第2天 一元二次函数、方程和不等式-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第2天 一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1．下列不等式中成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
3．已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．若实数，，满足，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数（）的最小值为0，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
7．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．或 D．
8．已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．若命题“”是假命题，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
11．已知函数，若对任意的，当时，恒成立，则a的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
12．下列函数中，最小值不为2的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．10 B．9 C． D．
14．已知圆，点是圆上的动点，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为3
C．的最小值为 D．的最大值为
15．已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
16．如图在RtABC中，AB＝BC＝6，动点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，四边形BDEF为矩形，剪去矩形BDEF后，将剩余部分绕AF所在直线旋转一周，得到一个几何体，则当该几何体的表面积最大时，BD＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．3
17．为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（ ）
A．20m B．50m C．m D．100m
18．在中，若向量在上的投影向量为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
19．近年来受各种因素影响，国际大宗商品价格波动较大，我国某钢铁企业需要不间断从澳大利亚采购铁矿石，为保证企业利益最大化，提出以下两种采购方案.方案一：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石的数量一定；方案二：不考虑铁矿石价格升降，每次采购铁矿石所花的钱数一定，则下列说法正确的是（ ）
A．方案一更经济 B．方案二更经济
C．两种方案一样 D．条件不足，无法确定
二、多选题
20．已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知关于的的解集是，则（ ）
A．
B．
C．关于的不等式的解集是
D．的最小值是
22．若对任意恒成立，其中，是整数，则的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
23．若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
24．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为_________.
25．已知一扇形的圆心角为（），扇形的周长是一定值（），当为______弧度时，该扇形面积取得最大值.
四、解答题
26．已知不等式的解集是，求实数a，b的值.
27．已知，若，解关于x的不等式；
28．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
29．（1）已知，求的最小值；
（2）求的最大值.
30．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，求的最大面积及相应的值.
参考答案
1．B
【分析】A，如时，，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.
【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误；
B. 若，则，所以该选项正确；
C. 若，则，所以该选项错误；
D. 若，则，所以该选项错误.
故选：B
2．C
【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
3．A
【分析】由不等式的性质，逐个验证选项的结果.
【详解】A选项中，因为，所以，故A选项正确；
B选项中，因为函数在上单调递减且，所以，故B选项错误：
C选项中，因为，则，故C选项错误；
D选项中，若，，满足，但，故D选项错误．
故选：A．
4．A
【分析】利用中间值和作差比较法来比较大小.
【详解】,;
;
因为，所以，所以.
综上可得.
故选：A.
5．D
【分析】方法一：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，然后进行比较即可求解；方法二：利用指数与对数的互化和对数的换底公式得出，，，再进一步进行比较即可求解.
【详解】方法一：，∴，，∴，
∴，，
又，∴，∴，∴，
∴，
∴，∴，
∴，，
，，
∴，
故选：D.
方法二：由，.
而，，，，
∵，∴，
故选：.
6．D
【分析】利用一元二次函数、一元二次不等式以及韦达定理进行求解.
【详解】∵函数（）的最小值为0，
∴，∴，
∴函数，其图像的对称轴为．
∵不等式的解集为，
∴方程的根为m，，
∴，解得，，
又∵，∴．故A，B，C错误.
故选：D．
7．C
【分析】分类讨论和时的情况即可得解．
【详解】，
当时，，则，满足；
当时，，则，
，又，得，解得．
综上，实数的取值范围为或，
故选：C．
8．D
【分析】可判断出为上单调递增的奇函数，，恒成立，可转化为恒成立，继而可得恒成立，从而可得答案.
【详解】，且，
∴为奇函数，且在R上单调递增，
又，恒成立，
∴恒成立，
∴，
即，时，显然不满足题意；
∴，解得：，
∴实数a的最小值是，
故选：D．
9．B
【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以命题“，”是真命题，
若，即或，
当时，不等式为，恒成立，满足题意；
当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；
当时，则需要满足，
即，解得，
综上所述，的范围是，
故选：B.
10．B
【分析】根据题意设，，由一次函数以及不等式分析得时，，变形后代入，然后利用基本不等式求解.
【详解】设（），（），
因为，所以当时，；
当时，；
当时，；
由不等式恒成立，得：或，
即当时，恒成立，
当时，恒成立，
所以当时，，则，即，
则当时，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
11．D
【分析】，可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，则判别式小于等于0恒成立，即在时恒成立，记，利用导数求出最大值即可.
【详解】，即 ，
算式可看作关于的二次函数大于等于0恒成立，
则判别式恒成立，即在时恒成立，
记，则，
，解得，，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
∴，则a的最小值是2，
故选：D
12．D
【分析】利用均值不等式、导数、切线、一元二次函数并结合图形以及平方的处理方法进行求解.
【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故最小值为2，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
从而为极小值点，又当时，，当时，，所以函数的最小值为2，故B错误；
对于C，，因为可以看作点与点连线的斜率，
又点在圆上，易求得PA斜率的最小值为，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，显然，所以y的最小值为3，不是2.故D正确.
故选：D.
13．C
【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值.
【详解】由已知，令，，
所以，，代入得：，
因为，，
所以
.
当且仅当时，即时等号成立.
的最小值为.
故选：C.
14．D
【分析】对于A，转化问题为求直线的最大截距，由几何法即可得解；
对于B，利用基本不等式即可得解；
对于C，转化问题为求到圆上的点的距离的平方的最小值，由几何法即可得解；
对于D，转化问题为求点到圆上的点的连线的斜率的最大值，由几何法即可得解.
【详解】由圆得，则，
因为点是圆上的动点，所以，
对于A，令，则，故问题转化为直线与圆相交时，求直线截距的最大值，
显然，当直线与圆相切于点时，截距最大，连结，则，如图1，
因为直线斜率为，故倾斜角为，故，
故在中，，故，
即截距的最大值为，故的最大值为，故A错误；
.
对于B，因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，将看作是到圆上的点的距离的平方，如图1，又因为，
所以，故，故C错误；
对于D，将看作是点到圆上的点的连线的斜率，则直线的方程为，即，如图2，
由题意可知，圆心到直线的距离，即，解得，
故的最大值为，即的最大值为，故D正确.
.
故选：D.
15．B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.
【详解】，
故函数关于对称，又在上严格递减；
即
当且仅当时取得.
故选：B.
16．B
【分析】根据已知条件，表面积是圆锥表面积加圆柱侧面积，再应用基本不等式求最值及取等条件即可.
【详解】设BD＝x，BF＝y，其中x、y（0，6）；由题意知，，所以x+y＝6；
所以所求几何体的表面积为：
当且仅当x＝y＝3，即BD＝3时取得“＝”；
即所得几何体的表面积最大时，BD＝3．
故选：B．
17．B
【分析】设则可得阅读区面积，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】设,则
所以阅读区的面积
当即时取等号，
当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为，
故选：B.
18．C
【分析】设，上的高为，可用表示出，利用两角和差正切公式可得，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】设，上的高为，
在上的投影向量为，，，
（当且仅当时取等号），
，，，，，
.
故选：C.
19．B
【分析】设第一次价格为，第二次价格为，进而求解两种方案的平均数，并比较大小即可.
【详解】解：设第一次价格为，第二次价格为，
方案一：若每次购买数量，则两次购买的平均价格为，
方案二：若每次购买钱数为，则两次购买的平均价格为，
所以，，即，当且仅当时，“=”号成立，
所以方案二更经济.
故选：B
20．AC
【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，作差法以及特殊值法，即可求解.
【详解】对于，因为，所以，则，故选项成立；
对于，作差：，由已知可知：，当的符号不确定，故与的大小关系不确定，故选项错误；
对于，作差： ，因为，所以，，则，即，故选项正确；
对于，当，，时，满足，但，故选项错误；
综上：不等式恒成立的是，
故选：.
21．AB
【分析】由一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系，结合韦达定理可求得，，，由此可确定AB正确；结合一元二次不等式的解法可知C错误；将化为，根据对勾函数单调性可确定，知D错误.
【详解】对于A，的解集为，，且和是方程的两根，A正确；
对于B，由A得：，，，
，B正确；
对于C，由得：，
即，解得：，
即不等式的解集为，C错误；
对于D，，
，
在上单调递增，，D错误.
故选：AB.
22．BCD
【分析】对分类讨论，当时，由可得，由一次函数的图象知不存在；当时，由，利用数形结合的思想可得出的整数解.
【详解】当时，由可得对任意恒成立，
即对任意恒成立，此时不存在；
当时，由对任意恒成立，
可设，，作出的图象如下，
由题意可知，再由，是整数可得或或
所以的可能取值为或或
故选：BCD
23．BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
24．
【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意，，
①若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以；
②若，则不等式无解，不满足题意；
③若，则不等式的解为：，
因为不等式的解集中恰有3个整数，
所以.
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
25．2
【分析】设扇形半径为，由题有，
据此表示出扇形面积，后由基本不等式可得答案.
【详解】设扇形半径为，由题有，
则扇形面积为：.
则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：2
26．．
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系求解．
【详解】不等式的解集是，则的两根是3和4，且，
所以且，解得．
27．答案见解析
【分析】根据题意求出，用把表示出来，然后对分类讨论，结合一元二次不等式的解法即可得出答案.
【详解】解：因为，所以，又因，所以，所以，
则不等式即为，即，
若，则不等式的解集为；
若，则不等式的解集为；
若，当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
当时，则不等式的解集为；
28．
【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，
则二次函数的图象在x轴下方，
即，得.
当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.
综上可知，.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
29．（1）；（2）.
【分析】（1）首先变形为，再利用基本不等式求最值；（2）首先求函数的定义域，再利用基本不等式求最大值.
【详解】（1），，，
当且仅当时，即当时等号成立，的最小值为；
（2）由知.
当或时，；
当时，，由基本不等式可得.
当且仅当，即当时等号成立.
综上，的最大值为.
【点睛】本题考查基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型，基本不等式求最值的方法需记住“一正，二定，三相等的原则”.
30．最大面积是，.
【解析】由题意可得出，设，则，证明出，可得出，在中应用勾股定理得出，由此可得出的面积关于的表达式，利用基本不等式可求出面积的最大值，利用等号成立的条件求出值，由此可得出结论.
【详解】如图，设，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.
所以的面积为
.
由基本不等式与不等式的性质，得，
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
【点睛】本题考查函数最值的求法，注意根据题意求出面积函数的解析式，运用基本不等式，属于中档题.
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)