第11天 圆锥曲线的方程-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

中小学教育资源及组卷应用平台
【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第11天 圆锥曲线的方程
一、单选题
1．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆：的右焦点为，直线与C交于A，B两点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆：右焦点为，其上下顶点分别为，，点，，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在抛物线的准线上，过的焦点且斜率为的直线与交于两点.若，则（ ）
A．1 B． C． D．3
9．已知双曲线上的点到焦点的最小距离为，且与直线无交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，过点的直线交于两点，且，线段的中点为，则直线的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
11．设双曲线的左、右焦点分别为，，左顶点为，点是双曲线在第一象限内的一点，直线交双曲线的左支于点，若，则点与点的横坐标的绝对值之比为（ ）
A． B． C．4 D．
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F且斜率为的直线与C交于A，B两点，D为AB的中点，且于点M，AB的垂直平分线交x轴于点N，四边形DMFN的面积为，则（ ）
A． B．4 C． D．
13．双曲线的左焦点为F，过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在y轴上，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线C：的焦点为，为抛物线C上的点，线段AF的垂直平分线经过点，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知双曲线，若直线：与双曲线交于不同的两点，且与构成的三角形中有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线右支上一点，设，，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知，是双曲线的上、下焦点，过的直线交双曲线的上支于A，B两点，且，，则（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的一条渐近线的斜率为
C．线段AB的长度为6a D．的面积为
19．已知点分别为抛物线与圆上的动点，且的最小值为，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A． B． C． D．
20．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
21．已如椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若的中点为M，则
C．的最小值为
D．，则椭圆的离心率的取值范围是
22．已知双曲线的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线与的上支交于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
23．已知抛物线，P为C上一点，，，当最小时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
24．已知过椭圆的上焦点且斜率为的直线交椭圆于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点.若为锐角，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19 B．23 C．25 D．85
26．已知为抛物线的焦点，为上任意一点，且点到点距离的最小值为．若直线过交于，两点，且，则线段中点的横坐标为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
27．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内、外两圈的钢骨架是由两个离心率相同的椭圆组成的对称结构．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”类似，其平面图如图2所示，已知外层椭圆的长轴长为200米，且内、外椭圆的离心率均为，由外层椭圆长轴的一个端点A向内层椭圆引切线AC，若AC的斜率为，则内层椭圆的短轴长为（ ）
A．75米 B．米 C．50米 D．米
28．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离
B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交
D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
29．已知是双曲线的左，右焦点，点在上，是线段上点，若，则当面积最大时，双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
30．已知抛物线的焦点为，点是抛物线C上一点，以点为圆心的圆与直线交于两点．若，则抛物线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
31．已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
33．已知圆与圆，圆I与圆均相切，则圆I的圆心I的轨迹中包含了哪条曲线（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
34．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
35．嫦娥五号完成了人类航天史上的壮举，在我国航天事业发展史上具有里程碑意义.嫦娥五号返回时要经过多次变轨，根据开普勒第一定律，嫦娥五号以椭圆轨道环绕地球运动，地球处于其中一个焦点上，嫦娥五号在近地点处加速即可保持近地距离而增大远地距离，由月地转移轨道Ⅰ进入月地转移轨道Ⅱ.若某探测器的月地转移轨道Ⅱ的远地距离是轨道Ⅰ的3倍，月地转移轨道Ⅰ的离心率是轨道Ⅱ的.则月地转移轨道Ⅰ的离心率为（ ）
A． B． C． D．
36．已知双曲线E的焦点为，，过的直线l与E的左支相交于P，Q两点，点P在以为直径的圆上，，则E的方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．设F为抛物线C：的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，若，则（ ）
A． B．1 C． D．4
38．已知点在椭圆上，与关于原点对称，，交轴于点，为坐标原点，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
39．已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
40．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
二、多选题
41．双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
42．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
43．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
44．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
45．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．
四、解答题
46．经过抛物线的焦点的直线l交该抛物线于M，N两点，求的取值范围．
47．两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，k为何值时，直线AB经过抛物线的焦点？
48．已知双曲线两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分，求双曲线的标准方程．
49．已知正三角形的顶点A，B在抛物线上，O是坐标原点，求的边长.
50．相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
51．如图，动圆P过定点A，且与定直线相切，请指出圆心P的轨迹是什么，并说明理由.
52．彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．
53．有一椭圆形溜冰场，长轴长100米，短轴长为60米，现要在这溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？并求出此矩形的周长.
54．已知双曲线与直线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
55．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，直线l经过点，且与椭圆交于M，N两点，求面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
56．已知椭圆，一组平行直线的斜率是．
（1）这组直线何时与椭圆相交？
（2）当它们与椭圆相交时，证明这些线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上．
参考答案
1．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率，解得，，
分别为C的左右顶点，则，
B为上顶点，所以.
所以，因为
所以，将代入，解得，
故椭圆的方程为.
故选：B.
3．B
【分析】根据给定条件求出点A或B到x轴距离，再结合椭圆方程计算作答.
【详解】令椭圆半焦距为c，则点到直线的距离为，
由椭圆的对称性知，是等腰三角形，，于是得点A或B到x轴距离为，
因此，，整理得，而，则，
即，又，解得
所以椭圆的离心率为.
故选：B
4．A
【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出的值，进而得解.
【详解】设点、，则的中点为，
则，可得.
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；
故直线的斜率存在，且，
由于A、两点都在椭圆上，则，
两式相减得，即，
因为在直线AB上，故，故，即，
所以，解得，
所以椭圆的标准方程为.
故选：A.
5．D
【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案
【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，
因为，所以，
所以，
由椭圆的定义可得，则，
又因为，所以，
所以椭圆的方程为，
故选：D
6．D
【分析】由椭圆的几何性质可知上下顶点坐标，再由向量数量积可得，即可得到答案.
【详解】根据题意可知，，；
所以，，
又，所以，可得
在椭圆中，，又，所以
即椭圆的标准方程为.
故选：D.
7．C
【分析】利用待定系数法求椭圆的标准方程.
【详解】可设椭圆的方程为，
由题意可得：，解得：，
所以椭圆的方程为.
故选：C
8．D
【分析】根据条件求出抛物线方程，由已知可设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程组可得根与系数的关系式，求得的表达式，由，得，将根与系数的关系式代入化简，即可求得答案.
【详解】由点在抛物线的准线上，可得，
故，焦点为，
则设直线的方程为，
联立，可得，，
设，
则，
则，
又，故,，
由，得，
整理可得，
即，
即，故，
故选∶D．
9．B
【分析】设点，求出点到双曲线焦点距离的最小值为，再利用直线与双曲线无公共点可得出，可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围.
【详解】设双曲线上一点，设点双曲线的右焦点为，
若取最小值，则点在双曲线的右支上，则，
则
，
当且仅当时，等号成立，
联立可得，
因为与直线无交点，则，
即，因为，解得.
故选：B.
10．A
【分析】根据给定条件，设出抛物线C及直线PQ的方程，借助垂直关系求出抛物线方程及点M的坐标，再用斜率坐标公式建立函数，利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，设的方程为：，
显然直线不垂直于y轴，设直线PQ的方程为：，点，
由消去x得：，则有，
由得：，解得，
于是抛物线：的焦点，弦的中点的纵坐标为，则点，
显然直线的斜率最大，必有，则直线的斜率，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的斜率的最大值为.
故选：A
11．B
【分析】根据题意可得三点坐标，由可利用相似比得，代入两点坐标并联立，解之即可求得结果.
【详解】如下图所示：
根据题意可知，设
由可知，，
所以，即，
所以，即；
所以，联立，解得；
所以，
即，
点与点的横坐标的绝对值之比为.
故选：B
12．A
【分析】设出直线AB的方程，联立抛物线方程，表达出点坐标，作出辅助线，求出，得到四边形DMFN为平行四边形，利用面积列出方程，求出.
【详解】由题意知，直线AB的方程为．
设，由，得，
所以，所以，
由，得．
如图所示，作轴于点E，则．
因为，
故，，
又，故，
又，得四边形DMFN为平行四边形．
所以其面积为，解得．
故选：A
13．A
【分析】利用韦达定理结合可得，再根据弦长公式表示得,结合即可求直线l的斜率.
【详解】由题意可知：，设，，的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为，则，
由题意知：直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
联立方程组化简整理可得，，
则，，
，
故的中点P的纵坐标，横坐标，
则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心到直线的距离，
，
，即，
将①代入可得：，
即，
整理可得：，则，
因为，所以，解得，
∴.
故选:A.
14．D
【分析】先应用垂直平分线得到距离相等，计算出坐标后，应用抛物线定义求出到焦点距离即可.
【详解】已知抛物线C：的焦点为，设
线段AF的垂直平分线经过点，所以,即得,
，
因为，所以上式化简得
,解得,
根据抛物线定义可得.
故选：D.
15．B
【分析】联立方程组，消可得，由已知可得判别式大于0，结合设而不求法求线段的垂直平分线，由条件列方程可得的关系，解不等式求的取值范围.
【详解】因为直线与双曲线交于不同的两点，
联立 ，消可得，
由已知方程有两组解，
所以且，
所以且，
设，
则，
所以，
所以线段的中点为，
所以线段的垂直平分线方程为，
即，
又与构成的三角形中有，
所以点不在直线上，在线段的垂直平分线上，
所以，，
所以，，又，
所以，
所以或，
所以的取值范围是，
故选：B.
16．B
【分析】在中，利用正弦定理求得 ， ，再根据，可得
，化简可得 ，再根据 求得，从而可求得 ，即可得解.
【详解】在中，由正弦定理得 ，
所以 ， ，
因为为双曲线右支上一点，所以，
即 ，
所以 ，
由 ，得，
由，所以 ，，
所以双曲线的渐近线方程为
故选：B.
17．C
【分析】先由题意，设，，直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，得出，，再由题意，表示出，根据基本不等式，即可求出结果.
【详解】因为过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以可设，，直线的方程为：，
由得，因此，，
且，
又直线，的斜率分别为，，点，
所以，，
因此，
当时，；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上.
故选：C.
【点睛】本题主要考查抛物线中的范围问题，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.
18．D
【分析】首先根据已知条件得到，再结合双曲线的定义得到，，，，，，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】如图所示：
因为，所以，所以，
因为，且，，
所以，，，，，，
对选项A，因为，所以离心率，故A错误，
对选项B，因为，所以渐近线的斜率为．
故B错误.
对选项C，因为，故C错误.
对选项D，因为为等腰三角形，
所以的面积．故D正确.
故选：D
19．C
【分析】由题意可得的最小值为3，设点，然后表示出化简后可求出其最小值，从而可求出，进而可得答案.
【详解】因为的最小值为，
所以的最小值为，
设点（），，则
，
因为，，
所以当时，取得最小值，即，
所以，
所以抛物线的焦点到准线的距离为3，
故选：C
20．B
【分析】由已知可设，则，得，在中求得，再在中，由余弦定理得，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
21．B
【分析】依题意，l过椭圆的左焦点，作图，逐项分析即可.
【详解】
依题意，l过 ，作上图，
对于A，由椭圆的定义知： ，错误；
对于B，联立方程 ，得 ，
由韦达定理得： ，
所以 ，正确；
对于C，显然，当 轴时， 最短，此时 ，
但由于k是存在的， 不会垂直于x轴，不存在最小值，错误；
对于D，设 ，则有 ，
，即A点在以原点为圆心，2c为半径的圆上，
因此，原题等价于 有解，解得 ，则必有，
即 ，即 ，错误；
故选：B.
22．C
【分析】设双曲线的焦距为，不妨取的一条渐近线为，进而取线段的中点为，结合双曲线的定义，求得，进而结合勾股定理建立关系得，再求离心率即可.
【详解】解：设双曲线的焦距为，则不妨取的一条渐近线为，
则直线的方程为，设垂足为，则易知，，
因为，
所以，由双曲线的定义知，
设线段的中点为，则，
所以，
所以，在中，，即，
所以，化简整理得，
所以，离心率为.
故选：C
23．A
【分析】设，由抛物线的定义可得，，设化简可得当时，取得最小值，求出的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线，则焦点为，准线为，
又，，则点为抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，
设，则，故，
由抛物线的定义可得，
，
又，则设故，
则，
当时，取得最小值为，则，，
将代入抛物线可得，所以
故选：A
24．D
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用直线的斜截式方程设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理及两直线相交联立方程组求出交点坐标，结合已知条件、点在直线上及向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】由题意可知，所以
所以椭圆的上焦点为，
设直线的方程为，
联立消去，得，
所以.
由题设知，所在的直线方程为.
因为直线与直线相交于点，
所以；
同理可得.
所以.
因为为锐角，
所以，
所以
，
即，解得：或，
所以，或，或.
故直线的斜率的取值范围是.
故选:D.
25．B
【分析】设且，应用两点距离公式及P在双曲线上，结合基本不等式求的范围，注意等号成立条件，进而可求目标式的最小值.
【详解】令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
26．B
【分析】设，由表示为关于的函数，结合二次函数的性质可得的值，利用弦长公式即可得结果.
【详解】设，则满足，
则
即当时，的最小值为，
解得（舍负），
即抛物线，焦点，
设，，
则，即，
即线段中点的横坐标为3，
故选：B.
27．B
【分析】以50米为1个单位，根据题意可求外层椭圆的方程为，进而可设内层椭圆方程为，联立方程，根据直线与椭圆的位置关系运算求解.
【详解】以50米为1个单位，设外层椭圆的长轴、短轴和焦距分别为，离心率为，
由题意可得，解得，
故外层椭圆的方程为，左顶点，
注意到内、外椭圆的离心率均为，且焦点均在x轴上，
设内层椭圆方程为，由题意可得AC的方程为，
联立方程，消去y得，
由，得，
故内层椭圆的方程为，即，
故其短半轴长为，即短轴长为，即米．
故选：B.
28．B
【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案.
【详解】当，则，则直线，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
当时，联立方程，消去y得：
，
所以，
①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交；
②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切；
③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离；
若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误.
综上所述：B正确
故选：B
29．C
【分析】在和分别利用余弦定理得，再在利用余弦定理，消去，根据均值不等式求面积最大时的关系，结合双曲线的性质即可求解.
【详解】如图所示
设，，，，则，，
在中由余弦定理得①，
在中由余弦定理得②，
得③，
在中由余弦定理得④，
③④联立消去得，
因为，当面积最大时即最大，
由均值不等式可得，
当且仅当即时等号成立，取得最大值，
此时由④解得，所以，
所以，即为直角三角形，且，
所以在中，解得，
由双曲线的性质可得，解得，
所以双曲线的方程为，
故选：C
30．C
【分析】根据给定条件，作出图形，由点在抛物线上及并结合图形建立方程组，求出p即可作答.
【详解】如图，作MD⊥EG于D，由在抛物线上，得，即，而的准线方程为，
由抛物线定义知：，显然，因为，则，
因此，即，整理得，与联立解得，
所以抛物线的方程为.
故选：C
31．D
【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
32．C
【分析】过点A向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.利用几何法求出直角三角形的三边，利用勾股定理即可求解.
【详解】如图示：
过点A（不妨设为第一象限点）向x轴作垂线、垂足为E．设准线交x轴于D.
因为四边形ABOF为等腰梯形，所以，.
所以.
又，
所以，所以，
所以.
所以.
由抛物线的定义可得：.
在直角三角形中，,.
由勾股定理可得：，解得：.
故选：C
33．C
【分析】分两种情况进行讨论，圆I与圆同时外切或内切和圆I与圆一个内切一个外切，即可得到答案
【详解】由圆可得，由圆可得，设圆I的半径为，
当圆I与圆同时外切或内切时，如图，
①当同时外切时，；②当同时内切时，；
故始终，此时I的轨迹为的中垂线；
当圆I与圆一个内切一个外切时，如图，
①当圆I与圆内切，与圆外切，则；
②当圆I与圆内切，与圆外切，则，
故，
所以此时I的轨迹是以为焦点的双曲线，
故选：C．
34．A
【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；
法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.
【详解】法一：由题意知，故的方程为，与的方程联立，
得，显然，设，则，
所以，
又，
所以，
所以.
法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，
故直线的参数方程为（为参数），代入，
整理得，，显然，
设该方程的两根为，则，
，所以.
故选：.
35．B
【分析】首先根据题意，转化为椭圆长半轴和焦半距的关系等式，消元后，转化为关于的齐次方程，再求离心率.
【详解】设月地转移轨道Ⅰ的长半轴为，焦半距为，离心率为，轨道Ⅱ的长半轴为，焦半距为，
所以，解得:,,
则，整理为：，两边同时除以，
得，.
故选：B
36．B
【分析】根据已知，利用双曲线的定义、三角形的性质、勾股定理进行求解.
【详解】不妨设，，因为P在以为直径的圆上，
所以，即，则．
因为Q在C的左支上，所以，
即，解得，则．
因为，所以，即，故，
所以，又因为，，，
所以双曲线的方程为，故A，C，D错误.
故选：B．
37．D
【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线与轴交点为，画出图象，由抛物线定义及可知是正三角形，结合平行关系可判断，利用直角三角形性质即可求解.
【详解】由题可知，，抛物线焦点F为，准线l为，设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知，由抛物线的定义可知，
因为，所以是正三角形，则在中，因为，
所以，所以．
故选：D
38．B
【分析】由，得到，结合，得到，进而求得，得出，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】设，则，
由，可得，所以，
因为，可得，
又由，两式相减得，
即，即，
又因为，所以，即
又由，所以，解得.
故选：B.
39．D
【分析】六个点，有两个是短轴端点，因此在四个象限各一个，设是第一象限内的点，分和，列方程组求得点横坐标，由可得离心率范围．
【详解】显然，是短轴端点时，，满足为等腰三角形，因此由对称性，还有四个点在四个象限内各有一个，
设是第一象限内使得为等腰三角形的点，
若，则，又，消去整理得：
，解得(舍去)或，
同得，所以，即，
若，则，又，消去整理得：
，解得或，
舍去．
所以，所以，即，
时，，是等边三角形，只能是短轴端点，只有2个，不合题意．
综上，的范围是．
故选：D．
40．B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
41．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
42．
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得
所以
解法二：
设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
43．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
44．2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设，则，所以
所以，
取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为
因为,，
因为为AB中点，所以平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以，则即．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，记中点为N，则，设，代入中，得，所以，得，所以．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以，得．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为，与联立得，则从而，可得的中点，所以．
又由弦长公式知．
由得，解得，所以．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段为抛物线的焦点弦，，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于轴的直线交于点N，则N为圆心．
设，则．
又因为，所以联立解得．将的值代入中求得．
因为抛物线C的焦点，所以．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线的斜率与两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点，再根据韦达定理求出直线的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
45．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
46．.
【分析】直线斜率不存在时，可得的长度，直线斜率存在时，设直线方程与抛物线联立，根据焦点弦公式求出弦长的表达式，利用函数的性质即求.
【详解】由题可知抛物线的焦点坐标为，
当直线斜率不存在时，令得：，所以，
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
联立 得：，
设，则，，
综上，的取值范围为.
47．
【分析】易得A，B两点关于轴对称，联立直线与抛物线方程求得焦点坐标即可列出式子求解.
【详解】直线和斜率互为相反数，且都过原点，则两直线关于轴对称，
又抛物线关于轴对称，焦点坐标为，
则A，B两点关于轴对称，
由可得，即，则，
要使直线AB经过抛物线的焦点，则，解得，
所以当时，直线AB经过抛物线的焦点.
48．或．
【分析】由两顶点间的距离是6，可得，由两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，可得，再结合双曲线的性质，即可求解．
【详解】两顶点间的距离是6，
，即，
两焦点的连线被两顶点和对称中心四等分，
，即，
，
焦点所在的坐标轴不确定，
故所求双曲线的标准方程为或．
49．
【分析】利用抛物线的对称性可得，进而得到直线的方程为，与抛物线方程联立解出交点坐标，再根据平面直角坐标系下两点的距离公式计算可得．
【详解】解：如图，
由抛物线的对称性可得，
直线的方程为，
联立，解得或，即，同理可得．
，
故的边长为．
50．炮弹爆炸点在双曲线上，方程为.
【分析】在适当位置建系，根据题意，可得，根据双曲线定义，可得a，c，进而可得b，即可得点M的方程.
【详解】以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
则，设爆炸点为，
则，
根据双曲线的定义可得，M在双曲线上，且，
所以，
所以，
所以点M的轨迹方程为：.
51．抛物线，理由见解析.
【分析】根据圆的切线的性质及抛物线的定义求解.
【详解】圆心P的轨迹是抛物线.理由如下：
动圆经过与相切，
到及的距离相等，
点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．
52．（1）
【分析】以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为轴建立平面直角坐标系，从而可得，解出，求出可得答案.
【详解】以近日点和远日点的中点为坐标原点，近日点和远日点连线所在直线为轴建立平面直角坐标系.
设该椭圆的方程为，
由条件可得，解得
所以，
所以
53．在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，矩形的周长为.
【分析】分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为轴和轴建立坐标系，根据长轴长和短轴长求得椭圆方程.设矩形的顶点，且在第一象限，将点坐标代入椭圆方程，求得的关系式.求得矩形的面积，利用配方法求得的最大值，也即求得矩形的面积的最大值，并求得此时对应点的坐标，从而求得此时矩形的周长，以及矩形四个顶点的位置.
【详解】分别以椭圆的长轴.短轴所在的直线为轴和轴建立坐标系，设矩形的各个顶点都在椭圆上，由题意，，则椭圆方程为，
设顶点，，，则，
所以，
矩形的面积，
又因为=，
=.
因此当时，达到最大值，同时也达到最大值，
此时，，矩形的周长为，
所以在溜冰场椭圆的短轴两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点，这个矩形的周长为.
【点睛】本小题主要考查根据长轴长和短轴长求椭圆方程，考查椭圆中矩形面积的最值有关计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
54．答案见解析
【分析】联立直线与双曲线方程，利用可得，求得点坐标，得出过点M且与l垂直的直线方程，即可表示出点，得出轨迹方程.
【详解】联立方程可得，
因为有唯一公共点且，则，
整理得，可解得点坐标为，即，其中，
于是，过点M且与l垂直的直线为，
可得，即，
则，即，其中，
所以点的轨迹方程是（），轨迹是焦点在轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线，直线，其它条件不变，可得点的轨迹方程是，轨迹是焦点在轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.
55．面积的最大值为；直线的方程为.
【分析】根据题意设直线，，进而与椭圆联立方程得，进而，再根据对勾函数的单调性求解即可.
【详解】解：由题知，，
所以当直线与轴重合时，不满足条件，
因为直线经过点，故设直线，，
所以联立方程得，
所以，
所以
令，则由对勾函数性质得函数为单调递增函数，
所以，此时，，
所以当时，的面积取得最大值，此时直线的方程为
56．（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析
【分析】（1）设出平行直线的方程：，代入椭圆方程，消去，由判别式大于0，可得的范围；
（2）运用中点坐标公式和参数方程，消去，即可得到所求的结论．
【详解】（1）设一组平行直线的方程为，
代入椭圆方程，可得
，
即为，
由判别式大于0，可得
，
解得，
则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交；
（2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得
，
即有，
代入直线方程可得截得弦的中点为，，
由，消去，可得．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)