9.2.1复数的几何意义（第1课时）教学课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）
第 9 章 复数
９．２ 复数的几何意义 （第1课时）
１ 复平面与复数的坐标表示
复数a＋bi（a、b∈R）一一对应于有序实数对（a，b），而有
序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点Z（a，b）又是一一对应
的．因此，可以用平面直角坐标系中的点Z（ a， b ）表示复数 Z ＝
a＋bi。
如图9-2-1，在平面上建立直角坐标系，以坐标为（a，b）的
点 Z 表示复数 z ＝ a ＋ b i，就可在平面上的点的集合与复数集合
之间建立一个一一对应．这样用来表示复数的平面叫做复平面
在复平面上，x轴上的点具有（a，０）形式的坐标，从而对应
的都是实数，所以把 x 轴叫做实轴（real axis）；同理，狔轴上的
点（除坐标原点外）都对应纯虚数，所以把 y 轴叫做虚轴
（imaginary axis）．坐标原点表示实数０。
如图9-2-2，共轭复数z＝a＋bi和 ＝a－bi（a、b∈R）在复
平面上所对应的点Z（a，b）和犣Z（a，－b）关于x轴对称；反之，
如果复平面上的两个点关于 x 轴对称，那么这两个点所对应的复
数互为共轭．特别地，如果b＝０，即z是实数，则 ，此时
z、 在复平面上所对应的点是位于实轴上的同一点．
例１ 在复平面上有点A（2,0）、B（0，－1）、C（－2,3）、
D（4,－3），分别写出这四个点所对应的复数
并求这些复数的共轭复数在复平面上所对应的点的坐标．
这些复数的共轭复数分别是
，它们在复平面上所对应的点分别是A′（2,0）、B（O,1）、
C（－２，－３）、D（4,3）.
２ 复数的向量表示
上一章我们学过平面向量的坐标表示，知道通过平面直角坐
标系，可在平面向量与平面上的点之间建立一一对应．现在，我
们以平面直角坐标系为媒介，又可以通过复数与平面上的点的一
一对应，在复数与平面向量之间建立一一对应．如图 9-2-3，复
数z＝a＋bi（a、b∈R）在复平面上对应坐标为（a，b）的点Z，而
点Z又对应于平面向量 ＝（a，b），从而复数 z＝ a＋b i对应于
平面向量 ＝（a，b）．有了这些对应，我们可以把复数z＝a＋bi
方便地看作是复平面上的点z（a，b）或向量
例２ 在复平面上作出表示下列复数的向量：
解 在复平面上，表示复数
的向量分别为图 9-2-4 中的向量
例３ 设复平面上的点 A 和点 B 所对应的复数分别为
和 试
用 和 表示复平面上的向量 所对应的复数z．
解 复平面上的点A 与点B 的坐标分别为（ ）与
（ ），故向量 ＝（ ），它所对应的复数是
．再由复数减法法则，可得 z ＝
注意，平面上起点不在原点的向量所表示的复数是该向量相
应的位置向量所表示的复数．上例说明，这个复数是向量终点对
应的复数与起点对应的复数之差．
例４ 设 z∈C复平面上的点 Z与 Z 分别表示 z与z i．
求证：
证明 令z＝x＋yi（x、y∈R），则zi＝－y＋xi，从而
＝ （x，y）， ＝（－x，y），它们的数量积是→·犗犣′
yx＝０，所以
３ 复数加法的平行四边形法则
我们已经知道向量的加法适用平行四边形法则，在将复数与
平面向量建立一一对应后，两个复数的和是否与对应的向量的和
一致呢？也就是说，在复平面上是否也可以用平行四边形法则表
述复数的加法呢？
如图9-2-5，复数 对应向量 ，
复数 对应向量 ．由于复数
，因此 z 对应于向量
这说明，两个复数的和所对应的向量就是原来两个复数所对应向
量的和，即以 与 为邻边的平行四边形的对角线所表示的
向量．这就是复数加法的平行四边形法则．同样，两个复数的差
所对应向量是两个向量?? 的差
??
例５ 如图9-2-6，在复平面上给定平行四边形OABC，
其中点A与点C分别对应于复数 与 ,求
点B所对应的复数
解 由平行四边形ABCD，根据复数加法的平行四边形法
则，点B所对应的复数为
课本练习
１．当复数z满足下列条件时，分别指出z在复平面上所对应的点Z的位置： 　　
（１）z是正实数； （２）z是负实数；
（３）z是实部小于零、虚部大于零的虚数；（４）z是虚部小于零的纯虚数．
２．如果复数 在复平面上所对应的点
在第四象限，求m 的取值范围
３．设复数３－４i与５－６i在复平面上所对应的向量分别为 （O为坐标原点），
求向量 及 所对应的复数．
４．已知复平面上有点C（2,4）和点D，使得向量 所对应的复数是－３－I．求点D
的坐标．
随堂检测
解：点A表示的复数是4+3i；
点B表示的复数是3-3i；
点C表示的复数是-3+2i；
点D表示的复数是-3-3i；
点E表示的复数是5；
点F表示的复数是-2；
点G表示的复数是5i；
点H表示的复数是-5i.
1. 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小方格的边长为1).
2. 已知在复平面内，描出表示下列复数的点.
(1) 2＋5i；(2) －3＋2i ；(3) 2－4i；(4) －3－i；(5) 5 ；(6) －3i.
A(2,5)
B(-3,2)
C(2,-4)
D(-3,-1)
E(5,0)
F(0,-3)






解：(1) 这些复数对应的向量如图示.
3. 已知复数2＋i, －2＋4i , －2i, 4,
(1) 在复平面内画出这些复数对应的向量；
(2) 求这些复数的模.
A(2,1)
B(－2,4)
C(0,－2)
D(4,0)
(2)
4.设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1) |z|=1 ； (2) 1<|z|<2.
解：(1) 以原点为圆心，半径为1的圆.
(2) 以原点为圆心，1为半径和2为半径的两个圆所夹的圆环，不包括圆环的边界.
课堂小结:
1．什么是复平面？
2．请你说说复数的几何意义？