6.4.3.1余弦定理教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《6.4平面向量的应用（第2课时）——余弦定理》
一、内容和内容解析
1.内容余弦定理.2.内容解析
余弦定理安排在新版普通高中数学教科书必修第二册第六章平面向量的应用这一节，在本节内容学习之前学生已经学面向量的概念、运算、基本定理和坐标表示，并以向量为工具，探究了向量在平面几何和物理中的应用，明确了用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”.余弦定理在此基础上研究三角形，是平面向量及其应用一章内容的延伸与拓展，是
按照“背景—概念—运算—联系—应用”构建学生知识体系的关键一环.同时余弦定理是欧
氏空间度量几何的最重要定理之一，也是整个测量学的基础，对学生的学习发展具有承上启下的作用.
三角形是平面几何中最常见最重要的图形之一，对三角形的边赋予方向，这些边就成了
向量.三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，余弦定理是刻画三角形边角关系最为重要的两个定理之一，它为解三角形提供了基本而重要的工具.
向量几何是不依赖于坐标系的解析几何，在现代数学的研究中，向量及其运算是最基本的工具，采取积极举措让学生更好更快地掌握向量法，对学生的素养发展具有重要意义.余弦定理利用向量探究三角形边长与角度的关系，突出了向量在解三角形中的应用，展示了以向量为工具解决问题的优越性，发现了向量的强大作用，感受到向量运算的力量，达到了让学生学会用向量法解决几何问题的基本任务.在证明余弦定理之后，进一步用其解决实际问题，体现了向量教学的整体性以及数学与现实生活的联系和在实际应用中的价值.
对于一般三角形，我们已经定性的研究过，由三角形的边角关系得到判定三角形全等的方法.在此基础上，继续启发引导学生学习研究三角形边角之间的定量关系，从定性研究上升到定量研究，探究得到余弦定理.在实际问题中应用余弦定理解三角形，通过对实际问题的分析，建立相应的数学模型，把实际问题数学化，然后利用余弦定理计算，培养学生直观想象、数学建模、逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养，提高学生分析和解决实际问题的能力.课程学习对于培养学生文字语言、图形语言和符号语言相互转译的能力也十分有益.在解决实际问题的过程中，感受数学的重要价值，体会学好数学的重要作用，发现数学与生活的密切联系，解决问题，联系以往学习的三角函数、向量的数量积等知识，理解事物
之间普遍联系与辩证统一.基于以上分析，确定本节课的教学重点：用向量方法证明余弦定理及余弦定理的简单
应用.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历向量的运算过程，探究三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理及其推论的证明过程；
（2）能用余弦定理解决简单的实际问题，以解三角形知识为载体，体会解三角形与现实世界的密切联系；
（3）经历把实际问题转化为数学问题的过程，提高学生分析和解决问题的能力，在实际问题的应用过程中，培养学生文字语言、图形语言和符号语言相互转化的能力，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生在经历余弦定理的证明过程中，能利用向量的运算探究三角形的边长和角度的关系，推导出余弦定理及其推论，感受向量运算的强大力量，体会向量在解决数学和实际问题中的作用和优势；
（2）学生能掌握、应用余弦定理及其推论，并能应用余弦定理去解三角形以及解诀简单的实际问题；
（3）学生在本节课的学习过程中，能够将实际问题数学化，并利用数学结果解释实际问题，实现不同语言之间的转化，发展学生的逻辑推理和数学运算素养.
三、教学问题诊断分析
虽然初中阶段研究过三角形的边角关系，但都是定性研究为主，如三角形的全等、相似.定量分析仅限于特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形等.而对于任意三角形，给出两边及夹角，怎么确定第三边就缺乏思路.
此前学生已经掌握了向量的基础知识，能够利用向量去解决平面几何问题，并了解了向量在物理中的应.用，积累了一定的数学活动经验，但将实际问题抽象为数学问题，并用向量解决还存在一定困难.因此教学过程中教师要引导学生从向量的数量积来切入问题，利用数量积的运算突破边长的表示.
由此可以确定本节课的教学难点为：
（1）把实际问题、几何问题转化为向量问题及余弦定理的证明；
（2）以向量为工具去研究三角形问题.余弦定理的推导证明过程教学，对学生数学抽象逻辑推理等数学学科核心素养的培养至关重要.为克服教学难点，教学中不要简单地告诉学生余弦定理，再加以证明，而应注重引导学生对实际问题进行分析，构建数学模型，将实际问题抽象成几何问题，在解决实际问题的过程中发现余弦定理，让学生积极参与定理形成的探索过程，然后再进行证明.对于余
弦定理的证明，学生容易用几何法得到定理证明，但是对向量法的理解尚浅，教师要适时引导，引导学生用向量表示三角形的边的关系，通过向量运算证明余弦定理.通过余弦定理证明方法的对比，让学生感受向量法的强大力量，体会向量在解决数学和实际问题中的作用和优势.
在余弦定理的推导证明过程中，要引导从事观察、思考、归纳、交流等数学活动，让学生经历由具体到抽象，从特殊到一般地思维过程，并从中反思定理获得过程中数学思考的方式方法.余弦定理在实际问题中具有广泛应用，学生数学建模素养尚处于初级阶段，阅读能力还需提升，文字语言、图形语言和符号语言之间的转化能力还需加强.因此在用余弦定理在解决实际问题的过程中，需要老师加强引导.
四、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，在本节课的教学中，可以创设情境激发学生的求知欲，再以通过问题导学，助推学生思考，开展探究与证明，解决问题.同时引导学生在解题方法上进行优化，一题多解并进行对比分析，感受向量运算的力量，掌握证明过程与结论.在余弦定理的应用中，教师可以利用信息技术中的Geogebra软件进行相关数据的计算演示，提升学生学习使用计算机的能力，提升学生的信息素养.
在课堂教学中，充分发挥学生的主体地位，预设学生可能想到的各种解题方法与探究思路，让他们成为定理的发现者与证明者，进一步成为应用者，欣赏余弦定理的轮换对称美，感受学习数学的乐趣，收获解题成功的喜悦.让有兴趣的学生查阅相关资料，了解余弦定理其他证明方法以及相关数学史内容，培养学生对数学的学习兴趣，激发他们的数学学习热情.
五、教学过程设计
（一）新课引入引言：
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何问题.前面我们学习了用向量方法解决几何问题的“三部曲”，第一步是建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的元素，比如边和角，将平面几何问题转化为向量问题；第二步是通过向量运算，研究几何元素间的关系，如距离和夹角；第三步把结果“翻译”成几何关系.今天我们将继续用向量的方法研究几何问题.
师生活动：教师展示以下四幅图片，如图1、图2、图3、图4，并从“两山论”角度出发引出生活实例，学生观察图片，了解生活实例，并思考回答问题1.教师引导学生构建数学模型，将现实问题数学化.
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图1 图2
图3 图4
生活实例：南宁五象新区玉象路是连接五象大道与玉洞大道的一条南北向的城市主干路，位于南宁市五象新区邕江以南.路线全长2984m，道路宽48m，双向八车道.玉象路包括道路部分和隧道部分，其中隧道长440m，隧道单洞最大开挖跨径达到15m高、21.5m宽，是我国目前开挖跨径最大的市政道路隧道.相关图片如图5、图6、图7.
图6
图5 图7
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问题1：玉象隧道建设前如何确定隧道长440m？问题2：隧道穿山而过，实际上是求两个山脚AB间的距离（如图8）.构造△ABC（如
图9），知道哪些量可以确定AB的长度？
(
A
B
)A B
图8
C
图9
师生活动：教师直接点出在生活中通常在平面上取一点C，构造△ABC，用测量长度和角度的工具测量出两条边及三个角.学生思考问题，教师引导学生回顾三角形全等的判定方法，通过三角形全等，明确知道△ABC中的哪些量即可确定AB边的长度.学生明确
△ABC中能测出的量，根据三角形全等的判定定理从三角形的定性分析的角度回答问题.教师总结学生的回答，将隧道问题转化为平面几何问题.
设计意图：数学是在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中产生和发展的，学生的数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在学习过程、应用过程和创新过程中逐步形成和发展的.通过引导学生从实际问题中抽象出数学问题，提高学生发现问题和提出问题的能力，
培养学生的数学抽象和数学建模等核心素养.通过实际问题情境，让学生进一步感受研究任
意三角形边角之间的等量关系的必要性，激发学生的探究欲望.
（二）概念形成
问题3：在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知边a,b及角C，如何用边a,b及角C表示c？
追问（1）：三角形的三边赋予方向就变成向量，这些向量间有何线性关系？追问（2）：如何求向量的模？
师生活动：学生进行小组合作探究，结合平面几何图形，通过向量的数量积运算，用向量方法推导证明余弦定理，并展示讲解.教师对学生的展示进行点评补充，注意学生找向量的夹角可能为角C的补角、向量书写不规范及把cosC写成cosC等情况.
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用向量方法证明余弦定理:：如图10，若△ABC为任意三角形，
已知角C,a,b,求c.由向量减法的三角形法则，得ABCBCA,
2
设CBa,CAb,ABc,则cab，c
cc(ab)(ab)
2
aabb2aba
2
b2abcosCa2b22abcosC,所以
图10
c2a2b22accosC.
设计意图：通过问题3及两个追问，引导学生将平面几何问题转化为向量问题，并用向量方法探究证明余弦定理.在这过程中进一步强化用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”，突出平面向量在平面几何中的应用，突出本节课用向量方法证明余弦定理的教学重点，突破本节课把几何问题转化为向量问题及余弦定理的证明的教学难点.通过小组活动，突出
学生的主体地位，加深学生对向量的理解，强化学生对向量的应用.同时培养学生合作交流、自主探究等方面的能力.
（三）概念深化
通过向量的运算，我们解决了在△ABC中，已知边a,b及角C，求c边长度的问题，也就解决了如何在建设前确定玉象隧道长度的问题.
问题4：观察式子c2a2b22accosC，这个式子在结构上有什么特征？追问（1）：如果将式子c2a2b22accosC中等号左边的c2换成a2，会得到什么
样的结果？
师生活动：教师指出三角形三条边与三个角的地位是等同的，引导学生通过
观察式子结构，得到
a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB
这两个
式子.学生观察式子的结构，推理出a2b2c22bccosA
2accosB.师生共同欣赏公式的轮换对称美，如图11.
b2a2c2
图11
设计意图：通过余弦定理的轮换对称性得到余弦定理的另外的两个式子，加深学生对余弦定理的理解，体现余弦定理的轮换对称性，让学生从数学美的角度去欣赏余定理，突出数学教育的美育功能.
问题5：如何用自然语言叙述上述三个例子？
师生活动：教师引导学生将余弦定理的符号语言转化为文字语言.设计意图：因为余弦定理具有可轮换的特点，所以余弦定理可以用概括的文字语言进行叙述.教师引导学生用文字语言叙述余弦定理，以此培养学生的数学表达能力.同时指出余弦定理的本质是“三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍”.
问题6：观察上述三个式子的结构，与哪个定理有相似？如何对上述式子进行命名？师生活动：教师引导学生观察每个式子，发现每个式子去掉含有角的余弦值那一项即为
勾股定理，进而得到“余弦定理”.同时让学生类比正弦函数、余弦函数，猜想会不会存在一个定理叫做正弦定理，为后面的学习做准备.学生猜想得到“余弦定理”这一定理名称.
设计意图：通过余弦定理的结构，得到“余弦定理”这一名字，加深学生对余弦定理的记忆.
问题7：余弦定理与勾股定理在结构上非常类似，两者有何关系？
师生活动：教师引导学生从式子结构对比两个定理的关系，得到余弦定理与勾股定理的联系与区别.同时对余弦定理的发展历史进行简单的理解.
数学史：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.从公式结构上看，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.在公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》卷二分别给出钝角三角形和锐角
三角形三边之间的关系：c2a2b22abm
2ab
，到16世纪末，法国数学家韦达首次将欧
1
几里得的几何命题写成了三角形式：
形式的余弦定理.
a2b2c2
sin(90C)
，直到20世纪才出现现今
设计意图：余弦定理不仅以几何定理为前身，而和其他三角学定理之间也有密切的联系，在课堂教学中揭示这样的联系，介绍相关的数学文化，突出史料育人，可以加深学生对定理的理解，增强学生的数学文化底蕴，提升学生的数学学习兴趣.
问题8：勾股定理是平面几何中的重要定理，余弦定理是勾股定理的推广.能否通过平面
几何知识证明余弦定理？
追问（1）：当问题3中的角C为直角时，如何求c边？如果角C不是直角如何处理？追问（2）：问题3的实际是求平面内线段AB的长度，可以通过哪个公式求两点间的长
度？
师生活动：教师通过引导学生，给出用几何法与坐标法证明余弦定理的两个思路.让学
生课后通过两种思路探究证明余弦定理，学生对比向量法、几何法、坐标法三种方法的优劣，进而体现向量法的优势.
思路1：构造直角三角形.
思路2：平面内两点间距离公式.
设计意图：前面应用向量法证明了余弦定理，通过设问再补充几何法与坐标法的证明思路，让学生课后证明.三个方法从三个不同的角度推导余弦定理，这三种方法是高中阶段求解距离问题的常用方法.向量法与几何法、坐标法证明余弦定理相比，不需要分类讨论，不需要建系找点的坐标，且用加法、减法运算表示目标向量都可以，更加简洁方便，充分体现了向量的数形兼备的工具性.通过方法对比，让学生感受到向量运算的强大力量，理解向量是解决数学问题的有力工具.同时体会向量法在三角形中的应用，提升学生借助平面向量知识解决三角形问题的能力，培养学生逻辑推理、数学运算素养.
用几何法证明余弦定理：当角C为直角时，如图12，c2a2b2；当角C为锐角时，如图13，ADbsinC,CDbcosC,BDabcosC,c2AD2BD2b2sin2C
(abcosC)2a2b22abcosC；当角C为钝角时，如图14，ADbsin(C)bsinC,
CDbcos(C)bcosC,BDabcosC,c2AD2BD2b2sin2C(abcosC)2
a2b22abcosC.所以c2a2b22abcosC.
图12 图13 图14
用坐标法证明余弦定理：如图15，以C为坐标原点，CB为x轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A(bcosC,bsinC),B(a,0),由两点间距离公式可得
(
(
b
c
os
C
a
)
2
(
b
s
i
n
C
)
2
) (
a
2
b
2
2
ab
c
os
C
)AB
所以c2a2b22abcosC.同理可证a2b2c22bccosA
b2a2c22accosB.
问题9：从余弦定理的结构看，余弦定理可以解决什么样的解三角形问题？追问（1）：什么是解三角形？
图15
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.
追问（2）：余弦定理只能用于求三角形的边吗？
师生活动：教师引导学生分析余弦定理的结构，回顾解三角形的定义，指出余弦定理可以解决已知三角形的两边及它们的夹角的解三角形问题.学生明确余弦定理能解决已知三角形的两边及它们的夹角的解三角形问题，并能根据追问得到余弦定理的推论，同时指出余弦定理的推论能解决已知三角形的三边的解三角形问题.
余弦定理的推论：cosA
b2c2a2
2bc
;cosB
a2c2b2
2ac
;cosC
a2b2c2
.
2ab
设计意图：通过设问，结合公式的结构，研究定理的特点，回归数学本质，掌握定理内容，让学生深刻认识余弦定理，并能用于解三角形.学生能够观察出余弦定理每个式子含有四个不同的量，应用方程的思想，结合余弦定理的公式结构，可以知道余弦定理及其推论可以解决三角形的两个“知三求三问题”.余弦定理可以解决已知三角形两边及其夹角解三角形的问题，余弦定理的推论可以解决已知三角形的三边解三角形的问题.教师引导学生运用
方程的思想思考问题，并指出余弦定理及其推论把用SAS和SSS判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
课堂练习：
1.判断正误.正确的括号内打“√”，错误的在括号内打“×”.
（1）余弦定理只适用于锐角三角形. （ ）
（2）在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若a2b2c2，则
△ABC是钝角三角形. （ ）
（3）在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c.
若a2b2c2，则
△ABC是锐角三角形. （ ）
（四）应用探索
例1在△ABC中，a7,b8,锐角C满足sinC3 , 求c.
14
变式1：在例1题设条件下，求角B的值.
变式2：在例1题设条件下，AD为BC边上的中线，求AD的长度.
（五）总结归纳教师引导学生回顾本节课的学习内容，并回答下列问题
（1）本节课你学到了什么知识？
（2）余弦定理可以解决哪些解三角形的问题？
（3）本节课的学习过程中用到了哪些数学思想方法？
课后作业：教材第44页练习1，2，3共3题.
六、目标检测设计
1.在ABC中，已知b3,c23,A30,求边a的值.
2.在△ABC中，已知a6,b2,c31,解三角形（依次解出A,B,C).
3.在△ABC中，若a4,b5,c6.(1)试判断角C是什么角；(2)判断△ABC的形状.