG
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【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
B
C
A
B
C【学习内容】等腰三角形（3）
【学习目标】
1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明。
2、结合实例体会反证法的含义。
3、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
1、等腰三角形性质定理：
(1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ．
(2) 三线合一：即
．
2、等腰三角形的判定：
(1)有 相等的三角形是等腰三角形．
(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ．
3、自主学习P8例2的证明过程，体会证明的严密性。
4、写出反证法的定义
Ⅱ、预习自测：
1、已知：如图，AB=AD， CB=CD，E，F分别是AB，AD的中点.求证：CE=CF .
2、用反证法证明：“任意三角形中不能有两个内角是钝角”的第一步：假设
.
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？
请证明：等腰三角形判定定理:
有两个 相等的三角形是等腰三角形
（简称：等 对等 ）
已知：在△ABC中，∠B＝∠C，证明:AB＝AC，
例2 、．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
请同学们阅读课本P8“想一想”，这一结论成 ( http: / / www.21cnjy.com )立吗？你能证明吗？若不会证明，请看课本小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？若不同应称 法.
证明步骤：
1、假设 不成立。
2、从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与
、 、 或 相矛盾的结果。
3、由矛盾的结果判定 ，从而肯定
正确。
Ⅱ、自主展示（15′）
1、在△ABC和△DCB中，AC与BD交于O, AB＝DC , AC＝BD,求证：△OBC是等腰三角形。
2、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。
已知：
求证：
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、已知如图，△ABC中AB＝AC，点D、E在BC上，∠BAD＝∠CAE，求证：△ADE是等腰三角形。
2、用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°。
已知：
求证：
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、如图：下午14：00时，一条船从处出发， ( http: / / www.21cnjy.com )以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.
2、已知：如图，△ABC中，D在AB上，E在AC延长线上，且BD＝CE，DE交BC于M，MD＝ME，求证：△ABC是等腰三角形．
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
B
C
A
B
D
E
C【学习内容】直角三角形（1）
【学习目标】
1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；
3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
（1）、直角三角形的两个锐角 ；
有两个角 的三角形是直角三角形
(2)、勾股定理的内容是： ________________
________________ __ ;
它的条件是：________________ ____;
结论是：______________________________ .
(3)、将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：________________
________________ __
;
Ⅱ、预习自测：
1、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（ ）
①8、15、17 ②4、5、6、 ③7.5、4、8.5
④ 24、25、7 ⑤ 5、8、10
A、①②④ B、②④⑤
C、①③⑤ D、①③④
2、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边为 。
3、已知直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为________，斜边上的高为_________.
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
已知：在△ABC中，AB2+AC2=BC2
求证：△ABC是直角三角形.
得出定理：如果三角形两边的__________等于______ ____，那么这个三角形是直角三角形.
观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系？
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等.
如果两个角相等，那么它们 是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧.
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）三角形中相等的边所对的角相等.
三角形中相等的角所对的边相等.
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个 ( http: / / www.21cnjy.com )命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________，其中一个命题称为另一个命题的_________ .
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
阅读课本P18“想一想”，回答下列问题：
一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？
什么是互逆定理？
是否任何定理都有逆定理？
④ 思考我们学过哪些互逆定理？
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、判断题
（1）每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理.（ ）
（2）命题正确时其逆命题也正确.（ ）
（3）直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5.（ ）
2、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）
A、两底角相等的两个三角形是等腰三角形.
B、全等三角形的对应角相等.
C、两直线平行，内对角相等.
D、直角三角形两锐角互等.
3、命题：等腰三角形两腰上的高相等.
逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
.
4、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
A、五边形是多边形.
B、两直线平行，同位角相等.
C、如果两个角是对顶角，那么它们相等.
D、如果ab=0，那么a=0，b=0.
5、公园中景点A、B间相距50M，景点A、C间相距40M，景点B、C间相距30M，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、用四个全等的直角三角形拼成了一个如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示的图形，其中a表示较短，直角三角形，b表示较长的直角边，c表示斜边，你能用这个图形证明勾股定理吗？
2、如图，铁路上A、B两点，（视为直线上两点 ( http: / / www.21cnjy.com )）相距25KM。C、D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15KM，CB=10KM，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多远的地方？
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：【学习内容】等腰三角形（2）
【学习目标】
1、学会证明等腰三角形中有关相等的线段。
2、理解等边三角形是特殊的等腰三角形，推导等边三角形的性质。
3、进一步体会命题证明的方法。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
1、前置准备：
（1）等腰三角形的性质是什么？
（2）等腰三角形的一个内角为700，则顶角为 。
（3）等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角顶角为 。
2、画三个等腰三角形，分别作出一些的线段（底角的平分线、腰上的中线、腰上的高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？
Ⅱ、预习自测：
1、已知，等腰三角形的一条边长等于，另一条边长等于，则此等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．或
2. 等腰三角形的一个角是80度，则它的另两个角是
3、等腰三角形的顶角为120°，腰长为4，则底边长为__________
4、等腰三角形底边上的高为18，一腰上的中线长为15，则等腰三角形的面积为
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
探究一：1、等腰三角形两底角的平分线相等吗？
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线。求证：BD＝CE。
得出定理： 。
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。
结论：
2、（1）在等腰三角形ABC中，⑴如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB，那么BD＝CE吗？
如果∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACB呢？由此你能得到一个什么结论？你能说明理由吗？
⑵如果AD＝AC，AE＝AB，那么BD＝CE吗？如果AD＝AC，AE＝AB呢？由此你能得到一个什么结论？你能说明理由吗？
探究二：我们知道等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？与同伴交流，由此得到什么结论？
请证明：等边三角形的三个内角相等，且每个内角都等于60°
已知：在△ABC中，AB＝AC=BC，求证：∠A=∠B＝∠C，
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、下列命题中，真命题是( )
A、等腰三角形的角平分线，中线和高线重合. B、等腰三角形一定是锐角三角形.
C、若三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
D、等腰三角形两角相等.
2、在等腰△ABC中，∠A=90°，在底边BC上截取BD=AC，作DE⊥BC交AC于E点，则图中等腰三角形有( )
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D、 4个
3、已知：如图，在△ABC中，AB=AC, ∠BAC=1200, D、E是BC上两点，且AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是
三角形。
4、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，MN∥BC，若AB=12，AC=18，BC=24，则△AMN的周长为（ ）
A、30 B、36 C、39 D、 42
5、在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD、CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有 个等腰三角形。
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
E
D
B
C
1
2
A
B
C【学习内容】直角三角形（2）
【学习目标】
1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
2利用“HL’’定理解决实际问题
3、通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说理方法.
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
1、阅读教材P18-P20内容。
2、写出学过三角形全等的证明方法：
3、回忆基本作图的方法
做一条线段等于已知线段
做一个角等于已知角
Ⅱ、预习自测：
1．判断：如图，具有下列条件的Rt△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝Rt∠）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C （ ）
（3）AB＝A′B′，∠B＝∠B′ （ ）
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ ）
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
阅读课本p18----19页，完成下面问题
仿照小明的做法，作出Rt△ABC;作出后同桌间比较所作的直角三角形是否全等
实验操作，
例1．如图，已知线段、（）。画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，一直角边CB＝，斜边AB＝。
阅读课本后，独立完成定理的证明，同桌之间相互纠错
判定两个直角三角形全等的公理：
斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
议一议：如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.
Ⅱ、自主展示（15′）
自学P20例题
例题：已知：如图，AC=DF，BF=CE，AB⊥BF，DE⊥BE，垂足分别为B，E． 求证：AB=DE
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
（1）“HL”公理是仅适用于 的特殊方法。因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”外，还可以使用“HL”。
（2）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△，然后证明斜边和一直角边对应相等。
书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（ ）
A、两条直角边对应相等的两个直角三角形。
B、两条锐角边对应相等的两个直角三角形。
C、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。
D、有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。
2、下列命题是真命题的有（ ）
（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )全等。 （2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。 （4）有两条边相等的两个直角三角形全等。 （5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（6）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
A、6个 B、5个 C、4个D、3个
3、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,
∠BAD=______.
4、四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，则四边形ABCD的面积________。
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、已知：如图，在△ABC和 ( http: / / www.21cnjy.com )△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。求证：△ABC≌△A′B′C′
2、如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD．
求证：BE⊥AC．
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
B′
A
A′
B
C
C′
A
B
D
F
C
E
A
B
D
C
C
A
D
B
B′
D′
C′
A′
A
B
C
D
E
F
（第2题）【学习内容】角平分线（1）
【学习目标】
1、通过学分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；
2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；
3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
一、前置准备
角平分线的定义：_______________________
二、自主学习：
问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？
定理归纳：
问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？
定理归纳：
Ⅱ、预习自测：
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明。
Ⅱ、自主展示（15′）
如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，求证BE=CF
[解析]要证BE=CF，只需证△ADE≌△FDC
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、如图在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，
PS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR，②QP∥AR，
③△BRP≌△QSP中（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确
C、仅①正确 D、仅①和③正确。
2、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM， BD：DC：=4：3，则点D到AB的距离为___________。
3、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平 ( http: / / www.21cnjy.com )分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（ ）
A、PD=PE B、OD=OE
C、∠DPO=∠EPO D、PD=OD
如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足
为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确
的是（ ）
A、△AEG≌△AFG B、△AED≌△AFD
C、△DEG≌△DFG D、△BDE≌△CDF
3、△ABC中, ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，
则∠OAC=______°
4、与相交的两直线距离相等的点在（ ）
A、一条直线上 B、一条射线上
C、两条互相垂直的直线上 D、以上都不对
5、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2cm，则M到OB的距离为____________。
6、在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。
7、如图在两条交叉的公路L1 ( http: / / www.21cnjy.com )与L2之间有两家工厂A、B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试。
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：【学习内容】§等腰三角形的性质（1）
【学习目标】
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
1、 前置准备：请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、 列举我们已知道的公理：、
（1）公理：同位角 ，两直线平行。
（2）公理：两直线 ，同位角 。
（3）公理： 的两个三角形全等。（简称 ，字母表示 ）
（4）公理： 的两个三角形全等。 （简称 ，字母表示 ）
（5）公理： 的两个三角形全等。（简称 ，字母表示 ）
（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。
Ⅱ、预习自测：
已知如图，△ABC中AB＝AC，点D、E在BC上且AD=AE，求证：BD=CE
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
探索一：三角形全等的判定
判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？ 推论:
（简写为 ）
你能证明吗？
已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求证：△ABC≌△DEF
探索二：等腰三角形的性质定理
1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，
求证：∠B＝∠C
2、推论：等腰三角形的顶角的 ( http: / / www.21cnjy.com ) 、底边上的 、底边上的 互相重合（简称： ）
3、请证明：
推论2：等边三角形的三个角都是 ，并且每个角都等于 。
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、在△ABC和△DEF中，以下四个命题中假命题是（ ）
A、由AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，可判断△ABC≌△DEF；
B、由∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，可判断△ABC≌△DEF；
C、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判断△ABC≌△DEF；
D、由∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，可判断△ABC≌△DEF。
2、下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）
A、各有一个角是550的两个等腰三角形；
B、两个等边三角形；
C、腰长相等的两个等腰直角三角形；
D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.
3、如图，已知：∥，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，
下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（ ）
A、∠A=∠B ; B、BF=CE;
C、AE∥DF; D、AE=DF.
4、若等腰三角形中有一个角等于50°，则等腰三角形的顶角度数为 。
5、如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，判断AD是△ABC的中线还是角平分线？
说明你的理由。
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、（1）某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为 。
（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为 。
2、如图1线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件 ，使△OAB≌△OCD
3、如图2，△ABC中AB＝AC，点Ｄ在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为
4、已知等腰三角形的两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为
5、如图3，A、B、F、D在同一直线上，AB=DF，AE=BC，且AE∥BC。
求证：⑴△AEF≌△BCD，
⑵EF∥CD
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
B
D
E
C
A
B
E
D
F
C
A
B
C
D
图2
D
C
O
A
B
图1
A
B
F
D
E
C
图3【学习内容】线段的垂直平分线（1）
【学习目标】
1、经历探索、猜想、证明”的过程，进一步发展推理证明意识和能力.
2、能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理.
3、能够用尺规作已知线段的垂直平分线.
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
1、什么是线段的垂直平分线？
2、你会画线段的垂直平分线吗？
Ⅱ、预习自测：
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的任意一点。
求证：PA=PB。
定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离 。
Ⅱ、自主展示（15′）
想一想：你能写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请证明。
逆命题：
已知：
求证：
定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的 上。
做一做：用尺规作出已知线段AB的垂直平分线CD（不要求写作法）
CD为什么是线段AB的垂直平分线？
思考：用尺规作图能确定已知线段的中点吗？
Ⅲ、质疑点拨（5′）
如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E
求证：（1）∠EAD=∠EDA ;
（2）DF∥AC
（3）∠EAC=∠B
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、已知：线段AB及一点P，PA=PB，则点P在 上。
2、已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于D则∠ADC= 。
3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于D则∠DBC的度数 。
4、△ABC中，DE、FG分别是边 ( http: / / www.21cnjy.com )AB、AC垂直平分线，则∠B ∠BAE， ∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= 。
5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB，则△BCD的周长是 。
6、有特大城市A及两个小城市B、C， ( http: / / www.21cnjy.com )这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到污水处理厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
7、如图，已知AB是线段CD的垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm,那么ED= cm；如果∠ECD=600，那么∠EDC= ∠B=300
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，△BCD的周长等于50，求BC的长。
2、已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C的度数。
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
M
P
A
B
C
N
M
C
A
B
D
N
A
B
A
E
C
D
B【学习内容】 复习三角形的证明
【学习目标】
1、梳理本章知识，建立知识框架，提高对所学知识的综合应用能力。
2、进一步规范证明过程，理解“综合法”和“反证法”。提高学生分析问题，解决问题的能力。
【课前预习】
Ⅰ、基础回顾：
证明一般三角形全等的方法：
简称：“SAS”、
简称：“ASA”、
简称：“AAS”、
简称：“SSS”
判定两个直角三角形全等的公理：
简称：“HL”
等腰三角形的性质和判定
1.定义:有 相等的三角形叫做等腰三角形,其中 相等的三角形叫做等边三角形.
2.等腰三角形的性质
(1) . 简称：等边对等角.
(2)
三线合一.
(3)等腰三角形的性质还有:等腰三角形两腰上的 相等,两腰上的 相等,两底角的
也相等.
3.等腰三角形的判定
(1)有 相等的三角形.
(2)
简称：等角对等边.
4.等边三角形
(1)性质:等边三角形的每个内角都是 ,
边都相等;
(2)判定:
①有 个角相等的三角形是等边三角形;
②有一个角是60度的 三角形是等边三角形.
直角三角形的性质和判定
一、直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角 .
2.勾股定理:直角三角形 平方和等于 的平方.
3.直角三角形斜边上的中线等于 的一半.
4.直角三角形中30°角所对的直角边等于
的一半.
5.直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于 .
二、直角三角形的判定
1.有一个角是 的三角形是直角三角形.
2.有两个角 的三角形是直角三角形.
3.勾股定理的逆定理:如果
,那么这个三角形是直角三角形.
线段的垂直平分线和角的平分线
1.线段的垂直平分线
(1)性质:线段垂直平分线上的点到
相等;
三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,并且这点到 的距离相等.
(2)判别:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的 线上.
2.角的平分线
(1)性质:角平分线上的点到 相等;三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到 的距离相等.
(2)判别:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在 线上
尺规作图的应用
1.用尺规作线段的垂直平分线的三个应用
(1)确定到两点或三点距离相等的点的位置.
(2)确定线段的中点.
(3)过一点作已知直线或线段的垂线.
互逆命题和互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的 和
分别是另一个命题的 和 ，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
一个命题是真命题，它的逆命题 ( http: / / www.21cnjy.com ) 是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是 命题，那么它也是一个 ，这两个定理称为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。
Ⅱ、预习自测：
1.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD,若BD
=1,则AC的长是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.4
2.如图,BD是∠ABC的平分线,P为BD上的一点,PE⊥BA于点E,PE=4cm,则点P到边BC的距离为 cm
3.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,∠ADE=48°,则下列结论中不正确的是 ( )
A.∠B=48° ∠AED=66°
C.∠A=84° D.∠B+∠C=96°
4.等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 .
5.用反证法证明“若a⊥c,b⊥c,则a∥b”,第一步应假设 ( )
A.a∥b B.a与b垂直
C.a与b不一定平行 D.a与b相交
6、若等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角为 .
7、如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）
A．AB＝AC B．BD＝CD
C．∠B＝∠C
D．∠ BDA＝∠CDA
8、一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
9、命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个 ( http: / / www.21cnjy.com )端点的距离相等”的条件是 ，结论是 。
10、等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）
A． 20° B． 50° C． 60° D． 80°
11、在Rt△ABC中∠C=90度 ,∠B=2 ∠A，AB=6cm，则BC=________.
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
1.已知: AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.
求证:BC＝DE.
2.已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD． 求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
3.DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．
求证：△BCD≌△EAB．
4.已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线 求证：BD=CE．
5.如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
6、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：
（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
7、已知如图，A、E、F、C四点共线，
BF=DE， AB=CD.
⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；
⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.你能说明BE与DF相等吗？
2、如图，△ABC中，D是BC边的中点, AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：（1）DE= DF；（2）∠B =∠C．
3、如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，且BE=CE，则AB=AC，说明理由．
4、（1）如图1，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过点F作DF∥BC，求证：BD=DF．
（2）如图2，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？并证明这种关系．
（3）如图3，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的外角平分线CF相交于F，过点F作DE∥BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E．那么BD，CE，DE之间存在什么关系？请写出你的猜想．并证明。
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F
（第2题）
A
B
C
D
E
F第一章《三角形的证明》测试题（2）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A． BD=CE B．AD=AE
C．DA=DE D． BE=CD
2．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A． 5 B． 7 C． 5或7 D． 6
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B． 15 C12或15 D．18
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B. BC=EC，AC=DC
C． BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A． 1 B． 2 C．3 D．4
6．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A． AB=AD B．AC平分∠BCD
C． AB=BD D．△BEC≌△DEC
7．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是（ ）
A． P是∠A与∠B两角平分线的交点
B． P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C． P为AC、AB两边上的高的交点
D． P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线， ( http: / / www.21cnjy.com )DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A． 4 B． 3 C． 6 D． 5
二．填空题
9、如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为
cm．
( http: / / www.21cnjy.com )
10．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC= °．
11、如图所示，AB=DB，∠ABD=∠C ( http: / / www.21cnjy.com )BE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
12．如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为
cm．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 ．
14．如图，△ABC的三边AB、BC、CA ( http: / / www.21cnjy.com )长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=
15．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
( http: / / www.21cnjy.com )
17、如图，BE=CF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC．
求证：（1）Rt△BED≌Rt△CFD；
（2）AD是∠BAC的平分线．
( http: / / www.21cnjy.com )【学习内容】等腰三角形（4）
【学习目标】
1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明.
2、将探索、发现、猜想、证明有机结合起来，使数学思维的创造性和严谨性协调发展.
【课前预习】
Ⅰ、预习指导：
已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.
2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系.
Ⅱ、预习自测：
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.
已知：在△ABC中，AB=AC，则∠B＝60°。
求证：△ABC是等边三角形。
得出定理：有一个角是 的 三角形是等边三角形.
【师生探究】
Ⅰ、合作探究：（10′）
做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由。
根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.
得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的 .
练一练
应用：等腰三角形的底边为150，腰长为2a，求腰上的高.
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形.
Ⅱ、自主展示（15′）
Ⅲ、质疑点拨（5′）
Ⅳ、总结归纳（5′）
【当堂检测】（10′）
Ⅰ、课时自测：
1、等腰三角形的底边等于150，腰长 ( http: / / www.21cnjy.com )为20，则这个三角形腰上的高是 .等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为_______
2、在Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠A =300,
CD⊥AB,BD=1,则AB= .
3、在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点， DE⊥AC,则AE:EC= .
4、如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一
条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中
点D处，则∠A= .
5、在Rt△ABC中，∠C=300,AD⊥BC,你能看出BD与BC的大小关系吗？试着证明.
Ⅱ、拓展延伸：（课后完成）
1、已知：如图，△ABC中，BD⊥AC,DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.
2、如图1-8，在△ABC中，已知AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高，求CD的长。
【二次备课】：
【布置作业】：
【教学反思】：
A
B
C
