二次根式（一）
【目的要求】
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。
2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
【教学方法】启发式
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？是一个式子？是一个代数式？ 呢 ？
3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知两条直角边为 3 和 4，那么斜边长为多少？
新课讲解：
在前一章中，我们已经遇到过，，这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
一般的，式子 ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 ) 必须有二次根号；
( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1：x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
解： 由x －3 ≥ 0 ， 得 x ≥ 3
当 x ≥ 3 时，式子在实数范围内有意义。
课堂练习：
教科书第 171 页 练习 1
代数同步精练 42 页第 1、2题
补充例题：
例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) 由≥ 0 ，解得：x 取任意实数
∴ 当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。
( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0
解得：x ＞ 1
∴ 当 x ＞ 1时，二次根式在实数范围内都有意义。
课堂练习：
教科书第 172 页 B组 1 题
代数同步精练 43页 第 4 题
课堂小结 ：
这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念。
课外作业：
教科书第172页 11.1 A组 1、2 题。
代数同步精炼 第 42 页 第 3 题。二次根式的除法（三）
【目的要求】
1、使学生复习和巩固 二次根式的除法运算法则以及将分母有理化的方法，会用它熟练地进行简单的二次根式的乘.除法运算。
2、使学生复习和巩固算术平方根，二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
3、使学生会将分母中含有一个 二次根式的式子进行分母有理化，培养 学生的运算能力。
【教学重点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学难点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学方法】精讲多练
【教学过程】复习提问：
( 1 ) 二次根式的除法与乘法运算的法则分别是什么 怎样用文字语言分别表达它们 对于运算结果有什么要求
( 2 ) 二次根式的除法运算,除了运用除法法则外,还可用 什么方法 在将分母有理化时,关键是什么
( 3 ) 积与商的算术平方根分别有什么性质 怎样用文字语言分别表达它们 它们的主要用途是什么 它们与二次根式的乘.除法运算的关系是什么 使用这两个公式时要注意什么
课堂练习：
1、计算：( 1 ) ； ( 2 )
2、把下列各式的分母有理化：
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 )
3、利用分母有理化计算：
( 1 )×÷； ( 2 ) ÷
现在请大家看教科书第184页上的“想一想”，请四位同学上黑板分别计算各式子的左边和右，再判断这四个等式是否成立。
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 )
看了以上结果，你们有什么体会
课堂小结：
在这节课里,我们复习和巩固了以下知识：
1、二次根式的乘法与除法的运算法则。
2、算术平方根、二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
以上这些知识今后要大量用到，我们应该牢牢记住，并能够熟练运用。
课外作业：
教科书习题11.3 A组的第5 题和第6题。二次根式的乘法（一）
【目的要求】
1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质。
【教学重点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学难点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
1、对于二次根式中的被开方数 a ，我们有什么规定？
2、当 a ≥ 0 时，()2 等于多少？
新课讲解：
我们看下面的例子：＝＝ 6 ，
×＝ 2 × 3 ＝ 6 。
由此可以得 ＝×
一般的，有＝× ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。
例1：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝×＝4 × 9＝36 ；
( 2 ) ＝＝××
＝10×2×
＝20
注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。
在例 1 中，我们根据算术平方根的定义，的出了＝10，＝ 2 等结果。一般的，有：
＝a ( a ≥ 0 )
例2：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝
＝×××
＝2ab
( 2 ) ＝
＝×
＝
课堂练习：
教科书第175页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )；并且复习了以下公式： ( a ≥ 0 )。加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 1、2、3 题
同步精练练习 ( 一 )
板书设计：略。二次根式的乘法（二）
【目的要求】
1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生了解两个二次根式的积仍然是一个二次根式(有的积可以化简成最简结果，甚至不含根号)。
【教学重点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学难点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学过程】复习提问：
1、用两种方式表示积的算术平方根的性质。
( 1 )用含字母的公式表示；
( 2 )用文字语言表示。
2、化简：
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
新课讲解：
例3：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝24 cm。 求：AB
解： ∵AB2＝AC2＋ BC2，
∴ AB＝
＝
＝
＝
＝2 × 13
＝26 (cm)
答：AB 的长为26 cm 。
把 ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) 反过来得到： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )。也就是说 ，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。运用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。
例4：计算：
( 1 ) × ( 2 ) ×
解： ( 1 ) ×＝
( 2 ) ×＝
注意：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如例 4 中的结果不要写成 6而应化简成30。
课堂练习：
教科书第176页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了二次根式的乘法运算法则： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )，以及利用这个法则进行运算与化简。并且学习了二次根式的乘法运算在几何中的运用。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 4、5、6 题
同步精练练习 ( 二 )
板书设计：略。二次根式的除法（一）
【目的要求】
1、使学生掌握商的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示商的算术平方根的性质，培养学生的运算能力。
【教学重点】商的算术平方根的性质的运用。
【教学难点】商的算术平方根的性质的运用。
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
积的算术平方根有什么性质？（在黑板上写出 = × (a≥0， b≥0）这一公式）怎样用文字语言表示这一性质？
新课讲授：
商的算术平方根：请同学们看以下的例子：
= =
=
∴ =
一般的，有
= (a≥0，b＞0）
这就是说：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
例1：化简：
（1） ； （2） ；（3）
分析：（1）如果被开方数是带分数，在化简时，一般要先化成假分数。
（2）分母100开方以后还在分母10。
（3）小题的答案 , 一般保留假分数 的形式。
解：
（1） = = =
（2） = =
（3) = ==
课堂练习：
教科书第181页上的练习
课堂小结：
这节课我们学习了以下知识：
1、商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即
== (a≥0，b＞ 0）
2、利用积与商的算术平方根的性质，对一些二次根式进行了化简。
课外作业：
教科书习题11、3A组的第1题。
板书设计：
教学反馈：二次根式的乘法（二）
教学目标：1、掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、了解两个二次根式的积仍是一个二次根式。
教学重点：二次根式的乘法运算法则。
教学难点：二次根式的化简
教学过程：
一、复习提问
1．叙述积的算术平方根的性质，并用公式表示出来
2．化简：（1）， （2）， （3）
（4）， （5）.
通过练习，巩固积的算术平方根的性质化简二次根式的方法。
二、新课讲解：二次根式的乘法
1．把反过来，即得
它表示，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。（注意成立的条件）。运用这个式子可以进行二次根式的乘法运算。
2．例题：
例4、计算：
（1） （2）
（3）（4）
解：（1）.
（2）
（3）=
（4）=
注意：（1）二次根式运算的结果，应尽量化简。
（2）公式可以推广到三个或三个以上二次根式相乘的情况。（如第（4）题）
例5、计算：
（1） （2）
解：（1）.
（2）.
例6、一个长方形的长宽.求这个长方形的面积。
解：S=.
答：这个长方形的面积是
课堂练习：P172 1. 2
三、课堂小结：1、二次根式的乘法公式为.
2、二次根式乘法运算的结果应该尽量化简.
四、布置作业：P173 5. 6. 7。二次根式的乘法（第二课时）
教学目标：1、复习和巩固二次根式的乘法运算法则，
2、运用乘法法则、公式熟练地进行二次根式的乘法运算
教学重点和难点：重点：灵活运用法则熟练正确的进行运算
难点：根据题目特点，灵活选用解题方法.
教学过程设计：
1、 复习
1、 复习二次根式的乘法公式
（a≥0且b≥0）
2、 计算
、
3、先填空，后解答：
新区中学决定在一楼每间教室前面的长方形空地上都种植草皮。按国家教委和国家基建委规定的标准，中学每间教室的使用面积为54平方米。假定教室是正方形的，那么教室的每边长则为 米，也就是说长方形空地长为 米。如果空地的宽为米，问铺满一块长方形地，需要购买多少平方米的草皮？
解，由乘法法则得：
答：购买18平方米的草皮恰好能铺满一块空地。
2、 新课教学
如果将二次根式分成单项二次根式和多项二次根式的话，那么我们上一节课所学习的二次根式的乘法运算即为单项二次根式乘以单项二次根式，当然，还有单项二次根式乘以多项二次根式，以及多项二次根式乘以多项二次根式。
板书：单×单
多×单
多×多
1、例4 教学
在整式乘法中，单项式与多项式相乘的法则是什么 多项式与多项式的乘法法则是什么
投影：（单项式与多项式相乘的法则是，用单项式去乘多项式的第一项，再把所得的积相加.用式子表示为： m(a+b+c)=ma+mb+mc.
多项式与多项式乘法的法则是，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用式子表示为：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.其中a，b，m，n都是单项式.）
在实数范围内，整式的乘法法则依然适用
计算：
运用乘法的分配律，将括号中的每一项分别与相乘
(2)
完成相应练习:书48页1、(1)、(3) 2、(1)、(3)
2、例5教学
在多项式乘以多项式中，有时可以运用乘法公式，使计算简便。
所学乘法公式主要有：平方差公式，完全平方公式
投影：
平方差公式：(a+b) (a－b)= a2- b2
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a－b)2=a2－2ab+b2.
同样，整式运算中的乘法公式，在实数运算中依然成立
计算：
(1)
(2) (3)
观察总结：（1）中两个含有二次根式的代数式相乘，积中不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。
一般常见的互为有理化因式有如下几种类型：
第(1)种，单项二次根式的有理化因式是它的同类根式
第（2）、（3）、（4）种类型都属于多项式的情况，这时两个互为有理化因式必须完全符合平方差公式的形式，一个是两数的和，另一个是这两数的差。
完成相应练习：书48页，3、(1)、(2)、(4)、(5)；
思考（7）及
（因式分解）
（变化后可用平方差公式）
3、 课堂小结
本节课我们继续学习了二次根式的乘法运算，包括两个单项二次根式相乘（注意将根号内外分别相乘，最后化简），多项二次根式乘以单项二次根式（注意依据乘法的分配律），以及两个多项二次根式相乘（其中特别注意合理应用公式）。另外还有一个有理化因式的概念。
四、布置作业
（2）二次根式的乘法（一）
教学目标：1、使学生掌握二次根式积的算术平方根的性质
2、会利用二次根式积的算术平方根的性质，进行简单的乘法运算。
教学重点：积的算术平方根的性质的运用。
教学难点：化简二次根式
教学过程：
一、引入新课
观察下面的例子：
于是可以得到：.
又如：
于是又得到：
二、讲授新课：积的算术平方根
由前面所举出的例子可以看出：。
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：、b都必须是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。
提问：成立吗？为什么？
例1、化简： （1） （2）
解：（1）
（2）
从该例中可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因数能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因数开出来，从而将二次根式化简。
一般地，我们有.
例2、化简：（1） （2）
解：（1）
（2）=
=
=.
例3、如图，在△ABC中，∠C=900 ，AC=10cm,BC=24cm.求：AB.
解：AB2=AC2+BC2，
AB=
=
= =2.
答：AB长26cm.
课堂练习：P170 1. 2
三、课堂小结：1、本节课讲了积的算术平方根的性质
注意此式中，、b都必须为非负数。
2、利用积的算术平方根的性质，化简二次根式。
3、结合几何课学习的勾股定理，提高学生解决实际问题的能力。
四、布置作业：P177 1. 2。二次根式的乘法(3)
教学目标：1、熟练地运用二次根式的乘法运算法则进行简单的二次根式的乘法运算。
2、运用二次根式的乘法化简二次根式。
3、学会比较二次根式的大小的方法。
教学重点：二次根式的乘法公式的灵活运用。
教学难点；二次根式的化简
教学过程：
一、复习提问：
1、二次根式的乘法运算法则和积的算术平方根的运算性质是什么？用文字语言怎样表达？两者的关系是什么？使用两个公式时要注意什么？
2、练习：
10计算：（1） （2）
（3） （4）
20计算：（1） （2）
30计算：（1） （2）
说明：解题时，要根据题目的特点灵活运用公式，进行计算，结果要尽量化简。
二、新授
1、二次根式化简的另一方法
由的逆用可得。利用这种方法可以进行二次根式的化简。
例如：
例1：化简下列各式：（1） （2）
解：（1）=.
（2）=.
2、二次根式的大小比较
如：例： 比较
根据：由，，得
方法一
解：
18＞12 ∴
归纳：当a＞0,b＞0时，如果a＞b,则
方法二
解：
18＞12 ∴
归纳：当a＞0,b＞0时，如果，则a＞b
思考：比较的大小
练习：
10计算
（1） （2）
20比较大小
（1） （2） （3）
三、小结：
（1）本节课复习巩固了二次根式的乘法
（2）二次根式的化简的应用
四、作业：P174 8. 9 B 组1 2 3。
