一元二次方程－韦达定理[上学期]
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文档简介
韦达定理（一）
——一元二次方程的根与系数的关系（一）
教学目的：
1、 通过自主探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力.
2、能利用一元二次方程根与系数的关系，解决已知一元二次方程及其一个根，求另一个根；
（1）
（2）
（3）
（4）
已知一元二次方程，不解方程，求关于两根对称式的值；已知一根求另一根和字母已知数的值等问题.
重点和难点：
重点：根与系数的关系的探求及其应用
难点：根与系数关系的灵活应用
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
（5）
教学过程：
一、观察猜想 引入新课
请同学们观察下表（方程的根、两根之和、两根之积先空着，让学生填入并观察）
请同学们猜想：
任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系.
你猜对了吗？
任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系是：
，
二、推理论证 思考应用
(1)如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
那么,x1+x2=-p； x1·x2= q
(2)
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2
那么, x1+x2=-；
x1·x2=
引导学生自己用求根公式证明这个结论.
练习1. 不解方程求下列方程两根之和与两根之积：
（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1
练习2. 口答：利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根.
（1） x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）
（3）2x2-3x+1=0（3，1） （4）x2-4x+1=0（-2+，-2- ）
例1、已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x1，那么
2x1=-且（-）+2=-， ∴x1=-，
k=-7
答：方程的另一个根是-，k的值是-7.
（如有不同解法引导学生比较方法的优劣）
例2、不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
解：设方程的两个根是x1 ，x2，那么
x1+x2 =－ ， x1.x2 =－.
（1）x12+x22 =（x1+x2）2 － 2x1.x2=（－）2－2（－）=
（2）+= =3
小结：
三、自主练习 灵活运用
1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是 ，m的值是 .
2、设x1·x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）； （2）.
四、综合测评 创新应用
求当m为何值时，一元二次方程
（m=-1时△<0，舍去.m的值为3）.
五、小结提升、布置作业
1、 韦达定理表示一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中根与系数的关系，应用时的前提是a≠0和△≥0.
2、 本课韦达定理的应用：
（1）不解方程，写出两根之和与两根之积；
（2）判断两数是否为方程的根；
（3）已知一根求另一根和字母已知数的值；
*（4）已知两根关系求字母已知数的值；
（5）不解方程求关于两根的对称式的值.
3、 韦达定理常用的几个公式（可以放在下节课用，同时不必灌输给学生）：
x12+x22=-（x1+x2）2－2x1x2；（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2；
；
；；
（x1+k）（x2+k）=x1x2+（x1+x2）+k2； ；
x13+x23=-（x1+x2）3－3x1x2（x1+x2）.
参考作业：
1、 写出下列一元二次方程的两实数根的和与两实数根的积；
（1）x2－3x+1=0. x1+x2= ；x1x2= ；（2）3x2－2x－2=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（3）2x2－9x+5=0. x1+x2= ；x1x2= ；（4）4x2－7x+1=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（5）2x2－4x=0. x1+x2= ；x1x2= ；（6）4x2－5=0 x1+x2= ；x1x2= .
2、 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求另一根及k值.
3、 设方程4x -7x-3=0的根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
（1）（x1-3）（x2-3）；（2）x12+ x22；（3）.
4、 设x1、x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（1）x12x2+x1x22；（2）（x1+）（x2+）；（3）；（4）+；（5）
5、 已知x1、x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p、q的值：
（1）x1=1，x2=2；（2）x1=3，x2=－6；
（3）x1=，x2=－；（4）x1=－2+，x2=－2－.
6、已知方程的两根互为相反数，求m的值（m=1,-1舍去）.
（1、已知方程2x2+ax－2a+1=0的两个实根的平方和为，求a的值；
2、设x1、x2是方程x2－2（k-1）x+k2=0的两个实根，且x12+x22=4，求k值.
3、已知方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两个实根的平方和为等于11，求k的值.
4、设α、β是方程x2+2x－9=0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值.
6、 已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.）
韦达小传
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了"代数学之父"之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特 形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的两则趣事：
与罗门的较量
比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战.法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解.答案公布，震惊了数学界.韦达又回敬了罗门一个问题.罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑.
韦达的"魔法"
在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙.可怜西班牙的国王对法国人在战争中的"未卜先知"十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了"魔法".原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.
-1/2
-7/6
1/3
-3/2
6x2+7 x－3=0
12/5
23/5
3/5
4
5x2－23x+12=0
0
-3
-3
0
x2 +3x=0
-4
-2/3 4/3 -4/3
3
-2/3 4/3 -4/3
-1
-2/3 4/3 -4/3
4 -2/3 4/3 -4/3
x2－ 3x－4=0
x1·x2
x1+x2
x2
x1
两根
之积
积
两根
之和
两个根x1，x2的值
方程
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——一元二次方程的根与系数的关系（一）
教学目的：
1、 通过自主探索一元二次方程的根与系数的关系，培养学生观察、分析和综合、判断的能力.
2、能利用一元二次方程根与系数的关系，解决已知一元二次方程及其一个根，求另一个根；
（1）
（2）
（3）
（4）
已知一元二次方程，不解方程，求关于两根对称式的值；已知一根求另一根和字母已知数的值等问题.
重点和难点：
重点：根与系数的关系的探求及其应用
难点：根与系数关系的灵活应用
2、
3、
4、
5、
6、
7、
8、
9、
（5）
教学过程：
一、观察猜想 引入新课
请同学们观察下表（方程的根、两根之和、两根之积先空着，让学生填入并观察）
请同学们猜想：
任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1·x2与系数a，b，c 的关系.
你猜对了吗？
任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2， x1.x2与系数a，b，c 的关系是：
，
二、推理论证 思考应用
(1)如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
那么,x1+x2=-p； x1·x2= q
(2)
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2
那么, x1+x2=-；
x1·x2=
引导学生自己用求根公式证明这个结论.
练习1. 不解方程求下列方程两根之和与两根之积：
（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=1
练习2. 口答：利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个数是不是它的两个根.
（1） x2-6x-7=0（-1，7） （2）3x2+5x-2=0（5/3，-2/3）
（3）2x2-3x+1=0（3，1） （4）x2-4x+1=0（-2+，-2- ）
例1、已知方程 5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x1，那么
2x1=-且（-）+2=-， ∴x1=-，
k=-7
答：方程的另一个根是-，k的值是-7.
（如有不同解法引导学生比较方法的优劣）
例2、不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和.
解：设方程的两个根是x1 ，x2，那么
x1+x2 =－ ， x1.x2 =－.
（1）x12+x22 =（x1+x2）2 － 2x1.x2=（－）2－2（－）=
（2）+= =3
小结：
三、自主练习 灵活运用
1、已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一个根是 ，m的值是 .
2、设x1·x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（x1+1）（x2+1）； （2）.
四、综合测评 创新应用
求当m为何值时，一元二次方程
（m=-1时△<0，舍去.m的值为3）.
五、小结提升、布置作业
1、 韦达定理表示一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中根与系数的关系，应用时的前提是a≠0和△≥0.
2、 本课韦达定理的应用：
（1）不解方程，写出两根之和与两根之积；
（2）判断两数是否为方程的根；
（3）已知一根求另一根和字母已知数的值；
*（4）已知两根关系求字母已知数的值；
（5）不解方程求关于两根的对称式的值.
3、 韦达定理常用的几个公式（可以放在下节课用，同时不必灌输给学生）：
x12+x22=-（x1+x2）2－2x1x2；（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2；
；
；；
（x1+k）（x2+k）=x1x2+（x1+x2）+k2； ；
x13+x23=-（x1+x2）3－3x1x2（x1+x2）.
参考作业：
1、 写出下列一元二次方程的两实数根的和与两实数根的积；
（1）x2－3x+1=0. x1+x2= ；x1x2= ；（2）3x2－2x－2=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（3）2x2－9x+5=0. x1+x2= ；x1x2= ；（4）4x2－7x+1=0 x1+x2= ；x1x2= ；
（5）2x2－4x=0. x1+x2= ；x1x2= ；（6）4x2－5=0 x1+x2= ；x1x2= .
2、 已知方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求另一根及k值.
3、 设方程4x -7x-3=0的根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：
（1）（x1-3）（x2-3）；（2）x12+ x22；（3）.
4、 设x1、x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，，利用根与系数的关系，求下列各式的值.（1）x12x2+x1x22；（2）（x1+）（x2+）；（3）；（4）+；（5）
5、 已知x1、x2是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出p、q的值：
（1）x1=1，x2=2；（2）x1=3，x2=－6；
（3）x1=，x2=－；（4）x1=－2+，x2=－2－.
6、已知方程的两根互为相反数，求m的值（m=1,-1舍去）.
（1、已知方程2x2+ax－2a+1=0的两个实根的平方和为，求a的值；
2、设x1、x2是方程x2－2（k-1）x+k2=0的两个实根，且x12+x22=4，求k值.
3、已知方程x2+（2k+1）x+k2－2=0的两个实根的平方和为等于11，求k的值.
4、设α、β是方程x2+2x－9=0的两个实数根，求和α2β+αβ2的值.
6、 已知关于x的方程x2-2(m-2)x+m2=0问：是否存在实数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.）
韦达小传
一元二次方程的根与系数的关系，常常也称作韦达定理，这是因为该定理是16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的.
韦达1540年出生在法国东部的普瓦图的韦特奈.他早年学习法律，曾以律师身份在法国议会里工作，韦达不是专职数学爱，但他非常喜欢在政治生涯的间隙和工作余暇研究数学，并做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家.韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进.他在1591年所写的《分析术引论》是最早的符号代数著作.是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用.因此，他获得了"代数学之父"之称.他还写下了《数学典则》（1579年）、《应用于三角形的数学定律》（1579年）等不少数学论著.韦达的著作，以独特 形式包含了文艺复兴时期的全部数学内容.只可惜韦达著作的文字比较晦涩难懂，在当时不能得到广泛传播.在他逝世后，才由别人汇集整理并编成《韦达文集》于1646年出版.韦达1603年卒于巴黎，享年63岁.下面是关于韦达的两则趣事：
与罗门的较量
比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数学家挑战.法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓作气，很快又得出了22解.答案公布，震惊了数学界.韦达又回敬了罗门一个问题.罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑.
韦达的"魔法"
在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙.可怜西班牙的国王对法国人在战争中的"未卜先知"十分脑火又无法理解，认为是法国人使用了"魔法".原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权.另外，韦达还设计并改进了历法.所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底.
-1/2
-7/6
1/3
-3/2
6x2+7 x－3=0
12/5
23/5
3/5
4
5x2－23x+12=0
0
-3
-3
0
x2 +3x=0
-4
-2/3 4/3 -4/3
3
-2/3 4/3 -4/3
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-2/3 4/3 -4/3
4 -2/3 4/3 -4/3
x2－ 3x－4=0
x1·x2
x1+x2
x2
x1
两根
之积
积
两根
之和
两个根x1，x2的值
方程
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