第3天 函数的概念和性质-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

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【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第3天 函数的概念和性质
一、单选题
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．设A，B是非空集合，定义，且.已知，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
4．已知与的线性关系如图所示，其中．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则（ ）
A．1 B． C． D．0
7．已知函数满足，则（ ）
A．的最小值为2 B．
C．的最大值为2 D．
8．已知函数，对于实数a，使成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．或
9．“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
10．若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．（1，3）； B．（2，3）；
C．； D．；
11．使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
14．函数是偶函数的充分必要条件是（ ）．
A． B．
C．且 D．，且
15．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（ ）
A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数
C． D．
16．已知偶函数满足，且当时，，关于x的不等式在上有且只有30个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
18．设函数且，那么是（ ）．
A．奇函数，且在上是严格增函数 B．奇函数，且在上是严格减函数
C．偶函数，且在上是严格增函数 D．偶函数，且在上是严格减函数
19．已知定义在R上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
20．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过.已知甲车的刹车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速之间的关系为.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（ ）
A．甲、乙两车均超速 B．甲车超速但乙车未超速
C．乙车超速但甲车未超速 D．甲、乙两车均未超速
21．已知甲 乙两个城市相距120千米，小王开汽车以100千米/时匀速从甲城市驶往乙城市，到达乙城市后停留1小时，再以80千米/时匀速返回甲城市．汽车从甲城市出发时，时间x（小时）记为0，在这辆汽车从甲城市出发至返回到甲城市的这段时间内，该汽车离甲城市的距离y（千米）表示成时间x（小时）的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 4元
超过但不超过 6元
超过 8元
若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（ ）
A． B． C． D．
23．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产万件该产品，需另投入成本万元.其中，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（ ）
A．720万元 B．800万元
C．875万元 D．900万元
24．已知正四面体的棱长为，为棱上的动点（端点、除外），过点作平面垂直于，与正四面体的表面相交．记，将交线围成的图形面积表示为的函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
25．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
26．已知正数a，b满足，则函数的定义域为___________.
27．函数的定义域为______.
28．已知，则_________．
29．设函数f(x)＝若f(a)>1，则实数a的取值范围是________.
30．设函数则满足的x的取值范围是______．
31．已知函数，若，则实数的取值范围是___________.
32．已知函数，若，则x的范围是_______．
33．函数的最小值为______.
34．已知函数，，使得，的取值范围为_________．
35．已知是R上的偶函数，且在上是严格增函数，若，则a的取值范围是______．
36．设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．
四、解答题
37．求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
38．建造一个容积为8、深为2m的长方体形状的无盖水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/和80元/，求总造价y（单位：元）关于底面一边长x（单位：m）的函数解析式，并指出该函数的定义域.
39．已知函数对任意满足等式，求．
40．已知函数，.
（1）求、的单调区间；
（2）求、的最小值.
41．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）．
42．已知函数的定义域为R,且函数图像关于对称,在区间是增函数,判断在上的单调性.
43．某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资的单位均为万元）．
图（1） 图（2）
（1）分别求，两种产品的利润关于投资的函数解析式．
（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入，两种产品的生产．
①若平均投入两种产品的生产，可获得多少利润？
②如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
参考答案
1．A
【分析】的定义域为两个函数定义域的交集，列出不等式组求解即可．
【详解】由题可知，，故函数的定义域为，
故选：A．
2．B
【分析】根据函数的定义域和一元二次不等式的解法分别求出集合，然后利用交集的运算即可求解.
【详解】集合，
集合，
由交集的定义可得：，
故选：.
3．A
【分析】分别求出集合A,B，进而根据集合的新定义求出答案.
【详解】对A，令；
对B，，因为，所以，则，于是.
故，则，且.
故选：A．
4．C
【分析】首先利用待定系数法求函数的解析式，得，，再根据选项，结合，即可判断选项.
【详解】设，则，得，所以，
得，所以，，
A.因为，，故A错误；
B.当时，，故B错误；
C. ，当时，，不成立，所以等号取不到，即，故C正确；
D.，故D错误.
故选：C
5．B
【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案.
【详解】因为，所以令，则，
所以，所以，
因为，所以，
故选：B.
6．C
【分析】利用换元法令，表示出函数，由确定值，求出解析式，进一步求函数值即可.
【详解】∵对任意实数，都有，
令，则.
又，
∴，
∵函数是上的单调函数，解得.
∴，∴.
故选：C.
7．B
【分析】首先根据题意得到，再结合二次函数的性质依次判断选项即可.
【详解】因为，，
所以.
所以，所以的最小值，无最大值，为故A，C错误.
对选项B，，
因为，所以，即，
故B正确.
对选项D，，
因为，所以，即，
故D错误.
故选：B
8．C
【分析】先求得使成立的的实数a的取值范围，再去选择使其成立的一个必要不充分条件即可.
【详解】当时，，则，则是增函数，
当时，，则是增函数，又，
∴函数在R上是增函数，
∵，
∴，则，
即，解得，
则成立的充要条件是
∴使成立的一个必要不充分条件的a的范围对应的集合应真包含，故排除ABD，选C.
故选：C．
9．C
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
10．D
【分析】直接根据分段函数减函数的定义构造不等式组，解不等式组即可求出参数的取值范围.
【详解】在上为严格增函数，，解得.
即实数的取值范围是.
故选：D
11．C
【分析】求出使得函数在区间上单调递减时的范围，结合充分性、必要性的定义即可得出答案.
【详解】由函数在区间上单调递减，
得在区间上单调递减，
所以，解得.
结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.
故选：C.
12．A
【分析】可求得在上单调递减，且，所以由得，得，即对于任意的恒成立，从而得解．
【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递减．
因为，
所以由，得，即，
所以，即对于任意的恒成立，
而，则，即实数的取值范围是．
故选：A．
13．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
14．C
【分析】利用偶函数的定义求得恒成立，即可求出a，c，再验证时情况即可判断作答.
【详解】显然函数定义域为R，
因是偶函数，即，亦即，
整理得，而不恒为0，因此，，即且，
当时，也是偶函数，D不正确，
所以一定正确的是C.
故选：C
15．D
【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项；由得即可判断选项；根据题干条件得到，再结合函数的周期即可判断选项.
【详解】因为，所以，又，
则有，因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，所以是周期为4的周期函数，
故也是周期为4的周期函数．
因为，所以，所以为偶函数．故错误；
由是奇函数，则，所以，
又，
所以，所以选项错误；
由得，所以选项错误；
因为，
，
所以，所以，
所以选项正确．
故选：.
16．D
【分析】根据条件可得出函数周期为8，再由题意可确定半周期上有3个整数解，利用导数研究函数的单调性，根据1,2,3为不等式整数解列出不等式求解即可.
【详解】，
，又函数为偶函数，，即函数周期为，
因为不等式在上有且只有30个整数解， 所以不等式在上恰有3个整数解，
又，可知时，，时，，
所以在上递增，在上递减，，所以1,2,3满足不等式，
故，且需 解得.
故选：D
17．D
【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果.
【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，
由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称，
所以与都关于点对称，
所以，
所以.
故选：D.
18．A
【分析】利用对数运算整理函数解析式，根据指数函数的单调性以及函数奇偶性的定义，可得答案.
【详解】由，则，即，
因为在上单调递增，在单调递减，
所以在上单调递增；
由，则为奇函数.
故选：A.
19．C
【分析】由已知，函数关于对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数为偶函数，知函数关于对称，
又函数在上单调递增，知函数在上单调递减，
由，知，作出函数的图象，如下：
由图可知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以不等式的解集为：或，
故选：C
20．C
【分析】根据题意列出方程即可确定是否超速.
【详解】对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以甲未超速；
对于甲车，令，即
解得（舍）或，所以乙超速；
故选:C.
21．D
【分析】结合题干分析求解分段函数解析式即可．
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
综上：
故选：D．
22．C
【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，求出关于的函数解析式，再令，解出的值，即可得解.
【详解】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
故若某户居民上月交纳的水费为66元，则用水量在内，令，解得.
故选：C.
23．C
【分析】先求得该企业每年利润的解析式，再利用分段函数求最值的方法即可求得该企业每年利润的最大值.
【详解】该企业每年利润为
当时，
在时，取得最大值；
当时，
（当且仅当时等号成立），即在时，取得最大值；
由，可得该企业每年利润的最大值为.
故选：C
24．C
【分析】取线段的中点，连接、，证明出平面，分析可知平面与平面平行或重合，分、、三种情况讨论，计算出的面积，利用三角形相似可得出的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】取线段的中点，连接、，
因为、为等边三角形，为的中点，则，，
，、平面，平面，
因为平面，所以，平面与平面平行或重合，
且，
取的中点，连接，则，
且，故.
①当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则；
②当时，；
③当时，平面平面，平面平面，
平面平面，，同理可知，，，
所以，，故，
如下图所示：
则，则.
综上所述，，故函数的图象如C选项中的图象.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的识别，解题的关键对分类讨论，求出函数的解析式，进而辨别出函数的图象.
25．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
26．
【分析】根据指对数的运算可求得的值，然后列出不等式求解即可得到函数的定义域.
【详解】由可得，即，所以，代入
即，解得或（舍），则
所以
解得
所以函数定义域为
故答案为:
27．
【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.
【详解】函数需满足 ，
解得 且 ，
故函数的定义域为，
故答案为：
28．（且）
【分析】使用换元法求解，在换元时，需注意定义域.
【详解】由，
令，（且，且），
则，（且），
∴（且）,
∴（且）.
故答案为：（且）.
29．(4，＋∞)
【分析】根据函数解析式分类讨论进行求解即可.
【详解】当a≥0时，f(a)＝a－1>1，解得a>4，符合a≥0；
当a<0时，f(a)＝>1，无解.
故答案为：(4，＋∞)
【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了数学运算能力.
30．
【分析】作出图象，由数形结合结合函数单调性列不等式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示，
满足可得或.
解得.
故答案为：.
31．
【分析】对分类讨论，结合指数对数函数单调性解不等式即可.
【详解】当，即，解得；
当，即，解得.
故实数的取值范围是.
故答案为：
32．
【分析】分类讨论，化简，结合范围解不等式即可得答案.
【详解】①当时，=.因时，，
则.
②当时，=.
⑴当时，.则.
⑵当时，.则
综上所述，.
故答案为：
33．1
【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
34．
【分析】不妨设，把化为，构造函数，利用的导数，求出的取值范围．
【详解】不妨设,
∵，
即，,
构造函数，
∴在是单调递增函数，
∴,∴
当时，，，所以，
所以，
所以的取值范围为
故答案为：
35．
【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】因为是R上的偶函数，所以的图像关于轴对称.
因为在上是严格增函数，所以在上是严格减函数.
所以可化为，解得：.
故答案为：
36．
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则
因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，
因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得
所以，
所以，，，，，
所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，
所以，的解集为，
所以，不等式的解集为
故答案为：
37．（1）；（2）R；（3），且；（4）且
【解析】（1）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（2）根据偶次方根被开方数为非负实数直接求解即可；
（3）根据分式中的分母为不为零直接求解即可；
（4）根据偶次方根被开方数为非负实数、分式中的分母为不为零直接求解即可
【详解】解：（1），
，定义域为；
（2）不论x取什么实数，二次根式都有意义，所以定义域为R；
（3），
，且，定义域为，且；
（4）且.
∴定义域为且.
【点睛】本题考查了求函数的定义域，考查了数学运算能力，属于基础题.
38．
【分析】根据已知条件求得函数的解析式，并求得函数的定义域.
【详解】依题意，底面一边长，另一边长，且.
所以总造价.
39．．
【分析】用换元法，设，求出，代入即得．
【详解】设，则，代入已知式得．
40．（1）函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；
（2）函数的最小值为，函数的最小值为.
【分析】（1）分析二次函数图象的开口方向和对称轴，可得出函数的减区间和增区间，以及函数的增区间；
（2）由函数和函数的单调性可得出这两个函数的最小值.
【详解】（1）函数的图象开口向上，对称轴为直线，
所以，函数的减区间为，增区间为，函数的增区间为；
（2）由（1）知，函数在处取得最小值，
由于函数在定义域上单调递增，则函数在处取得最小值.
【点睛】本题考查二次函数的单调区间与最值的求解，解题时要分析二次函数的图象的开口方向和对称轴及函数的定义域，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
41．（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.
【分析】（1）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论；
（2）求出函数的定义域，计算出、的关系，由此可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
，所以，函数为偶函数；
（2）函数的定义域为，
，则且，
所以，函数为非奇非偶函数.
42．函数在为减函数.
【解析】根据题意可得，设,则,从而可得，任取
,且,即可得，由题意即可证出.
【详解】解:因为函数的图像关于对称,所以.
设,则,所以.任取,且,
则.因为在上为增函数,所以,
所以,因此函数在为减函数.
【点睛】本题考查了利用函数的对称性证明函数的单调性，属于基础题.
43．(1) ，;(2) 当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
【分析】（1）设投资为万元（），设，，根据函数的图象，求得的值，即可得到函数的解析式；，
（2）①由（1）求得，，即可得到总利润．②设产品投入万元，产品投入万元，得到则，结合二次函数的图象与性质，即可求解．
【详解】（1）设投资为万元（），，两种产品所获利润分别为，万元，
由题意可设，，其中，是不为零的常数．
所以根据图象可得，，，，
所以，．
（2）①由（1）得，，所以总利润为万元．
②设产品投入万元，产品投入万元，该企业可获总利润为万元，
则，．
令，则，且，
则，．
当时，，此时，．
当，两种产品分别投入2万元，16万元时，可使该企业获得最大利润，最大利润为万元．
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中能够从图象中准确地获取信息，利用待定系数法求得函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
试卷第1页，共3页
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