江西省赣州市兴国中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

兴国中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用检皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知等差数列中，，则的值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
2．等差数列的前n项和记为，且，，则=（ ）
A．70 B．90 C．100 D．120
3．已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中，真命题的是（ ）
A．若回归方程，则变量y与x正相关
B．线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8
D．若随机变量X服从正态分布，，则
6．已知函数f(x)的导数，且f(x)在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知梯形ABCD中，，，，，点P，Q在线段BC上移动，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数,则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前n项积为，则（　　）
A．数列单调递增 B．数列单调递减
C．的最大值为 D．的最小值为
10．若的展开式中第项的二项式系数最大，则的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知定义在区间上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称为函数在上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，.则下列说法错误的是（ ）
A． B．数列为等差数列
C． D．
三、填空题（共20分）
13．一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为1，则______．
14．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么，， 就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为，，．已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有名第一代传播者，名第二代传播者，名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______．
15．数列满足，，，则________.
16．已知函数,则不等式的解集为______．
四、解答题（共70分）
17．已知是数列的前项和，，，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求．
18．已知函数．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数的极值．
19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且外接圆的圆心到准线的距离为
（1）求抛物线的方程；
（2）若点在抛物线上，过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，求面积的取值范围.
20．如图，在多面体中，底面是正方形，，，底面.
(1)证明：平面；
(2)若，求该多面体的体积.
21．已知数列各项都是正数，，对任意n∈N*都有．数列满足，（n∈N*）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列满足cn＝，数列的前n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求的取值范围．
22．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）是否存在实数，使得对任意的，恒有成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．C
设公差为，
则.
故选：C.
2．D
在等差数列中，成等差数列，
所以，则，即.
故选：D.
3．B
由题意，得，又在上恒成立，所以.
而当时，恒为0，此时（），不具有单调性，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：B
4．D
记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，
所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.
故选：D.
5．C
，，则变量y与x负相关，A项错误；
在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故B项错误.
若样本数据的方差为2，则数据的方差为，C项正确；
因为X服从正态分布，，
则，故D项错误；
故选：C
6．B
（1）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
（2）当时，函数无极值，不符合题意；
（3）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极大值，符合题意；
（4）当时，，函数无极值，不符合题意；
（5）当时，
当时，，当时，，
则在处取到极小值，不符合题意；
综上所述，
故选：．
7．D
如图，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
因为梯形ADBC中，，，，所以，
不妨设，，
则
，
所以当时，取得最小值，
故选：D．
8．B
由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
9．BC
等比数列{an|的各项均为正数，，，
所以，即，又q＞0，解得q或q＝-1（舍），
所以数列为单调递减数列，A错误，B正确；
则，易得：，，
所以的最大值为，C正确，D错误．
故选：BC．
10．ABC
分以下三种情况讨论：
①展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
②展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得；
③展开式中第项和第项的二项式系数最大，则展开式共项，可得，得.
因此，的可能值为、、.
故选：ABC.
11．AD
对于A选项，，，
由，所以，，
当时，，如下图所示：
由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，
A选项满足条件；
对于B选项，，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，，，
由，可得，
故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.
故选：AD.
12．ABC
，，则，
设切点坐标，则切线斜率
则，
整理得
则选项BC错误；
由，则选项D判断正确；
若，则，则，这与题意矛盾，故选项A判断错误.
故选：ABC
13．1
因为，
所以，
令，可得．
故答案为：1
14．0.81/
设事件“小明与第一代传播者接触”，
事件“小明与第二代传播者接触”，
事件“小明与第三代传播者接触”，
事件“小明被感染”，
则，，，
，，，
所以，
所以所求概率为0.81．
故答案为：0.81.
15．
，即，
，
由等比中项法可知，数列为等比数列，且公比为，
，解得.
故答案为：.
16．
解:由题意可知,函数的定义域为,
且,
所以函数为偶函数,
当时,
因为不恒为零,所以函数在上为增函数,
因为,只需,
即,可得,
整理可得,解得.
故答案为:
17．（2）．
（1）证明：因为，
所以，
即．
因为，，所以，
故数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）解：由（1）知．
因为
，
所以．
所以，
故．
18．（1）；（2）极大值为；极小值为.
（1），，
从而，，
因此，函数点处的切线方程为：．
（2）令得或
则当变化时，与的变化情况如下表
3
0 0
递增 递减 递增
∴函数的单调递增区间是，，
函数的单调递减区间是；
当时，取得极大值，极大值为；
当时，取得极小值，极小值为．
19．（1）；（2）.
（1）由题意，的焦点为，准线
由外接圆的圆心在的垂直平分线上
所以外接圆的圆心横坐标为
又因为外接圆的圆心到准线的距离为
所以，所以，所以抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为
由韦达定理得
因为轴，则
因为，令
所以
所以，即
所以的面积的取值范围为
20．
(2)
（1）如图，
连接，交于点，取的中点，连接，.
因为底面是正方形，所以是的中点，所以，.
又，，所以，，
故四边形是平行四边形，则.
又平面，平面，所以平面.
（2）设该多面体的体积为，则.
因为底面，所以，
又，，所以平面，同理可得平面.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.
故该多面体的体积.
21．(1)，n∈N*；
(2)
（1）数列各项都是正数，，对任意n∈N*都有，①
当时，，②
①﹣②可得，
因为数列各项都是正数，
所以可化为，
因为，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，n∈N*；
数列满足，（n∈N*），
可得，
当时，，又，
两式相减可得，
所以的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n﹣1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
两式相减可得
化为，
若不等式对一切n∈N*恒成立，
即为恒成立，
设，
﹣1＝﹣1＝﹣1＝，
当时，，当时，，
所以时，取得最大值，
则﹣9，解得﹣，
即λ的取值范围是．
22．（1）；（2）．
（1）,
，切点为，切线斜率,
在 处的切线方程为．
（2）在上恒成立，
也就是在上的最大值小于0．
令，，
，
①若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
的最大值为，．
②若，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
的最大值为，从而，
其中，由，得，这与矛盾．
综合①②可知：当时，对任意的，恒有成立．