南平市重点中学2022-2023学年度第二学期高二年级数学科期中考试试题卷
参考答案：
1．D
【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，再由集合交集的运算即可求解.
【详解】集合，集合，
则，
故选：D.
2．C
【分析】根据两点分布的方差公式求解．
【详解】由题意，解得或．
故选：C．
3．D
【分析】根据正态分布的性质求解即可．
【详解】由已知，，则，
故选：D
4．B
【分析】先用捆绑法再用插空法计算.
【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有 种排法，排好后包括左右两边有5个空，
再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有 种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有 种方法；
所以总的排列方法数为： ；
故选：B.
5．A
【分析】写出的展开式通项公式，计算，然后由多项式乘法法则得的系数．
【详解】的展开式通项公式为，
，
所以的展开式中，的系数为：
．
故选：A．
6．B
【解析】根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.
【详解】，，，
当且仅当时取等，
故选：B.
【点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.
7．C
【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.
【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，
其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，
记事件为“有一枚正面朝上”，则，
记事件为“另外两枚也正面朝上”，
则为“三枚都正面朝上”，故，
故.
即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是.
故选：C.
【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．
8．D
【分析】构造函数，由导数确定单调性比较的大小后可得结论．
【详解】设，则，
时，，单调递减，
，则，
所以，即，，
所以，即．
故选：D．
9．BCD
【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.
【详解】对于A,因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误；
对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】利用赋值法可判断选项ABD，由展开式的通项公式可判断选项C.
【详解】因为，令，得，故A正确；
令，得，所以，故B错误；
展开式的通项为，令，得，所以，故C错误；
令，得，所以，所以，所以，故D正确.
故选：AD.
11．BD
【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.
【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；
随机变量，，
则，因此选项B正确；
线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；
由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.
故选：BD.
12．AC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
13．
【分析】先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
14．
【分析】根据唱歌和跳舞相邻和游戏不安排在第一个，先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，然后将游戏进行插空即可求解.
【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，然后
将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，
由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，
故答案为：.
15．
【分析】求出，即得解.
【详解】解：因为，
所以，，，．
又，
又，所以．
故答案为：.
16． 0.10
【分析】由可求出，可得，依次推导即可求出.
【详解】，
因为，
所以，
以此类推，可得
……
.
故答案为：；0.10.
17．（1）；（2）.
【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；
（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案
【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.
②当B不是空集时，∵，，∴
综上①②，.
（2），使得，∴B为非空集合且.
当时，无解或，，
∴.
18．(1)6
(2)
(3)960
【分析】（1）根据前三项的二项式系数和得到方程，求出；（2）在第一问求出的基础上，求出展开式中二项式系数最大的项为第4项，根据通项公式求出答案；（3）根据展开式通项公式得到.
【详解】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22，
∴，
∴，
∴或（舍）
故的值为6
（2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为，
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即
（3）设展开式中常数项为第项，即，
令，则，
∴，
故展开式中的常数项为第5项，即960
19．（1）依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的；（2）
【详解】
解：（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为，
可得患颈椎疾病的为30人，
故可得列联表如下：
患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计
白领 20 5 25
蓝领 10 15 25
合计 30 20 50
因为，
即，
所以，
又，
所以，依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的．
（Ⅱ）现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查，
记选出工龄在15年以上的人数为，则．
故，，，，
则的分布列为：
0 1 2 3
P
则．
20．(1)954人
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）根据题意求出正态分布的均值，结合正态分布相关性质即可求解；
（2）先求出从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率，再根据二项分布相关知识求解即可.
【详解】（1）根据题意，可得
，
所以．
又因为，，
所以，所以人．
故答对题数在内的人数约为954人．
（2）从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率为.
由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
．
的分布列为
0 1 2 3 4
则．
21．(1)更适合
(2)，43600件
(3)分布列见解析，
【分析】（1）观察散点图，根据散点的分布规律判断应采用的模型；
（2）令，先求y与的线性回归方程，由此可得y与的回归方程，再利用回归方程预测；
（3）确定随机变量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望.
【详解】（1）由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，
所以选择回归方程更适合；
（2）令，则，
因为，，
所以，
又，，
所以，
所以y与的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为.
令，代入回归方程可得（千件），
所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.
（3）由散点图可知，这10名主播中，优秀主播的个数有4个，
所以X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望.
22．(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则 彼此互斥，求出相关的概率，
再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则 彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是发生的条件下发生的概率：.南平市重点中学2022-2023学年度第二学期高二年级数学科期中考试试题卷
（试题总分：150分 答题时间：120分钟 ）
一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若离散型随机变量X服从两点分布，且，，则（ ）
A． B． C．或 D．
3．已知随机变量，且，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.85 D．0.7
4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（ ）
A．480 B．960 C．1080 D．1440
5．的展开式中，的系数为（ ）
A．145 B．144 C．81 D．1
6．设随机变量的分布列如下
1 2 3 4 5 6
其中构成等差数列，则的（ ）
A．最大值为 B．最大值为
C．最小值为 D．最小值为
7．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选得2分，错选不得分）
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据的方差为4，则数据的方差为9
B．若随机变量，，则
C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱
D．若事件A，B满足，，，则有
12．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
13．已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
14．浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌 跳舞 小品 相声 朗诵 游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有___________种（结果用数字作答）
15．设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．
16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则______，______（第二空精确到0.01）.
四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，第18-22题每题12分）
17．已知集合
（1）若，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
18．二项式展开式前三项的二项式系数和为22；
(1)求的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的常数项．
19．为了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如下的列联表.
患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计
白领 5
蓝领 10
合计 50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为.
（1）①请完成上表；
②依据小概率值的独立性检验，分析患颈椎疾病与工作性质有关？
（2）已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3为工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中，
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：
答对题数
频数 10 185 265 400 115 25
答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．
(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；
(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
21．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.
(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）
(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：
9.4 30.3 2 366 6.6 439.2 66
其中令，.根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量；
(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主播的人数为，求的分布列和数学期望.
参考数据和公式：，
附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
22．某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
答案第12页，共12页
