2023年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(五)

2023年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(五)
一、单选题
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．2和﹣2 B．﹣2和 C．﹣2和- D．和2
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：A、2和﹣2只有符号不同，它们是互为相反数，选项正确；
B、﹣2和除了符号不同以外，它们的绝对值也不相同，所以它们不是互为相反数，选项错误；
C、﹣2和﹣符号相同，它们不是互为相反数，选项错误；
D、和2符号相同，它们不是互为相反数，选项错误．
故选A．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．
2．芜湖地处长江中下游，水资源丰富，素有“江南水乡”之美称．据测量，仅浅层地下水蕴藏量就达56000万m3，用科学记数法记作（　　）
A．5.6×109m3 B．56×108m3
C．5.6×108m3 D．56000×104m3
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
【解答】560 000 000用科学记数法表示为5.6×108．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2020·灯塔模拟）四个选项中四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有三个几何体的某一种视图都是同一种几何图形，则另外一个几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；
而球的三种视图都是圆形.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图可知：长方体、圆柱体和三棱柱的主视图都是矩形，而球的视图都是圆形.
4．（2020九上·六安期末）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为 、小明掷B立方体朝上的数字为 来确定点P（ ），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线 上的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表法：
∴点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线 上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为： ．
故答案为：B．
【分析】利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
5．（2020·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A． ，此选项计算不符合题意；
B． ，此选项计算不符合题意；
C． ，此选项计算符合题意；
D． ，此选项计算不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的混合运算法则逐一进行判断即可．
6．（2021七上·咸丰期末）如图，小明从A处出发沿北偏东 方向行走至B处，又沿北偏西 方向行走至C处，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠A＝60°，∠CBF＝20°， ，
∵ ，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A
＝180°﹣60°
＝120°，
∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF
＝120°﹣20°
＝100°
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠A＝60°，∠CBF＝20°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠A+∠ABF＝180°，则∠ABF＝120°，然后根据∠ABC＝∠ABF-∠CBF进行计算.
7．（2020九下·齐齐哈尔期中）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，对甲村和乙村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程改造道路里程 （公里）与时间 （天）的函数关系大致的图像是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵y表示未改造的道路里程，x表示时间，
∴y随x的增大而减小，
∴选项A不符合题意；
∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，
∴选项C、D不符合题意；
∵施工队随后加快了施工进度，
∴y随x的增大减小得比开始的快，
∴选项B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据y随x的增大而减小，即可判断选项A不符合题意；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项C、D不符合题意；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项B是正确的．
8．（2019·广州模拟）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE CA，AB2=AE AC
∴a2=CE a，2a2=AE a，
∴CE=，AE=，
∴
∵△CEF∽△AEB，
∴=（）2=，
故选A．
【分析】根据已知条件设AD=BC=a，则AB=CD=2a，由勾股定理得到AC=a，根据相似三角形的性质得到BC2=CE CA，AB2=AE AC求得CE=，AE=，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
9．（2022九上·温岭期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c，下列结论：①a＞0：②b2-4ac＞0：③4a+b=0；④不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴ b2-4ac＜0，故②错误：
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x 的交点为（1，1），（3，3），
∴当1∴ 不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1故答案为：B.
【分析】根据抛物线的开口方向即可判断①正确；
根据抛物线与x轴的交点情况，即可判断②错误；
根据抛物线的对称轴，即可判断③错误；
根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x 的交点坐标，得出当110．（2020八下·广州期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回B地.如图是甲、乙两人离B地的距离 与行驶时间 之间的函数图象，下列说法中①A、B两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M的坐标为( ，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是 小时或 小时. 正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可以列出甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系得：
y甲=-15x+30
y乙=
由此可知，①②符合题意．
当15x+30=30x时，
解得x=
则M坐标为（ ，20），故③符合题意．
当两人相遇前相距10km时，
30x+15x=30-10
x= ，
当两人相遇后，相距10km时，
30x+15x=30+10，
解得x=
15x-（30x-30）=10
解得x=
∴④不符合题意．
故答案为C．
【分析】根据题意，确定①-③符合题意，当两人相距10千米时，应有3种可能性．
二、填空题
11．（2019七下·鼓楼期中）已知a+b=2，a-b=-1，则a2-b2=　 　．
【答案】-2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为a+b=2，a-b=-1，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-1）=-2，
故答案为：-2．
【分析】由因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）可计算
12．（2021八上·普宁期中）若 ，则a-b的算术平方根为　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ， ，
解得， ，
，
解得， ，
，
算术平方根为3，
故答案为：3．
【分析】根据二次根式好有意义的条件列出不等式组求出a的值，再代入求出b的值，再将a、b的值代入计算即可。
13．（2020七上·滨城期末）程大位，明代珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简称《算法统宗》)．《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：这一群人共有多少人？所分的银子共有多少两？若设共有x人，则可列方程为　 　．
【答案】7x+4=9x-8
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，依题意有
7x+4=9x 8.
故答案为7x+4=9x 8.
【分析】设有x人，根据题意直接列出方程7x+4=9x 8即可。
14．（2019·银川模拟）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC= =6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE= AC=4，
在Rt△BCE中，BE= =2 ，
∴sinα= = = .
故答案为： .
【分析】连结BC，如图，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC=6.根据垂径定理可得AE=CE= AC=4，在Rt△BCE中由勾股定理求出BE=2 ，由sinα= 即可求出结论.
15．（2020·安阳模拟）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG的周长为　 　
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABK＝∠DAE，
∴△ABK≌△ADE（ASA），
∴AK＝DE＝2，
∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，
∴△AKF∽△BKA，
∴ ＝ ，设KF＝x，
则有 ＝ ，
整理得 ，
解得x＝1或﹣4（舍弃），
∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，
∵sin∠ABK＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABK＝30°，
∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，
∴MA＝MB，
在Rt△ABH中，∵AB＝2 ，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，
∴BH＝ AB＝ ，AH＝ BH＝3，
∵AD＝AB＝AG＝2 ，
∴HG＝2 ﹣3，
∴BG＝ ＝ ＝3 ﹣ ，
∴△BMG的周长＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2 +3 ﹣ .
故答案为： .
【分析】延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H.首先证明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性质求出FK，再证明∠ABK＝30°，把问题特殊化后即可解决问题.
16．（2019·平阳模拟）在古埃及，人们把三边之比为3：4：5的三角形称为“埃及三角形”，古埃及人用一张正方形纸片，将一边中点和对边的两个端点连结，就能得到“埃及三角形”，如图所示，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，则图中为“埃及三角形”的是　 　（至少写出两个）.
【答案】△DPH，△LGH，△LQK.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
∴DG＝CG＝CF＝a，
在△ADG与△DCF中 ，
∴△ADG≌△DCF（SAS），
∴∠DAG＝∠CDF，
∵∠DAG+∠DGA＝90°，
∴∠GDH+∠DGH＝90°，
∴∠DHG＝90°，
∵AG＝ ＝ a，
∴DH＝ ＝ a，
连接EG，则四边形AEGD是矩形，
∴AP＝DP＝PEPG，
∴PG＝ a，
∵△ADG∽△DHG，
∴ ＝ ，
∴HG＝ ＝ a，
∴PH＝PG﹣HG＝ a，
∴PH：DH：PD＝ a： a： a＝3：4：5，
∴△DPH是“埃及三角形”，
∵AE＝CG，AE∥CG，BE＝DG，BE∥DG，
∴四边形BEDG和四边形AECG是平行四边形，
∴BG∥DE，
∴△LGH∽△DPH，
∴△LGH是“埃及三角形”，
同理△LQK是“埃及三角形”.
故答案为：△DPH，△LGH，△LQK.
【分析】设正方形的边长为2a，根据中点的定义得出DG＝CG＝CF＝a，然后利用SAS判断出△ADG≌△DCF，根据全等三角形的对应角相等得出∠DAG＝∠CDF，根据直角三角形的两内角互余、等量代换及三角形的内角和得出∠DHG＝90°，根据勾股定理用含a的式子表示出AG，根据三角形的面积法，由DH＝ 表示出DH，连接EG，则四边形AEGD是矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等得出AP＝DP＝PE=PG，然后判断出△ADG∽△DHG，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式表示出HG，进而表示出PH，从而即可求出PH：DH：PD＝ a： a： a＝3：4：5，根据定义即可得出△DPH是“埃及三角形”，然后判断出四边形BEDG和四边形AECG是平行四边形，根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法判断出△LGH∽△DPH，故△LGH是“埃及三角形”，同理△LQK是“埃及三角形”，综上所述即可得出答案。
三、解答题
17．（整式的化简）化简求值：
（1）（28a3﹣28a2﹣7a）÷7a，其中a= ．
（2）[（5x+2y）（3x+2y）+（x+2y）（x﹣2y）]÷4x，其中x=2，y=﹣3．
【答案】（1）解：原式=4a2﹣4a-1，当a= 时，原式=4×（ ）2﹣4× -1=-
（2）解：原式=（15x2+10xy+6xy+4y2+x2﹣4y2）÷4x=4x+4y=4（x+y），当x=2，y=﹣3时，原式=4（2﹣3）=﹣4
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题只要把a的值代入计算即可．（2）本题可把x=2、y=﹣3代入代数式，然后化简可得出代数式的值．
18．（2020七上·南山期末）某校九年级(1)班部分学生接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了如图①②两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）九年级(1)班接受调查的学生共有多少名？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数．
【答案】（1）解：接受调查的学生有10÷20%＝50(名)．
（2）解：听音乐的人数为50－10－5－15－8＝12(人)．
补全条形统计图如图：
“体育活动C”所对应的圆心角的度数＝ ×360°＝108°.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；(2)求出听音乐的人数即可补全条形统计图，由C的人数即可得到所对应的圆心角度数.
19．（2021七下·台儿庄期中）司机小王开车从A地出发去B地送信，其行驶路s与行驶时间t之间的关系如图所示，当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了几小时后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意结合图回答下列问题：
（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．
（2）汽车从A地到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？
（3）汽车停车检修了多长时间？车修好后每小时走多少千米？
【答案】（1）解：根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程．即上述问题中反映的是路程与时间两个变量之间的关系，且自变量为时间和因变量为路程．
（2）解：根据图象可知汽车从A地到C地用了3小时，平均每小时行驶 ．
（3）解：汽车停车检修了4-3=1小时，车修好后的速度为： ．
【知识点】常量、变量；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据函数的图象可知横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可得答案；
（2）根据函数的图象可知汽车行驶的时间 和路程，即可得到速度；
（3）观察图象可得汽车再3~4小时间路程没有增加，说明此时在检修，检修2小时走了150千米，据此求出速度。
20．（2011·玉林）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.41， ≈1.73 ）
【答案】解：在Rt△CEB中，
sin60°= ，
∴CE=BC sin60°=10× ≈8.65m，
∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，
答：风筝离地面的高度为10m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin60°= 可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．
21．如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长．
【答案】（1）证明：连接OB．
∵∠COD=90°，且∠COD与∠CBD是分别所对的圆心角和圆周角，
∴∠CBD=∠COD=45°，
∵OB=OC，OB=OD，
∴∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO，
∵∠CBD=∠OBC+∠OBD=45°，（3分）
∴∠BCO+∠BDO=45°，
∵∠ACD=∠BCO+∠BDO，
∴∠ACD=45°，
在Rt△COD中，OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=90°，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OE⊥BD，垂足为E．
∴BD=2DE，
∵∠BCO+∠BDO=45°，∠BCO=15°，
∴∠BDO=30°，
在Rt△DOE中，
DE=OD cos30°=2×=．
∴BD=2DE=2．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，首先根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半求出∠CBD，即为∠OBC+∠OBD的度数，然后根据等边对等角分别得到∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO两对角的相等，等量代换可得到∠BCO+∠BDO的度数，由已知的∠ACD=∠BCO+∠BDO，即可求出∠ACD=45°，再由△OCD为等腰直角三角形可求出∠OCD=45°，从而得到∠OCA=90°，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）中的∠BCO+∠BDD=45°，且∠BCO=15°，求出∠BDO=30°，然后在直角三角形ODE中，根据半径的长及∠BDO的度数，利用30°的余弦值即可求出DE的长，最后根据垂径定理可得BD=2DE求出结果．
22．（2018九上·佳木斯期中）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
【答案】（1）解：由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700．
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30） y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
（3）解：w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，一次函数关系式可设y=kx+b。
（2）由利润=销售量×单件利润可以列出利润表达式，再通过二次函数的性质即可求出利润的最大值；
（3）首先根据利润w与单价x的表达式求出利润为3600元对应的x的值，再根据增减性即可求出销售单价x的范围。
23．（2019七下·利辛期末）观察下列各式:
;
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
（1）猜想: 　 　= 　 　
（2）归纳:根据你的观察，猜想，请写出一个用n(为正整数)表示的等式:
（3） 应用:计算 　 　
【答案】（1）1+-；
（2）
（3）原式=
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知条件计算得到答案即可。
（2）根据已知的规律，将n代入进行表示。
（3）根据发现的规律将原式进行变形写出答案即可。
24．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点.
（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，　 　，
所以.
所以∠=∠.
因为∠∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥.
（2）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P.使=·，写出作法，不用证明.
【答案】（1）tan∠DCE=
（2）解：如图中，点P即为所求，
作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；
证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，
∴.
（3）解：如图中，点P即为所求，
作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
故答案为：；
【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；
（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则；
（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.
1 / 12023年浙江省绍兴市初中毕业生学业水平测试数学模拟试题(五)
一、单选题
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．2和﹣2 B．﹣2和 C．﹣2和- D．和2
2．芜湖地处长江中下游，水资源丰富，素有“江南水乡”之美称．据测量，仅浅层地下水蕴藏量就达56000万m3，用科学记数法记作（　　）
A．5.6×109m3 B．56×108m3
C．5.6×108m3 D．56000×104m3
3．（2020·灯塔模拟）四个选项中四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体其中有三个几何体的某一种视图都是同一种几何图形，则另外一个几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020九上·六安期末）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为 、小明掷B立方体朝上的数字为 来确定点P（ ），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线 上的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2021七上·咸丰期末）如图，小明从A处出发沿北偏东 方向行走至B处，又沿北偏西 方向行走至C处，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2020九下·齐齐哈尔期中）为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”，对甲村和乙村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程改造道路里程 （公里）与时间 （天）的函数关系大致的图像是（　　）．
A． B．
C． D．
8．（2019·广州模拟）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2022九上·温岭期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c，下列结论：①a＞0：②b2-4ac＞0：③4a+b=0；④不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020八下·广州期中）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回B地.如图是甲、乙两人离B地的距离 与行驶时间 之间的函数图象，下列说法中①A、B两地相距30千米；②甲的速度为15千米/时；③点M的坐标为( ，20)；④当甲、乙两人相距10千米时，他们的行驶时间是 小时或 小时. 正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2019七下·鼓楼期中）已知a+b=2，a-b=-1，则a2-b2=　 　．
12．（2021八上·普宁期中）若 ，则a-b的算术平方根为　 　．
13．（2020七上·滨城期末）程大位，明代珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》(简称《算法统宗》)．《算法统宗》中有这样一道题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：这一群人共有多少人？所分的银子共有多少两？若设共有x人，则可列方程为　 　．
14．（2019·银川模拟）如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交⊙O于D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为　 　.
15．（2020·安阳模拟）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG的周长为　 　
16．（2019·平阳模拟）在古埃及，人们把三边之比为3：4：5的三角形称为“埃及三角形”，古埃及人用一张正方形纸片，将一边中点和对边的两个端点连结，就能得到“埃及三角形”，如图所示，在正方形ABCD中，点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，则图中为“埃及三角形”的是　 　（至少写出两个）.
三、解答题
17．（整式的化简）化简求值：
（1）（28a3﹣28a2﹣7a）÷7a，其中a= ．
（2）[（5x+2y）（3x+2y）+（x+2y）（x﹣2y）]÷4x，其中x=2，y=﹣3．
18．（2020七上·南山期末）某校九年级(1)班部分学生接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了如图①②两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）九年级(1)班接受调查的学生共有多少名？
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育活动C”所对应的圆心角度数．
19．（2021七下·台儿庄期中）司机小王开车从A地出发去B地送信，其行驶路s与行驶时间t之间的关系如图所示，当汽车行驶若干小时到达C地时，汽车发生了故障，需停车检修，修理了几小时后，为了按时赶到B地，汽车加快了速度，结果正好按时赶到，根据题意结合图回答下列问题：
（1）上述问题中反映的是哪两个变量之间的关系？指出自变量和因变量．
（2）汽车从A地到C地用了几小时？平均每小时行驶多少千米？
（3）汽车停车检修了多长时间？车修好后每小时走多少千米？
20．（2011·玉林）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.41， ≈1.73 ）
21．如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，∠ACD=∠BCO+∠BDO．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长．
22．（2018九上·佳木斯期中）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 （件）与销售单价 （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
23．（2019七下·利辛期末）观察下列各式:
;
请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题
（1）猜想: 　 　= 　 　
（2）归纳:根据你的观察，猜想，请写出一个用n(为正整数)表示的等式:
（3） 应用:计算 　 　
24．（2022·宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、均为格点.
（1）【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段、，相交于点并给出部分说理过程，请你补充完整：
解：在网格中取格点，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，　 　，
所以.
所以∠=∠.
因为∠∠ =∠ =90°，
所以∠ +∠ =90°，
所以∠ =90°，
即⊥.
（2）【拓展应用】如图②是以格点为圆心，为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使，写出作法，并给出证明：
（3）【拓展应用】如图③是以格点为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦上找出一点P.使=·，写出作法，不用证明.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：A、2和﹣2只有符号不同，它们是互为相反数，选项正确；
B、﹣2和除了符号不同以外，它们的绝对值也不相同，所以它们不是互为相反数，选项错误；
C、﹣2和﹣符号相同，它们不是互为相反数，选项错误；
D、和2符号相同，它们不是互为相反数，选项错误．
故选A．
【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相
【解答】560 000 000用科学记数法表示为5.6×108．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；
而球的三种视图都是圆形.
故答案为：C.
【分析】根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图可知：长方体、圆柱体和三棱柱的主视图都是矩形，而球的视图都是圆形.
4．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表法：
∴点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线 上的点共有：
（1，3）、（2，4）、（3，3），这3种可能，
∴其概率为： ．
故答案为：B．
【分析】利用列表法求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；去括号法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A． ，此选项计算不符合题意；
B． ，此选项计算不符合题意；
C． ，此选项计算符合题意；
D． ，此选项计算不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据整式的混合运算法则逐一进行判断即可．
6．【答案】A
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠A＝60°，∠CBF＝20°， ，
∵ ，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ABF＝180°﹣∠A
＝180°﹣60°
＝120°，
∴∠ABC＝∠ABF﹣∠CBF
＝120°﹣20°
＝100°
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得：∠A＝60°，∠CBF＝20°，AE∥BF，根据平行线的性质可得∠A+∠ABF＝180°，则∠ABF＝120°，然后根据∠ABC＝∠ABF-∠CBF进行计算.
7．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】∵y表示未改造的道路里程，x表示时间，
∴y随x的增大而减小，
∴选项A不符合题意；
∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，
∴选项C、D不符合题意；
∵施工队随后加快了施工进度，
∴y随x的增大减小得比开始的快，
∴选项B符合题意；
故答案为：B
【分析】根据y随x的增大而减小，即可判断选项A不符合题意；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项C、D不符合题意；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项B是正确的．
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设AD=BC=a，则AB=CD=2a，
∴AC=a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2=CE CA，AB2=AE AC
∴a2=CE a，2a2=AE a，
∴CE=，AE=，
∴
∵△CEF∽△AEB，
∴=（）2=，
故选A．
【分析】根据已知条件设AD=BC=a，则AB=CD=2a，由勾股定理得到AC=a，根据相似三角形的性质得到BC2=CE CA，AB2=AE AC求得CE=，AE=，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
9．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有交点，
∴ b2-4ac＜0，故②错误：
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x 的交点为（1，1），（3，3），
∴当1∴ 不等式ax2+（b-1）x+c<0的解集为1故答案为：B.
【分析】根据抛物线的开口方向即可判断①正确；
根据抛物线与x轴的交点情况，即可判断②错误；
根据抛物线的对称轴，即可判断③错误；
根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x 的交点坐标，得出当110．【答案】C
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意可以列出甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系得：
y甲=-15x+30
y乙=
由此可知，①②符合题意．
当15x+30=30x时，
解得x=
则M坐标为（ ，20），故③符合题意．
当两人相遇前相距10km时，
30x+15x=30-10
x= ，
当两人相遇后，相距10km时，
30x+15x=30+10，
解得x=
15x-（30x-30）=10
解得x=
∴④不符合题意．
故答案为C．
【分析】根据题意，确定①-③符合题意，当两人相距10千米时，应有3种可能性．
11．【答案】-2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为a+b=2，a-b=-1，
则a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-1）=-2，
故答案为：-2．
【分析】由因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）可计算
12．【答案】3
【知识点】算术平方根；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得， ， ，
解得， ，
，
解得， ，
，
算术平方根为3，
故答案为：3．
【分析】根据二次根式好有意义的条件列出不等式组求出a的值，再代入求出b的值，再将a、b的值代入计算即可。
13．【答案】7x+4=9x-8
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设有x人，依题意有
7x+4=9x 8.
故答案为7x+4=9x 8.
【分析】设有x人，根据题意直接列出方程7x+4=9x 8即可。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=8，AB=10，∴BC= =6，
∵OD⊥AC，∴AE=CE= AC=4，
在Rt△BCE中，BE= =2 ，
∴sinα= = = .
故答案为： .
【分析】连结BC，如图，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，利用勾股定理求出BC=6.根据垂径定理可得AE=CE= AC=4，在Rt△BCE中由勾股定理求出BE=2 ，由sinα= 即可求出结论.
15．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，
∴∠ABK＝∠DAE，
∴△ABK≌△ADE（ASA），
∴AK＝DE＝2，
∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，
∴△AKF∽△BKA，
∴ ＝ ，设KF＝x，
则有 ＝ ，
整理得 ，
解得x＝1或﹣4（舍弃），
∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，
∵sin∠ABK＝ ＝ ＝ ，
∴∠ABK＝30°，
∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，
∴MA＝MB，
在Rt△ABH中，∵AB＝2 ，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，
∴BH＝ AB＝ ，AH＝ BH＝3，
∵AD＝AB＝AG＝2 ，
∴HG＝2 ﹣3，
∴BG＝ ＝ ＝3 ﹣ ，
∴△BMG的周长＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2 +3 ﹣ .
故答案为： .
【分析】延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H.首先证明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性质求出FK，再证明∠ABK＝30°，把问题特殊化后即可解决问题.
16．【答案】△DPH，△LGH，△LQK.
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
∴DG＝CG＝CF＝a，
在△ADG与△DCF中 ，
∴△ADG≌△DCF（SAS），
∴∠DAG＝∠CDF，
∵∠DAG+∠DGA＝90°，
∴∠GDH+∠DGH＝90°，
∴∠DHG＝90°，
∵AG＝ ＝ a，
∴DH＝ ＝ a，
连接EG，则四边形AEGD是矩形，
∴AP＝DP＝PEPG，
∴PG＝ a，
∵△ADG∽△DHG，
∴ ＝ ，
∴HG＝ ＝ a，
∴PH＝PG﹣HG＝ a，
∴PH：DH：PD＝ a： a： a＝3：4：5，
∴△DPH是“埃及三角形”，
∵AE＝CG，AE∥CG，BE＝DG，BE∥DG，
∴四边形BEDG和四边形AECG是平行四边形，
∴BG∥DE，
∴△LGH∽△DPH，
∴△LGH是“埃及三角形”，
同理△LQK是“埃及三角形”.
故答案为：△DPH，△LGH，△LQK.
【分析】设正方形的边长为2a，根据中点的定义得出DG＝CG＝CF＝a，然后利用SAS判断出△ADG≌△DCF，根据全等三角形的对应角相等得出∠DAG＝∠CDF，根据直角三角形的两内角互余、等量代换及三角形的内角和得出∠DHG＝90°，根据勾股定理用含a的式子表示出AG，根据三角形的面积法，由DH＝ 表示出DH，连接EG，则四边形AEGD是矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等得出AP＝DP＝PE=PG，然后判断出△ADG∽△DHG，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式表示出HG，进而表示出PH，从而即可求出PH：DH：PD＝ a： a： a＝3：4：5，根据定义即可得出△DPH是“埃及三角形”，然后判断出四边形BEDG和四边形AECG是平行四边形，根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法判断出△LGH∽△DPH，故△LGH是“埃及三角形”，同理△LQK是“埃及三角形”，综上所述即可得出答案。
17．【答案】（1）解：原式=4a2﹣4a-1，当a= 时，原式=4×（ ）2﹣4× -1=-
（2）解：原式=（15x2+10xy+6xy+4y2+x2﹣4y2）÷4x=4x+4y=4（x+y），当x=2，y=﹣3时，原式=4（2﹣3）=﹣4
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题只要把a的值代入计算即可．（2）本题可把x=2、y=﹣3代入代数式，然后化简可得出代数式的值．
18．【答案】（1）解：接受调查的学生有10÷20%＝50(名)．
（2）解：听音乐的人数为50－10－5－15－8＝12(人)．
补全条形统计图如图：
“体育活动C”所对应的圆心角的度数＝ ×360°＝108°.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）利用“享受美食”的人数除以所占的百分比计算即可得解；(2)求出听音乐的人数即可补全条形统计图，由C的人数即可得到所对应的圆心角度数.
19．【答案】（1）解：根据图象可知横坐标表示时间，纵坐标表示路程．即上述问题中反映的是路程与时间两个变量之间的关系，且自变量为时间和因变量为路程．
（2）解：根据图象可知汽车从A地到C地用了3小时，平均每小时行驶 ．
（3）解：汽车停车检修了4-3=1小时，车修好后的速度为： ．
【知识点】常量、变量；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）根据函数的图象可知横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可得答案；
（2）根据函数的图象可知汽车行驶的时间 和路程，即可得到速度；
（3）观察图象可得汽车再3~4小时间路程没有增加，说明此时在检修，检修2小时走了150千米，据此求出速度。
20．【答案】解：在Rt△CEB中，
sin60°= ，
∴CE=BC sin60°=10× ≈8.65m，
∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，
答：风筝离地面的高度为10m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin60°= 可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．
21．【答案】（1）证明：连接OB．
∵∠COD=90°，且∠COD与∠CBD是分别所对的圆心角和圆周角，
∴∠CBD=∠COD=45°，
∵OB=OC，OB=OD，
∴∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO，
∵∠CBD=∠OBC+∠OBD=45°，（3分）
∴∠BCO+∠BDO=45°，
∵∠ACD=∠BCO+∠BDO，
∴∠ACD=45°，
在Rt△COD中，OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴∠OCA=90°，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：过O作OE⊥BD，垂足为E．
∴BD=2DE，
∵∠BCO+∠BDO=45°，∠BCO=15°，
∴∠BDO=30°，
在Rt△DOE中，
DE=OD cos30°=2×=．
∴BD=2DE=2．
【知识点】切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OB，首先根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半求出∠CBD，即为∠OBC+∠OBD的度数，然后根据等边对等角分别得到∠OBC=∠BCO，∠OBD=∠BDO两对角的相等，等量代换可得到∠BCO+∠BDO的度数，由已知的∠ACD=∠BCO+∠BDO，即可求出∠ACD=45°，再由△OCD为等腰直角三角形可求出∠OCD=45°，从而得到∠OCA=90°，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）中的∠BCO+∠BDD=45°，且∠BCO=15°，求出∠BDO=30°，然后在直角三角形ODE中，根据半径的长及∠BDO的度数，利用30°的余弦值即可求出DE的长，最后根据垂径定理可得BD=2DE求出结果．
22．【答案】（1）解：由题意得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700．
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30） y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
（3）解：w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，一次函数关系式可设y=kx+b。
（2）由利润=销售量×单件利润可以列出利润表达式，再通过二次函数的性质即可求出利润的最大值；
（3）首先根据利润w与单价x的表达式求出利润为3600元对应的x的值，再根据增减性即可求出销售单价x的范围。
23．【答案】（1）1+-；
（2）
（3）原式=
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据已知条件计算得到答案即可。
（2）根据已知的规律，将n代入进行表示。
（3）根据发现的规律将原式进行变形写出答案即可。
24．【答案】（1）tan∠DCE=
（2）解：如图中，点P即为所求，
作法：取个点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；
证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，
∴.
（3）解：如图中，点P即为所求，
作法：取各店J、K，连接JK交AB于点P，点P即为所求。
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE.
在Rt△ABC中，
在Rt△CDE中，，
所以.
所以∠BAC=∠DCE.
因为∠ACP ∠DCE =∠ACB =90°，
所以∠ACP +∠BAC =90°，
所以∠APC =90°，
即AB⊥CD.
故答案为：；
【分析】（1）在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE，利用三角函数的概念求出tan∠BAC、tan∠DCE的值，得到∠BAC=∠DCE，结合∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°可得∠ACP +∠BAC=90°，利用内角和定理可得∠APC =90°，据此解答；
（2）取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求，由作图可知：OM⊥AP，OM是半径，则；
（3）取各店J、K，连接JK交AB于点P，由圆周角定理可得∠APM=∠ABM，又∠MAP=∠MAB，则△MAP∽△MAB，则AM2=AP·AB.
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