2023年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题 (二)
一、单选题
1．（2023·邗江模拟）的绝对值是（ ）
A．-2023 B．2023 C． D．
2．（2023·成都模拟）2023年春节期间，我省文化和旅游经济呈现“总体回暖，强势复苏”的可喜局面，其中体现巴蜀文化风韵的川渝春晚网络话题反响热烈，累计阅读量超过亿人次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福田模拟）如图2，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023八下·永定期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
5．（2023八下·金东月考） 为迎接体育中考，九年级班八名同学课间练习垫排球，记录成绩个数如下：40，38，42，35，45，40，42，42，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，40
6．（2023·秀洲模拟）若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（-2，a），B（-3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
7．（2023·福田模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC．若⊙O的半径为3，AD＝2，则线段BC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2023九下·江油月考）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A（0，a）、B（-3，2）、C（c，m）、D（d，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，-3） B．（2，3） C．（3，-2） D．（3，2）
9．（2020九上·郑州月考）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF，设BE=x，平行四边形AEDF的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（ ）
A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小
B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大
C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变
D．y与x之间不是函数关系
10．（2020·下城模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线1上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B.C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形.例如，图中的矩形ABCD为直线1的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B．3 C．4 D．3
二、填空题
11．（2023·绿园模拟）分解因式： ．
12．（2022七下·苏州期中）已知一个多边形的每个内角都相等，其内角和为2340°，则这个多边形每个外角的度数是 °.
13．（2022·十堰）关于 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 .
14．（2021九上·包河期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=4，CD=2，则BE的长度是
15．（2023九上·宁强期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是 ．
16．（2021七上·韩城期中）如图，一块拼图卡片的长度为 厘米，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，则将 块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为 厘米.（用含 的式子表示）
三、解答题
17．（2023八下·韩城期中）计算：
18．（2020七上·崇左期末）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜爱情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出最喜欢的一个版面，将所得数据整理绘制成了如下的条形统计图：
（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息；
（2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图（要求：第二版与批三版相邻），并说明这两幅统计图各有什么特点？
（3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.
19．（2022八下·西安月考）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.
（1）设该学校所买的电脑台数是x台，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
（2）该学校如何根据所买电脑的台数选择到哪间商场购买，所需费用较少？
20．（2023·成都模拟）成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为，观测点C与建筑物的水平距离为120米，且垂直于（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：，，，）
21．（2021·河西模拟）如图①， 是 的弦， ，垂足为P，交 于点E，且 ， ．
（Ⅰ）求 的半径；
（Ⅱ）如图②，过点E作 的切线 ，连接 并延长与该切线交于点D，延长 交 于C，求 的长．
22．（2022八下·无棣期中）课堂上，同学们在讨论解答数学课本50页综合运用的第9题“如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，已知∠A=∠B，求证AD=BC．”时，提出了两种解答思路：
思路1：过一个顶点作另一条腰的平行线，将梯形转化为等腰三角形和平行四边形；
思路2：过同一底上的两个顶点作另一底的垂线段，将梯形转化为直角三角形和矩形；请结合以上思路，选用一种方法证明上题．
23．（2021·滨海模拟）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．点 是点 关于抛物线对称轴的对称点．过 ， 两点的直线与 轴交于点 ．
（Ⅰ）求 ， 两点的坐标；
（Ⅱ）若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ．线段 与直线 交于点 ，当 时，求点 的坐标；
（Ⅲ）若点 是 轴上的点，且满足 ，求点 的坐标．
24．（2021·天津）在平面直角坐标系中，O为原点， 是等腰直角三角形， ，顶点 ，点B在第一象限，矩形 的顶点 ，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线 经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形 沿x轴向右平移，得到矩形 ，点O，C，D，E的对应点分别为 ， ， ， ，设 ，矩形 与 重叠部分的面积为S．
①如图②，当点 在x轴正半轴上，且矩形 与 重叠部分为四边形时， 与 相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数作答即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4亿，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：D．
【分析】理解从三个方向看物体的画法。
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以A选项是假命题；
B、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题；
D、有一个角为的平行四边形是矩形，所以D选项是真命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据矩形的判定定理可判断D.
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：35，38，40，40，42，42，42，45，
众数为42；
中位数为.
故答案为：B.
【分析】将数据按照从小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的系数k＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∵-3＜-2，
∴a＞b＞0，
∵2＞0，
∴c＜0，
∴c＜b＜a.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的性质可得：反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，据此进行比较.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴BC∥OE
∴△AOE∽△ABC，
∴
∴
∴BC＝
故答案为：C．
【分析】；连接OE，由角平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠OBE＝∠CBE，得到BC∥OE，因此△AOE∽△ABC，得到，代入数据可求解
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
∵C（c，m）、D（d，m），A（0，a），
∴CD∥x轴，点A在y轴上，
∴点B和点E关于y轴对称，
∵B（-3，2），
∴点E（3，2）.
故答案为：D
【分析】利用点C，D，A，B的坐标可知CD∥x轴，点A在y轴上，点B在第二象限，可建立平面直角坐标系，利用正多边形的对称性可知点B和点E关于y轴对称，利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点E的坐标.
9．【答案】D
【知识点】函数的概念；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由BE=x，平行四边形AEDF的面积为y，根据题意得：
，
即 ，
所以y不随着x的变化而变化，y始终是不变的.与x不构成函数关系
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积等于矩形的面积，因此y始终是不会随着x的变化而变化的，然后根据函数的概念进行求解即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的综合题；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图.
∵点A的坐标为（3，4），
∴AC＝AO＝ ＝5，AF＝3，OF＝4.
∵点A（3，4）在直线y＝kx+1上，
∴3k+1＝4，
解得k＝1.
设直线y＝x+1与y轴相交于点G，
当x＝0时，y＝1，点G（0，1），OG＝1，
∴FG＝4﹣1＝3＝AF，
∴∠FGA＝45°，AG＝ ＝3 .
在Rt△GAB中，AB＝AG tan45°＝3 .
在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ .
∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB BC＝3 × ＝3 ；
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图，由点A坐标并利用勾股定理，可求出AC=AO=5，AF＝3，OF＝4.利用待定系数法求出直线l：y＝x+1，从而求出G的坐标，即得OG=1，继而得出FG＝4﹣1＝3＝AF，从而求出∠FGA＝45°，AG＝ ＝3 ，在Rt△GAB中，AB＝AG tan45°＝3 ，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC=，利用矩形的面积公式求出结论即可.
11．【答案】ab(b-5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：ab(b-5)．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
12．【答案】24
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n 2） 180°=2340°，
解得n=15；
那么这个多边形的一个外角是360°÷15=24°，
即这个多边形的一个外角是24°.
故答案为：24.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式可得(n 2) 180°=2340°，求出n的值，然后利用360°除以n的值即可得到外角的度数.
13．【答案】0≤x＜10
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：该不等式组的解集为0≤x＜10
故答案为：0≤x＜10.
【分析】求出两解集的公共部分即可，注意：界点处是空心，不含“=”，界点处是实心，含“=”.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AB=4，CD=2，
∴BO=OC=2，CE=，
由勾股定理得：OE=
∴BE=OB-OE= ．
故答案：．
【分析】先利用勾股定理和垂径定理求出OE的长，再利用线段的和差求出BE的长即可。
15．【答案】2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可知∠ADC=90°，AC∥BD，
∴△APC∽△BPD，
∴，
∴CP=PD=，
∵AD=CD=，
∴PD=，
在Rt△ADP中
.
故答案为：2
【分析】由图可知∠ADC=90°，AC∥BD，可证得△APC∽△BPD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CP=PD=；再利用勾股定理求出AD的长，可得到PD的长；然后利用锐角三角函数的定义取出tan∠APD的值.
16．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 一块拼图卡片的长度为 厘米，记为：
两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，记为：
三块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为13厘米，记为：
块相同的拼图卡片拼接在一起的长度记为：
故答案为： .
【分析】由图形可得：一块拼图卡片的长度为5厘米，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，三块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为13厘米，……，可得增加一个拼图长度增加4cm，据此不难推出结论.
17．【答案】解：原式=4-3-6×
=4-3-2
=-
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，同时利用二次根式的除法法则进行计算，然后合并同类二次根式.
18．【答案】（1）解：如：参加调查的人数为5000人；
（2）解：如图所示：
第一版所占比例为： ，
第二版所占比例为： ，
条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数.
扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比.
（3）解：如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近读者，形式更活泼些.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）答案不唯一，只要符合题意即可，如可以从参加调查的人数或各版所占的百分比等方面；
（2）结合条形图与扇形图的特点回答；
（3）由统计图可知，喜欢第二版的人数少，可以提一些改进文章质量的建议，答案不唯一，合理即可.
19．【答案】（1）解：y1=4000+（1－25%）（x－1）×4000=3000x+1000
y2=80%×4000x=3200x
（2）解：当y1＜y2时，有3000x+1000＜3200x，解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买所需费用较少；
当y1＞y2时，有3000x+1000＞3200x，解得x＜5；
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买所需费用较少；
当y1=y2时，即3000x+1000=3200x， 解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，两家商场的所需费用相同.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两商场的优惠方案分别列式，表示出所需费用即可；
（2）分三种情况： ①y1＜y2时，② y1＞y2，③ y1=y2，据此分别求解即可.
20．【答案】解：∵，，米，
∴在中，，
∴（米）．
∵在 中，，
∴（米），
∴（米），
答：建筑物的主体高度为99米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得∠ACD=30°，CD=120米，根据三角函数的概念可得AD、BD的值，然后根据AB=AD+BD进行计算.
21．【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，（负舍）
∴ ，
∴半径 为8．
（Ⅱ）∵ 为 的切线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出
，再求出 ， 最后计算求解即可；
（Ⅱ）先求出
， 再根据
进行计算求解即可。
22．【答案】证明：过点C，作 ，交AB于E，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】过点C，作CE//AD ，交AB于E，先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得AD=CE，再结合CE=BC，即可得到AD=BC。
23．【答案】解：（Ⅰ）令 ，得 ，∴解得 ， ，
∴ ， ．
（Ⅱ）∵点 为抛物线与 轴的交点，∴点 的坐标为 ，
∵点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线 ，
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ．
如图，设点 的坐标为 （其中 ），
则 ， ．
当 时，
可得 ，
解得： ， （舍去）．
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
（Ⅲ）∵直线 与 轴交于点 ，∴点 坐标为 ．
分两种情况：
①如图，当点 在 轴正半轴上时，记为点 ．过点 作 直线 ，垂足为 ．
在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
连接 ，∵点 ，点 为抛物线上的对称点，
∴ 轴，
∴ ．
， ．
∴ ．
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
②如图，当点 在 轴负半轴上时，记为点 ．过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，在 中， ，
∵ ， ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
由①可知， ．∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出 ， 再计算求解即可；
（Ⅱ）先求出 点 的坐标为 ， 再求出 点 的坐标为 ，最后利用待定系数法和函数图象求解即可；
（Ⅲ）分类讨论，利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
24．【答案】解：(I)如图，过点B作 ，垂足为H．
由点 ，得 ．
∵ ，
∴ ．
又∠BOH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴ ．
∴点B的坐标为 ．
(II)①由点 ，得 ．由平移知，四边形 是矩形，得 ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
整理后得到： ．
当 与A重合时，矩形 与 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时 ，
当 与B重合时，矩形 与 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到 与A点重合，如下图(2)所示：
此时 ，
∴t的取值范围是 ，
故答案为： ，其中： ；
②当 时，矩形 与 重叠部分的面积如下图3所示：
此时 ，∠BAO=45°， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴重叠部分面积 ，
∴ 是关于 的二次函数，且对称轴为 ，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
故将 代入，
得到最大值 ，
将 代入，
得到最小值 ，
当 时，矩形 与 重叠部分的面积如下图4所示：
此时 ，
和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴重叠部分面积 ，
∴ 是关于 的二次函数，且对称轴为 ，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将 代入，得到最大值 ，
将 代入，
得到最小值 ，
∵ ， ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ．
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 过点B作 ，垂足为H． 根据等腰三角形的性质得出，可求
△OBH为等腰直角三角形，可得 ，即得点B坐标；
（2）①根据平移及矩形的性质，先求出且是等腰直角三角形，可得
，继而得出 ，然后求出t的范围即可；② 分两种情况：当 时和当 时，分别求出S关于t的函数关系式，利用二次函数的性质分别求出其最值，总而得出S的范围.
．
1 / 12023年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题 (二)
一、单选题
1．（2023·邗江模拟）的绝对值是（ ）
A．-2023 B．2023 C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数作答即可。
2．（2023·成都模拟）2023年春节期间，我省文化和旅游经济呈现“总体回暖，强势复苏”的可喜局面，其中体现巴蜀文化风韵的川渝春晚网络话题反响热烈，累计阅读量超过亿人次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4亿，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
3．（2023·福田模拟）如图2，是由相同大小的五个小正方体组成的立体模型，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的俯视图为：
故答案为：D．
【分析】理解从三个方向看物体的画法。
4．（2023八下·永定期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．有一个角为的平行四边形是矩形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角线是互相平分的，不是相等的，所以A选项是假命题；
B、正方形的对角线是互相垂直平分的，所以B选项是真命题；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以C选项是真命题；
D、有一个角为的平行四边形是矩形，所以D选项是真命题；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据菱形的判定定理可判断C；根据矩形的判定定理可判断D.
5．（2023八下·金东月考） 为迎接体育中考，九年级班八名同学课间练习垫排球，记录成绩个数如下：40，38，42，35，45，40，42，42，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．40，41 B．42，41 C．41，42 D．41，40
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：35，38，40，40，42，42，42，45，
众数为42；
中位数为.
故答案为：B.
【分析】将数据按照从小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
6．（2023·秀洲模拟）若反比例函数y＝（k＜0）的图象经过A（-2，a），B（-3，b），C（2，c）三点，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数的系数k＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∵-3＜-2，
∴a＞b＞0，
∵2＞0，
∴c＜0，
∴c＜b＜a.
故答案为：A.
【分析】由反比例函数的性质可得：反比例函数的图象经过二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，据此进行比较.
7．（2023·福田模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在斜边AB上，以BD为直径的⊙O经过边AC上的点E，连接BE，且BE平分∠ABC．若⊙O的半径为3，AD＝2，则线段BC的长为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴∠OBE＝∠CBE，
∴BC∥OE
∴△AOE∽△ABC，
∴
∴
∴BC＝
故答案为：C．
【分析】；连接OE，由角平分线的性质，等腰三角形的性质推出∠OBE＝∠CBE，得到BC∥OE，因此△AOE∽△ABC，得到，代入数据可求解
8．（2023九下·江油月考）如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A（0，a）、B（-3，2）、C（c，m）、D（d，m），则点E的坐标是（ ）
A．（2，-3） B．（2，3） C．（3，-2） D．（3，2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；正多边形的性质
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
∵C（c，m）、D（d，m），A（0，a），
∴CD∥x轴，点A在y轴上，
∴点B和点E关于y轴对称，
∵B（-3，2），
∴点E（3，2）.
故答案为：D
【分析】利用点C，D，A，B的坐标可知CD∥x轴，点A在y轴上，点B在第二象限，可建立平面直角坐标系，利用正多边形的对称性可知点B和点E关于y轴对称，利用关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得到点E的坐标.
9．（2020九上·郑州月考）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF，设BE=x，平行四边形AEDF的面积为y，则y与x之间的关系描述正确的是（ ）
A．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先增大再减小
B．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y先减小再增大
C．y与x之间是函数关系，且当x增大时，y一直保持不变
D．y与x之间不是函数关系
【答案】D
【知识点】函数的概念；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由BE=x，平行四边形AEDF的面积为y，根据题意得：
，
即 ，
所以y不随着x的变化而变化，y始终是不变的.与x不构成函数关系
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质可得平行四边形的面积等于矩形的面积，因此y始终是不会随着x的变化而变化的，然后根据函数的概念进行求解即可.
10．（2020·下城模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A在直线上l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E，给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线1上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形（点A，B.C，D顺时针排列），则称矩形ABCD为直线的“理想矩形.例如，图中的矩形ABCD为直线1的“理想矩形”，若点A（3，4），则直线y＝kx+1（k≠0）的“理想矩形”的面积为（ ）
A．12 B．3 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆的综合题；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图.
∵点A的坐标为（3，4），
∴AC＝AO＝ ＝5，AF＝3，OF＝4.
∵点A（3，4）在直线y＝kx+1上，
∴3k+1＝4，
解得k＝1.
设直线y＝x+1与y轴相交于点G，
当x＝0时，y＝1，点G（0，1），OG＝1，
∴FG＝4﹣1＝3＝AF，
∴∠FGA＝45°，AG＝ ＝3 .
在Rt△GAB中，AB＝AG tan45°＝3 .
在Rt△ABC中，BC＝ ＝ ＝ .
∴所求“理想矩形”ABCD面积为AB BC＝3 × ＝3 ；
故答案为：B.
【分析】过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图，由点A坐标并利用勾股定理，可求出AC=AO=5，AF＝3，OF＝4.利用待定系数法求出直线l：y＝x+1，从而求出G的坐标，即得OG=1，继而得出FG＝4﹣1＝3＝AF，从而求出∠FGA＝45°，AG＝ ＝3 ，在Rt△GAB中，AB＝AG tan45°＝3 ，在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC=，利用矩形的面积公式求出结论即可.
二、填空题
11．（2023·绿园模拟）分解因式： ．
【答案】ab(b-5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：ab(b-5)．
【分析】利用提公因式法分解因式即可。
12．（2022七下·苏州期中）已知一个多边形的每个内角都相等，其内角和为2340°，则这个多边形每个外角的度数是 °.
【答案】24
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n 2） 180°=2340°，
解得n=15；
那么这个多边形的一个外角是360°÷15=24°，
即这个多边形的一个外角是24°.
故答案为：24.
【分析】设这个多边形是n边形，根据多边形的内角和公式可得(n 2) 180°=2340°，求出n的值，然后利用360°除以n的值即可得到外角的度数.
13．（2022·十堰）关于 的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为 .
【答案】0≤x＜10
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：该不等式组的解集为0≤x＜10
故答案为：0≤x＜10.
【分析】求出两解集的公共部分即可，注意：界点处是空心，不含“=”，界点处是实心，含“=”.
14．（2021九上·包河期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AB=4，CD=2，则BE的长度是
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，AB=4，CD=2，
∴BO=OC=2，CE=，
由勾股定理得：OE=
∴BE=OB-OE= ．
故答案：．
【分析】先利用勾股定理和垂径定理求出OE的长，再利用线段的和差求出BE的长即可。
15．（2023九上·宁强期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，线段、，相交于点，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由图可知∠ADC=90°，AC∥BD，
∴△APC∽△BPD，
∴，
∴CP=PD=，
∵AD=CD=，
∴PD=，
在Rt△ADP中
.
故答案为：2
【分析】由图可知∠ADC=90°，AC∥BD，可证得△APC∽△BPD，利用相似三角形的对应边成比例，可证得CP=PD=；再利用勾股定理求出AD的长，可得到PD的长；然后利用锐角三角函数的定义取出tan∠APD的值.
16．（2021七上·韩城期中）如图，一块拼图卡片的长度为 厘米，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，则将 块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为 厘米.（用含 的式子表示）
【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解： 一块拼图卡片的长度为 厘米，记为：
两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，记为：
三块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为13厘米，记为：
块相同的拼图卡片拼接在一起的长度记为：
故答案为： .
【分析】由图形可得：一块拼图卡片的长度为5厘米，两块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为9厘米，三块相同的拼图卡片拼接在一起的长度为13厘米，……，可得增加一个拼图长度增加4cm，据此不难推出结论.
三、解答题
17．（2023八下·韩城期中）计算：
【答案】解：原式=4-3-6×
=4-3-2
=-
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先将各个二次根式化成最简二次根式，同时利用二次根式的除法法则进行计算，然后合并同类二次根式.
18．（2020七上·崇左期末）某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜爱情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出最喜欢的一个版面，将所得数据整理绘制成了如下的条形统计图：
（1）请写出从条形统计图中获得的一条信息；
（2）请根据条形统计图中的数据补全扇形统计图（要求：第二版与批三版相邻），并说明这两幅统计图各有什么特点？
（3）请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议.
【答案】（1）解：如：参加调查的人数为5000人；
（2）解：如图所示：
第一版所占比例为： ，
第二版所占比例为： ，
条形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数.
扇形统计图能清楚地表示出喜欢各版面的读者人数占所调查的总人数的百分比.
（3）解：如：建议改进第二版的内容，提高文章质量，内容更贴近读者，形式更活泼些.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）答案不唯一，只要符合题意即可，如可以从参加调查的人数或各版所占的百分比等方面；
（2）结合条形图与扇形图的特点回答；
（3）由统计图可知，喜欢第二版的人数少，可以提一些改进文章质量的建议，答案不唯一，合理即可.
19．（2022八下·西安月考）某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为4000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.
（1）设该学校所买的电脑台数是x台，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
（2）该学校如何根据所买电脑的台数选择到哪间商场购买，所需费用较少？
【答案】（1）解：y1=4000+（1－25%）（x－1）×4000=3000x+1000
y2=80%×4000x=3200x
（2）解：当y1＜y2时，有3000x+1000＜3200x，解得，x＞5
即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买所需费用较少；
当y1＞y2时，有3000x+1000＞3200x，解得x＜5；
即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买所需费用较少；
当y1=y2时，即3000x+1000=3200x， 解得x=5.
即当所购买电脑为5台时，两家商场的所需费用相同.
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据甲、乙两商场的优惠方案分别列式，表示出所需费用即可；
（2）分三种情况： ①y1＜y2时，② y1＞y2，③ y1=y2，据此分别求解即可.
20．（2023·成都模拟）成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为，观测点C与建筑物的水平距离为120米，且垂直于（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：，，，）
【答案】解：∵，，米，
∴在中，，
∴（米）．
∵在 中，，
∴（米），
∴（米），
答：建筑物的主体高度为99米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意可得∠ACD=30°，CD=120米，根据三角函数的概念可得AD、BD的值，然后根据AB=AD+BD进行计算.
21．（2021·河西模拟）如图①， 是 的弦， ，垂足为P，交 于点E，且 ， ．
（Ⅰ）求 的半径；
（Ⅱ）如图②，过点E作 的切线 ，连接 并延长与该切线交于点D，延长 交 于C，求 的长．
【答案】解：（Ⅰ）∵ ，
∴ ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，（负舍）
∴ ，
∴半径 为8．
（Ⅱ）∵ 为 的切线，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
【知识点】切线的判定；圆的综合题
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出
，再求出 ， 最后计算求解即可；
（Ⅱ）先求出
， 再根据
进行计算求解即可。
22．（2022八下·无棣期中）课堂上，同学们在讨论解答数学课本50页综合运用的第9题“如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，已知∠A=∠B，求证AD=BC．”时，提出了两种解答思路：
思路1：过一个顶点作另一条腰的平行线，将梯形转化为等腰三角形和平行四边形；
思路2：过同一底上的两个顶点作另一底的垂线段，将梯形转化为直角三角形和矩形；请结合以上思路，选用一种方法证明上题．
【答案】证明：过点C，作 ，交AB于E，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】过点C，作CE//AD ，交AB于E，先证明四边形ADCE是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得AD=CE，再结合CE=BC，即可得到AD=BC。
23．（2021·滨海模拟）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ．点 是点 关于抛物线对称轴的对称点．过 ， 两点的直线与 轴交于点 ．
（Ⅰ）求 ， 两点的坐标；
（Ⅱ）若点 是抛物线上的点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为 ．线段 与直线 交于点 ，当 时，求点 的坐标；
（Ⅲ）若点 是 轴上的点，且满足 ，求点 的坐标．
【答案】解：（Ⅰ）令 ，得 ，∴解得 ， ，
∴ ， ．
（Ⅱ）∵点 为抛物线与 轴的交点，∴点 的坐标为 ，
∵点 是点 关于抛物线对称轴的对称点，对称轴为直线 ，
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ．
如图，设点 的坐标为 （其中 ），
则 ， ．
当 时，
可得 ，
解得： ， （舍去）．
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
（Ⅲ）∵直线 与 轴交于点 ，∴点 坐标为 ．
分两种情况：
①如图，当点 在 轴正半轴上时，记为点 ．过点 作 直线 ，垂足为 ．
在 中， ，
在 中， ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
连接 ，∵点 ，点 为抛物线上的对称点，
∴ 轴，
∴ ．
， ．
∴ ．
∴ ．
∴点 的坐标为 ．
②如图，当点 在 轴负半轴上时，记为点 ．过点 作 ，垂足为 ，
在 中， ，在 中， ，
∵ ， ，∴ ．
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ．
由①可知， ．∴ ， ．
∴ ．
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出 ， 再计算求解即可；
（Ⅱ）先求出 点 的坐标为 ， 再求出 点 的坐标为 ，最后利用待定系数法和函数图象求解即可；
（Ⅲ）分类讨论，利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。
24．（2021·天津）在平面直角坐标系中，O为原点， 是等腰直角三角形， ，顶点 ，点B在第一象限，矩形 的顶点 ，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限，射线 经过点B．
（Ⅰ）如图①，求点B的坐标；
（Ⅱ）将矩形 沿x轴向右平移，得到矩形 ，点O，C，D，E的对应点分别为 ， ， ， ，设 ，矩形 与 重叠部分的面积为S．
①如图②，当点 在x轴正半轴上，且矩形 与 重叠部分为四边形时， 与 相交于点F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】解：(I)如图，过点B作 ，垂足为H．
由点 ，得 ．
∵ ，
∴ ．
又∠BOH=45°，
∴△OBH为等腰直角三角形，
∴ ．
∴点B的坐标为 ．
(II)①由点 ，得 ．由平移知，四边形 是矩形，得 ．
∴ ， ．
∵ ， ，
∴ ．
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
整理后得到： ．
当 与A重合时，矩形 与 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时 ，
当 与B重合时，矩形 与 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到 与A点重合，如下图(2)所示：
此时 ，
∴t的取值范围是 ，
故答案为： ，其中： ；
②当 时，矩形 与 重叠部分的面积如下图3所示：
此时 ，∠BAO=45°， 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴重叠部分面积 ，
∴ 是关于 的二次函数，且对称轴为 ，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，
故将 代入，
得到最大值 ，
将 代入，
得到最小值 ，
当 时，矩形 与 重叠部分的面积如下图4所示：
此时 ，
和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
，
∴重叠部分面积 ，
∴ 是关于 的二次函数，且对称轴为 ，且开口向下，
故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将 代入，得到最大值 ，
将 代入，
得到最小值 ，
∵ ， ，
∴ 的最小值为 ，最大值为 ，
故答案为： ．
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1） 过点B作 ，垂足为H． 根据等腰三角形的性质得出，可求
△OBH为等腰直角三角形，可得 ，即得点B坐标；
（2）①根据平移及矩形的性质，先求出且是等腰直角三角形，可得
，继而得出 ，然后求出t的范围即可；② 分两种情况：当 时和当 时，分别求出S关于t的函数关系式，利用二次函数的性质分别求出其最值，总而得出S的范围.
．
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