浦城县2022-2023学年第二学期期中考试高二数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，总40分。每小题只有一个选项符合题意）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
3．已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围（ ）
A． B．
(
3
)C． D．
4．已知随机变量的分布列如表，若E（）=5，则（ ）
A． B．4
C．6 D．12
5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵
中的第m行第n个数，则（ ）
A．5050 B．4851
C．4950 D．5000
7．已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。把正确选项填在选择题答题区域相应的题号内。）
9．盒子中共有个白球和个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（ ）
A．“取到个白球”和“取到个黑球”是对立事件
B．“第一次取到白球”和“第二次取到白球”是相互独立的事件
C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为
D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．是的极大值 B．函数有且只有个零点
C．在上单调递减 D．设，则
11．的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项系数和为64 B．常数项为第4项
C．整式共有3项 D．项的系数
12．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,．假设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，且p是关于x的方程：的一个最小正实根，则下列说法正确的是（ ）
A．1是方程：的根 B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）
13．已知随机变量，若，则_________.
14．展开式中，二项式系数最大的项的系数为___________．（用数字填写答案）
15．某班宣传小组有3名男生和2名女生.现从这5名同学中挑选2人参加小剧场演出，在已知抽取到有男生的条件下，2名都是男生概率是______.
16．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，.若，则的取值范围___________.
四、简答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分。解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。）
17．（10分）已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.
（1）若，求；
（2）求展开式中系数最大的项.
18．（12分）．经研究，中小学生户外活动时间太少，长时间看近处是导致近视的主要原因，现通过随机抽样的方式调查某地100名中小学生每天进行户外活动的时间和孩子的视力情况（规定每天户外活动时间不足1小时的为居家型，其余为户外型），经统计得到如下列联表：
不近视 近视 合计
居家型 30
户外型 30
总计 50 100
（1）请将列联表补充完整，并判断是否有95％以上的把握认为“是否为居家型与近视与否”有关？
（2）从这50名不近视的学生中按是否居家型采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5名学生中随机选取3名做深度采访，求这3名学生中居家型学生人数X的分布列与数学期望.
参考数据：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（参考公式：，其中.）
19．（12分）已知函数，其中
（1）若函数的极小值为0，求实数m的值；
（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．
20．（12分）成都是全国闻名的旅游城市，有许多很有特色的旅游景区某景区为了提升服务品质，对过去天每天的游客数进行了统计分析，发现这天每天的游客数都没有超出八千人，统计结果见下面的频率分布直方图：
为了研究每天的游客数是否和当天的最高气温有关，从这一百天中随机抽取了天，统计出这天的游客数千人分别为、、、、，已知这天的最高气温依次为、、、、．
（1）根据以上数据，求游客数关于当天最高气温的线性回归方程（系数保留一位小数）；
（2）根据(1)中的回归方程，估计该景区这天中最高气温在内的天数
保留整数
参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是；其中：，．
本题参考数据：，．
21．（12分）2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市！为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：
（1）在这10所学校中随机选取3所
来调查研究，求这3所学校参
与“自由式滑雪”都超过40人
的概率；
（2）“单板滑雪”参与人数超过45人
的学校可以作为“基地学校”，
现在从这10所学校中随机选出
3所，记为选出可作“基地学
校”的学校个数，求X的分布列
和数学期望；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，
对“滑行、转弯、停止”这3个
动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到不少于5次，那么理论上至少要进行多少轮测试？
22．（12分）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
高二数学期中考试试题第3页（共4页）浦城县2022-2023学年第二学期期中考试高二数学试题
参考答案
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，总40分）
1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．CD 10．BCD 11．AC 12．ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 0.66 / 14．24 15． 16．.
四、简答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22小题每题12分，共70分）
17．（10分）
（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.
∵，
∴令，可得，
∴再令，可得，
即，
∴.
（2）设第项系数最大，则，求得，∴，
故展开式中系数最大的项为.
18．（12分）
(1) 解：列联表补充如下：
不近视 近视 合计
居家型 30 40 70
户外型 20 10 30
总计 50 50 100
，
所以有95％以上的把握认为“是否为居家型与近视与否”有关.
(2) 解：由题可知，抽取的5人中，居家型有3人，户外型有2人，从5人中再随机抽取3名学生，居家型学生人数X的所有可能取值为1，2，3.
，，，
分布列为：
X 1 2 3
P
.
19．（12分）
（1）解：，
由，得或
当或时，；
当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在时取到极小值．
由，解得
（2）由（1）知，函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以区间上的最小值为
由恒成立，知，即
所以
20．（12分）
（1）解：由题意知，计算，
，
又，，
所以，
，
所以关于的线性回归方程是；
（2）解：当最高气温在内时，
根据，得游客数在内；
频率分布直方图中这个范围内的条形图面积为，
所以天数为，
所以这天中最高气温在内的天数约为26天．
21．（12分）
（1）记“从10所学校中随机选取3所学校参与“自由式滑雪”都超过40人”为事件A，
参与“自由式滑雪”的人数超过40人的学校共4所，
随机选择3所学校共种，所以.
（2）的所有可能取值为，
参与“单板滑雪”人数在45人以上的学校共4所，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：
x
所以.
（3）记“小明同学在一轮测试中要想获得优秀”为事件B，
则，
由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，
因为，所以的最小值为，
故至少要进行轮测试.
22．（12分）
（1），，由得，当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，且，∴由（1）知，不妨设．
要证，只需证明，而，
在上单调递减，
故只需证明．又，∴只需证明．
令函数，
则.
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立．答案第1页，共2页
