永昌县 2022-2023-2期中试卷
高二数学答案
1.B [因为f'(x)=ex+sinx,所以f'(0)=e0+sin0 又a =-420230 ,
=1.] a 1 a+ 2
a
+ 3
所以 +…
a
+ 2023=42023 -32023,D正确.]
2.C [对于 A,已知 A,B,C,D,E 是空间任意五 5 52 53 52023
点,则AB→+B→C+CD→+DE→+EA→=0≠0,A为假 16.C [由f(x)=2ax-lnx,得f'(x)=2a-x=
命题;对于B,若两个非零向量AB→ 与D→C 满足AB→
2ax-1
=D→C,则AB=DC,AB∥DC,所以四边形ABCD ,∵f(x)在(1,3)上不单调,∴f(x)在x
是平行四边形,B为假命题;对于C,分别表示两个
(,) 1上有极值点, 当 时, ( )
空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,但是 13 ∴ a=0 f'x =-x<0
两个空间向量可以平移到同一平面内,则这两个向 在(1,3)上恒成立,f(x)在(1,3)上单调递减,不满
量可以是共面向量,C为真命题;对于D,对于空间 1
→ 足题意;当a≠0时,令f'(x)=0,得x= ,的任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP= 2a
xOA→+yOB→+zO→C(x,y,z∈R),当且仅当x+y+ 1 1 1则1<2a<3
,解得
6
]
z=1时,P,A,B,C , ] 2四点共面 D为假命题.
7.B [设A→B=a,AD→=b,AA→1=c,因为这三个向量1
3.C [由题意可知,f'(x)=x+a
, 不共面,故{a,b,c}构成空间的一组基,且|a|=2,
因为直线y=x是函数f(x)=lnx+ax 的切线,设切 |b|=2,|c|=2,则BC
→
1=b+c,CA
→
1=-a-b+c,
点坐标为(m,lnm+am), BC→ →1·CA1=(b+c)·(-a-b+c)
1 2 2
f'(m)=m+a=1
, =-a·b-a·c-b -b·c+c·b+c
所以
1
f(m)=lnm+am=m, =0-2×2× -4+4=-2,2
m=e,
解得 ] |BC
→
1|= (b+c)2= b2+2b·c+c2 1
a=1- .
e 1= 4+2×2×2× +4=23,
4.C [当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当 2
x∈(-3,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增,所以-3 |CA→1|= (-a-b+c)2
是f(x)的极小值点,无极大值点,所以B错误;单调递 = a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c
减区间为(-∞,-3),单调递增区间为(-3,+∞),所以
= 4+4+4+0-4-4=2,
C正确;当x=-3时,函数f(x)取到最小值,所以D错 →· →
误;不能确定f(-3)的值是否为0,所以A错误.] cos
BC CA
= 1 1
-2
所以 1 1 → → =
5.D [(5x-4)2023=a0+a1x+a2x2+ax33 +…+ |BC1||CA1| 23×2
a x2023 2023 ,令x=0,得a 20230=-4 ,A错误; 3=- ,又因为异面直线所成角的范围是 π0, ,
令x=1,可得a0+a1+a2+a3+…+a 2023=1, ① 6
2
令x=-1,可得a0-a1+a 2-a3+…-a2023 3所以BC1 与CA1 所成角的余弦值为 .]
=-92023, ② 6
… 1+9
2023 3 1 2
①-②得a +a +a + +a = ,B错误; 8.D [因为a=ln4- ,5b=ln3-2=ln3-
,
1 3 5 2023 2 4
… 1-9
2023 2 4
①+②得a +a +a + +a 0 2 4 2022= ,C错误; c=ln5-3=ln5-
,
2 6
1 1 2023 1 x-1令x= ,可得 故可构造函数 (x)=lnx- ,x∈(0,+∞),5 5×5-4 =a0+a1× f5+a2 x+1
2 3 2023 x2
× 1 +1+a 13× +…+a 1 2023× , 则f'(x)=x(x+1)2>0,5 5 5
a a a a 所以 (1 2 3 2023 f x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(3)<
即a0+5+ 2+ 3+
…+ 2023
5 5 52023
=-3 ,
f(4)高二数学试卷答案 第1页,共4页
9.BC [二项式(2x-1)9 的展开式共有10项,与首 3
“ ” 所以 ()有两个极值点,为 ,故 正确;末两端 等距离 的二项式系数相等,中间两项的二 f x x=±3 A
项式系数最大,分别是第5项和第6项,故BC符合 23 23
题意.] 因为f 3 =1+ >0,f 3- 9 =1- >3 3 9
π
10.BD [对于A,常数cos 的导数等于 , 错误; 0,f(-2)=-5<0,3 0A
对于B,令y=sin2x,u=2x,则y=sinu, 所以函数f(x)的图象在 ,3-∞ 上与x 轴有一3
y'x=y'u·u'x=(sinu)'·(2x)'=2cos2x, 个交点,
B正确;
3
, cosx (cosx)'·x-cosx·x' 当x≥ 时,(x)≥
3 >0,即函数 (x)的图
对 于 C ' = f f fx x2
3 3
-xsinx-cosx 象在 3, ; ,+∞ 上与x 轴无交点,= 2 C错误x 3
1 综上所述,函数f(x)的图象与x 轴有一个交点,
对于D,利用公式(log ax)'= (a>0,a≠ )可xlna 1 故B错误;
3
知D正确.] 令函数h(x)=x -x,该函数的定义域为R,
11.ABD [由题意可知,l∥AD, h(-x)=(-x)
3-(-x)=-x3+x=-h(x),
因为PD=AD=1,则D(0,0,0),A(1,0,0), 则函数h(x)是奇函数,点(0,0)是曲线y=h(x)的
B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1), 对称中心,将函数h(x)的图象向上平移一个单位
因为PQ=m(m>0), 长度得到函数f(x)的图象,
所以Q(m,0,1),故A正确; 所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心,故C正确;
D→C=(0,1,0),DQ→=(m,0,1),设平面QCD 的法 若函数g(x)=f(x)-ax(a∈R)存在单调递减区间,
2
向量为n=(x,,z), 则g'(x)y =3x -1-a<0
有解,即a>3x2-1有
解, 所以a>-1,故D错误.]
D
→C·n=0, y=0,
则 即 13.30
DQ→·n=0, mx+z=0, 解析 根据题意,若A,B,C,D 四人去参加数学、
令x=1,则z=-m, 物理、化学三科竞赛,每个同学只能参加一科竞赛,
所以平面QCD 的一个法向量为n=(1,0,-m), 且这三科都有人参加,则共有C2A34 3 种情况;
故B正确; 若A,B,C,D 四人去参加数学、物理、化学三科竞
当m=1时,n=(1,0,-1),DB→=(1,1,0),所以点 赛,每个同学只能参加一科竞赛,且这三科都有人
DB→·n 参加,A 和B 参加同一科,则有C2A32 3 种情况,B 到 平 面 QCD 的 距 离 d = n = 所以满足题意的情况共有C24A3-C23 2A33=30(种).
1 2
= ,故C错误; 14.2
12+(-1)2 2 解析 因为(ax-y)8 的展开式中含x3y5 的项为
→ → C5(ax)3(-y)5=-56a3x3 5当m=2时,QC=(-2,1,-1),AC=(-1,1,0), 8 y ,
8 3 5 3
点 Q 到 直 线 AC 的 距 离 的 平 方 d'2 = Q→C 2 所以(ax-y) 的展开式中xy 的系数为-56a
→ =-448,所以· a=2. AC Q
→C 2 2 2+1
2
-
A→
=
C 2
2+2 - 2 3= ,故2 215.3
D正确.] 解析 依题意,以A 为坐标原
12.AC [由题意得f'(x)=3x2-1,令f'(x)>0,
点,分 别 以 AB→,AD→,AE→ 为
3 3
则x> 或x<- , x 轴、y 轴、z轴的正方向,并均3 3
以1为单位长度,建立空间直
() , 3 3令f'x <0 则- 可得A(0,0,0),B(1,0,0),
所 以 f (x)在 3 3- , 上 单 调 递 减,在 D(0,1,0),C(1,2,0),3 3 E(0,0,2),F(1,2,1).
3 3 → → →-∞,- , ,+∞ 上单调递增, 则BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),BF=(0,2,1),3 3
设m=(x,y,z)是平面BDE 的法向量,
高二数学试卷答案 第2页,共4页
BD→·
3 3
m=-x+y=0
, ∴展开式中第4项的系数为Cm ·2,倒数第4项
则 → m-3 m-3BE·m=-x+2z=0, 的系数为Cm ·2 ,…………………… (4分)
3 3
令x=2,则y=2,z=1, Cm·2 1 1 1∴ m-3 m-3= ,即 m-6= ,∴m=7. … (6分)
所以m=(2,2,1)是平面BDE 的一个法向量,设 Cm ·2 2 2 2
BF 与平面BDE 所成的角为θ, (2)由(1)可知,m=7,
m
π ∴ x2 2+ 的展开式的通项为T =Cr r0≤θ≤ , r+1 m ·22 x
→· · 2m-
5r 14-5r
|BF m| 5 5 x 2=Cr·2r·x 2 则sinθ= 7 .
|BF→
= = ,
||m| 35 3 二项展开式共有8项,中间两项即为第4项和第
2 5项, ……………………………………… (2 , 7
分)
cosθ= 1-sinθ=3 5×3 13
∴T =C3· 3·
14-
4 7 2 x 2 =280x2, ……… (9分)
2
所以BF 与平面BDE 所成角的余弦值为 . 4· 4· 14-
5×4
3 T =C 2 x 2 =560x45 7 .………… (11分)
16.(-∞,0) 2 2
m
∴ x + 的 展 开 式 的 中 间 两 项 分 别 为() () x
解析 x x 令g(x)=
f
x 2,即g(x)( ) =
f ,
e e2x 13280x2,560x4.…………………………… (12分)
∵2f(x)2b
f'(x)-2f(x) 19.解 (1)因为函数f(x)=alnx+ ,定义域为∴g'(x)= 2x >0,∴g(x)在 R上单 xe (0,+∞), ………………………………… (1分)
调递增;又f(x+2)为偶函数, a 2b ax-2b
∴f(2+x)=f(2-x),∴f(0)=f(4)=2, 所以f'(x)= - 2= 2 ,………… (2分)x x x
() f
(0)
∴g0 = =2,则不等式f(x)<2(ex)2 等价 依题意可知,f(1)=2b=2,f'(1)=a-2b=0,…e0 ………………………………………… (4分)
f(x) f(x)于 f
(0) 解得a=2,b=1,…………………………… (5分)
e2x
<2,即
e2x
< 0 ,即g(x)(0),
2x-2
又∵g(x)在R上单调递增,可得x<0. 所以f'(x)= 2 ,令f'(x)>0,得x>1;x
∴不等式的解集为(-∞,0). 令f'(x)<0,得017.解 (1)因为|c|=22, 因此函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上
所以 x2+22+22=22,解得x=0, 单调递增,当x=1时,函数f(x)取得极小值,满
所以c=(0,2,2),………………………… (2分) 足题意.
且ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2). …… (3分) 所以a=2,b=1.…………………………… (6分)
因为向量ka+b与c垂直, (2)由(1)可知g(x)=xf(x)=2xlnx+2,
所以(ka+b)·c=0,即2(1-k)+2(2k ) () (+2 =0, g'x =2lnx+1),……………………… (8分)
解得k=-3. 令g'(x)>0,
1
得x> ;e
所以实数x 和k的值分别为0和-3.…… (5分)
() 12 因为向量c 与向量a,b 共面,所以设c=λa+ 令g'(x)<0,得0μb(λ,μ∈R),……………………………… (6分) 1 1
所以(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+ (-1,1,2), … (7分) 所以g(x)在 0, 上单调递减,在μ e ,e +∞ 上
1x=- , 单调递增,………………………………… (10分)
2
x=-2λ-μ, () 11 所以g x 在x= 处取得极小值,也是最小值,故即 2=μ-λ, 解得 λ=- , e2
2=2λ+2μ, 3 g(x)min=g 1 2=2- . ……………… (12分)
μ= , e
e
2 20.(1)证明 ∵PC⊥平面 ABCD,AC 平面 AB-
1
所以实数x 的值为- .………………… (10分) CD,∴AC⊥PC,…………………………… (2分)2 ∵底面ABCD 是直角梯形,AB=2,AD=CD=1,
18.解 (1)展开式的通项为Tr+1=Crm ·(x2)m-r·
1 5r ∴AC=BC= 2,-
2x 2 r
2m-
=Crm·2r·x 2,……………… (2分) ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC, ……… (4分)
高二数学试卷答案 第3页,共4页
又BC∩PC=C,BC,PC 平面PCB, 32
所以函数y= +64ln(x+0.48)-10在(0,0.8)
∴AC⊥平面PCB.………………………… (5分) x
(2)解 如图,取 AB 的中点 上单调递减,在(0.8,16]上单调递增.
F,连接CF,则CF⊥CD,以 …………………………………………… (10分)
C 为坐标原点,CF→,CD→,CP→ 所以当x=0.8时,y 有最小值,
、 、 32 分别为x 轴 y 轴 z 轴的正 最小值为
0.8+64ln1.28-10
≈44.72.
方向,并均以1为单位长度,
16
建立空间直角坐标系, 此时需要新建高压电线塔的个数为
0.8-1=19.
……………………………………………… (7分) 故需要建19座高压电线塔才能使 有最小值,最
则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,
y
0). 小值是44.72. …………………………… (12分)
设P(0,0,a)(a>0),则E 1, 1,a- , 22.解 由题意得,函数f(x)的定义域为R,2 2 2
→ → f'(x)=[x
2-(a+1)x+a]ex=(x-1)(x-a)ex,
PB=(1,-1,-a),CA=(1,1,0), ……………………………………………… (2分)
CP→=(0,0,a),CE→= 1, 1- ,a , …… (8分) 令f'(x)=0,得x1=1,x2=a. ………… (3分)2 2 2
→ ①当a=1,即x1=x2 时,f'(x)≥0恒成立,取m=(1,-1,0),则m·CA=m·CP→=0, 此时,函数f(x)在定义域内单调递增,
∴m 为平面PAC 的一个法向量.………… (9分) 所以函数f(x)在定义域内没有极值.…… (5分)
设n=(x,y,z)为平面EAC 的法向量, ②当→ a>1
,即x1n· CA=0
, x+y=0, 当 ( ,)和
则 即 取x=a, x∈ -∞ 1 x∈
(a,+∞)时,f'(x)>0,此
n·CE→=0, x-y+az=0, 时函数f(x)在区间(-∞,1)和(a,+∞)上单调
则y=-a,z=-2, 递增;
则n=(a,-a,-2)为平面EAC 的一个法向量, 当x∈(1,a)时,f'(x)<0,此时函数f(x)在区间
…………………………………………… (10分) (1,a)上单调递减,
|m·n| a 6 所以当x=1时,函数f(x)有极大值f(1)=(a+1)e;
∴|cos|= ,… ( 分)|m||n|= = 11a2+2 3 当x=a时,函数f(x)有极小值f(a)=(3-a)e
a.
→ (, , ) ……………………………………………… (8分)解得a=2.∴PB= 1 -1 -2 .
→ ③当a<1,即x1>x2 时,∴PB=|PB|= 12+(-1)2+(-2)2=6.…… (12分) 当x∈(-∞,a)和x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此
21.解 (1)由 题 意 知,需 要 新 建 高 压 电 线 塔 时函数f(x)在区间(-∞,a)和(1,+∞)上单调
16-1 座,………………………………… (1分) 递增;x
当x∈(a,1)时,f'(x)<0,此时函数f(x)在区间16
所以y=2 16-1 + ·4x[ (x x lnx+0.48)-0.125] (a,1)上单调递减,
……………………………………………… (4分) 所以当x=1时
,函数f(x)有极小值
f(1)32 =
(a+1)e;
= +64ln(x+0.48)-10(032 64 f(a)=(3-a)e
a.………………………… (11分)
(2)由(1)得y'=-x2
+x+0.48 综上所述,当a=1时,f(x)没有极值;
32(2x2-x-0.48) 32(x-0.8)(2x+0.6) 当a>1时,f(x)有极大值f(1)=(a+1)e,极小
=
x2
= ,(x+0.48) x2(x+0.48) 值f(a)=(3-a)ea;
令y'=0,得x=0.8或x=-0.3(舍).… (7分) 当a<1时,f(x)有极小值f(1)=(a+1)e,极大
令y'>0,则0.8高二数学试卷答案 第4页,共4页
永昌县2022-2023-2期中试卷 高二数学
(时间:120分钟 满分:150分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡相应的位置.
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案用0.5毫米
及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的)
1.已知函数f(x)=ex-cosx+1(e为自然对数的底数),则f'(0)等于 ( )
A.0 B.1 C.2 D.e
2.下列四个命题中为真命题的是 ( )
A.已知A,B,C,D,E 是空间任意五点,则AB→+B→C+CD→+DE→+EA→=0
B.若两个非零向量AB→ 与D→C 满足AB→=D→C,则四边形ABCD 是菱形
C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量
D.对于空间的任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP→=xOA→+yOB→+zO→C(x,y,z∈R),
则P,A,B,C 四点共面
3.若直线y=x 是函数f(x)=lnx+ax 的切线,则实数a 的值为 ( )
1 1
A.1 B.e C.1-e D.2-e
4.定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则以下结
论正确的是 ( )
A.-3是函数f(x)的一个零点
B.-2是函数f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递增区间是(-3,+∞)
D.f(x)无最小值
5.若(5x-4)2023=a0+a1x+a2x2+ax3+…+a x2023 3 2023 (x∈R),则 ( )
2023
A.a =42023
1-9
0 B.a1+a 3+a5+…+a2023= 2
… 1+9
2023 a
C.a +a +a + +a = D.1
a2 a a + + 3+…+ 2023=42023 2023 0 2 4 2022 2 5 52
-3
53 52023
6.若函数f(x)=2ax-lnx 在(1,3)上不单调,则实数a 的取值范围为 ( )
A.(2,6) B.(-∞,2)∪(6,+∞)
C. 1,16 2 D. 1 1-∞,6 ∪ ,2 +∞
高二数学试卷 第1页,共4页
7.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=2,AA1=2,∠BAA1=∠DAA1=
60°,∠BAD=90°,则BC1 与CA1 所成角的余弦值为 ( )
3 3
A.-6 B.6
2 2
C.-4 D.4
3 1 5 4
8.若a=ln4- ,5b=ln3-
,
2c=ln +
,则 ( )
e2 3
A.a二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题
目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.在二项式(2x-1)9 的展开式的各项中,二项式系数最大的项是 ( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
10.下列结论中,正确的是 ( )
π
A. πcos3 '=-sin3 B.(sin2x)'=2cos2x
cosx xsinx-cosx 1C. x '= x2 D. log5x '=xln5
11.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形,PD⊥底面 ABCD,l⊥平面
PDC,垂足为P,Q 为l上的点,PD=AD=1,以D 为坐标原点,分别以
DA→,D→C,DP→ 为x,y,z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐
标系,设PQ=m(m>0),则 ( )
A.Q(m,0,1)
B.平面QCD 的一个法向量为n=(1,0,-m)
C.当m=1时,点B 到平面QCD 的距离为 2
当 3D. m=2时,点Q 到直线AC 的距离的平方为2
12.已知函数f(x)=x3-x+1,g(x)=f(x)-ax(a∈R),则 ( )
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)的图象与x 轴有三个交点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心
D.若g(x)存在单调递减区间,则a≥-1
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.A,B,C,D 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛,每个同学只能参加一科竞赛,若A 和B 不参
加同一科,且这三科都有人参加,则不同的情况种数是 .
14.若(ax-y)8 的展开式中x3y5 的系数为-448,则a= .
15.如图,已知AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=
1,BC=2.若 AE=2,CF=1,则 BF 与平面BDE 所成角的余弦值为
.
16.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足2f(x)f(x+2)为偶函数,若f(4)=2,则不等式f(x)<2(ex)2 的解集为 .
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四、解答题(本题共6小题,共70分)
17.(10分)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2).
(1)当|c|=22时,若向量ka+b与c垂直,求实数x 和k的值;
(2)若向量c与向量a,b共面,求实数x 的值.
( ) 2
m
18.12分 已知在 x2+ 的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.x
(1)求m 的值;
2 m(2)求 x2+ 的展开式的中间两项.x
2b
19.(12分)当x=1时,函数f(x)=alnx+ (x a
,b∈R)取得极小值2.
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数g(x)=xf(x)的最小值.
高二数学试卷 第3页,共4页
20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD 是直
角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E 是PB 的中点.
(1)求证:AC⊥平面PCB;
(2)若二面角
6
P-AC-E 的余弦值为 ,求线段3 PB
的长度.
21.(12分)某地规划了一个工业园区,需要架设一条16千米的高压线,已知该段线路两端的高压
电线塔已经搭建好,余下的工程只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和
架设电线.已知一座高压电线塔为2万元,距离为x 千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人
工费等为4x[ln(x+0.48)-0.125]万元,所有电线塔都视为“点”,且不考虑其他因素,记余下的
工程费用为y 万元.
(1)试写出y 关于x 的函数关系式;
(2)需要建多少座高压电线塔才能使y 有最小值 最小值是多少
(参考数据:ln2≈0.69,ln10≈2.30)
22.(12分)已知函数f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex,a∈R,讨论函数f(x)的极值.
高二数学试卷 第4页,共4页