第4天 指数函数和对数函数-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

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【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第4天 指数函数与对数函数
一、单选题
1．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（ ）(附：)
A．10% B．20% C．30% D．40%
2．对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的次方是个位数，那么根据，取常用对数得到，即可得到，由下面的对数表可知这个数是，已知某个正整数的次方是个位数，则该正整数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若在上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知函数，若对任意的正数，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为（ ）.
A． B． C．1 D．
9．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
10．已知函数满足，若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的图象可能是（ ）．
A．B．
C．D．
12．已知，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＞a＞b B．a＞b＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
13．碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（ ）
A．年 B．年 C．年 D．年
14．渔民出海打鱼，为了保证运回鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺的多少来确定鱼的新鲜度，三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的，三甲胺积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），负被打上船后，要在最短的时间内将其分拣，冷藏，已知某种鱼失去的新鲜度与其出海后时间(分）满足的函数关系式为，若出海后20分这种鱼失去的新鲜度为20%；出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（ ）考数据：
A．23分钟 B．33分钟 C．50分钟 D．56分钟
15．现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过．一杯茶泡好后置于室内，分钟、分钟后测得这杯茶的温度分别为、，给出三个茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的函数模型：①；②；③．根据生活常识，从这三个函数模型中选择一个，模拟茶温（单位：）关于茶泡好后置于室内时间（单位：分钟）的关系，并依此计算该杯茶泡好后到饮用至少需要等待的时间为（ ）（参考数据：，）
A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟
16．“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式，若经过5年，二氧化碳的排放量为（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自产生的二氧化碳排放量为（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：）（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
17．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（ ）
A． B． C． D．3
19．已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
21．已知函数，关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
22．已知，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
23．已知函数，则（ ）
A．在上是增函数 B．的图象关于轴对称
C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是
24．若 ，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
25．关于函数的性质的描述，正确的是（ ）
A．的定义域为 B．有一个零点
C．的图像关于原点对称 D．的值域为
三、解答题
26．已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
27．按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元），每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x.
（1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式；
（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
28．比较满足下列条件的m，n的大小：
（1）； （2）；
（3）；（4）.
29．声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
30．比较满足下列条件的两个正数m,n的大小:
(1);
(2);
(3);
(4).
31．函数，，的图象如图所示，
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出，，的图象；
(3)从（2）的图中你发现了什么？
四、填空题
32．中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫 商 角 徵 羽；西方音阶是七声音阶“Do Re Mi Fa Sol La Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看，这12个半音的频率成公比为的等比数列.已知两个音高，的频率分别为，，且满足函数关系：，已知两个纯五度音高的频率比，则它们相差的半音个数________.(其中，，结果四舍五入保留整数部分).
33．某服装店对原价分别为175元和200元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲服装每天降价5%，直到其售完为止；乙服装每天降价7%，直到其售完为止.假设两种服装在10天内均没有售完，_____天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.
34．某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）随时间（小时）变化的规律近似满足表达式《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升此驾驶员至少要过小时后才能开车___________.（精确到小时）
35．已知函数，则函数零点的个数是__________．
36．设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．
参考答案：
1．B
【分析】先计算和时的最大数据传输速率和，再计算增大的百分比即可.
【详解】当时，；
当时，.
所以增大的百分比为：.
故选：B.
2．B
【分析】根据对数速算的原理，求得该数所处的指数范围，然后换算成对数，对应于表中的数值即可.
【详解】设这个正整数为，因为的次方是个位数，所以，即，则，结合表中数据易知，.
故选：B.
3．C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出的图象如下图：
由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，
当时，，此时，
当时，，此时，
当存在，，，使得时，此时，
故选：C
4．B
【分析】根据复合函数的单调性以及对数函数的定义域求解.
【详解】设函数，
因为在上为减函数，
所以在上为减函数，则解得，
又因为在恒成立，
所以解得，
所以a的取值范围为，
故选:B.
5．D
【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.
【详解】由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.
6．C
【分析】根据函数的单调性和与轴的交点结合指数函数的性质可求解.
【详解】若，为增函数，
且，与图象不符，
若，为减函数，
且，与图象相符，所以，
当时，，
结合图象可知，此时，所，则，所以，
故选:C.
7．C
【分析】先判断出的单调性，再利用已知条件，将不等式等价转化为，结合函数单调性进行求解.
【详解】当时，在区间上单调递增；
当时，，
易知在区间上单调递增；
又∵，∴在上单调递增.
，，∴，
∴不等式等价于，
∵在上单调递增，∴，，
∴，，
当，即时，的最大值为，∴，
即的取值范围是.
故选：C.
【点睛】对于形式的函数不等式，可以利用函数的单调性进行求解，因此本题的突破点有两步，第一步就是判断出函数的单调性，第二步就是利用解析式，将转化为.
8．D
【分析】由题意得出、的解析式，不等式恒成立，采用分离参数法，可得转化为求函数的最值，求出函数的最小值即可.
【详解】为偶函数，为奇函数，且①
②
①②两式联立可得，.
由得，
∵在是增函数，且，在上是单调递增，
∴由复合函数的单调性可知在为增函数，
∴，
∴，即实数的最大值为
故选：D.
9．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
10．B
【分析】求出的解析式，在同一坐标系中作，，，的图象，得到，借助的单调性进行判断即可.
【详解】因为，所以，
联立，得，在R上单调递减，
在同一坐标系中作，，，的图象，如图，
所以，故.
故选：B.
11．D
【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A、B、C选项，分析D选项符合函数的性质.
【详解】令得即，此有方程有两根，故有两个零点，排除A选项；
函数有意义满足解得或，
当时函数无意义，排除B、C选项；
对D选项：函数的定义域符合，零点个数符合，
又∵当与及时，函数单调递增，
结合对数函数的单调性可得函数单调递增，故单调性也符合，所以的图象可能是D；
故选：D
12．A
【分析】先利用作商法比较a，b的大小，再借助中间值“0.5”得到，得到a＜c，即可得到结果．
【详解】易知，
所以，
因为
由得
所以，所以a＜c．
所以实数a，b，c的大小关系为c＞a＞b．
故选：A．
13．C
【分析】利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可.
【详解】由题意知：，把数据代入得：
故选：C．
【点睛】方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解.
14．B
【分析】由题得，解方程可得，再解方程即可得答案.
【详解】由题意可得，解得．
故．
令，即，
两边同时取对数，故分钟
故选：B
15．C
【分析】根据生活常识，选择模型③较为合适，根据题意求出、的值，然后解不等式，解此不等式即可得解.
【详解】根据生活常识，茶温一般不低于室温，若选择模型①或模型②，茶温在一定时间后会低于室温，不合乎题意，
故选择模型③较为合适，则，解得，此时，
由可得.
故选：C.
16．C
【分析】根据题设条件可得，令，代入，等式两边取，结合估算即可.
【详解】由题意，，即，
令，即，故，即，
可得，即.
故选：C
17．B
【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分，， 三种情况进行讨论，结合函数的图象，即可求出的取值范围.
【详解】设 ，则有且只有一个实数根.
当时，当 时， ，由，
即，解得，
结合图象可知，此时当时，得，则是唯一解，满足题意；
当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；
当 时，当 时，，此时最小值为 ，
结合图象可知，要使得关于的方程有且只有一个实数根，此时 .
综上所述，的取值范围是.
故选：B.
18．D
【分析】分别将和两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得的取值范围，即可得出选项.
【详解】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，
分和两种情况分别作图.
当时，图象如下图所示：
此时需要，即，
所以；
当时，图象如下图所示：
此时需满足，都符合条件；
综上可知, 的取值范围为或，
所以的取值不可以是D.
故选：D
19．C
【分析】设，进而考虑与的交点，分，，，，五种情况讨论求解即可.
【详解】设，则，令，得，
我们先来考虑与的交点，
令，
当时，与只有1个交点，交点横坐标，此时有1个零点；
当时，与只有2个交点，交点横坐标，此时有3个零点.
当时，与只有3个交点，交点横坐标，此时有5个零点.
若与相切时，设切点，
所以，切线斜率，解得，
故当时，与没有交点，没有零点.
当时，与有2个交点，交点横坐标，此时有2个零点.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于通过换元，将问题转化为直线与的交点个数，进而数形结合，分类讨论求解即可.
20．B
【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较与，再运用构造函数研究其单调性可比较与.
【详解】∵，
，
∴，所以.
∵
∴比较与的大小，即比较与的大小.
令，则.
令，则.
所以在上单调递减，
所以当时，，所以，所以在上单调递减.
又因为，
所以，即.所以，即.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
21．BCD
【分析】转化为与有且只有交点，作出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】方程有且只有一个实根，即与有且只有1个交点，
作出的图象与的图象，如下：
则当时，与有2个交点，
当时，与有且只有1个交点，
故BCD符合条件
故选：BCD
22．ABC
【分析】令，先分析函数的奇偶性，再分情况讨论的奇偶性，然后逐项分析四个选项即可求解.
【详解】令，则，故为偶函数.
当时，函数为偶函数，且其图象过点，显然四个选项都不满足.
当为偶数且时，易知函数为偶函数，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，则选项，符合；
若为正偶数，因为，
则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递减，选项符合；若为负偶数，易知函数的定义域为，排除选项.
当为奇数时，易知函数为奇函数，
所以函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，则选项符合，
若为正奇数，因为，
则，当时，，所以函数在上单调递增，又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增，选项符合；
若为负奇数，函数的定义域为，
不妨取，则，当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当趋向于正无穷时，因为指数函数的增长速率比幂函数的快，所以趋向于正无穷；
所以内先减后增，故选项符合.
故选：.
23．BD
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用函数对称性的定义可判断C选项；利用二次不等式与指数函数的单调性解不等式，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，
所以，函数在上为减函数，A错；
对于B选项，对任意的，则，
所以，的图象关于轴对称，B对；
对于C选项，因为，
故函数的图象不关于点对称，C错；
对于D选项，由，可得，
解得，可得，解得，
因此，不等式的解集是，D对.
故选：BD.
24．AC
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断；根据的特征，构造函数，利用其单调性可得，可判断，判断C.
【详解】由于，故为R上单调增函数，
所以，而是上的增函数，故，
所以，A正确；
取满足，但，B错误；
设，则，
由于，故，即是上的增函数，
故，
由于，则，故，C正确；
取，满足，而，故D错误，
故选：
25．AC
【分析】对于A：由得出定义域；对于B：由，便可求出零点；对于C：先化简，再根据判断函数奇偶性的定义进行判断；对于D：由奇偶性以及对数函数的单调性求值域.
【详解】对于A：由题意可知，函数有意义，则满足,
解得 ，且，即函数的定义域为，所以选项A正确；
对于B：因为的定义域为，所以
，由得，解得（舍），
即没有零点，所以选项B不正确；
对于C：由上可知，则满足，
所以函数为奇函数，则图像关于原点对称，所以选项C正确；
对于D：当时，，所以
，又由函数为奇函数，可得的值域为，所以选项D不正确.
故选：AC
26．（1），图象见解析；（2）为偶函数，在上为减函数，在上为增函数.
【分析】（1）由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象；
（2）利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性．
【详解】解：（1）由题意知，，，
，
∴，图象如图：
（2）∵，
∴，
为偶函数，
又，
∴在上为减函数，在上为增函数．
【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题．
27．（1）.（2）（元）.
【解析】（1）根据题意，结合复利的含义，分析可得本利和随变化的函数关系式；
（2）根据（1）的函数表达式，代入数据即可计算5期后的本利和．
【详解】解：（1）根据题意可得；
（2）由（1）可知，当时，
，
∴5期后的本利和约为元．
【点睛】本题主要考查指数函数的应用，属于基础题．
28．（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】根据指数函数的单调性即可比较大小．
【详解】解：（1）∵函数在上单调递增，且，
∴；
（2）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（3）∵函数在上单调递减，且，
∴；
（4）∵函数在上单调递增，且，
∴．
【点睛】本题主要考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．
29．(1)(2)
【解析】(1)分别代入与求解即可.
(2)代入求解即可.
【详解】解:(1).
.
因此人听觉的声强级范围为.
(2).
【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
30．(1);(2);(3);(4).
【解析】(1)根据为增函数判定即可.
(2)根据为减函数判定即可.
(3)根据为减函数判定即可.
(4)根据为增函数判定即可.
【详解】(1)因为为增函数,故；
(2)因为为减函数,故；
(3)因为为减函数,故；
(4)因为为增函数,故；
【点睛】本题主要考查了根据对数函数的单调性判断大小关系的方法,属于基础题.
31．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴判断即可；
（2）根据可知与关于轴对称，同理画出的图象即可；
（3）根据（2）中图象结合已知图象直接判断即可.
【详解】（1）当底数大于时，在直线的右侧，底数越大，函数图象越靠近轴，所以①对应函数，②对应函数，③对应函数.
（2）.
（3）从（2）的图中发现的图象分别与的图象关于轴对称.
32．7
【分析】根据指数和对数的互化，结合对数的运算性质求解即可.
【详解】由题意可知，
所以，
即，
故，
故答案为：7
【点睛】本题主要考查指数和对数的互化，属于基础题，关键就是在求解过程中要熟练应用对数的运算性质，考查学生的基本功计算能力.
33．7
【分析】根据题意列出对数不等式，根据对数函数的单调行进行求解即可.
【详解】设天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
则有，
所以7天后甲服装的售价将高于乙服装的售价，
故答案为：7
34．4
【分析】此驾驶员血液中酒精含量不得超过毫克/毫升时，才能开车，因此只需由，求出的值即可.
【详解】当时，由得，
解得，舍去；
当时，由得，即，
解得，
因为，所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车.
故答案为：4
35．
【分析】由题知或，进而作出函数的图象，数形结合求解即可.
【详解】解：令，即，解得或，
作出函数的图象如图，
由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同，
所以，的实数解有个，
所以，函数零点的个数是个.
故答案为：
36．
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则
因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，
因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得
所以，
所以，，，，，
所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，
所以，的解集为，
所以，不等式的解集为
故答案为：
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