2022-2023 学年第二学期珠海市金砖四校高二年级期中考试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
1．在等差数列 an 中，若 a4 a7 a2 10 10，则
a3 a11 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．A、 B、C、D四人并排站成一排，如果A与 B相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．24种 B．48种 C．12种 D．23种
3．已知正项等比数列 an 前n项和为 Sn，且 a1 a3 6， S4 a2 S3 3，则等比数列的公比
为（ ）
1
A 1．3 B．2 C． D．
3 2
4．函数 f (x) x x3 1的图象在点 (1, 1)处的切线与直线4x ay 3 0垂直，则a （ ）
A．8 B．-8 C．2 D．-2
5． 1 x 1 2x 5 展开式中 x2的系数为（ ）
A．40 B．35 C．30 D．5
6．在一次春节聚会上，小王和小张等 4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的
贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）
1
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
6
1
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
3
1
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
6
5
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
8
试卷第 1页，共 4页
7 ．定义域为 , 的函数 f x 满足 f x f x 0 2 2 ，其导函数为 f x ，当0 x 时， 2
有 f
x cos x f x sin x 0 成立，则关于 x的不等式 f (x) 2 f cos x 的解集为（ ）
4
, , , A． B．2 4 4 2 4 2
C
． , 0
0,
,0 D．
4 4 4
,
4 2
8．已知函数 f x x m e 2x ，曲线 y f x 上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的
切线都与直线 y x平行，则实数m的取值范围是（ ）
A 2 2． 1 e ,1 B． 1 e , 1 C 2 2． e ,0 D． 1,1 e
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9．数列 an 的前 n项和为 Sn，已知 Sn n2 7n 1，则（ ）
A． an 是递增数列 B． an 是等差数列
C．当 n 4时， an 0 D．当 n 3或 4时， Sn取得最大值
1 8
10 ．在二项式 2 x 的展开式中（ ）
x
A．常数项是第 4项 B．所有项的系数和为 1
C．第 5项的二项式系数最大 D．第 4项的系数最小
11．观察图象，下列结论错误的有（ ）．
A．若图中为 f x 图象，则 f x 在 x 2处取极小值
B．若图中为 f x 图象，则 f x 有两个极值点
C．若图中为 y x 2 f x 图象，则 f x 在 0,2 上单调递增
D．若图中为 y x 2 f x 图象，则 f x 0的解集为 x 2 x 2
12．在 2023年的期中考试中，数学出现了多项选择题．多项选择题第 11题有四个选项 A、
1
B、C、D，其中正确选项的个数有可能是 2个或 3个或 4个，这三种情况出现的概率均为 ，
3
且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的有（ ）
1
A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
10
试卷第 2页，共 4页
B．B 1选项是正确选项的概率高于 2
1
C．在 C选项为正确选项的条件下，正确选项有 3个的概率为
3
D 1．在 D选项为错误选项的条件下，正确选项有 2个的概率 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．已知数列{an}的前 n项和 Sn=3n﹣2，求{an}的通项公式_________．
a
14．离散型随机变量 X 的概率分布规律为 P X k k ak 1 ，k 1,2,3,4,5,6 ，其中 是常
1
数，则 P X 4 ______．
2
2 f (1) f (1 2 x)15．已知函数 f x ax ln x满足 lim 2，则曲线 y f x 在点
x 0 3 x
1 , f 1 处的切线斜率为___________．
2 2
16．在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第12个数与第13个数的
比为1: 2 .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 10分）
已知公差d 不为零的等差数列 an 中， a3 7，又 a2 ,a4 ,a9成等比数列．
(1)求数列 an 的通项公式；
1
(2)设bn a ，求数列 bn 的前 n项和 Sn．nan 1
18．（本小题满分 12分）
（1）某地区空气质量监测资料表明，某天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良
的概率为0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是多少？
（2）有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 25%，二厂生产的占 35%，三厂生
产的占 40% ，又知这三个厂的产品次品率分别为5%,4%,2%，问从这批产品中任取一件是
试卷第 3页，共 4页
次品的概率是多少？
19．（本小题满分 12分）
已知函数 f x 1 x3 ax2 a2 1 x b（a，b R），其图象在点 1, f 1 处的切线方程为3
x y 3 0．
(1)求 a，b的值；
(2)求函数 f x 的单调区间和极值；
(3)求函数 f x 在区间 2,5 上的最大值．
20．（本小题满分 12分）
2 1
记 Sn为数列 an 的前 n项和，bn 为数列 Sn 的前 n项积，已知 2S ．n bn
（1）证明：数列 bn 是等差数列;
（2）求 an 的通项公式．
21．（本小题满分 12分）
珠海某中学总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优
质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有 20盒，根据以往的经验，
其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品.并且每箱含有 0，1，2盒非优
质产品粉笔的概率为 0.7，0.2和 0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务老师设计了一种购买的
方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的 4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购
买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有 i件非优质产品”为事件 Bi i 0,1, 2 .
（1）求 P A B0 ， P A B1 ， P A B2 ；
（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设 X 为非优质产品的盒数，求 X 的分布列.
22．（本小题满分 12分）
已知函数 f x x2 lnx ax a R
(1)若 f x 0对任意 x 1恒成立，求实数 a的取值范围;
(2)若函数 y f x 有两个极值点为 x1，x2，且 x1 0,1 ， 若 f x1 f x2 m恒成立，求
实数m的取值范围.
试卷第 4页，共 4页2022-2023学年第二学期珠海市金砖四校高二年级期末考试
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C D B C B B A CD BCD ABD BC
13、 14、/ 0.875 15、3 16、35
1．D【详解】因为，解得：，所以．
2．C【详解】由题意，因为与相邻，将与放在一起，共有种排法，将与看成一个整体，与、进行全排列，共有种排法，综上共有种排法.
3．D【详解】因为，所以设公比为q，可得：，两式相除得：.
4．B【详解】解：因为，则，故，所以切线斜率为，因为切线与直线垂直，所以，解得.
5．C【详解】二项式的通项公式为：，
所以展开式中的系数为：.
6．B【详解】对于，四个人每人从中随机抽取一张共有种抽法，
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有种，故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为，即A错误；对于B，设小王抽到的是小张写的贺卡为事件，则，小张抽到小王写的贺卡为事件，则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为，B正确；
对于，恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有种，故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为不正确；对于D，每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有种，故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为错误.
7．B【详解】∵且，∴是奇函数，
设，则时，，∴在是减函数．又是奇函数，∴也是奇函数，因此在是递减，
从而在上是减函数，不等式为，即，∴．
8．A【详解】，令，得，设，则，时，；时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，当，由题意，有两个不同的解，即的图像有两个不同的交点，，解得，所以实数的取值范围是.
9．CD【详解】当时，，
当时，，
不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，
10．BCD【详解】二项式的展开式的通项为，对于A，令，得，故常数项是第5项，故A错误；对于B，令，则所有项的系数和是，故B正确；对于C，二项式展开式共9项，则由二项式系数的性质知第5项的二项式系数最大，故C正确；
对于D，设第项的系数的绝对值最大，则，解得，
又，所以或，当时，；当时，，
所以第4项的系数最小，故D正确.
11．ABD【详解】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误；选项B：若图为图象， 函数单调递减；
函数单调递增；函数单调递减；
函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误；
选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确；选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致， 的解集为，故D错误；
12．BC【详解】若正确选项的个数为2个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为3个，则有种组合，每种组合为正确答案的概率为，若正确选项的个数为4个，则有1种组合，这种组合为正确答案的概率为，
对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；对于B，B选项是正确选项的概率为，正确；对于C，C选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；
对于D，D选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.
13．
【详解】当时，=1，当时
验证当时，不符合，故舍去，所以
14．/ 0.875【详解】因为，，所以，所以，所以.
15．3 【详解】由，可得．因为，所以，即，则，所以，．
【详解】假设第中从左至右第个数与第个数的比为，第行从左到右第个数为，第个数为，则，即，解得.
17【详解】（1）解：公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，，即
解得， ...................................2分
则； ...................................4分
（2）解：由（1）可知，， ..........6分
可得数列的前项和
..........10分
18．【详解】设表示“某天的空气质量为优良”，设表示“随后一天的空气质量为优良”，由题意得
所以已知某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率是 ..........4分
设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，两两互斥，且，
由全概率公式得
..........6分
因为
..........10分
故
所以从这批产品中任取一件是次品的概率是 ..........12分
19．【详解】（1），，，
又图象在点处的切线方程为，
所以，解得； ..........3分
（2）由（1）得，，
或时，，时，，
所以的增区间是和，减区间是，
极大值是，极小值是； ..........9分
（3）由（2）知在和上递增，在上单调递减，
又，，
所以在上的最大值是，最小值是． ..........12分
20．【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以, ..........4分
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列; ..........6分
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
, ..........8分
..........10分
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴. ..........12分
21【详解】（1）由已知,, ..........3分
（2）可能的取值为0,1,2,
所以,,, ..........10分
所以随机变量的分布列为:
0 1 2
..........12分
22．【详解】（1）法一：由题意得恒成立，
设，则，
设函数，则， ........3分
所以函数 单调递增，，
即 ，函数单调递增，，
故； ..........4分
法二：当时，，设，
则，，
，为增函数，
，
在区间上递增，
， 故满足题意；
当 时，不满足题意；
综上，；
（2）因为，
方程有两个不相等的实根，且，，
又， ..........6分
所以
，
， ..........8分
令，则，
即为递减函数，
，
所以. ..........12分
答案第1页，共2页
