第16天 全真模拟（一）-【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题（含解析)

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【18天考点全覆盖】冲刺2023年高考数学考前必刷题
第16天 全真模拟（一）
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．十一国庆节放假五天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在五天中随机选一天，乙同学在前三天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）倍
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知双曲线的渐近线方程为，则（ ）
A．5 B． C． D．
6．已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（ ）
A．2017—2021年全国居民人均可支配收入逐年递减
B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降
C．2021年全国居民人均可消费支出24100元
D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50％
10．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
11．已知不恒为0的函数满足对任意，则（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．若当时，，则当时，
12．若数列满足：对，若，则，称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列是“鲤鱼跃龙门数列”的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在的展开式中，的系数为，则______．
14．设为实数，函数的导函数为，若是偶函数，则___________，曲线在原点处的切线方程为___________.
15．已知，现将的图象向左平移个单位长度，再向下平移两个单位长度，得到的图象，则满足的的取值集合为______．
16．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，该卫星信号覆盖地球表面的表面积（单位：），则S与地球表面积之比为____________．
四、解答题
17．对于中国航天而言，2021年可以说是历史上的超级航天年，用“世界航天看中国”来形容也不为过.2021年10月16日，神舟十三号载人飞船将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空，2022年4月16日安全返回地球，返回之后他们与2名航天科学家从左往右排成一排合影留念．求：
(1)总共有多少种排法；
(2)3名宇航员互不相邻的概率；
(3)若2名航天科学家之间航天员的数量为X，求X的分布列与数学期望．
18．如图所示，在平面四边形中，，设.
(1)若，求的长；
(2)当为何值时，△的面积取得最大值，并求出该最大值.
19．已知等差数列的前n项和为，满足，___________.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
(1)求的通项公式；
(2)设，求的前n项和.
20．如图1，在等边中，点D，E分别为边AB，AC上的动点且满足，记.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．
(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B MD E的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求出二面角的正弦值大小．
21．设抛物线的焦点为F，准线为l，，以M为圆心的圆M与l相切于点Q，Q的纵坐标为，是圆M与x轴的不同于F的一个交点．
(1)求抛物线C与圆M的方程；
(2)过F且斜率为的直线n与C交于A，B两点，求△ABQ的面积．
22．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若，证明: .
参考答案
1．C
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，因此，.
故选：C.
2．A
【分析】利用复数的模长公式计算，利用复数除法计算，从而得到.
【详解】因为，
所以.
所以
故选：A.
3．B
【分析】首先求出基本事件的总数为15，再求出两人在同一天的事件数为3，可以通过乘法计数原理，也可以通过列举法去计算事件总数和两人在同一天的事件数，最后求出概率即可.
【详解】若甲同学在五天中随机选一天,乙同学在前三天中随机选一天,且两名同学的选择互不影响,
则基本事件总数,
他们在同一天去包含的基本事件个数,则他们在同一天去的概率为.
故选：B.
4．A
【分析】根据题意可知，利用整体法与正切的和差公式即可求得，故得解.
【详解】由可得，所以由题意得，
又，所以，
所以第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.
故选：A．
5．B
【分析】根据双曲线方程的特点确定m为负，再求出双曲线渐近线方程作答.
【详解】在双曲线中，，其实半轴长，虚半轴长，
因双曲线的渐近线方程为，于是得，解得，
所以.
故选：B
6．C
【分析】由数量积运算求得，再根据数量积定义求和夹角余弦，从而得夹角．
【详解】，所以，
，而，所以．
故选：C．
7．D
【分析】根据题意，构造出函数，对函数进行求导判断其单调性，进而比较大小.
【详解】令，则.
因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减.
而，，
所以在上有.
所以在上单调递减.
所以，即.故.
故选：D.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
8．B
【分析】根据正三棱锥底面边长为6，且侧面与底面所成角的正切值为，求出三棱锥的高和侧高，利用勾股定理求出外接球半径，再利用等体积法求出内切圆半径即可.
【详解】因为三棱锥为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为，所以可得正三棱锥的高，侧面的高；
设正三棱锥底面中心为，其外接球的半径为，内切球半径为，
则有，也即，解得：，
正三棱锥的体积，
也即，解得：，
所以，
故选：B.
【点睛】内切球的球心到各面的距离是相等的，球心和各面可以组成四个等高的三棱锥，那么内切球的半径乘以正三棱锥的表面积就等于体积，通常用等体积法求解内切球的半径.
9．CD
【分析】根据统计图表，分析各项正误.
【详解】由图可知，2017—2021年全国居民人均可支配收入分别为25974元，28228元，30733元，32189元，35128元，故为逐年递增，A错误；
2019年全国居民人均可支配收入为，30733元，2020年全国居民人均可支配收入为32189元，较前一年有所增长，故B错；
由图2得：，C正确；
由图2得：，D正确．
故选：CD.
10．ABD
【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断A；由椭圆性质可判断B；取特值，结合OA长度的取值范围可判断C；由椭圆定义可判断D.
【详解】由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；
，由椭圆性质可知，所以，B正确；
记，则
取，则，C错误；
由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.
故选：ABD
11．AD
【分析】令求得，再令求得，判断AB，令，，推理后判断C，令得出关系式，然后由D中条件推理判断D．
【详解】令得，，A正确；
再令得，，，B错；
令，，则，是偶函数，C错；
对选项D，令，则，
所以，
当时，，，所以，D正确．
故选：AD
12．BD
【分析】举特例，可说明A不符合题意，同理可说明C不符合题意；依据“鲤鱼跃龙门数列”的定义，可说明B,D.
【详解】对于A,不妨取，但，不满足，故A错误；
对于B, ,对，若,则，
则,即，故B正确；
对于C，不妨取，但，不满足，故C错误；
对于D, ,对，若,则，
则，故，即，故D正确；
故选：BD
13．/
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的展开式中，含的项为，
所以.
故答案为：
14．
【分析】求函数的导数，根据是偶函数，求出的值，结合导数的几何意义进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
是偶函数，则，即，即
，得，经检验符合题意，
所以，，
则，，
即函数切线的斜率，切点为，
所以切线方程为，即，
故答案为：；．
15．
【分析】先利用三角函数图象变换规律求出的解析式，再由求解即可.
【详解】解：由题意可知，．
令，则，
即，，得，，
故取值集合为．
故答案为：
16．45:106/
【分析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，得，在直角三角形中求出后，可计算两者面积比．
【详解】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，线段交圆于，如图，则，，，，
则，地球表面积为
所以．
故答案为：．
17．(1)120种
(2)
(3)分布列见解析；期望为1
【分析】（1）由全排列定义计数可得；
（2）用插入法，先排2名航天科学家，然后在3个空档插入3名航天员即可得，再用概率公式求解即可；
（3）由题意得的可能值为0，1，2，3，分别求得概率的分布列，再由期望公式计算期望．
【详解】（1）由全排列定义知共有种排法；
（2）用分步计数原理，先排2名航天科学家，然后插入3名航天员，方法数；概率；
（3）由题意X的可能值为0，1，2，3，
，，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
．
18．(1)
(2)，面积最大值为
【分析】(1)利用余弦定理和正弦定理即可；(2) 利用余弦定理和正弦定理并将面积表示为三角函数求最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
所以
在,由正弦定理得，
所以
（2）由第(1)问知，在中，
所以，所以,
在,由正弦定理得，
所以
因为
所以
因为所以所以当即时，
此时△的面积取得最大值为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的基本量的运算可得，进而即得；
（2）利用分组求和法即得.
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为,
若选择条件①，则由，
得，
解得，
；
若选择条件②，则由，
得，
解得，
；
若选择条件③，则由，
得，
解得，
；
（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，
则，
的前n项和
.
20．(1)
(2)不改变，
【分析】（1）首先取的中点为，连接，，再结合线面平行的性质即可得到
（2）利用空间向量法求解即可.
【详解】（1）取的中点为，连接，，
因为，，所以NP∥BC，
又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，
又EN∥平面BMD，EN 平面NEDP，
平面NEDP∩平面MBD＝DP，
所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，
所以NP＝DE，则DE＝BC，即λ＝.
（2）取的中点，连接MO，则MO⊥DE，因为平面MDE⊥平面DECB，
平面MDE∩平面DECB＝DE，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，
如图建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则
，即，
令，即.
又平面的法向量，
所以，
即随着值的变化，二面角的大小不变．
且.
所以二面角的正弦值为.
21．(1)抛物线，圆
(2)
【分析】（1）分别求点的坐标，再利用圆心在线段的垂直平分线上，求得值，即可求得抛物线和圆的方程；
（2）直线与抛物线方程联立，求得点的坐标，求得，以及点到直线的距离，再求三角形的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义知，圆M经过焦点，
，点M的纵坐标为，又，则，得，
则，．
由题意，M是线段EF的垂直平分线上的点，所以，解得p＝2，
故抛物线，圆．
（2）由题意知直线n的方程为，
由，解得或
设，，则．
点到直线的距离，
所以△ABQ的面积．
22．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间；
（2）计算，构造函数，，求出，对再一次求导（需引入新函数），确定的单调性后得其正负，从而确定的单调性，得证结论成立．
【详解】（1），
若，，即，此时在R上单调递减．
若，解得，
解得，
∴在上单调递减，在上单调递增．
（2）∵，
设， ，
设 ，
∴在上单调递增，，．
∴，在上单调递增．
∴．
∴．
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