考前押题预测卷（1）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义域求集合A，根据一元二次不等式解法求集合B，利用并集概念运算即可.
【详解】由，得，即，
由，得或，即，
所以.
故选：B.
2．已知函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】分段函数求值代入合适解析式，即可求出.
【详解】根据题意，，，
故．
故选：B．
3．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为，为等差数列，
所以，，所以，
故选：D
4．位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（ ）（参考数据：）
A．2 B．1.71 C．1.37 D．1
【答案】C
【分析】根据图形,作出直观图,利用正四棱锥的相关性质即可求解.
【详解】如图，设H为底面正方形ABCD的中心，G为BC的中点，连接PH，HG，PG，
则，，
所以，
则，
故选：C.
5．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】确定，，相加整理得到答案.
【详解】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
6．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．88 D．100
【答案】D
【分析】由题意可知，若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点.分别求出安排种法，相加即可得出甲去点的安排方法.同理，即可得出甲去点的安排方法，即可得出答案.
【详解】若甲去点，则剩余4人，可只去两个点，也可分为3组去3个点.
当剩余4人只去两个点时，人员分配为或，
此时的分配方法有；
当剩余4人分为3组去3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有，
综上可得，甲去点，不同的安排方法数是.
同理，甲去点，不同的安排方法数也是，
所以，不同的安排方法数是.
故选：D.
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（ ）
A．75米 B．米 C．50米 D．米
【答案】B
【分析】以50米为1个单位，根据题意可求外层椭圆的方程为，进而可设内层椭圆方程为，联立方程，根据直线与椭圆的位置关系运算求解.
【详解】以50米为1个单位，设外层椭圆的长轴、短轴和焦距分别为，离心率为，
由题意可得，解得，
故外层椭圆的方程为，左顶点，
注意到内、外椭圆的离心率均为，且焦点均在x轴上，
设内层椭圆方程为，由题意可得AC的方程为，
联立方程，消去y得，
由，得，
故内层椭圆的方程为，即，
故其短半轴长为，即短轴长为，即米．
故选：B.
8．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，，通过其单调性后可得，整理后可得；作差，则可得.
【详解】构造函数，，则，
得在上单调递减，又，
则，即.
作差：，则，
综上所述，.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变
【答案】ABD
【分析】对于A选项： 根据回归直线必过点解得;对于B选项：结合经验回归方程的性质即可求解；对于C选项：结合百分位数的定义即可求解； 对于D选项：根据相关系数的性质即可判断；
【详解】对于A选项：线性回归方程必过点，，，解得，所以选项A正确；
对于B选项：当时，可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；
对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第3个数据，
即第40百分位数为3，所以C选项错误；
对于D选项：因为相关系数为,
5组样本数据的相关系数为：
，
去掉样本中心点后相关系数为，
所以相关系数r不变,所以D选项正确；
故选：ABD.
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增 D．函数在上的最小值是-
【答案】AD
【分析】根据两角和差的余弦公式及辅助角公式化简，再利用三角函数的对称性公式、单调区间、最值性质判断各选项.
【详解】
对于A，令，则，当时，，
∴的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，令，则，故B错误.
对于C.令，则，
∴函数在上单调递减，故C错误.
对于D，当时，，取最小值，故D正确.
故选：AD.
11．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是异面直线 B．
C．直线与所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积为
【答案】ACD
【分析】结合图形判断选项A；以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系；利用空间角的向量求法判断选项B，C；等体积转换求得三棱锥的体积判断选项 D.
【详解】对于A，因为平面，平面，平面，所以与是异面直线，故A正确；
对于B，由已知，，又，，平面，
所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，点到的距离为.
所以，，，，，所以，，
所以，所以，不垂直，故B错误；
对于C，，，
所以，所以直线与所成角的余弦值是，故C正确；
对于D，三棱锥的体积，故D正确.
故选：ACD.
12．已知抛物线，其准线为l，焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线和，设交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，O为坐标原点，则（ ）
A．为定值 B．延长AO交准线l于点G，则轴
C． D．四边形ADBF面积的最小值为8
【答案】ABD
【分析】设直线，联立方程组求得及，结合向量的数量积的运算，可判定A选项正确；由，可判定B选项正确；由，，化简可判定C选项错误；设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为或，结合抛物线的性质得到，利用基本不等式，可判定D符合题意.
【详解】由抛物线可得准线为，焦点为，
设直线，代入抛物线，得到，
设，，则，，，.
对于A中，由，为定值，所以A选项正确；
对于B中，由得，则，所以B选项正确；
对于C中，由，，可得
，故C选项错误；
对于D中，设直线的倾斜角为，可得，即，
由A选项可得，
所以，
因为，则直线的倾斜角为或，
同理可得，
所以，
（当且仅时，等号成立），所以D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等．且模为1的复数z的代数形式______．
【答案】
【分析】根据复平面上向量对应的复数求出，，再由复数除法求出的虚部，利用复数模求解即可.
【详解】因为向量，，
所以，
故，
则可设，
由，解得，
所以，
故答案为：
14．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．（参考数据：，）
【答案】840
【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求，进而估计区间人数.
【详解】由题设，
所以，
所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.
故答案为：
15．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.
【答案】
【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，
因为，即，
所以，函数为周期函数，且周期为，则，
在等式中，令，可得，所以，，
因为，则，
因为，
所以，
.
故答案为：.
16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.
【答案】
【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此时的值.
【详解】在中，由余弦定理得，
故，其中，，
因为，，所以，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，最大值为，
故的最大值为.
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， ．
在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求的面积S；
(2)求角A的平分线的长．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)条件选择见解析，
【分析】（1）选①：由平面向量数量积的定义，由可求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；
选②：由正弦定理得，化简即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；
选③：由倍角公式得，化简可得，即可求得A，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积.
（2）选①：
由余弦定理求得，再由余弦定理求得，即可求得A，最后由即可解得；
选②：
由即可解得；
选③：
由即可解得.
【详解】（1）选①：
因为，所以，
又，，所以，所以，
所以．
选②：
因为，，所以由正弦定理可得，
所以，，
由正弦定理可得，所以，
由余弦定理可得，，
由，所以，所以．
选③：
因为，所以，
由，，所以，．
由余弦定理可得，，所以．
所以．
（2）选①：
由余弦定理可得，，所以．
所以，由，所以．
因为，所以可解得．
选②：
因为，
所以可解得．
选③：
因为，
所以可解得．
18．国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与的，并具有最大知名度和影响力的足球赛事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔尔举行．某大学为了解本校学生对世界杯的关注程度，从学生中随机抽取了200名学生进行调查（其中男生120名），根据样本的调查结果得到如下图所示的等高规程条形图．
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
(1)请完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为学生是否关注世界杯与性别有关．
(2)从这200名学生里对世界杯关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8名学生中随机选取3名参与学校足协活动．记参与学校足协活动的男生人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见详解，有
(2)分布列见详解，期望为
【分析】（1）等高规程条形图即可完成列联表，再根据列联表数据可计算得到，再对比临界值表可得结论；
（2）根据题意得到的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到求的分布列与期望．
【详解】（1）有120名男生，则有80名女生，结合条形图，男生中关注的有60人，不关注的有60人，
女生中关注的有20人，不关注的有60人，则列联表如下：
关注 不关注 合计
男生 60 60 120
女生 20 60 80
合计 80 120 200
则，
又，则有的把握认为学生关注世界杯与性别有关．
（2）由（1）可知，关注的学生中，男女比例为，则抽出的8人中，男生有6人，女生有2人，
则的对应值有，
则，，，
则的分布列为
1 2 3
．
19．已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，，
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)证明：
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可.
（2）利用错位相减法求解即可.
（3）首先根据分组求和得到，即可证明结论.
【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，
，解得或（舍去）.
故，.
（2）由（1）知，
则，①
则②
由①－②得
所以
（3）由（1）知，，，所以
所以，
即.
20．如图1所示，在四边形ABCD中，，E为BC上一点，且，，，将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，点F在棱BE上，平面DCF与棱AB交于点G.
(1)证明：；
(2)若直线BD与平面ADF所成角的正弦值为，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，再由线面平行性质定理证明线线平行；
（2）建立空间直角坐标系，设点F的坐标，求出平面ADF的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解.
【详解】（1）因为，，所以．
因为平面DCFG，平面DCFG，所以平面DCFG，
因为平面ABE，平面平面，所以；
（2）因为，，，
平面BCE，平面BCE,所以平面BCE，
又平面AEB，所以平面AEB平面BCE，
故以E为坐标原点，EA，EB分别为x，y轴，
在平面BCE内过点E作BE的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，由（1）知，平面AEB平面BCE，且，
所以点C在平面AEB的射影为BE中点，故，，
设，则，，，
设平面ADF的法向量为，则，即，
不妨令，则，，所以．
因为直线BD与平面ADF所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或（舍），所以F为EB中点，
所以.
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点到渐近线的距离求出即可得解；
（2）由题意可设PA，的斜率分别为，设直线AP的方程为，联立双曲线方程，求出，由三角函数可得，即化为得证.
【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为，
设到渐近线的距离为，
所以，
所以的方程为.
（2）设C的左顶点为A，则,
故直线为线段的垂直平分线.
所以可设PA，的斜率分别为，故直线AP的方程为.
与C的方程联立有，
设B），则，即，
所以
当轴时，，是等腰直角三角形，
且易知
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故
因为，
所以
所以
因为
所以
所以为定值，
所以点Q在以为圆心且半径为4的定圆上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；
（2）根据题意分析可得对任意实数，都有恒成立，构建，根据恒成立问题结合导数分析运算.
【详解】（1）∵，则，
若时，则，，
即切点坐标为，切线斜率，
∴切线方程为，即.
（2）∵，即，
整理得，
故原题意等价于对任意实数，都有恒成立，
构建，则，
注意到，则，
构建，则在上单调递增，且，
故在内存在唯一的零点，
可得当，则；当，则；
即当，则；当，则；
故在上单调递减，上单调递增，则，
又∵为的零点，则，可得且，
∴，
即在上的最小值为0，
故实数的取值范围.
【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．考前押题预测卷（1）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m，高为9m，则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为（ ）（参考数据：）
A．2 B．1.71 C．1.37 D．1
5．如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
6．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是（ ）
A．72 B．84 C．88 D．100
7．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（ ）
A．75米 B．米 C．50米 D．米
8．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 0.8 1 1.2 1.5
假设经验回归方程为，则（ ）
A．
B．当时，y的预测值为2.2
C．样本数据y的40%分位数为0.8
D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变
10．已知函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称
C．函数在上单调递增 D．函数在上的最小值是-11．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．与是异面直线 B．
C．直线与所成角的余弦值是 D．三棱锥的体积为
12．已知抛物线，其准线为l，焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线和，设交抛物线C于A，B两点，交抛物线C于D，E两点，O为坐标原点，则（ ）
A．为定值 B．延长AO交准线l于点G，则轴
C． D．四边形ADBF面积的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等．且模为1的复数z的代数形式______．
14．在某次考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生有1000人，则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有______人．（参考数据：，）
15．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.
16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， ．
在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求的面积S；
(2)求角A的平分线的长．
18．国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与的，并具有最大知名度和影响力的足球赛事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔尔举行．某大学为了解本校学生对世界杯的关注程度，从学生中随机抽取了200名学生进行调查（其中男生120名），根据样本的调查结果得到如下图所示的等高规程条形图．
关注 不关注 合计
男生
女生
合计
(1)请完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为学生是否关注世界杯与性别有关．
(2)从这200名学生里对世界杯关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8名学生中随机选取3名参与学校足协活动．记参与学校足协活动的男生人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
19．已知数列是正项等比数列，其前项和为，是等差数列，且，，
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)证明：
20．如图1所示，在四边形ABCD中，，E为BC上一点，且，，，将四边形AECD沿AE折起，使得，得到如图2所示的四棱锥，点F在棱BE上，平面DCF与棱AB交于点G.
(1)证明：；
(2)若直线BD与平面ADF所成角的正弦值为，求.
21．已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.
22．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
